9. Sur la geometrie projective des espaces

a connexion affine.

par S. WATANABE.

(Recu le 11 Juin. 1934.)

INTRODUCTION.

G'est dans la geometrie projective des espaces a connexion affine et a n dimensions (the projective geometry of paths (1)) qu'on etudie des pro

prietes invariantes par rapport au changement projectif

Λjki→Λjki=Λjki+δjiψk+δkiψj, i, j, k=1, 2, ……, n,

ƒ©jki etant les coefficients de connexion, ƒÕk etant un vecteur covariant arbi

traire et ƒÂji={1, i=j 0, i≠j. M. T. Y. Thomas (2) a reduit le problme de cette

geometrie en celui de la geometrie affine d'un certain ospace a conexion

affine et an+1 dimensions. D'apres MM . O. Veblen et Wliitehead (3) (4),

nous appellerons le proces de cette reduction representation de la geometrie

projective. D'autre part, MM. O. Veblen et Whitehead ont etudie quel

espace connexion affine of an+1 dimensions, donne d'avance, peut

etre une representation. de la geometrie projective an dimensions. Dans

la representation de T. Y. Thomas, toute transformation des coordonnees xa,

ƒ¿=0, 1, •c•c , n a la forme sulvante:

(1)

ou ƒ¢=|•Ý(x•Œ)/•Ý(x)|•‚0. D'autre part, dans la representation de MM. O.

Veblen et Whitehead, toute transformation des coordonnees est donnee par

(2)

ou ƒÏ(x) est une fonction arbitraire des xi .

(1) Eisenhart, Non-Riemannian geometry (1927),

(2) T. Y. Thomas, A projective theory of affinely connected manifold , Math. Zeit., 25 (1926).

(3) Whitehead, On a class of projectively flat affine connections , Proc. of the London Math. Soc., 33 (1931).

(4) Whitehead, The representation of projective spaces, Annals of Math ., 32 (1931).

Si l'on designe le groupe, qui est forme par toutes les transformations

186 S. WATANABE

x•Œi=x•Œi(x) ou ƒ¢•‚0, par G, le groupe de toutes les transformations de la

forme (1) est une representation isomorphe de G. Ce groupe-ci, on le de

signora par G. Or le groupe de toutes les transformations do la forme (2)

n'a pas la propriete de la representation isomorphe de G, mais il contient

G comme un sous-groupe. Cela pose, il s'agit ici la relation intime entre G

et G. Nous appelons espace d'espece G(G) l'espace (a connoxion affine)

dont le groupe des transformations des coordonnees est G(G). Dans ce

memoire, nous allons etudier si nous pourrons rechercher quelque relation

entre les espaces d'espece G et ceux d'espece G, car il existe une relation

entre G et G. En effet, nous verrons que les proprietes affines d'un espace

d'espece G se traduisent en celles qui dependent de tous les espaces d'espece

G, appartenant a un certain ensemble. Deux espaces quelconques de cet

ensemble s'obtiendront l'un de l'autre par un changomont de connexion. Ce

changoment de connexion s'amenera particulierement en changement pro

jectif. Dans ce cas particulier, les proprietes qui dependent de tous les

espaces d'espece G, appartenant a un ensemble, constituent la geometrie

projective et l'espace d'espece G nous donnera la representation de cette

geometrie, etudiee par MM. O. Veblen et Whitehead.

1

Le groupe G, coefficients de connexion et vecteur

contravariant ou covariant.

Supposons que les ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿, ƒ¿, ƒÀ, ƒÁ=0, 1, •c•c n, soient les coefficients de

connexion d'un espace an+1 dimensions. Alorss les ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿ se doivent etre

transformees d'apres

(1.0)

par une transformation de G. Par suite, si en particulier ƒÁ=0, on aura

et ensuite, si ƒÀ=0 et si l'on pose ƒ¡00ƒ¿=ƒÆƒ¿, les ƒÆƒ¿ se transformont comme

des composantos d'un vectour contravariant, relatif a G, c'est-a-dire d'apres

(1.1)

ou ƒ¦=logƒ¢ D'autre part, si l'on pose ƒ¡0ki=ƒÆki, on aura a cause de (1),

(1.2)

Et de meme, par rapport a ƒ¡iki, on obtient

(1.3)

SUR LA GEOMETRIE PROJECTIVE DES ESPACES 187

tandis qu'en posant ƒ¡0b0=ƒÆb, on a

(1.4)

De plus, si l'on pose ƒ¿=0, ƒÀ=b, ƒÁ=c dans (1.0) et si l'on y substitue

les relations (1.3), les relations (1.0) se reduisent en les suivantos

(1.5)

ou ƒÎbc=ƒ¡bc0

Comme un vecteur contravariant quelconque se transformo d'apres (1 .1),

on voit de meme qu'un vecteur covariant arbitraire ƒÓp se transforme de la

maniere que

(1.6)

2

Les ƒ¡jki et les coefficients ƒ©jki de connexion d'un espace

a n dimensions.

Considerons un espace a connexion affine, dont les coefficients sont

. Maintenant on pose

ƒ©jki=ƒ¡jki+A(ƒÆjiƒÓk+ƒÆkiƒÓj),

ou A est une constante, ƒÆji=ƒ¡0ji, ƒÓp un vecteur covariant relatif a G . On

choisit A et ƒÓp convenablement, de sorte qu'on puisso ecrire les relations

(1.3) sous la forme snivante

(2.1)

c'est-a-dire que l'on voie que les ĩjki se transforment par (1), comme des

coefficients do connexion d'un ospace a n dimensions . Pour cela, on doit

avoir necossairoment 2AƒÓ0+1=0 et ƒÆsƒÓi=ƒÆis, sinon que ƒÆi=0. Si

ƒÆi•‚ 0, il y a un seul espace a n dimensions (ƒ©jki), correspondant a l'espace

. Au contraire, dans le cas ƒÆ0=0, on doit avoir AƒÓ0+1=0, mais

on peut laisser ƒÓk arbitraire. Dans ce cas, on posera A=-1, ƒÓ0=1.

Los Įki se transforment d'apres (1.2), comme des composantes d'un tenseur

de deuxieme espece, relatif a G. Dans ce qui suit, nous noun occupons du

cas, ou Įs=0 et de plus, pour que les ĩjki, ainsi definies, soient admises

directoment comme des quantites dans l'espace a n dimensions, on suppose

quo •Ý0ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿=0. Alors les ƒ©jki se transforment d'apres (2.1) par le groupe

G, d'ou elles peuvent etre les coefficients de connexion d'un espace a n

dimensions. Ainsi, correspondant a un vecteur quelconque ƒÓp, ou ƒÓ0=1,

il y a un ospace a n dimensions (ĩjki). Si l'on prend tous les espaces a n

188 S, WATANABE

dimensions (ƒ©jki), definis par tels vecteurs ƒÓƒÏ, on aura un ensemble des

espaces a connexion affine, a n dimensions, qui correspondent au seul espace

a n+1 dimensions (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿). Soient (ƒ©jki), (ƒ©jki) deux systcmes des coefficients

de connexion des deux espaces, appartenant a cet ensemble. Alors on aura

ou ƒ©jki=ƒ¡jki+A(ƒÆjiƒÓk+ƒÆkiƒÓj) et ƒ©jki=ƒ¡jki+A(ƒÆjiƒÓk+ƒÆkiƒÓj). Or, d'apres

(1.6), on voit immediatement que les ƒÓk-ƒÓk sont des composantes d'un

vecteur covariant, relatif a G, c'est-a-dire on peut dire que les ĩjki s'obtien

nent par le changement suivant

(2.2) Λjki→ Λjki=Λjki+θjiψk+θkiψj,

ou les ƒÕk=ƒÓk-ƒÓk sont des composantes d'un vecteur covariant, relatif a

G. Reciproquement, si, en prenant un vecteur covariant arbitraire, relatif a

G, on considere un changement de (2.2), on pent trouver un espace, qui

appartient a l'ensemble, qui vient d'etre considere, parce que les quantites

ƒÓk=ƒÓk-ƒÕk et ƒÓ=ƒÓ0 se transforment d'apres (1.6) par rapport a G.

Maintenant on appellera ce changement ĩjki>ĩjki changement P. Dans ce

qui suit, nous etudierons les proprietes invariantes des espaces (ĩjki), par

rapport a un changement quelconque P. Ces proprietes seront nommees des

proprietes P. Si deux connexions (ĩjki), (ĩjki) sont equivalentes a cellos qui

appartiennent au meme ensemble, ones s'appellent P-equzvalentes. De plus,

en tenant compte de ƒ©jki=ƒ¡jki+A(ƒÆjiƒÕk+ƒÆkiƒÕj) on aura ƒ©jki-A(ƒÆjiƒÕk+ƒÆkiƒÕj)

=ƒ©jki-A(ƒÆjiƒÕk+ƒÆkiƒÕj)=ƒ¡jki, done les quantites ƒ¡jki sont des invariants

par rapport au changement quelconque P. L'espace connexion affine,

considere d'avance (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) a n+1 dimensions pourra s'appeler aussi invariant

relatif a ce changement, parce qu'il pent etre au moins un des espaces, ne

correspondant pas a un seul espace de cet ensemble, mais correspondant a

tous les espaces de l'ensemble. Dans la suite, nous verrons que toutes les

proprietes affines de l'espace (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) se traduisent en proprietes P de l'espace

(ĩjki). Cependant on verra que les proprietes P se traduisent reciproque

mont en proprietes affines seulement daps le cas special, mais d'apres la

terminologie de M. Whitehead, nous appellerons l'espace (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) representa

tion P de l'espace (ĩjki).

(1) Whitehead. (4).

Maintenant, supposons que les Įi s'annulent par rapport a tous les

systemes des coordonnees et que los Įi s'annulent par rapport a un systeme

des coordonnees. Alors il on resulte necessairement quo les Įi s'annulent

par rapport a tons les systemes des coordonnees et quo ƒÆki=ƒÆ0ƒÂki (1), ou ƒÆ0

est un invariant. Dans ce cas, le changement P est donne par ĩjkiĩjki

=ƒ©jki+ƒÂjiƒÉk+ƒÂkiƒÉj, ou ƒÆ0ƒÕk=ƒÉk. C'est le changement projectif et celui

SUR LA GEOMETRIE PROJECTIVE DES ESPACES 189

qui est etudie par O. Veblen et Whitehead. D'autre part, dans ce cas, on

pourra trouver inversement une representation (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) de l'espace a connexion

aff ine (ĩjki), donne d'avance, en posant

θ0=-1/

n+1, ,

ce qui est le cas de M. T. Y. Thomas (1) .

3

La P-equivalence.

Supposons quo deux espaces a connexion affine (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et (ƒ¡•ŒƒÀƒÁƒ¿) des

representations P, ou •Ý0ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿=•Ý•Œ0ƒ¡•ŒƒÀƒÁƒ¿=0, soient donnes et qu'ils soient

equivalents. Alors on doit avoir une certaine transformation x•Œa=x•Œa(x) de

la forme (1), qui amene ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿ en ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿ de la maniere que

(3.1)dont la condition d'integrabilite est

(3.2)ou BƒÀƒÁƒÂƒ¿ et B•ŒƒÐƒÑƒËƒÏ sont des composantes des tenseurs do courburo des espaces

(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et (ƒ¡•ŒƒÀƒÁƒ¿). Maintenant, si, en posant

(3.3) ∂ix′a=_??_ia, ∂iΘ=_??_i,

on ecrit oxplicitomont les relations (3, 1), on tenant compte de (1 .2), (1.3),

(1.4), (1.5) et de l'hypothese Įi=0, on aura

(3.1a)

(3.1b)

De plus, en vertu de la signification de ƒ¦, on doit avoir

ou _??_a*i_??_ka=δki, c'est-a-dire

(3.4)

Le systeme des relations (3.1b), ƒ¦=log|_??_ba| et (3.4) se designe par _??_0 .

Si l'on avait un systenle des fonctions x•Œi, ƒ¦, _??_ki et _??_k comme des fonctions

des xi, qui satisfont aux equations aux drives partielles (3 .3) et (3.1a)

et en memo temps aux relations _??_0, on aurait une transformation x•Œi=x•Œi(x)

(1) Eisenhart, p. 103.

190 S. WATANABE

qui, si i'on y ajoute x•Œ0=x0+logƒ¢, devient de la forme (1) et qui admet

les relations (3.1) En substituant (3.3) et (3.1a) en les drives de_??_0, on

a un systeme _??_1, auquel on fait les relations (3.2) appartenir. De _??_1 on deduit

le systeme _??_2, en substituant (3.3) et (3.1a) dans les derivees partielles de

_??_1 et de la meme maniere on caleule _??_3, •c•c

Alors on aura le theoreme A (1):

La condition necessaire et suffisante, pour que deux connexions (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et

(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) des representations P soient equvalentes par rapport a une certaine trans

formation de la forme (1), est qu'il y ait un nombre entier N(<(n+1)2)

tel que la suite des systemes des fouctions _??_0, _??_1, •c•c, _??_N soient compatibles

pour toutes les valeurs des xi dans un domaine et que _??_N+1 se tirent directement

de _??_0, _??_1, •c•c, _??_N.

Une solution quelconque des equations (3.3), (3.1a) noun donne deux

transformations, l'une etant contenue dans G et l'autre dans G. Elles ad

mettent respectivement les relations (3.1) et (1.3). Or •Ý0ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿=•Ý•Œƒ¡•ŒƒÀƒÁƒ¿=0,

done on voit quo si deux representations (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et (ƒ¡•ŒƒÀƒÁƒ¿) sont equivalentes par

cette transformation de G, les deux connexions quelconques (ƒ©jki) et (ƒ©•Œjki), cor

respondant a (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et a (ƒ¡•ŒƒÀƒÁƒ¿) respectivement, sont P-equivalentes par cette

transformation de G. Dans le cas de M. T. Y. Thomas, on pourra verifier

la reciproque, dans lanquelle nous afflrmons quo si deux connexions (ĩjki)

et (ƒ©•Œjki), donnees a priori, sont P-equivalentes, it y a au moms une trans

formation dales G par laquelle deux representations de (ƒ©jki) et de (ƒ©•Œjki), de

M. T. Y. Thomas, sont aussi equivalentes.

4

Isomorphies affines de la representation P(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿)

et transformations P de l' espace (ĩjki).

(1) Eisenhart, pp. 100-103.

(2) D'apres M. Oartan (3), on emploie ici le terme "isomorphie affine (projective)" au lieu de "affine (projective) collineation" de Eisenhart.

(3) Cartan, La geometrie des groupes de transformations, Journal de Math., 6 (1927).

Nous allons etudier les relations entre les isomorphies affines (2) de la

representation P(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et les transformations P de l'espace (ƒ©jki). L'isomorphie

affine singnifie la transformation ponctuelle, qui conserve les proprietes affines

de la representation P(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿), tandis que la transformation P de l'espace

(ĩjki) est celle qui conserve les proprietes P. Il s'agit ici des transformations

infinitesimales, telles quo x•Œp =xƒÏ+ƒÌƒÏƒÂu, ou l'on doit avoir ƒÌ0=•ÝiƒÌi en

tenant compte de x•Œ0=x0+logƒ¢. Si x•ŒƒÏ=xƒÏ+ƒÌƒÏƒÂu etait une isomorphie

de la representation P(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿), les quantites ƒÌƒÏ devraient satisfaire aux equa-

SUR LA GEOMETRIE PROJECTIVE DES ESPACES 191

tions aux drives partielles suivantes

(4.1) ξραβ=ξ σBαβγρ (1).

Or la transformation x•Œi=xi+ƒÌiƒÂu, qu'on obtiendra d'une isomorphie affine,

en excluant x•Œ0=ƒÌ0+ƒÌ0ƒÂu, est sans doute une transformation infinitesimale,

appartenant a G et il satisfait aux equations aux derivees partielles

(4.1a) ∂ijξh+∂jξ0θih+∂iξ0θjh+∂jξrΓrih+∂iξrΓrjh-∂rξhΓijr+ξr∂rΓijh=0,

lesquelles se tirent de (4.1), en posant ƒÏ=h, ƒ¿=2, ƒÀ=j. D'autre part,

si la transformation x•Œi=xi+ƒÌ•ŒƒÂu etait une transformation P infinitesimdle,

les ƒ¡jki, et les transformees ƒ¡jki des ƒ¡jki par x•Œi=xi+ƒÌiƒÂu devralerlt titre les

memes fonctlons des xi et des x•Œi respectivement, si elles ont les memes

indices. Alors la formule de Taylor relative aux ƒ¡jki, nous donne

(4.2)

En substituant (4.2) en (1.3) et en negligeant les termes infiniment petits

d'ordre>1, on aura de nouveau (4.1a). Par suite, on peat dire qu'une

isomorphic affine de la representation (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿)x•ŒƒÏ=xƒÏ+ƒÌƒÏƒÂu nous donne toujours

une seule transformation P x•Œi=xi+ƒÌƒÂu de l'espace (ƒ©jki).

En particulier, darts le cas de la representation de T. Y. Thomas, une

transformation P devient une isomorphie projective de l'espace (ĩjki) a laquelle

correspond inversement une seule isomorphie affine de la representation (ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿).

C'est parce qu'en differentiant (4.1a) par rapport a xk, en les contractant

par rapport aux indices k et h et en tenant compte de ƒÎij=1+n/1-nƒ®ijaa, on

aura immediatement des relations

lesquelles s'obtiondront de (4.1), en posant ƒÏ=0, ƒ¿=i, ƒÀ=j.

5

Conditions pour l'existence d'isomorphies affines infinitesimales

et de transformations P infinitesimales.

Si, en tenant compte des identltes de Ricci:

ξ λμνα-ξλνμα=ξ σαBλμνσ-ξ λσBσμνα,

on ecrit la condition d'integrabilite de (4.1), on obtient

(5.1) ξρBλμν・ρα+ξ・νρBλμρα+ξ・λρBρμνα-ξ・μρBλμνρ-ξ・ ραBλμνρ=0.

Maintenant, si l'on pose

(1) ƒÌ•Eƒ¿ƒÀƒÏ est la derivee covariante de second ordre de ƒÌƒÏ, par rapport aux ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿.

192 S. WATANABE

(5.2) ∂iξh=ih, ∂kξ0=k,

les relations (4.1) s'ameneront en (5.3) et en (5.4)

(5.3a)

(5.3b)

(5.3c)

(5.4)

ou l'on obtient les relations (5.3b), en remplacant les membres droits de

(5.3a) aux lieux de •Ýkih, apparaissant daps les drives particles de (53a)

par rapport a xk et en les sommant par rapport aux indices k et h. Les

systemes des equations (5.4) et ceux qui s'obtiennent en substituant (5.3c)

en (5.3b), se designent par 0. Les relations, que l'on obtient en substituant

(5.3a) et (5.3c) dans les drives partielles den 0, s'appelleront 1, auquel

on fait appartenir celles qui sont donnces de (5.1) par la substitution de

(5.2). De plus, on substitue (5.3a) et (5.3c) dans les derivees partielles

de 1. Les relations, ainsi obtenu s, se designent par 2 et en continuant

ainsi on obtient 3, 4,•c•c

Maintenant noun passons a la transformation infinitesimale P. Si l'on

pose

∂iξk=ik, ∂iξ0=i,

comme dans le cas ci-dessus, les quantites ƒÌi, ik, i, qui determinant une

transformation infinitesimale P, doivent satisfaire aux equations •ÝiƒÌh=ih,

(5.3a) et a celles quo l'on obtient si l'on met (5.3b) sons la forme

(5.3bb)ce qui sera toujours possible, parse qu'en general to determinant |ƒÂiaƒÂjb+ƒÂjbƒÆia

+ƒÂiaƒÆjb|, a, b, i, j=1, 2, •c•cn ne s'annule pas. Dans le cas ou ce deter

minant s'annule, noes prendrons Įik=ăĮki au lieu de Įki, ou ă est line con

stauto. Alors le determinant, correspondent a Įki, ne s'annule pas, pour une

valeur convonable de ă.

Les conditions d'integrabilite de (5.3a) et de (5.3bb) se representoront

par 1* et, en substituant (5.3a) et (5.3bb) dans les drives partielles de

1* on obtiont 2* et ainsi de suite on a une suite des systemes des relations 3*, 4*

Cela pose, on arrivera maintenant a deux theoremes B, C (1): B se

rapporte a l'existence d'isomorphio affine infinitesimale de la representation

(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) et C a celle de transformation infinitesimale P.

(1) Eisnhart, p. 131.

SUR LA GEOMETRIE PROJECTIVE DES ESPACES 193

Nous reexposons ces deux theoremes de la maniere suivante:

La condition necessare et suffisante pour que la rep esentation P()

(ou l'espace ()) admette r isomorphies affines (r* transformations infinite

simales P) est qu'il y wit deux entiers N et r (N* et r*) tels que les matrices (1)

des equations 0, 1,•c•c, N(1*, 2*, •c•c, N**) et des equations 0•c•c,

N+1(1*, •c•c, N*+1*) soient de rang n2+2n-r (n2+2n-r*). Si r=1

(ou r*=1), la solution contient une quadrature, si r>1, (ou r*>1), la

solution generate est une forme lineaire avec des coefficients constants de r (ou

r*) suites fondainentales des solutions des equations aux derives patrtielles

h=ih, (5.3a) et (5.3c) avec des conditions 0 (ou des equations •ÝiƒÌh=ih, (5

.3a) et (5.3bb)).

Considerons r isomorphies affinos infinitesimales Xaf=ƒÌƒ¿ƒÀ•Ýf/•ÝxƒÀ (r* trans

formations P infinitesimales Xa**f*=ƒÌƒ¿**i•Ýf*/•Ýxi), ou les ƒÌƒ¿i,ƒ¿=1, 2, •c•c r (les

=1, 2, •c•c r*) sont r (r*) solutions fondamentales des . ƒÌi. Alors

on peut constater d'apres M . Eisenhart, quo [Xƒ¿XƒÀ]f (ou [Xƒ¿**XƒÀ**]f*) est

aussi une isomorphie affine (ou transformation P), d'ou il entraine qn'en

tenant compte des theoremes B et C, [Xƒ¿XƒÀ]f (ou [Xƒ¿**XƒÀ**]f*) est une forme

lineaire de Xƒ¿f, (de Xƒ¿**f*) a coefficients contstants . L'espace de la repre

sentation P(ƒ¡ƒÀƒÁƒ¿) (ou l'esrace (Ajki)) admettrait donc un groupe r (ou r**)

continu d'orde r (ou d'ordre r*) des isomorphies affines infinitesimales (des

transformations infinitesimales P), si, et, seuloment si, les equations aux

derivdos partielles •ÝiƒÌh=ih (5 .3a), (5.3c) (ou des equations •ÝiƒÌh=ih,

(5.3a) (5.3bb)) admettraient r (ou r*) solutions independantes. D'apres

le paragraphe 4, r est en general un sous-groupe de la representation

isomorphe de r**, determineo par la substitution (1) . D'autre part, dans le

cas particulier de T . Y. Thomas, le systeme 0 est identiquement satisfait

et d'apres le resultat de 4, les equations (5.3c) coincident avec (5.3b).

Done deux systemes des equations, l'un etant donne par •ÝiƒÌh=ih, (5.3a),

(5.3c) et l'autre par •ÝiƒÌh=ih, (5.3a), (5.3bb), sont tout a fait equiva

lents, c'est-a-dire les theoremes B et C sont idoltiquos . Dans ce cas, l'un

des deux groupes r et r** est la representation isomorphe do l'autre .

(1) Puisque toutes les equations 0, 1, •c•c sont des formes lineaires de ƒÌi, ki, i, on

considere ces matrices, en prenant comme ses elements des coefficients de ƒÌi, ki, i, des e

quations