Géométrie, L2 Mathématiques · 4 CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE La proposition...

Géométrie, L2 Mathématiques

Rachid Regbaoui

Chapitre 1

Géométrie affine plane

1.1 Plan affine

L’ensemble R2 sera muni de sa structure naturelle d’espace vectoriel réel, i.e pour tout

(x1, x2), (y1, y2) ∈ R2 et λ ∈ R, on a

(x1, x2) + (y1, y2) = (x1 + y1, x2 + y2) et λ(x1, x2) = (λx1, λx2).

Un vecteur de R2 sera noté par une lettre surlignée d’une flèche. Ainsi un vecteur u = (x, y) ∈ R

2

sera noté −→u . Le vecteur nul (0, 0) sera noté par−→0 . On rappelle que deux vecteurs −→u et −→v sont

dits colinéaires (ou parallèles) s’il existe une constante λ ∈ R telle que −→u = λ−→v ou −→v = λ−→u .Dans ce cas note −→u ‖ −→v .

Définition 1.1.1. Un plan affine est la donnée d’un ensemble E et d’une application ϕ : E×E →R

2 associant à chaque (A, B) ∈ E × E un vecteur ϕ(A, B) ∈ R2 noté

−−→AB vérifiant les deux

conditions suivantes :

1) pour tout A, B, C ∈ E, on a−−→AB =

−→AC +

−−→CB ( Relation de Chasles)

2) pour tout A ∈ E et tout −→u ∈ R2, il existe un unique point B ∈ E tel que

−−→AB = −→u .

Les conditions (1) et (2) dans la définition précédente sont appelées les axiomes de la géométrieaffine. Dans la condition (2) on dit que le point B est le translaté du point A par le vecteur −→u(voir figure 1). Par abus de langage l’ensemble E est appelé plan affine et ses éléments sontappelés points.

−→u

Figure 1 :−→AB = −→u

b

A

b

B

1

2 CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE

Exemples

1) On prend E = R2 et on définit ϕ(A, B) = B − A pour tout (A, B) ∈ E × E.

2) Soit E =]0, +∞[×]0, +∞[ et on définit ϕ : E → R2 par ϕ(A, B) = lnB − lnA, où l’on a

utilisé la notation ln(x, y) = (ln x, ln y).

La proposition suivante donne quelques propriétés qui découlent directement de la définition1.1.1.

Proposition 1.1.1. Soit E un plan affine. Pour tout A, B ∈ E, on a

1)−−→AB =

−→0 si et seulement si A = B.

2)−−→AB = −

−−→BA.

Démonstration. 1) Montrons tout d’abord que pour tout A ∈ E, on a−→AA =

−→0 . Par la relation

de Chasles on a−→AA = 2

−→AA ce qui implique

−→AA =

−→0 . Supposons maintenant que

−−→AB =

−→0 .

D’après le deuxième axiome de la géométrie affine ( condition (2) dans la définition 1.1.1) il existe

un unique point B ∈ E vérifiant−−→AB =

−→0 , et comme le point A vérifie

−→AA =

−→0 d’après ce qui

précéde, on a donc A = B par unicité. Pour démontrer la relation (2) de la proposition il suffit

de remarquer que−−→AB = −

−−→BA si et seulement si

−−→AB +

−−→BA =

−→0 ce qui est équivalent à

−→AA =

−→0

par la relation de Chasles. La proposition 1.1.1 est donc démontrée.

Définition 1.1.2. Soit E un plan affine, et soit D un sous-ensemble de E. On dit que D estune droite affine (ou droite) si il existe un point A ∈ D et un vecteur non nul −→u ∈ R

2 tel que

D ={

M ∈ E :−−→AM ‖ −→u

}

.

Dans ce cas on dit que −→u est un vecteur directeur de D.

Remarque 1.1.1. On peut vérifier facilement en utilisant la définition précédente que si D estune droite de vecteur directeur −→u , alors pour tout A ∈ D, on a

D ={

M ∈ E :−−→AM ‖ −→u

}

.

Remarque 1.1.2. Si −→u est un vecteur directeur d’une droite D, alors tout vecteur non nulcolinéaire à −→u est aussi vecteur directeur de D.

Définition 1.1.3. On dit que deux droites D1 et D2 sont parallèles si elles sont confondues ousi D1 ∩ D2 = ∅. Dans ce cas on note D1 ‖ D2.

Proposition 1.1.2. Deux droites du plan affine sont parallèles si et seulement si elles ont unmême vecteur directeur.

Démonstration. On peut supposer que D1 6= D2 (sinon la proposition serait triviale). Supposonsque D1 ‖ D2, i.e, D1∩D2 = ∅, et soient −→u1 , −→u2 des vecteurs directeurs de D1 et D2 respectivement.On veut montrer que −→u1 ‖ −→u2. Supposons le contraire, alors {−→u1,

−→u2} serait une base de R2. Soit

maintenant A1 ∈ D1 et A2 ∈ D2. Il existe donc deux réels λ1 et λ2 tels que

−−−→A1A2 = λ1

−→u1 + λ2−→u2. (1.1)

1.1. PLAN AFFINE 3

D’après le deuxième axiome de la géométrie affine, il existe un unique point M ∈ E tel que

−−−→A1M = λ1

−→u1. (1.2)

On a par la relation de Chasles−−−→A2M =

−−−→A2A1 +

−−−→A1M

ce qui implique en utilisant les relations (1.1) et (1.2) que

−−−→A2M = −λ2

−→u2. (1.3)

Il est clair que la relation (1.2) implique que M ∈ D1 et la relation (1.3) implique que M ∈ D2,contredisant ainsi le fait que D1 ∩ D2 = ∅. Nous avons donc montré que −→u1 ‖ −→u2. Supposonsmaintenant que D1 et D2 ont un même vecteur directeur −→u et montrons que D1 ‖ D2. Pourcela supposons qu’il existe A ∈ D1 ∩ D2. On a ainsi par définition d’une droite (en utilisant laremarque 1.1.1) que

D1 ={

M ∈ E :−−→AM ‖ −→u

}

etD2 =

{

M ∈ E :−−→AM ‖ −→u

}

c’est à dire que D1 = D2. Ceci termine la preuve de la proposition.

Proposition 1.1.3. Soit E un plan affine. Alors pour tout A ∈ E et tout vecteur non nul−→u ∈ R

2, il existe une unique droite D passant par A et ayant −→u comme vecteur directeur.

Démonstration. Considérons l’ensemble suivant

D ={

M ∈ E :−−→AM ‖ −→u

}

.

Par définition d’une droite D est une droite passant par A et ayant −→u comme vecteur directeur.Si D′ est une autre droite passant par A ayant −→u comme vecteur directeur, alors il existe A′ ∈ D′

tel que

D′ ={

M ∈ E :−−→A′M ‖ −→u

}

.

Comme A′ ∈ D′, on a−−→AA′ ‖ −→u , ce qui implique en utilisant la définition de D et D′ que D = D′.

−→u

D

Figure 2 : droite D passant par A et de vecteur directeur −→u

b

A


La proposition précédente a pour conséquence le corollaire suivant :

Corollaire 1.1.1. Soit D une droite d’un plan affine E, et soit A un point n’appartenant pas àD. Alors il existe une unique droite passant par A et parallèle à D.

Proposition 1.1.4. Soient A et B deux points distincts d’un plan affine E. Alors il existe uneunique droite affine passant par A et B. Cette droite sera notée (AB).

Démonstration. Remarquons tout d’abord que si une telle droite existe, elle doit avoir−−→AB comme

vecteur directeur. On en déduit qu’une telle droite, si elle existe, est unique d’après la proposition1.1.3. Soit maintenant D l’ensemble défini par

D ={

M ∈ E :−−→AM ‖

−−→AB

}

.

Il est clair que D est une droite affine passant par A et B. La preuve de la proposition estcomplète.

Etant donnée une famille de points d’un plan affine, on dit que de tels points sont alignés s’ilexiste une droite affine les contenant. D’après la proposition précédente deux points quelconquesd’un plan affine sont toujours alignés. Cette propriété n’est plus vraie en général lorsqu’il s’agitd’au moins trois points.

Définition 1.1.4. Soient A et B deux points d’un plan affine E. On appelle segment d’etrémitéA et B l’ensemble noté [A, B] défini par

[AB] ={

M ∈ E : ∃t ∈ [0, 1],−−→AM = t

−−→AB

}

.

Figure 3 : segment [AB]

b

A

b

B

Définition 1.1.5. Une partie A ⊂ E est dite convexe si pour tout A, B ∈ A, on a [AB] ⊂ A.

Exemples

Le plan affine E est convexe. Tout segment de E est convexe. Toute droite affine est convexe.Un ensemble fini constitué d’au moins deux points n’est jamais convexe. Une droite privé d’unpoint n’est pas convexe.

1.1. PLAN AFFINE 5

b

Ab

Bb

A

b B

Figure 4 : Ensemble non convexe Figure 5 : Ensemble convexe

Définition 1.1.6. Soit [AB] un segment. On appelle milieu de [AB] l’unique point I de [AB]

vérifiant−→AI =

−→IB = 1

2

−−→AB.

b

A

b

B

b

I

Figure 6 : Milieu I d’un segment [AB]

Nous avons aussi la notion d’une demi-droite.

Définition 1.1.7. Soit A un point de E et soit −→u ∈ R2 un vecteur non nul. On appelle demi-

droite d’origine A et de vecteur directeur −→u l’ensemble

{

M ∈ E : ∃t ≥ 0,−−→AM = t−→u

}

.

Dans la suite, on utilisera les notations suivantes pour des droites et demi-droites. Si A ∈ E

et −→u ∈ R2 est un vecteur non nul, on notera par D(A,−→u ) la droite affine passant par A et de

vecteur directeur −→u . On notera par D+(A,−→u ) la demi-droite d’origine A et de vecteur directeur−→u . De même, on notera par D−(A,−→u ) la demi-droite d’origine A et de vecteur directeur −−→u .Nous avons ainsi :

D(A,−→u ) = D+(A,−→u ) ∪ D−(A,−→u ) et D+(A,−→u ) ∩D−(A,−→u ) = {A} .

La notion de demi-droite permet de définir la notion de secteur :

Définition 1.1.8. Soient D1 et D2 deux demi-droites de même origine O et de vecteurs directeurs−→u1 et −→u2 respectivement. On appelle secteur délimité par D1 et D2 l’ensemble noté S(D1,D2) définipar

S(D1,D2) ={

M ∈ E : ∃t1, t2 ≥ 0,−−→OM = t1

−→u1 + t2−→u2

}

.


b

O

D1

D2

S(D1,D2)

Figure 7 : Secteur S(D1,D2) délimité par D1 et D2

Exercice 1.1.1. Montrer que deux droites affines distinctes sont parallèles ou elles sont sécantesen un point unique (elles se coupent en un point unique).

1.2 Repère affine, mesure algébrique

Dans toute la suite, E désignera un plan affine.

Définition 1.2.1. Un repère affine de E est la donnée d’un point O ∈ E, appelé origine durepère, et d’une base { −→e1 ,

−→e2 } de R2. On note par { O,−→e1 ,

−→e2 } ce repère.

Comme { −→e1 ,−→e2 } est une base de R

2, pour tout point M ∈ E, il exsite un unique couple(x, y) ∈ R

2 tel que−−→OM = x−→e1 + y−→e2 .

Les nombres x et y sont appelés les coordonnées du point M dans le repère { O,−→e1 ,−→e2 }.

Soit D une droite affine de E et soit { O,−→e1 ,−→e2 } un repère affine. Soit A un point de D decoordonnées (x0, y0) et soit −→u = a−→e1 + b−→e2 ∈ R

2 un vecteur directeur de D. Un point M ∈ E

de coordonnées (x, y) appartient à D si et seulement si−−→AM ‖ −→u , c’est à dire si et seulement s’il

existe λ ∈ R tel que−−→AM = λ−→u , ce qui est équivalent à

b(x − x0) − a(y − y0) = 0.

Cette dernière équation s’appelle équation cartésienne de la droite D dans le repère { O,−→e1 ,−→e2 }.Inversement, il est facile de montrer que tout ensemble constitué des points M du plan affine decoordonnées (x, y) vérifiant une équation de la forme

ax + by + c = 0,

où a, b, c sont des constantes réelles, est une droite affine.

En utlisant l’équation d’une droite on peut définir la notion d’un demi-plan affine.

1.2. REPÈRE AFFINE, MESURE ALGÉBRIQUE 7

Définition 1.2.2. Soit D une droite affine de vecteur directeur −→u . Soit O un point de D et−→v ∈ R

2 un vecteur non nul tel que l’ensemble { O,−→u ,−→v } forme un repère du plan affine E. Pourun point M ∈ E on désigne par (x, y) ces coordonnées cartésiennes dans le repère { O,−→u ,−→v }.Les deux ensembles

E+ = { M ∈ E : y > 0 } et E− = { M ∈ E : y < 0 }

s’appellent demi-plans affines déterminés par la droite D. On a ainsi E = D ∪ E+ ∪ E− etE+ ∩ E− = ∅.

Remarque 1.2.1. On peut démontrer (voir exercice 1.2.2 ci-dessous) que les demi-plans E+ etE− définis ci-dessus ne dépendent pas du choix du point O ∈ D ni des choix des deux vecteurs−→u et −→v .

Définition 1.2.3. Soit Dune droite affine et soit −→u un vecteur directeur de D. Soient A, B ∈ D,on appelle mesure algébrique du vecteur

−−→AB relativement à −→u l’unique nombre réel λ vérifiant

−−→AB = λ−→u . Ce nombre sera noté AB

En utilisant la relation de Chasles, on vérifie facilement que si A, B, C sont trois points alignésde E, alors AB = AC + CB.

Remarque 1.2.2. Etant donnés deux points A et B d’une droite affine D, la mesure algébriquedu vecteur

−−→AB dépent du choix du vecteur directeur −→u de D.

Proposition 1.2.1. Soient D1 et D2 deux droites parallèles de E, soient A, B deux point de D1

et soient C, D deux points de D2 (avec C 6= D). Soit −→u un vecteur directeur des deux droites D1

et D2. Alors le rapport

AB

CD

est indépendant du vecteur directeur −→u .

Démonstration. Conséquence directe de la définition.

Lorsque D1 = D2 dans la proposition précédente on obtient le corollaire suivant :

Corollaire 1.2.1. Soient A, B, C, D quatre points d’une droite affine D tels que C 6= D. Alorsle rapport

AB

CD

est indépendant du choix du vecteur directeur de D.

La proposition suivante permet d’introduire la notion de barycentre.


Proposition 1.2.2. Soit A1, A2, ..., An une famille de points de E et soit a1, a2, ..., an une famillede nombres réels tels que a1 + a2 + · · · + an 6= 0. Alors il existe un unique point G ∈ E tel que

a1

−−→GA1 + a2

−−→GA2 + · · · + an

−−→GAn =

−→0 .

Le point G s’appelle barycentre du système pondéré

{(A1, a1), (A2, a2), ..., (An, an)} .

Démonstration. Fixons un point O ∈ E. On a pour tout G ∈ E,

a1

−−→GA1 + a2

−−→GA2 + · · ·+ an

−−→GAn = (a1 + a2 + · · ·+ an)

−−→GO + a1

−−→OA1 + a2

−−→OA2 + · · ·an

−−→OAn. (2.1)

Par le deuxième axiome de la géométrie affine il exsite un unique point G ∈ E tel que

−−→OG =

1

a1 + a2 + · · · + an

(

a1

−−→OA1 + a2

−−→OA2 + · · · an

−−→OAn

)

. (2.2)

Il découle de (2.1) et (2.2) que

a1

−−→GA1 + a2

−−→GA2 + · · · + an

−−→GAn =

−→0

ce qui prouve la proposition.

Lorsque a1 = a2 = · · · = an dans la proposition précédente, on dit que G est l’isobarycentre(ou centre de gravité) des points A1, A2, ..., An.

Définition 1.2.4. On appelle base affine d’un plan affine E toute famille de trois points {A, B, C}non alignés de E.

Remarque 1.2.3. Il est facile de voir que si {A, B, C} est une base de E, alors {A,−−→AB,

−→AC}

est un repr̀e affine.

Dans le cas d’une base affine La proposition précédente admet une réciproque :

Proposition 1.2.3. Soit {A, B, C} une base affine de E. Alors pour tout M ∈ E, il existe troisnombres réels a, b, c tels que M soit le barycentre du système pondéré

{(A, a), (B, b), (C, c)} .

De plus le triplet (a, b, c) est unique à une constante multiplicative près. Les nombres a, b, c s’ap-pellent coordonnées barycentriques du point M dans la base affine {A, B, C}. Lorsqu’on imposela condition a + b + c = 1, on dit que ces coordonnées barycentriques sont normalisées .

Démonstration. Comme {A, B, C} est une base affine, alors {A,−−→AB,

−→AC} est un repère affine.

Soit M ∈ E, et soit x, y les coordonnées de M dans le repère précédent. On a alors−−→AM =

x−−→AB +y

−→AC = x(

−−→AM +

−−→MB)+y(

−−→AM +

−−→MC) = (x+y)

−−→AM +x

−−→MB +y

−−→MC, ce qui implique que

M est le barycentre du sytème pondéré {(A, a), (B, b), (C, c)}, avec a = 1 − x − y, b = x, c = y.

1.3. QUELQUES FIGURES DU PLAN AFFINE 9

Soit maitenant a, b, c ∈ R avec a + b + c 6= 0 tel que M soit le barycentre du système pondéré{(A, a), (B, b), (C, c)}, c’est à dire que l’on a

a−−→MA + b

−−→MB + c

−−→MC =

−→0 .

Soit λ = a + b + c et soit a′ = a

λ, b′ = b

λ, c′ = c

λ. On a alors d’après ce qui précéde,

a′−−→MA + b′−−→MB + c′

−−→MC =

−→0 ,

et comme par la relation de Chasles on a−−→MB =

−−→MA +

−−→AB et

−−→MC =

−−→MA +

−→AC, on obtient

(a′ + b′ + c′)−−→MA + b′

−−→AB + c′

−→AC =

−→0 ,

ce qui donne, puisque a′ + b′ + c′ = 1,

−−→AM = b′

−−→AB + c′

−→AC

c’est à dire que b′ = x et c′ = y (les coordonnées du point M dans le repère {A,−−→AB,

−→AC} ).

Ainsi on a montré que

(a, b, c) = λ(1 − x − y, x, y).

La démonstration de la proposition est ainsi complète.

Exercice 1.2.1. (segment d’or) Soit [A, B] un segment de E. Trouver un point M ∈ [A, B] telque

AM

AB=

MB

AM.

Exercice 1.2.2. Soient D une droite de E, O, O′ ∈ D, −→u1,−→u2 deux vecteurs directeurs de D et

−→v1 ,−→v2 ∈ R

2 tels que { O,−→u1,−→v1} et { O,−→u2,

−→v2} soient des repères affines. On désigne par E+

1 , E−

1

les deux demi-plans déterminés par la droite D (comme défini ci-dessus )lorsqu’on utlise le repère{ O,−→u1,

−→v1}. De même, on définit E+

2 , E−

2 lorsqu’on utlise le repère { O,−→u2,−→v2}. Démontrer que

l’on a E+

1 = E+

2 et E−

1 = E−

2 , ou E+

1 = E−

2 et E−

1 = E+

2 .

1.3 Quelques figures du plan affine

Définition 1.3.1. Dans un plan affine E un triangle ABC est la donnée de trois points A, B, C

et de trois segments [AB], [BC], [CA]. Les points A, B, C s’appellent les sommets du triangle, etles segments [AB], [BC], [CD] les côtés du triangle. Lorsque les points A, B, C sont alignés ondit que le triangle est plat.

Remarque 1.3.1. Un triangle est complètement déterminé par la donnée de ces sommets. Au-trement dit, étant donnés trois points A, B, C, il existe un seul triangle ayant A, B, C commesommets. Comme on le verra plus loin, cette propriété n’est pas vraie pour les quadrilatères d’unefaçon générale.


Soit ABC un triangle non plat et soit SA le secteur délimité par les deux demi-droites d’origineA et de vecteurs directeurs

−−→AB et

−→AC. On définit de la même façon les deux secteurs SB et SC .

On appelle intérieur du triangle ABC l’ensemble SA∩SB ∩SC = SA∩SB = SA∩SC = SB ∩SC .Souvent dans la pratique on inclut l’intérieur du triangle avec le triangle.

bB

bA

b C

Figure 8 : Intérieur d’un triangle ABC

Remarque 1.3.2. Comme on peut facilement le vérifier, un triangle (avec intérieur inclus) estun ensemble convexe.

Définition 1.3.2. Dans un plan affine E un quadrilatère ABCD est la donnée de quatre pointsA, B, C, D et de quatre segments [AB], [BC], [CD], [DA]. Les points A, B, C, D s’appellent lessommets du quadrilatère, et les segments [AB], [BC], [CD], [DA] s’appellent les côtés du quadri-latère. Lorsque les sommets d’un quadrilatère sont alignés on dit qu’il est plat. Si au moins troissommets sont alignés, on dit que le quadrilatère est dégénéré.

Remarque 1.3.3. D’après la définition précédente, l’ordre dans lequel est noté un quadrila-tère est important car il détermine les sommets et les côtés. Ainsi le quadrilatère ABCD et lequadrilatère ABDC sont distincts même s’ils ont les mêmes sommets. Contrairement aux tri-angles, un quadrilatère n’est pas déterminé par la donnée de ses sommets. Etant donnés quatrepoints A, B, C, D, il existe plusieurs quadrilatères ayant A, B, C, D comme sommets (voir figure8 ci-dessous).

b

A

b

Bb

C

b D

b

A

b

Bb

C

b D

Figure 9 : Deux quadrilatères distincts avec les mêmes sommets

Quadrilatère ABCD Quadrilatère ABDC


Définition 1.3.3. Une diagonale d’un quadrilatère est un segment reliant deux sommets duquadrilatère et qui n’est pas un côté du quadrilatère. Ainsi les diagonales du quadrilatr̀e ABCD

sont les segments [AC] et [BD]. Celles du quadrilatère [ABDC] sont [AD] et [BC].

Deux sommets d’un quadrilatère sont dits consécutifs s’ils appartiennent à un même côté. Demême, deux côtés sont dits consécutifs s’ils ont un sommet en commun. Ainsi dans le quadrilatèreABCD les sommets A et B sont consécutifs, mais pas les sommets A et C. De même, les côtés[AB] et [BC] sont consécutifs, mais pas les côtés [AB] et [CD]. Un quadrilatère dont deuxcôtés non consécutifs sont sécants ( i.e d’intersection non vide ) est dit croisé. Par exemple lequadrilatère de droite dans la figure 9 ci-dessus est croisé, celui de gauche ne l’est pas.

Contrairement aux triangles, la définition de l’intérieur d’un quadrilatère est plus complexecompte tenu des différentes configurations que peut avoir un quadrilatère. Pour cela, nous avonsbesoin de fixer quelques notations. Soit Q = ABCD un quadrilatère et soit SA le secteur délimitépar les deux demi-droites d’origine A et de vecteurs directeurs

−−→AB et

−−→AD. On définit de la même

façon les secteurs SB, SC et SD. On définit les ensembles QA,QB,QC ,QD comme suit

QA =

SA ∩ SB ∩ SD si SA ∩ SB ∩ SD 6⊂ Q

(SA ∩ SB) ∪ (SA ∩ SD) sinon

QB =

SB ∩ SA ∩ SC si SB ∩ SA ∩ SC 6⊂ Q

(SB ∩ SA) ∪ (SB ∩ SC) sinon

QC =

SC ∩ SB ∩ SD si SC ∩ SB ∩ SD 6⊂ Q

(SC ∩ SB) ∪ (SC ∩ SD) sinon

QD =

SD ∩ SA ∩ SC si SD ∩ SA ∩ SC 6⊂ Q

(SD ∩ SA) ∪ (SD ∩ SC) sinon

L’intérieur du quadrilatère Q est l’ensemble noté I(Q), défini par

I(Q) = QA ∪ QB ∪ QC ∪ QD.


bA

bB

b C

b D bA

bB

b C

b

D

bA

bB

bC

b D

Figure 10 : Intérieur d’un quadrilatère ABCD dans différentes configurations

Dans la pratique on inclut l’intérieur d’un quadrilatère avec le quadrilatère. On dit qu’unquadrilatère est convexe s’il est (en incluant son intérieur) un ensemble convexe selon la définitiondonnée dans le paragraphe précédent. Nous avons la caractérisation suivante des quadrilatèresconvexes :

Proposition 1.3.1. Un quadrilatère est convexe si et seulement si pour chaque droite conte-nant un côté du quadrilatère, ce dernier se trouve entièrement dans l’un des deux demi-plansdéterminés par cette droite.

Démonstration. Exercice à faire en TD.

b

A

b

Bb

C

b D

b

A

b B

b

C

b D

Figure 11 : Quadrilatère convexe Figure 12 : Quadrilatère non convexe et non croisé

Il découle directement de la définition qu’un quadrilatère convexe n’est jamais croisé. Unquadrilatère peut être non croisé et non convexe (Figure 12 ci-dessus).

Définition 1.3.4. Un parallélogramme est un quadrilatère dans lequel les droites contenant lescôtés non consécutifs sont parallèles. Plus précisément, un quadrilatère ABCD est un parallélo-gramme si (AB) ‖ (CD) et (BC) ‖ (AD).


b b

bb

DC

BA

Figure 13 : Prallélogramme ABCD

Nous avons les caractérisations suivantes des parallélogrammes :

Proposition 1.3.2. Soit ABCD un quadrilatère non plat. Les propriétés suivantes sont équi-valentes :

1) ABCD est un prallélogramme.

2)−−→AB =

−−→DC.

3)−−→BC =

−−→AD.

4) Les diagonales [AC] et [BD] ont le même milieu.

Démonstration. Montrons que (1) =⇒ (2). Supposons que ABCD est un paraléllogramme. On

a alors (AB) ‖ (CD) et (AD) ‖ (BC). On en déduit que−−→DC = λ

−−→AB et

−−→BC = µ

−−→AD pour

λ, µ ∈ R. D’autre part, on a par la relation de Chasles,−−→AB =

−−→AD +

−−→DC +

−−→CB, ce qui implique

−−→AB =

−−→AD + λ

−−→AB − µ

−−→AD, c’est à dire :

(1 − λ)−−→AB + (µ − 1)

−−→AD =

−→O.

Mais les deux vecteurs−−→AB et

−−→AD sont linéairement indépendants car le quadrilatère ABCD est

supposé non plat. On en déduit que λ = 1 et µ = 1. Comme−−→DC = λ

−−→AB, on a donc

−−→DC =

−−→AB.

Monronquons (2) =⇒ (3). Supposons que−−→DC =

−−→AB. On a par la relation de Chasles,

−−→BC =

−−→BA +

−−→AD +

−−→DC =

−−→BA +

−−→AD +

−−→AB =

−−→AD.

Montrons que (3) =⇒ (4). Supposons que−−→BC =

−−→AD. Soient I et J les milieux respectifs de

[AC] et [BD]. On a alors−→AI =

1

2

−→AC =

1

2

(

−−→AD +

−−→DC

)

(3.1)

et−→BJ =

1

2

−−→BD =

1

2

(

−−→BC +

−−→CD

)

=1

2

(

−−→AD +

−−→CD

)

. (3.2)

D’autre part, on a par la relation de Chasles,−→AJ =

−−→AB+

−→BJ, ce qui donne en utilisant la relation

(3.2),−→AJ =

−−→AB +

1

2

(

−−→AD +

−−→CD

)

. (3.3)

En faisant la différence entre (3.1) et (3.3) on obtient

−→JI =

−→AI −

−→AJ =

−−→DC +

−−→BA =

−−→DB +

−−→BC +

−−→BD +

−−→DA =

−−→BC +

−−→DA =

−→0 ,


ce qui donne I = J .Montrons que (3) =⇒ (4). Soient I et J les milieux respectifs de [AC] et [BD] et supposons

que I = J . On a par définition

−→AI =

1

2

−→AC =

1

2

(

−−→AD +

−−→DC

)

et−→BI =

−→BJ =

1

2

−−→BD =

1

2

(

−−→BA +

−−→AD

)

.

En faisant la différence entre les deux dernières équations, on a

−−→AB =

−→AI −

−→BI =

1

2

−−→AB +

1

2

−−→DC,

ce qui donne−−→AB =

−−→DC et donc (AB) ‖ (CD). On a par la relation de Chasles,

−−→BC =

−−→BA +

−−→AD +

−−→DC =

−−→BA +

−−→AD +

−−→AB =

−−→AD, d’où (BC) ‖ (AD).

La preuve de la proposition est terminée.

Exercice 1.3.1. Etant donnés quatre points A, B, C, D d’un plan affine E, combien de quadri-latères distincts de sommets A, B, C, D peut-on construire ?

1.4 Grands théorèmes de la géométrie affine plane

Dans ce paragraphe nous allons énnoncer et démontrer trois grands théorèmes classiques dela géométrie affine plane. Comme dans les pragraphes précédents, E désignera un plan affine.

Théorème 1.4.1. (Théorème de Thalès 1 ) Soit ABC un triangle non plat de E. Soient B′ unpoint de la droite (AB) et C′ un point de la droite (AC). Alors les droites (BC) et (B′C′) sontparallèles si et seulement si

AB′

AB=

AC′

AC. (4.1)

Dans ce cas chacun des deux rapports précédents est aussi égal àB′C′

BC.

Démonstration. Supposons que (B′C′) ‖ (BC). Alors on a

−−−→B′C′ = λ

−−→BC (4.2)

avec λ ∈ R. Comme B′ ∈ (AB) et C′ ∈ (AC) on a aussi

−−→AB′ = µ

−−→AB et

−−→AC′ = ν

−→AC (4.3)

avec µ, ν ∈ R. D’autre part, on a par la relation de Chasles,

−−−→B′C′ =

−−→AC′ −

−−→AB′. (4.4)

1. Thalès, mathématicien grec, 625-547 av. J.-C.

1.4. GRANDS THÉORÈMES DE LA GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE 15

En remplaçant (4.2) et (4.3) dans (4.4), on obtient

λ−−→BC = ν

−→AC − µ

−−→AB

et comme par la relation de Chales on a−−→BC =

−→AC −

−−→AB, on en déduit que

λ−→AC − λ

−−→AB = ν

−→AC − µ

−−→AB

c’est à dire

(λ − µ)−→AC + (λ − ν)

−−→AB =

−→0

ce qui implique λ − µ = 0 et λ − ν = 0 car les deux vecteurs−−→AB et

−→AC sont linéairement

indépendants puisque le triangle ABC est supposé non plat. Ainsi nous avons démontré queµ = ν = λ. Mais par définition on a

µ =AB′

AB, ν =

AC′

AC, λ =

B′C′

BC.

La première partie du théorème est donc démontré. Supposons maitenant que la relation (4.1)du théorème est vérifiée et montrons que (B′C′) ‖ (BC). Posons

λ =AB′

AB=

AC′

AC.

On donc−−→AB′ = λ

−−→AB et

−−→AC′ = λ

−→AC

D’autre part, par la relation de Chasles on a

−−−→B′C′ =

−−→AC′ −

−−→AB′ = λ

−→AC − λ

−−→AB = λ

−−→BC

c’est à dire que−−−→B′C′ ‖

−−→BC. La démonstration du théorème est complète.

B

A

C

bB′ b C′

B

A

C

b B′bC′

Figure 14 : Illustration du théorème de Thalès


Remarque 1.4.1. Dans le théorème de Thalès les points B′ et C′ sont quelconques sur lesdroites (AB) et (AC) respectivement. En particulier, ces points peuvent être en dehors des côtésdu triangle ABC (voir figure 14 ci-dessus).

Théorème 1.4.2. (Théorème de desargues 2) Soient ABC et A′B′C′ deux triangles non platsd’un plan affine E tels que A 6= A′, B 6= B′, C 6= C′. Si (AB) ‖ (A′B′), (BC) ‖ (B′C′) et(CA) ‖ (C′A′), alors les droites (AA′), (BB′) et (CC′) sont parallèles ou concourantes (i.e ellesse coupent en un point).

Démonstration. Si (AA′), (BB′), (CC′) ne sont pas parallèles, deux d’entre elles, par exemple(AA′) et (BB′) se coupent en un point I. Comme (AB) ‖ (A′B′), on a par le théorème deThalès :

IA′

IA=

IB′

IB= k.

Soit C′′ le point de la droite (IC) tel que

IC′′

IC= k.

Par le théorème de Thalès, il découle de la relation

IA′

IA= k =

IC′′

IC

que (AC) ‖ (A′C′′). De même, par le théorème de Thalès, il découle de la relation

IB′

IB= k =

IC′′

IC

que (BC) ‖ (B′C′′). On en déduit donc que A′C′′ = (A′C′) et (B′C′′) = (B′C′). Ce qui impliqueque C′ = C′′ car (A′C′) ∩ (B′C′) = {C′} et (A′C′′) ∩ (B′C′′) = {C′′}. Ainsi la droite (CC′)passe par I et le théorème est démontré.

2. Girard Desargues, géomètre et architecte français, 1591-1661.


bB

bA

b C

bA′

bI

bB′ b C′

bB

bA

b C

bB′

bA′

b C′

Figure 15 : illustration du théorème de Desargues

Théorème 1.4.3. (Théorème de Pappus 3, première version )Soient D et D′ deux droites dis-tinctes de E. Soient A, B, C trois points distincts sur D \ D′, et A′, B′, C′ trois points distinctssur D′ \ D. Si (AB′) ‖ (BA′) et (BC′) ‖ (CB′), alors on a (CA′) ‖ (AC′).

Démonstration. Supposons que D∩D′ = {I}. Par le théorème de Thalès, puisque (AB′) ‖ (A′B),on a

IA′

IB′=

IB

IA.

De la même façon on a aussi

IB′

IC′=

IC

IB.

Par multiplication de ces deux égalités membres à membres on obtient :

IA′

IC′=

IC

IA,

et le théorème de Thalès implique donc que (AC′) ‖ (A′C). Supposons maintenant que D ‖ D′.Il en découle que les quadrilatères ABA′B′ et BCB′C′ sont des parallélogrammes. Ce qui donne−−→AB =

−−−→B′A′ et

−−→BC =

−−−→C′B′, et par addition, on obtient

−→AC =

−−→C′A′. On en déduit que ACA′C′

est un parallélogramme et le résultat suit.

3. Pappus, mathématicien grec, IVesiècle.


b

Ab

Bb

C D

D′

b

C′

b

B′

b

A′

Figure 16 : Illustraton du théorème de Pappus, première version

bI

bA

b

C′

b

B′

b

A′D′

b

CD

b

B

Figure 17 : Illustraton du théorème de Pappus, première version

Théorème 1.4.4. ( Théorème de Pappus, deuxième version ) Soient D et D′ deux droitesdistinctes d’un plan affine. Soient A, B, C trois points sur D, et soient A′, B′, C′ trois points surD′. On suppose que les droites (AB′) et (A′B) se coupent en un point K, les droites (AC′) et(A′C) se coupent en un point L, et les droites (BC′) et (B′C) se coupent en un point M . Alorsles points K, L, M sont alignés.

Démonstration. On suppose que les droites (A′B) et (B′C) se coupent en un point (A1), lesdroites (B′C) et (AC′) se coupent en un point A2, et les droites (A′B) et (AC′) se coupent enun point A3 (sinon, une application du thèorème de Thalès permettrait de conclure, voir exerciceen TD). En appliquant le thèorème de Ménélaüs (voir Théorème 1.4.5 ci-dessous) au triangle


A1A2A3 et les droites (AC), (A′C′), (BC′), (A′C) et (AB′), on obtient respectivement,

AA3

AA2

BA1

BA3

CA2

CA1

= 1 ,A′A1

A′A3

B′A2

B′A1

C′A3

C′A2

= 1 ,BA3

BA1

MA1

MA2

C′A2

C′A3

= 1,

A′A3

A′A1

LA2

LA3

CA1

CA2

= 1 ,AA2

AA3

KA3

KA1

B′A1

B′A2

= 1.

En multipliant ces cinq équations membres à membres, on obtient la relation

MA1

MA2

LA2

LA3

KA3

KA1

= 1,

ce qui implique grâce au théorème de Ménélaüs (appliqué au triangle A1A2A3 ) que les pointsK, L, M sont alignés.

b

Ab

B b

C

A′

b b

B′

b

C′

bK b

Lb M

Figure 18 : Théorème de Pappus, seconde version

Théorème 1.4.5. ( Théorème de Ménélaüs 4 ) Soit ABC un triangle non plat d’un plan affineet soient trois points K ∈ (AB), L ∈ (BC) et M ∈ (AC), qu’on suppose distincts des sommetsdu triangle. Alors K, L, M sont alignés si et seulement si

KA

KB

LB

LC

MC

MA= 1.

Démonstration. Exercice à faire en TD.

4. Ménélaüs, dit Ménélaüs d’Alexandrie, mathématicien grec, IIe siècle.


b

A

b

B

b C

bK

bL

b

M

Figure 19 : Théorème de Ménélaüs

Exercice 1.4.1. Dans un triangle, on appelle médiane un segment reliant un sommet du triangleau milieu du segment opposé (ne contenant pas ce sommet). Montrer que les trois médianes d’untriangle sont concourantes.

Exercice 1.4.2. (version générale du théorème de Thalès) Soitent D et D′ deux droites distinctesd’un plan affine E. Soient ∆1, ∆2, ∆3 trois droites parallèlles et distinctes de E, qui coupent lesdroites D et D′ respectivement en {A1, A2, A3} et {A′

1, A′

2, A′

3}. Montrer que l’on a

A1A2

A1A3

=A′

1A′

2

A′

1A′

3

.

Inversement, étant données deux droites distinctes D et D′ de E, et trois droites ∆1, ∆2, ∆3

coupant les droites D et D′ respectivement en {A1, A2, A3} et {A′

1, A′

2, A′

3} telles que

A1A2

A1A3

=A′

1A′

2

A′

1A′

3

,

montrer que les droites ∆1, ∆2, ∆3 sont parallèles.

(On distinguera deux cas : D ∩ D′ 6= ∅ et D ∩D′ = ∅. )


∆1

∆2

∆3

D D′

bA1

bA2

bA2′

bA′

1

bA3

bA′

3

Figure 20 : Version générale du théorème de Thalès

Géométrie, L2 Mathématiques · 4 CHAPITRE 1. GÉOMÉTRIE AFFINE PLANE La proposition...

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