3. Perpendiculaires a la droite de Eulerjl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/3... · 2 Le triangle de...

COLLECTION MATHÉMATIQUE

ΣΥΝΑΓΩΓΉ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΉ

AUTOUR

DU

LA DROITE D'EULER

Jean-Louis AYME 1

3.

PERPENDICULAIRES

À

LA DROITE D'EULER

A

B C A'

B'C'

A"

B"

C"

B+

A+

C+

E

Résumé. L'auteur présente une collection de problèmes autour de la droite d'Euler d'un triangle

et dont le contexte se réfère au titre ci-avant. Preuves souvent originales, commentaires et notes historiques accompagnent chaque problème.

Cette collection construite d'une façon linéaire par accumulation se poursuit…

1 St-Denis, Île de la Réunion (Océan Indien, France), le 04/01/2019 ; [email protected]

2

2

Les figures 2 sont toutes en position générale et tous les théorèmes cités peuvent tous être démontrés synthétiquement.

Avertissement. L'auteur rappelle que la vision triangulaire d'un résultat est laissée aux soins du lecteur. Un renvoi comme ''Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de la même section. Un renvoi comme ''12. Problème 5'' signifie que le lecteur se référera au ''Problème 5'' de ''la section 12''. Un foot note précise une origine du problème, une signification ou renvoie à un article de l'auteur.

Abstract. The author presents a collection of problems around the Euler's line of to a triangle and whose context refers to the above title. Often original proof, comments and historical notes accompany each problem.

This linearly collection builts by accumulation continues... The figures are all in general position and all cited theorems can all be demonstrated

synthetically.

Warning. The author recalls that the triangular vision of a result is left to the reader care.

A reference as ''Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of the same section. A reference like ''12. Problem 5'' means that the reader refers to the ''Problem 5'' of ''section 12''. A foot note specifies an origin of the problem, a meaning or refers to an article of the author.

2 Le triangle de départ ABC est acutangle sauf pour des cas de lisibilité des figures…

Sommaire

1. Les perpendiculaires de Schroeter 3 2. Perspectrice des triangles médian et tangentiel 4 3. La perpendiculaire de Griffiths ou l'axe orthique 7 4. Une perpendiculaire 9 5. Une perpendiculaire 12 6. Une perpendiculaire 18 7. Une perpendiculaire 21 8. La perpendiculaire de Li 25 9. La perpendiculaire d'Ayme 28 10. Une perpendiculaire 30 11. La perpendiculaire de Quang Hung 37 12. Une perpendiculaire * une variation du Problème 4 39 13. Une perpendiculaire 41 14. La perpendiculaire d'Ayme 43 15. La perpendiculaire d'Hatzipolakis 45 16. Les perpendiculaires d'Ayme-Koutras 47

3

3

1. LES PERPENDICULAIRES DE SCHROETER 3

Heinrich Eduard Schroeter ou Schröter (1864)

VISION

Figure :

A

B C A'

B'C'

A"

B"

C"

B+

A+

C+

E

Traits : ABC un triangle, A'B'C' le triangle médian de ABC, A"B"C" le triangle orthique de ABC, E la droite d'Euler de ABC et A+, B+, C+ les points d'intersection resp. de (B'C') et (B"C"), (C'A') et (C"A"),

(A'B') et (A"B"). Donné : (AA+), (BB+) et (CC+) sont parallèles entre elles et perpendiculaires à E. Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 4 Scolies : (1) A+B+C+ est le triangle de Schroeter de ABC (2) par définition, A+B+C+ et ABC sont perspectifs. Note historique : ce résultat a été reproposé par Lev Emelyanov 5 en 2005…

3 Schroeter H. E., Question 710, Nouvelles Annales de Mathématiques 2-ème série 3 (1864) 442-443 ; http://www.numdam.org/numdam-bin/feuilleter?j=NAM&sl=0 4 Ayme J.-L., Les deux points de Schroeter, G.G.G. vol. 2, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 5 Emelyanov L., Round 4, O.M. de Russie (2005) Line perpendicular to the Euler line, AoPS du 29/04/2008 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=202496

4

4

2. PERSPECTRICE 6

DES

TRIANGLES MÉDIAN ET TANGENTIEL 7

Serbia 2004

VISION

Figure :

A

B C

C'B'

A'

R

Q

P

Z

Y

X

E

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, A'B'C' le triangle médian de ABC, PQR le triangle tangentiel de ABC et X, Y, Z les points d'intersection resp. de (B'C') et (QR), (C'A') et (RP), (A'B') et (PQ). Donnés : (1) X, Y et Z sont alignés 6 Axe de perspective 7 Geometry Problem (20), AoPS du 19/08/2010 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=362700 perpendicular to the Euler’s line, AoPS du 17/09/2012 ;

http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=498720

5

5

(2) (XYZ) est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

A

B C

O C'

B'

A'

R

Q

P

Z

Y

X

H E

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC et N le milieu de [OH].

• Scolies : (1) E = (ONH) (2) N est le centre du cercle de Bevan-Euler de ABC. • D'après Girard Desargues ''Le théorème de deux triangles'' 8 appliqué aux triangles O-perspectifs PQR et A'B'C', X, Y et Z sont alignés. • Conclusion partielle : (XYZ) est la perspectrice de PQR et A'B'C'.

8 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d’Alexandrie, vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

6

6

A

B C

O C'

B'

A'

R

Q

P

Z

Y

X

H

A*

N

• Notons A*, N les milieux resp. de [AH], [OH]. • Scolie : A* est le A-point d'Euler de ABC • D'après Lazare Carnot ''La relation'', OA' = AA*. • Le quadrilatère AA*A'O étant un parallélogramme, (A'A*) // (OA) ; en conséquence, (A'NA*)⊥ (QR). • Mutatis mutandis, nous montrerions que (B'NB*)⊥ (QR) (C'NA*)⊥ (QR). • Conclusion partielle : (1) O est * le perspector 9 de PQR et A'B'C'

* le pôle d'orthologie de PQR par rapport à A'B'C' (2) N est * le pôle d'orthologie de A'B'C' par rapport à PQR. • Conclusion : d'après Pierre Sondat ''Le théorème'' 10, (XYZ) est perpendiculaire à E.

9 Le centre de perspective 10 Sondat P., Question 38, L'intermédiaire des mathématiciens (1894) 10

Ayme J.-L., Le théorème de Sondat, vol. 1 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., Le théorème de Sondat, Revista Escolar de la Olimpiada Iberoamericana de Matematica (Espagne) 29 (2007) ;

https://www.oei.es/historico/oim/revistaoim/numero29.htm

7

7

3. LA PERPENDICULAIRE DE GRIFFITS

OU

L'AXE ORTHIQUE 11

John Griffiths (1865)

VISION

Figure :

A

B C

R

P

Q

H O

Y

Z

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, PQR le triangle orthique de ABC et X, Y, Z les points d'intersection resp. de (BC) et (QR), (CA) et (RP), (AB) et (PQ). Donnés : (1) X, Y et Z sont alignés (2) (XYZ) est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

11 Griffiths John, Nouvelles Annales de Mathématiques (1865) 322 ; http://www.numdam.org/article/NAM_1865_2_4__320_1.pdf

8

8

A

B C

R

P

Q

H O

Y

Z

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC

et H l'orthocentre de ABC. • Scolies : (1) E = (OH) (2) PQR est le triangle orthique ou H-cévien de ABC. • D'après Girard Desargues ''Le théorème de deux triangles'' 12 appliqué aux triangles H-perspectifs PQR et ABC, X, Y et Z sont alignés. • Conclusion partielle : (XYZ) est la perspectrice de PQR et A'B'C' ou l'axe orthique de ABC.

12 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d’Alexandrie, vol. 6, p. 40 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

9

9

4. UNE PERPENDICULAIRE 13

VISION

Figure :

A

B C

H R

P

Q

K

L

1b

1c

E

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, H l'orthocentre de ABC, PQR le triangle orthique de ABC, 1b, 1c les cercles de diamètre resp. [BH], [CH] et K, L les seconds points d'intersection resp. de (DE) et 1b, (DF) et 1c. Donné : (KL) est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

13 Nice perpendicular, AoPS du 13/08/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=548672

10

10

A

B C

H R

P

Q

K

L

O

1b

1c

E

N

1

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC 1 le cercle d'Euler de ABC et N le centre de 1. • Scolies : (1) E = (OH) (2) 1 est le cercle circonscrit à PQR

(3) N est le milieu de [OH] • Les cercles 1c et 1b, les points de base H et P, les moniennes (QHB) et (LPR), conduisent au théorème 0 de Reim ; il s’en suit que (QL) // (BR). • D'après Philippe Naudé 14, H est le centre de PQR. • Par une chasse angulaire, nous montrerions que (1) le triangle QRK est Q-isocèle (2) le triangle RQL est R-isocèle. • Conclusion : d'après ''Une perpendiculaire à (OI) '' 15

appliqué à PQR, (KL) est perpendiculaire à E.

14 Naudé P., Miscellana Besolinensia 5 (1737) 17 15 Ayme J.-L., Deux segments égaux…, G.G.G. vol. 6, p. 23-25 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

11

11


China Hong Kong Mathematical Olympiad

CHKMO 2014

VISION

Figure :

A

B C

F

E

D

1b

1c

E

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, 1b le cercle tangent à (BC) en B,

E le second point d'intersection de 1b avec (AC), 1c le cercle tangent à (BC) en C, F le second point d'intersection de 1c avec (AB)

et D le second point d'intersection de (FE) et (BC). Donné : (AD) est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

A

B C

D'

O

H E

B'C'

Q

R

A*

16 AF perpendicular to Euler line, AoPS du 08/02/2015 ; https://artofproblemsolving.com/community/c6h624551

12

12

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC,

H l'orthocentre de ABC, A'B'C' le triangle médian de ABC, PQR le triangle orthique de ABC, A+ le point d'intersection de (QR) et (B'C'), et D' le point d'intersection de (AA*) et (BC).

• Scolie : E = (OH) • D'après Problème 1, (AA*) ⊥ E. • Conclusion partielle : (AD') est perpendiculaire à E.

A

B C

D'

O

H E

Q

R

A*Y

Z

1a

• Notons Pd' la parallèle à (QR) issue de D' et Y, Z les points d'intersection de Pd' resp. avec (AC), (AB). • (QR) étant antiparallèle à (BC) relativement à (AC) et (AB), par parallélisme, (YZ) est l'est aussi ; en conséquence, Z, B, C et Y sont cocycliques. • Notons 1a ce cercle.

13

13

A

B C

D'

H E

C'

Q

R

A* Y

Z

1a

• D'après Thalès de Milet 17 appliqué aux triangles A-perspectif C'A*Q et BD'Y, (C'Q) // (BY). • Le triangle C'QA étant C'-isocèle, le triangle BYA est B-isocèle.

A

B C

D'

H

E

R

Y

Z

1a

• Les angles <BHC et BYC ayant pour supplément <BAC, sont égaux ; en conséquence, H est sur 1a.

17 Ayme J.-L., Une rêverie de Pappus d'Alexandrie, G.G.G. vol. 6, p. 6-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

14

14

A

B C

F

D'

H

1c

E

Y

Z 1a

Tc

• Une chasse angulaire : * par ''Le théorème de la tangente (BC) '', <FCB = <BAC * le triangle BYA étant B-isocèle, <BAC = <AYB * le quadrilatère YBAC étant cyclique, <AYB = <CZB * par transitivité de =, <FCB = <CZB * par ''le théorème de la tangente'', (CF) est la tangente à 1a en C. • Notons Tc cette tangente.

15

15

A

B C

F

E

D'

H

1b1c

E

Y

Z 1a

Tb

Tc

• Mutatis mutandis, nous montrerions que (BE) est la tangente à 1a en B. • Notons Tb cette tangente.

16

16

A

B C

F

E

D'

H

1b1c

E

Y

Z 1a

Tb

Tc

• D'après MacLaurin-Pascal ''Tetragramma mysticum'' 18 (FED') est la pascale de l'hexagone dégénéré cyclique SB Tb C Tc B ; en conséquence, D' et D sont confondus.

• Conclusion : (AD) est perpendiculaire à E.

18 MacLaurin Colin, Traité des Fluxions, Appendice (1748) § 36

17

17


VISION

Figure :

A

B C

F

E

D

E

R

P

Q

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, PQR le triangle orthique de ABC, E le point d'intersection de la parallèle à (PQ) issue de B avec (AC), F le point d'intersection de la parallèle à (PR) issue de C avec (AC)

et D le point d'intersection de (FE) et (BC). Donné : (AD) est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

19 perpendicular with Euler line, AoPS du 02/07/2016 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1266283_perpendicular_with_euler_line

18

18

A

B C

E, E'

1b

E

R

P

Q

1

• Notons 1 le cercle de diamètre [AB] ; il passe par P et Q ;

1b le cercle tangent à (BC) en B et E' le second point d'intersection de 1b avec (AC).

• Les cercles 1b et 1, les points de base B et A, les moniennes (BBP) et (E'AQ), conduisent au théorème 3 de Reim ; il s'en suit que (BE') // (PQ) ; par hypothèse, (PQ) // (BE) ; par transitivité de //, (BE') // (BE) ; d'après le postulat d'Euclide d'Alexandrie, (BE') = (BE).

• Conclusion partielle : E' et E sont confondus.

A

B C

F', F

E

1c

E

R

P

Q 2

• Notons 2 le cercle de diamètre [AC] ; il passe par P et R ;

1c le cercle tangent à (BC) en C et F' le second point d'intersection de 1c avec (AB).

• Mutatis mutandis nous montrerions que F' et F sont confondus.

19

19

A

B C

F

E

D

1b

1c

E

• Conclusion : d'après problème 5, (AD) est perpendiculaire à E.

20

20


VISION

Figure :

A

B C

O

H

I

K

X

Z

Traits : ABC un triangle acutangle, O le centre du cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC I, K les milieux resp. de [BC], [AB], X le point d'intersection de la perpendiculaire à (HK) en K avec (BC) et Z le point d'intersection de la perpendiculaire à (HI) en I avec (AB). Donné : (XZ) est perpendiculaire à (OH).

VISUALISATION

20 euler line perpendicular, AoPS du 13/02/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=46&t=520645

21

21

A

B C

O H

I

K

X

Z

R

P T

1c

1a

• Scolie : (OH) est la droite d'Euler de ABC. • Notons PQR le triangle orthique de ABC, 1c le cercle de diamètre [HX] ; il passe par K et P ; 1a le cercle de diamètre [HZ] ; il passe par I et R ; et T le second point d’intersection de 1a avec 1c. • D'après ''Monienne diamétralement brisée'' 21, X, T et Z sont alignés.

• Conclusion partielle : d'après Thalès de Milet ''Triangle inscriptible dans un demi-cercle'', (XZ)⊥ (TH).

21 Ayme J.-L., A propos de deux cercles sécants, G.G.G. vol. 12, p. 20-21 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

22

22

A

B C

O H

I

K

X

Z

R

P T

1c

1a

U

• Notons U le second point d’intersection de ((PR) et (IK). • Conclusion partielle : d'après Problème 1, (UB)⊥ (OH).

23

23

A

B C

O

H

I

K

X

R

P

T

1c

1a

U

N

1

V

• Notons 1 le cercle d'Euler de ABC et N le centre de 1. • Scolies : (1) 1 est le cercle circonscrit à PQR

(2) N est le milieu de [OH]. • D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 22, (TH), (PK) et (RI) sont concourantes. • Notons V ce point de concours. • D'après Philippe de La Hire 23, V est le pôle de (UB) ; en conséquence, (NV)⊥ (UB) ; nous savons que (UB)⊥ (ONH) ; d’après l’axiome IVa des perpendiculaires, (NV) // (OH) d’après le postulat d’Euclide d’Alexandrie, (NV) = (ONH) ; en conséquence, T, V, H, N, O sont alignés. • Conclusion : (XZ) est perpendiculaire à (OH).

22 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 23 Ayme J.-L., La réciprocité polaire, G.G.G. vol. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

24

24

8. LA PERPENDICULAIRE DE LI 24

USA TST 2017 Problem 1

proposed

by

Ray Li

VISION

Figure :

A

B C

M N

F

E

O

H

0 1a

Q

P

Ta

R

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, M, N les milieux resp. de [AB], [AC], E, F les pieds des B, C-hauteurs de ABC, Ta la tangente à 0 en A, P le point d'intersection de Ta et (MN), 1a le cercle circonscrit au triangle AEF, Q le second point d'intersection de 1a et 0, et R le point d'intersection de (AQ) et (EF). Donné : (RP) est perpendiculaire à (HO).

VISUALISATION

24 Line Perpendicular to Euler Line, AoPS du 29/06/2017 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1470016_line_perpendicular_to_euler_line

25

25

A

B C

M N

F

E

O

H

0 1a

Q

P

Ta

R

A'

1

• Notons 1 le cercle de diamètre [BC] ; il passe par E et F. • D'après Gaspard Monge ''Le théorème des trois cordes'' 25 appliqué à 0, 1a et 1, (AQ), (EF) et (BC) sont concourantes en R.

A

B C

M N

F

E

O

H

0 1a

Q

P

Ta

R

A'

X

• Notons A' l'antipôle de A relativement à 0 25 Ayme J.-L., Le théorème des trois cordes, G.G.G. vol. 6 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

26

26

et X le point d'intersection de (AP) et (RBC). • Scolies : (1) [AH] est un diamètre de 1a (2) Q, H et A' sont alignés (3) P, O sont les milieux resp. de [AX], [AA’]. • Une chasse angulaire : * par ''Le théorème de la tangente'', <XAR = <AA'Q * par ''Angles à côtés perpendiculaires'', <AXR = <A'HA.

* les triangles ARX et A'HA sont semblables et à côtés perpendiculaires. • Conclusion : en considérant les points P, O, milieux resp. de [AX], [AA’], (RP) est perpendiculaire à (HO).

27

27

9. LA PERPENDICULAIRE D'AYME 26

Jean-Louis Ayme

VISION

Figure :

A

B C

B'

A'

0

E

Dc

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC, E la droite d'Euler de ABC,

Dc la symétrique de (AB) par rapport à E et A', B' les traces de Dc sur E, B' étant proche de A.

Donné : (BB') est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

A

B C

H R O

B'

A'

0

E

• Notons O le centre du cercle circonscrit à ABC H l'orthocentre de ABC et R le point d'intersection de E et (AB).

• Scolies : (1) E = (OH)

(2) (A'B') passe par R.

26 Ayme J.-L., Perpendicular to the Euler’s line, AoPS du 12/01/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1766821_a_perpendicular_to_the_eulers_line

28

28

• Par symétrie d'axe la droite diamétrale (OH), A' et B' sont sur 0 ; • Conclusion : (BB') est perpendiculaire à E.

29

29


VISION

Figure :

A

B C

E

F

Ma

O

H

Z

Oa

1a

Traits : ABC un triangle acutangle, O le centre du cercle circonscrit à ABC, H l'orthocentre de ABC, Ma la médiatrice de [BC],

E, F les traces de Ma sur (AC), (AB) Z le point d'intersection de la parallèle à (OA) issue de H avec (AC), 1a le cercle circonscrit au triangle EFZ

et Oa le centre de 1a. Donné : (AOa) est perpendiculaire à (OH).

VISUALISATION

• Scolie : (OH) est la droite d'Euler de ABC.

27 Perpendicular to Euler's line, AoPS du 29/11/2013 ; http://www.artofproblemsolving.com/Forum/viewtopic.php?f=47&t=564805 AK is perpendicular to OH, AoPS du 09/08/2020 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h2226600_ak_is_perpendicular_to_oh

30

30

A

B C

E

F

Ma

O

H

Z

Oa

0

A'

T

1

1a

• Notons 0 le cercle circonscrit à ABC A' l'antipôle de A relativement à 0,

et T le second point d'intersection de (A'H) avec 0 • Le cercle 0, les points de base B et T, les moniennes naissantes (ABZ) et (A'TH), les parallèles (AA') et (ZH), conduisent au théorème 0'' de Reim ; en conséquence, B, T, Z et H sont cocycliques. • Notons 1 ce cercle.

31

31

A

B C

E

F

O

H

Z

Oa

T

M

2

Ma

A'

D

0

• Notons M le point d'intersection de Ma et (BC, 2 le cercle de diamètre [NE] ; il passe par M ;

et D le second point d'intersection de la parallèle à Ma issue de A’ avec 0. • Scolies : (1) (AD) // (NC) (2) B, E et D sont alignés. • Le cercle 0, les points de base B et T, les moniennes naissantes (DBE) et (A'TM), les parallèles (DA') et (EM), conduisent au théorème 0' de Reim ; en conséquence, B, T, E et M sont cocycliques. • Notons 2 ce cercle. • Par symétrie d'axe Ma, C, D et F sont alignés.

32

32

A

B C

E

F

O

H

Z

Oa

T

M

2

Ma

A'

D

0 1

1a

• D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 28 appliqué au triangle BMF et aux cercles 1 et 2, 1a passe par T. • D'après Auguste Miquel ''Le théorème du pivot'' 29 appliqué au triangle CMF et aux cercles 0 et 2, 1a passe par D.

28 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 29 Ayme J.-L., Auguste Miquel, G.G.G. vol. 13, p. 4-7 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

33

33

A

B C

E

F

O

H

Z

Oa

T

M

2

Ma

A'

D

0 1

1a

A*

• Notons A* la circumtrace de (AH). • Par symétrie d'axe Ma, A*, O et D sont alignés. • Une chasse angulaire : * par une autre écriture, <EDO = <BDA* * par ''Angles inscrits'', <BDA* = <BAA* * par ''Angles à côtés parallèles'', <BAA* = <BFE * par une autre écriture, <BFE = <AFE * par symétrie d'axe Ma, <AFE = <EFD * par transitivité de =, <EDO = <EFD * en conséquences, (1) (DO) est la tangente à 1a en D

(2) (DO)⊥ (DOa). • Conclusion partielle : 0 est orthogonal à 1a. 30

30 Ayme J.-L., Two orthogonal circles, AoPS du 17/01/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1769289_two_orthogonal_circles

34

34

A

B C

E

F

O

H

Z

Oa

T

M

2

Ma

A'

D

0 1

1a

V

A*

U

• Notons U, V les seconds points d'intersection de (DA'), (DA) avec 1a. • 0 étant orthogonal à 1a, (UV) est une droite diamétrale de 1a, perpendiculaire à (A'A). • Scolies : (1) (TA) passe par U (2) (TA') passe par V (3) (AU) ⊥ (HA').

35

35

A

B C

E

F

O

H

Z

Oa

T

M

Ma

A'

D

0

1a

V

U

• Conclusion : les triangles AUV et HAA' étant à côtés perpendiculaires, Oa, O étant les milieux resp. de [UV], [AA'], (AOa) est perpendiculaire à (OH).

36

36

11. LA PERPENDICULAIRE DE HUNG 31

Tran Quang Hung

VISION

Figure :

A

B C

F-

F+

K

H

O

0

N

1 Y

Z

Sz

Traits : ABC un triangle acutangle, 0 le cercle circonscrit à ABC O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, N le milieu de [OH], 1 le cercle d'Euler de ABC,

F+, F- les deux points de Fermat 32 de ABC, Y le second point d'intersection de la médiatrice de [F+F-] avec 1, Z le symétrique H par rapport à Y

et Sz la droite Simson-Wallace 33 de Z relativement à ABC. Donné : Sz est perpendiculaire à (OH).

VISUALISATION

31 Perpendicular to Euler line, AoPS du 17/06/2015 ;

http://www.artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1102884_perpendicular_to_euler_line 32 Ayme J.-L., La fascinante figure de Cundy, G.G.G. vol. 2, p. 12-14 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ Ayme J.-L., van den Berg , G.G.G. vol. 12, p. 4 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 33 Ayme J.-L., Orthopôle…, G.G.G. vol. 8, p. 8-10 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

37

37

A

B C

F-

F+

K

H

O

0

N

1 Y

F*

Z

Sz

• Scolies : (1) (OH) est la droite d'Euler de ABC (2) (F+F-) est la droite de Neuberg de ABC. • Notons F* le milieu de [F+F-]. • D'après Franciscus J. van den Berg 34, F+ et F- étant deux points jumeaux, F* est sur 1. • Les cercles 1 et 0 étant homothétiques (centre H, rapport 2) 35, Z est sur 0.

34 Ayme J.-L., van den Berg, G.G.G. vol. 12, p. 12-14 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 35 Ayme J.-L., Orthopôle…, G.G.G. vol. 8, p. 15 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

38

38

A

B C

F-

F+

H

O

0

N

1 Y

F*

Z

Sz

Z*

A*

• D'après Modeste Soons 36, l'orthopôle de (OH) relativement à ABC est sur 1 • D'après Jakob Steiner 37, Y milieu de [ZH] est sur Sz ; en conséquence, Y est l'orthopôle de (OH) relativement à ABC. • Notons Z* le second point d'intersection de la perpendiculaire à (BC) issue de Z avec 0 et A* le point d'intersection de (AZ*) avec (OH). • D'après Franz Heinen 38, Sz // (AZ*). • D'après Modeste Soons 39, (YA*) ⊥ (BC) ; en conséquence, (AZ*)⊥ (OH) ; • Conclusion : par parallélisme, Sz est perpendiculaire à (OH).

36 Soons M., Théorème de Géométrie, Mathesis 6 (1896) 57-59 Ayme J.-L., Orthopôle…, G.G.G. vol. 8, p. 15-17 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 37 Steiner J., Annales Mathématiques 18 de Gergonne (1827-28) Ayme J.-L., Orthopôle…, G.G.G. vol. 8, p. 15 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 38 Heinen F., Journal de Crelle 3 (1828) 285-287 Ayme J.-L., Orthopôle…, G.G.G. vol. 8, p. 10-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

Ayme J.-L., 8. Quickie 6, G.G.G. vol. 15, p. 17-18 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/ 39 Soons M., Théorème de Géométrie, Mathesis 6 (1896) 57-59 Ayme J.-L., Orthopôle…, G.G.G. vol. 8, p. 15-17 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

39

39


Une variation du Problème 4

VISION

Figure :

A

B C

H O

0

Y

Z

Y'

Z'

X

Traits : ABC un triangle, E la droite d'Euler de ABC, H l'orthocentre de ABC, XYZ le triangle cirumorthique de ABC, et Y', Z' les symétriques de Y, Z resp. par rapport à (CH), (BH). Donné : (Y'Z') est perpendiculaire à E.

VISUALISATION

40 reflections perpendicular to euler line, AoPS du 0/0/019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6t48f6h1788001_reflections_perpendicular_to_euler_line

40

40

A

B C

H O

0

Y

Z

Y'

Z'

X

P

Q

R

• Notons PQR le triangle orthique de ABC. • D'après Philippe Naudé 41, H est le centre de PQR. • XYZ étant H-homothétique à PQR, H est le centre de XYZ. • Par symétrie, (1) Y' est sur (XZ) (2) Z' est sur (XY). • Conclusion : d'après ''Une perpendiculaire à (OI) '' 42 appliqué à XYZ, (Y'Z') est perpendiculaire à E.

41 1737 42 Ayme J.-L., Deux segments égaux…, G.G.G. vol. 6, p. 23-25 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

41

41


VISION

Figure :

A

B C

H O

M

N

1b1c

1*

0

W

V

Traits : ABC un triangle, 0 le cercle circonscrit à ABC,

O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC,

1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles AHC, AHB, M, N les seconds points d'intersection de 1b avec (AB), 1c avec (AC), 1* le cercle circonscrit au triangle MNH et V, W les points d'intersection de 1* resp. avec (AC), (AB). Donné : (UW) est perpendiculaire à (OH).

VISUALISATION

43 Perpendicular to the Euler’s line, AoPS du 05/03/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1795710_perpendicular_to_the_eulers_line

42

42

A

B C

H O

M

N

1b1c

1*

0

P

Q

R

Z

Y

W

V

• Notons PQR le triangle orthique de ABC et Y, Z les points d'intersection resp. de (CA) et (RP), (AB) et (PQ). • Scolie : (YZ) est l'axe orthique de ABC. • D'après Orthique Encyclopédie 0, problème 14, scolie, 44 (VW) // (YZ). • D'après Problème 3, (YZ) ⊥ (OH) ; en conséquence, (VW)⊥ (OH) ; • Conclusion : (VW) est perpendiculaire à (OH).

44 Ayme J.-L., Orthique 0, G.G.G. vol. 49, p. 35, 38 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

43

43

14. LA PERPENDICULAIRE D'AYME 45

VISION

Figure :

A

B C

H O

M

N

1b1c

1*

0 Y

X


O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC,

1b, 1c les cercles circonscrits resp. aux triangles AHC, AHB, M, N les seconds points d'intersection de 1b avec (AB), 1c avec (AC), 1* le cercle circonscrit au triangle MNH et X, Y les points d'intersection de 1* avec 0. Donné : (XY) est perpendiculaire à (OH).

VISUALISATION

45

44

44

A

B C

H O

M

N

1b1c

1*

0 Y

X

• Notons O* le centre de 1*. • D'après ''7. Points additionnels sur la droite d'Euler, Problème 3'' 46, O* est sur (OH). • Conclusion : (XY) est perpendiculaire à (OO*) i.e. (OH).

46 Ayme J.-L., Sur la droite d'Euler, G.G.G. vol. 48, p. 10-11 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

45

45

15. LA PERPENDICULAIRE D'HATZIPOLAKIS 47

Antreas Hatzipolakis

VISION

Figure :

A

B C

O

A'

A"

H

0

Ha

1a

Oa


O le centre de 0, H l'orthocentre de ABC, Ha la circumtrace de (AH), A' l'antipôle de A relativement à 0,

1a le cercle circonscrit au triangle OHHa, A'' le second points d'intersection de 1a et 0, et Oa le second point d'intersection de (A'A'' avec 1a. Donné : la médiatrice de [A'Oa] est perpendiculaire à (OH).

VISUALISATION

47 La perpendiculaire d'Hatzipolakis, AoPS du 06/03/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1796431_the_hatzipolakis_perpendicular

46

46

A

B C

O

A'

A"

H

0

Ha

1a

Oa

N

• Notons N le milieu de [OH]. • D'après ''2. Parallèles à la droite d'Euler'' 48, (A'A'') // (OH) ; en conséquences, (1) le quadrilatère cyclique OHHaOa est un trapèze isocèle (2) la médiatrice de [A'Oa] est aussi celle de [OH]. • Conclusion : la médiatrice de [A'Oa] est perpendiculaire à (OH) en N. Terminologie : la perpendiculaire à (OH) en N est ''la perpendiculaire d'Hatzipolakis'.

48 Ayme J.-L., 2. Parallèles la droite d'Euler, G.G.G. vol. 48, p. 13 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

47

47

16. LES PERPENDICULAIRES D'AYME-KOUTRAS 49

Application

du

théorème de Stathis Koutras

VISION

Figure :

A

B C

P Q

E

V

U S

R

Y

Z

Traits : ABC triangle, E la droite d'Euler de ABC, P, Q deux points de E, U, V les pieds des perpendiculaires à (AC) issues resp. de P, Q, R, S les pieds des perpendiculaires à (AB) issues resp. de P, Q et Y, Z deux points resp. de (AB), (AC)

tels que la parallèle à E issue de A soit intérieur au triangle AYZ. Donné : si, AZ/AY = RS/UV alors, (YZ) est perpendiculaire à E.

Commentaire : une preuve synthétique de ce résultat peut être vue sur le site de l'auteur. 50

49 Perpendiculars to the Euler's line, AoPS du 27/03/2019 ;

https://artofproblemsolving.com/community/c6h1810825_perpendiculars_to_the_eulers_line 50 Ayme J.-L., Steiner*Ayme*Koutras, G.G.G. vol. 43 ; http://jl.ayme.pagesperso-orange.fr/

3. Perpendiculaires a la droite de Eulerjl.ayme.pagesperso-orange.fr/Docs/3... · 2 Le triangle de...

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