THÉORIE DES DISTRIBUTIONS

D. Francisco Medrano

Semestre de printemps 2013

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Table des matières

1 Introduction 31.1 Quelques propiétés de δ(x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 L’espace des fonctions tests D . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2.1 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Exemples des espaces de fonctions tests . . . . . . . 6

1.3 Théorème d’approximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Critère de continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4.1 Les multi-indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Exemples de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 9

2 Distributions à support compact 122.1 Restriction et prolongement des distributions . . . . . . . . 12

2.1.1 Convergence des suites dans D′(Ω) . . . . . . . . . . 122.1.2 Support d’une distribution . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Distributions à support compact . . . . . . . . . . . 15

3 Opérations sur les distributions 173.1 Multiplication par un élément de E(Ω) . . . . . . . . . . . . 173.2 La dérivée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Le problème de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Dérivation de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Opérations induites par une application lisse entre deux ou-

verts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Opérateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 303.8 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.9 Dérivées/primitives fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . 353.10 Équation d’onde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Solutions fondamentales et distributions tempérées 424.1 Solutions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Distributions tempérées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 La transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 L’inverse de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . 464.5 Quelques formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Table de matières

2

1 Introduction

Les distributions sont un outil avec lequel on peut :

1. Dériver des fonctions non dérivables.2. Sommer des séries non sommables.3. Intégrer des fonctions non intégrables

Pour essayer des comprender ces lignes qui semblent paradoxales, regar-dons l’exemple suivant :

La distribution delta de Dirac, appelée par abus fonction delta de Dirac,est "définie" par les propiétés suivantes :

(1) δ(x) = 0 si x , 0

(2)∫ baδ(x)dx = 1 si a < 0 < b

Notons qu’on fait attention de ne pas préscrire une valeur de δ en 0, maisil est très pratique de prendre δ(0) = +∞. Une explication heuristique estque l’on peut penser de δ(x) comme une limite :

δ(x) = limn→∞

fn(x)

où

fn(x) =

0 si |x| ≥ 1

n

n−n2|x| si |x| ≤ 1n

Observons que ∀x , 0 ∃n0 tel que fn(x) , 0 ∀n ≥ n0 et que ∀a < 0 et

∀b > 0 ∃n1 tel que∫ bafn(x)dx = 1 ∀n ≥ n1. La théorie des distributions

justifie l’existence de δ(x).

1.1 Quelques propiétés de δ(x)

(1) δ(x) + δ(x) = 2δ(x). Plus généralement, δ(x) est un élément d’unespace vectoriel sur C.

(2) Soit f (x) continue sur R : δ(x)f (x) = 0 six , 0 et de façon générale

δ(x)f (x) = f (0)δ(x). En particulier xδ(x) = 0 si x , 0 et∫ baδ(x)dx =

f (0) si a < 0 < b.

3

(3) Soit c ∈ R − 0, δ(cx) = 0 si x , 0 et en supposant que l’on puissechanger de variable dans l’intégrale : Si c > 0⇒ ac < 0 < bc et∫ b

aδ(cx)dx =

∫ bc

acδ(y)

dy

c=

1c

Si c < 0⇒ ac > 0,bc < 0 et∫ b

aδ(cx)dx = −

∫ ac

bcδ(y)

dy

c= −1

c

En résumé pour c ∈ R− 0 on a δ(cx) = 1|c|δ(x), en particulier δ(−x) =

δ(x)(4) De la même maniere on montre que δ(x + c) = 1 si a + c < 0 < b + c

ou a < −c < b.Tentons de calculer δ(sin(x)). Par définition de δ on a que δ(sin(x)) = 0 sisin(x) , 0⇔ x < πZ. Posons f (x) = δ(sin(x)), par la propriété (3) on voitque f (x + π) = δ(sin(x + π)) = δ(−sin(x)) = δ(sin(x)) = f (x), f (x) est donc2π- périodique.Pour ne pas se soucier des bornes d’intégration choisissons a et b dansl’intervalle

(−π2 ,

π2

), sur cet intervalle sin(x) est monotone croissante, alors∫ b

aδ(sin(x))dx =

∫ sin(b)

sin(a)δ(y)

dy√1− y2

= 1

où la dernière égalité est une conséquence de (2) avec f (x) = 1√1−y2

, ce

calcul nous motive donc a poser :

δ(sin(x)) =∑n∈Z

δ(x+πn)

Cette somme est bien définie car tous ses termes, sauf un nombre fini, sontnuls. Changeons encore de variable et remplaçons x par πx, alors :

δ(sin(πx)) =∑n∈Z

δ(πx+πn) =∑n∈Z

δ(π(x+n)) =1π

∑n∈Z

δ(x+n)

où pour la dernière égalité on a utilisé la propriété (3). Posons encoreg (x) = πδ(sin(x)) =

∑n∈Zδ(x + n), alors par translation sur Z on voit que

g(x+ 1) = g(x), on peut donc considerer le déveleppement de g en série de

4

fourier si g est intégrable, ce qu’on supposera pour ce calcul introductoire.Rappelons dans l’analyse de Fourier on a une correspondance :

fonctionspériodiquesintégrables

→ Séries de Fourier CZ = f : Z→ C

Si f périodique intégrable alors f 7→ f ∈ CZ, f (n) =∫ a+1

af (x)e−2πinxdx

Si f ∈ CZ, f 7→∑n∈Z

f (n)e2πnx. Pour être sur que f converge vers sa série

de Fourier on peut demander que f soit au moins différentiable. Au faitle théorème de convergence uniforme de Dirichlet dit que c’est le cas si fcontinûment dérivable au voisinage de tout point d’un segment I , dans cecas la convergence est bien sûr uniforme sur I . On a aussi la version deconvergence ponctuelle de Dirichlet laquelle dit que f converge poctuel-lement en x si f est continue en x et la dérivée à gauche et à droite de xexistent.Suposons qu’on est dans un des deux cas, alors calculons g(n) :

g(n) =∫ a+1

ag(x)e−2πinxdx =

∫ a+1

a

∑n∈Z

δ(x+n)

e−2πinxdx

Tant que l’on reste sur un intervalle de longueur 1, on peut choisir a tel que

−1 < a = −ε < 0. Pour ce choix∫ 1−ε

−ε

∑n∈Z−0

δ(x+n)

e−2πinxdx = 0 car il n’y

pas de contribution de δ. Ainsi g(n) =∫ 1−ε

−εδ(x)e−2πinxdx = 1 à nouveau

par la propriété (2). On en déduit la formule de sommation de Poisson :∑n∈Z

δ(x+n) =∑n∈Z

e2πinx (1)

.

1.2 L’espace des fonctions tests DDéfinition 1. L’espace vectoriel D sur R ou C dans lequel on a une notion deconvergence de suites s’apelle espace des fonctions tests.

Cette liberté dans la définition nous donne des choix pour D et commeon verra, chaque choix donne plusieurs types de distributions. Rappelons

5

que l’on note par D∗ = f : D → C;f linaire l’espace dual de D, et parD′ ⊂ D∗ le sous-espace de formes linéaires continues.

1.2.1 Distributions

Définition 2. Une distribution est un élément de D′

1.2.2 Exemples des espaces de fonctions tests

1 Prenons D = fonctions continues et bornées sur R, c’est un espacevectoriel que l’on peut donc munir de la norme ‖.‖∞. Dans cet es-pace la notion de convergence est la convergence uniforme sur R.Alors l’élément δ ∈ D∗ définie comme suit δ(f ) = 〈δ,f 〉 = f (0) estune distribution (il est facile de voir que δ est une forme linéairairecontinue).

2 Soient Ω ⊂ R un ouvert, f : Ω→ C avec supp(f ) = x ∈Ω | f (x) , 0compact. Alors, le choix le plus typique pour l’espace des fonctionstest est D(Ω) = f : Ω → C de classe C∞ à support compact. Ondit qu’une suite (ϕn)n≥1 dans D converge vers ϕ ∈ D s’il existe uncompact K ⊂ Ω tel que supp(ϕ) ⊂ K , supp(ϕn) ⊂ K ∀n et Dpϕnconverge vers Dpϕ uniformément sur K pour tout multi-indice p ∈Zd≥0 où

Dpϕ =∂|p|ϕ

∂xp11 ∂x

p22 · · ·∂x

pdd

,p = (p1, ...,pd) ,pi ∈ Z≥0

|p| = p1 + ...+ pd

Rappelons qu’un élément f ∈ D′ est continue si pour toute suite(ϕn)n≥1 dans D qui converge vers ϕ ∈ D la suite de nombres 〈 f | ϕn〉converge vers 〈f | ϕ〉. Dans ce cas f ∈ D′ est une distribution associéeà Ω.

Construisons un exemple particulier : soit x ∈ R, on définit % : R→ R

par %(x) =

e−1x x > 0

0 x ≤ 0. On peut montrer que cette fonction de de

classe C∞ et de plus dn%(x)dxn = Pn

(1x

)e−

1x où Pn est un polynôme de de-

gré n, ainsi on voit que les singularités de Pn(

1x

)sont tuées par e−

1x .

6

Pour x ∈ Rd alors φ(x) = % (1− ‖x‖) est dansD =D(Rd

). En effet, φ est

la composition de deux applications de classe C∞ et 1 − ‖x‖2 > 0 ⇔x ∈ B(0,1), donc supp(φ) = B(0,1) est compact, en particulier D ,∅.

Remarque Pour nous, l’espace de fonction tests sera toujours l’es-pace de fonctions C∞ sur Rd ou bien sur un ouvert Ω ⊂ Rd à valeursdans C. Cet espace on va le noter parD(Rd) ouD(Ω) respectivement.

1.3 Théorème d’approximation

Théorème 1. Soit f : Rd → C une fonction continue à support compact K .Alors il existe une suite (fn)n≥1 dans D

(Rd

)qui converge uniformément vers

f .

Démonstration. Soit φ comme dans l’exemple précedent. ∀n ∈ Z≥0 on défi-

nitφn(x) :=1νndφ(nx) où ν =

∫Rdφ(x)dx. On définit fn = f ∗φn où (f ∗φn) (x) =∫

Rdf (x − y)φn(y)dy =

∫Rdf (y)φn(x − y)dy est la convolution de f et φn.

Propriétés de fn :

1) supp(fn) ⊂ K 1n

= x ∈ Rd | ∃y ∈ K ‖x − y‖ ≤ 1n . En effet, x ∈ Rd −K 1

n⇔

‖x − y‖ > 1n ∀y ∈ K ⇔ ‖nx − ny‖ > 1 ∀y ∈ K ⇒ φ(nx − ny) = 0 donc

φn(x − y) = 0 et ainsi fn(x) =∫Rdf (x − y)φn(y)dy =

∫Kf (y)φn(x − y)dy = 0.

2) fn est de classe C∞. En effet fn(x) =∫Kf (y)φn(x − y)dy et φn(x) et de

classe C∞.

Retournons à la preuve, on voit facilement que supp(φn) = x | ‖nx‖ ≤ 1 =

B(0, 1n

)et

∫Rdφn(y) = 1 (autrement dit (φn)n≥1 est ce que l’on appelle suite

régularisante), donc

fn(x)− f (x) = (fn(x)− f (x))∫B(0, 1n )

φn(y)dy =

=∫B(0, 1n )

(f (x − y)− f (x))φn(y)dy

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Mais f est en particulier continue sur la boule fermée de rayon 1n donc

uniformément continue. On se fixe donc ε > 0 et choisissons δ ≥ 1n , si ‖y‖ ≤

δ c-à-d y ∈ supp(φn), alors |fn(x)−f (x)| ≤∫B(0, 1n )

|f (x − y)− f (y)|︸ ︷︷ ︸≤ ε

φn(y)dy ≤ ε

autrement dit fn→ f , uniformément puisque ‖fn − f ‖∞ ≤ ε si n ≥ 1δ .

Remarques Si Ω ⊂ Rd ouvert, et f : Ω→ C à support compact K conti-nue, on peut prolonger f en dehors de supp(f ) en posant f (x) = 0. Alors,∃n0 ∈ Z≥0 tel que supp (fn)︸ ︷︷ ︸

⊂K 1n

⊂ Ω ∀n ≥ n0. On vient donc de montrer que

D(Ω) est dense dans Cc(Ω) = f : Ω→ C,continue à support compact.

Notation SiK est un compact de Ω. AlorsDK (Ω) := f ∈ D(Ω) | supp(f ) ⊂K. Pour ϕ ∈ Dk(Ω) et m ∈ Z≥0 on définit

‖ϕ‖(m) :=∑|p|≤m‖Dpϕ‖∞,K

DK (Ω) est un sous-espace deD(Ω) et ‖ϕ‖(m) définit une norme sur ce sous-espace.

1.4 Critère de continuité

Proposition 1. Soit T ∈ D∗(Ω). Alors T ∈ D′(Ω) si et seulement si ∀K ⊂ Ω

compact ∃m ∈ Z≥0 et ∃C ≥ 0 tel que |〈T ,ϕ〉| ≤ C‖ϕ‖(m) ∀ϕ ∈ D(Ω).

Démonstration. (⇐) Soit (ϕn)n≥1 telle que ϕn→ ϕ ∈ D(Ω). Par définition ilexiste K0 compact tel que supp(ϕn), supp(ϕ) ⊂ K0 et ‖Dpϕn −Dpϕ‖∞,K0

→0,n→∞ ∀p ∈ Zd≥0. En particulier, soientm etC tels que |〈T ,ϕn〉−〈T ,ϕ〉| =|〈T ,ϕn −ϕ〉| ≤ C‖ϕn −ϕ‖(m). Cette dernière expression tend vers 0 car elleest une somme finie dont tous les termes tendent vers 0 lorsque n→ ∞,donc T est continue.(⇒) Montrons la contraposée, supposons que ∃K compact de Ω tel que∀m ∈ Z≥0 et ∀C ≥ 0 il existe ϕ ∈ D(Ω) tel que |〈T ,ϕ〉| > n‖ϕ‖(m). On endéduit l’existence d’une suite ϕ ∈ Dk(Ω) avec |〈T ,ϕn〉| > ‖ϕn‖(n). Pour n > 0

on peut définir la suite ψn =ϕn

n‖ϕn‖(n)∈ Dk(Ω), cette nouvelle suite satisfait

|〈T ,ψn〉| > 1. Si n > |p| la définition de ‖.‖(m) implique

‖Dpψn‖∞ =‖Dpϕn‖n‖ϕn‖(n)

≤ 1n

n→∞−→ 0

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Donc la suite ψn converge vers 0 et dans ce cas T ne peut pas être continuesinon |〈T ,ψn〉| → 0 ce qui n’est pas le cas.

Définition 3. Une distribution T est dite d’ordre finie s’il existe m ∈ Z≥0 telque pour tout compact K de Ω il existe C ≥ 0 (qui peut donc dépendre de K)satisfaisant |〈T ,ϕ〉| ≤ C‖ϕ‖(m) ∀ϕ ∈ DK (Ω) (m est universel pour tous lesK). Le plus petit m avec cette propriété est appelé l’ordre de T , noté ord(T )

1.4.1 Les multi-indices

Définition 4. Un multi-indice p est un n-vecteur p = (p1, ....pd) où les pi sont

des entiers positifs. On définit par |p| :=d∑i=1

pi son module.

Quelques notations Soit x = (x1, ...,xd) ∈ Rd , alors1 xp := xp1

1 · · ·xpdd

2 p! := p1! · · ·pd !

3(qp

):=

p!(p − q)!q!

=(q1

p1

)· · ·

(qdpd

)où q ≤ p⇔ qi ≤ pi , i = 1, ...,d

On a déjà introduit l’opérateur différentiel :

Dp(f ) =∂|p|f

∂xp11 · · ·∂x

pd1

A partir de la définition on peut par exemple généraliser la règle de Leibniz

pour la dérivée d’un produit, la formule est Dp(f g) =∑s≤p

(sp

)Ds(f )Dp−s(g).

1.4.2 Exemples de distributions

1 Soit T ∈ D∗(Ω) défini par 〈T ,ϕ〉 := (Dpϕ) (a) pour un a ∈Ω. D’aprèsla propostion 1 on a que T est continue. En effet, soit K ⊂ Ω com-pact, et soit ϕ ∈ DK (Ω), alors |〈T ,ϕ〉| = |Dp(ϕ)(a)| ≤ ‖Dpϕ‖∞ ≤ ‖ϕ‖(|p|)et |p| ne dépend pas de K et C = 1. On voit aussi que T est d’ordrefini et ord(T ) ≤ |p|.

Au fait ord(T ) = |p|, sinon supposons que ord(T ) = |q| < |p| et choi-sissons un multi-indice q avec module |q|. Soit ψ ∈ D

(Rd

)telle que

ψ(0) = 1 et supp(ψ) ⊂ B(0,1). ∀α > 0. On définitψα(x) = (x−a)pψ(x−aα

),

alors supp(ψα) = B(0,α), il existe donc α0 > 0 tel que supp(ψα) ⊂

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Ω ,∀α ≤ α0⇒ ψα ∈ D(Ω) si α ≤ α0.

〈T ,ψα〉 = Dpψα(x) |x=a=(∂∂x1

)p1 (x1 − a1)p1 · · ·(∂∂xd

)pd (xd − ad)pdψ(0) =p1! · · ·pd ! = p! et cette expresion ne dépend pas de α. En utilisant larègle de différentiation de Leibniz généralisée on obtient :

(Dqψα) (x) =Dq((x − a)pψ

(x − aα

))=

∑s≤q

(sq

)Dq−s(x − a)pDsψ

(x − aα

)=

∑s≤q

p−q+s≥0

(sq

)p!

(p − q+ s)!(x − a)p−q+s 1

α|s|ψ(x − aα

)Par le choix de ψ on peut supposer ‖x − a‖ ≤ α et parce que |xi − ai | ≤‖x − a‖ ≤ α on a :

|Dqψα(x)| ≤∑s≤q

p−q+s≥0

(sq

)p!

(p − s+ q)!· α|p|−|q|+|s|

α|s|

∣∣∣∣∣ψ(s)(x − aα

)∣∣∣∣∣ = (∗)

En particulier α < 1⇒ α|p|−|q| ≤ α donc (∗) ≤ α Cp,q,ψ et alors en en-voyant α → 0,

∣∣∣Dpψα(x)∣∣∣ est si petit qu’on veut, ce qui contredit la

continuité de T car p! =∣∣∣〈T ,ψα〉∣∣∣ > C‖ψα‖(m)

α→0−→ 0 pour m < |p|. Donc

ord(T ) = |p|.

Remarque En particulier ∀m ∈ Z≥0 il existe une distribution sur Ωd’ordre m.

2 Une distribution d’ordre infini.

On définit T ∈ D∗(R) par 〈T ,ϕ〉 =∞∑n=0

ϕ(n)(n). T est bien définie car

cette somme est fini puisque le support de ϕ est compact. Pour Kcompact de R soit N = max(Z≥0 ∩K). Alors ∀ϕ ∈ DK (R) 〈T ,ϕ〉 =∑Nn=0ϕ

(n)(n)⇒ |〈T ,ϕ〉| ≤ ‖ϕ‖(N ) ⇒ T continue. Pour voir qu’elle estd’ordre infinie, pour tout m ∈ Z≥0 posons K = [m− 1

2 ,m+ 12 ], dans ce

cas ∀ϕ ∈ DK (R) on a 〈T ,ϕ〉 = ϕ(m)(m)⇒ ord(T ) ≥m

3 Soit f : Ω→ C continue. On définit Tf ∈ D∗(Ω) par 〈Tf ,ϕ〉 =∫Ω

f (x)ϕ(x)dx.

Tf est continue, en effet soitϕ ∈ Dk(Ω),∣∣∣〈Tf ,ϕ〉∣∣∣ ≤ ∫

Ω

|f (x)| |ϕ(x)|dx ≤

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∫K|f (x)| |ϕ(x)|dx ≤ ‖ϕ‖∞

∫K|f (x)|dx

= Cf ,K‖ϕ‖(0)⇒ ord(Tf ) = 0.

Remarque Au fait, par continuité de f on a l’équivalence suivanteTf = 0⇔ f = 0.

Plus généralement, toute fonction localement intégrable (c-à-d son inté-gral restreint à tout compact existe pour la mesure de Lebesgue) sur Ω

définie une distribution Tf d’ordre 0. Dans ce cas, l’équivalence dans laremarque ci-dessus est : Tf = 0⇔ f = 0 presque partout. C’est en ce sensque l’on dit que les distributions généralisent les fonctions.

Exemple la fonction de Heaviside θ est définie par la formule :

θ(x) =

1 x ≥ 00 x < 0

θ n’est pas continue en 0 mais par contre elle est localement intégrable surR. On définit θ(x) := 1−θ(−x), alors on voit facilement que :

θ(x)− θ(x) =

0 x , 01 x = 0

En particulier θ = θ presque partout⇒ Tθ = Tθ

Définition 5. On dit qu’une distribution T est positive si 〈T ,ϕ〉 ≥ 0 pourtoute ϕ ≥ 0 (pour les valeures réelles).

Proposition 2. Toute distribution positive est d’ordre 0.

Démonstration. Soit K un compact de Ω et soit % ∈ D(Ω) telle que %|K = 1et 0 ≤ % ≤ 1 (Une telle fonction existe, on peut prendre % continue etl’approcher par des éléments dans DK (Ω) d’après le théorème 1 d’ap-proximation). ∀ϕ ∈ DK (Ω), on a ϕ(x) = ϕ(x)%(x) et |ϕ(x)| ≤ ‖ϕ‖∞%(x) ⇔−%(x)‖ϕ‖∞ ≤ ϕ(x) ≤ %(x)‖ϕ‖∞. Si ϕ est à valeures réelles, la positivité deT implique que les inégalités réelles sont "préservées" : ϕ(x) + %(x)‖ϕ‖∞ ≥0⇒ 〈T ,ϕ〉+ ‖ϕ‖∞〈T ,%〉 ≥ 0, on a la même chose pour −ϕ(x) + %(x)‖ϕ‖∞ ≥0. On obtient donc |〈T ,ϕ〉| ≤ ‖ϕ‖∞ 〈T ,%〉︸︷︷︸

C

= C‖ϕ‖(0). Si ϕ et à valeures

dans C, on écrit ϕ = ϕ1 + iϕ2, et on a |〈T ,ϕi〉| ≤ C‖ϕi‖(0) ≤ C‖ϕ‖(0) ⇒|〈T ,ϕ〉|2 = |〈T ,ϕ1〉|2 + |〈T ,ϕ2〉|2 ≤ 2

(C‖ϕ‖(0)

)2⇒ |〈T ,ϕ〉| ≤

√2C‖ϕ‖(0) ⇒

ord(T ) = 0

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2 Distributions à support compact

2.1 Restriction et prolongement des distributions

Soient Ω′ ⊂ Ω deux ouverts de Rd . Naturellement D(Ω′) ⊂ D(Ω) et

de plus il y a une application de restriction :D′(Ω) → D′(Ω′)T 7→ T |Ω′

. Cette

application es bien définie car la restriction d’une application de classeC∞ sur Ω à Ω′ reste C∞ sur Ω′ et similairement pour la convergence desuites. Dans ce cas, T est un prolongement de T |Ω′ .

2.1.1 Convergence des suites dans D′(Ω)

On dit qu’une suite (Tn)n≥1 dans D′(Ω) converge vers T si pour toutefonction test ϕ, la suite numérique 〈Tn,ϕ〉 converge vers 〈T ,ϕ〉 (cette no-tion de convergence s’appelle convergence faible en analyse fonctionelle).Plus généralement, soit A ⊂ R tel que ε0 ∈ [−∞,+∞] soit un point d’accu-mulation de A, on dit que la famille (Tε)ε∈A converge vers T si ∀ϕ ∈ D(Ω),

〈Tε,ϕ〉ε→ε0−→ 〈T ,ϕ〉.

Exemple La fonction 1x est continu et même lisse sur R \ 0, d’aprés

l’exemple 3 de la section 1.4.2, T 1x

donnée par 〈T 1x,ϕ〉 =

∫ +∞

−∞

ϕ(x)xdx pour

ϕ ∈ D(R \ 0) est une distribution sur R \ 0. Remarquons que :

ϕ ∈ D(R \ 0)⇔ (1) ϕ est de clase C∞

(2) ∃δ > 0 tel queϕ|[−δ,+δ] = 0, supp(ϕ) compact

Question Existe-il un T ∈ D′(R) tel que ∀ϕ ∈ D(R \ 0) on a 〈T ,ϕ〉 =〈T 1

x,ϕ〉 ? Autrement dit, est-ce que T 1

xse prolonge à T ∈ D′(R) ?

Proposition 3. Pour tout ε > 0, on définit Tε ∈ D∗(R) par 〈Tε,ϕ〉 =∫|x|≥ε

ϕ(x)xdx ∀ϕ ∈

D(R). Alors, Tε ∈ D′(R) et la limite T = limε→0Tε existe et elle définit un pro-longement de T 1

xsur R, de plus ord(T ) = 1

.

Définition 6. La distribution de proposition 3 s’appelle valeur principal de1x

, notée par vp(1x

).

12

Démonstration. Soitϕ ∈ D(R) et soitA réel positif tel que supp(ϕ) ⊂ [−A,A],alors

〈Tε,ϕ〉 =∫ε<|x|<A

ϕ(x)xdx =

∫ε<|x|<A

ϕ(x)−ϕ(0)x

dx+∫ε<|x|<A

ϕ(0)xdx

ici la deuxième intégral est nulle. La fonction x 7→ ϕ(x)−ϕ(0)x se prolonge par

continuité en 0 parϕ′(0), donc la limite suivante limε→0〈Tε,ϕ〉 =

∫ A

−A

ϕ(x)−ϕ(0)x

dx

existe et on pose :

〈T ,ϕ〉 :=∫ A

−A

ϕ(x)−ϕ(0)x

dx

Montrons que T prolonge T1/x : Soit ϕ ∈ D(R\0), alors puisque ϕ est suf-fisament différentiable ∃δ > 0 tel que ϕ(x) = 0 si x ∈ [−δ,δ], donc 〈T ,ϕ〉 =

limε→0

∫|x|>ε

ϕ(x)xdx =

∫|x|>δ

ϕ(x)xdx = 〈T1/x,ϕ〉. Reprenons ϕ comme dans la

partie de l’existence de T , par le théorème des accroissements finis :

|ϕ(x)−ϕ(0)| ≤ |x| sup0<t<1|ϕ′(tx)| ≤ |x|‖ϕ′‖∞ ≤ |x|‖ϕ‖(1)

donc |〈T ,ϕ〉| ≤∫ A

−A

∣∣∣∣∣ϕ(x)−ϕ(0)x

∣∣∣∣∣dx ≤ 2A‖ϕ‖(1), A dépend bien sûr de ϕ

mais puisque cette estimation est vraie pour n’importe quelle fonction testdont le support est dans un compact quelconque de R alors ord(T ) ≤ 1, eten particulier T est continue. Pour voir que ord(T ) > 0, on définit pourn ≥ 2 ψn ∈ D(R) comme suit :

(1) ψn(−x) = −ψn(x) (suite impaire)(2) supp(ψ) ⊂ ]−1,1[, ψn(x) ≥ 0 si x ≥ 0(3) ψn(x) = 1 si 1/n ≤ x ≤ 1− 1/n

On voit facilement que ‖ψn‖∞ = ‖ψn‖(0) = 1 et que 〈T ,ψn〉 =∫ 1

−1

ψn(x)x

dx ≥

2∫ 1−1/n

1/n

dxx

= 2log(n−1)→∞ si n→∞. Donc, ∀C > 0,∃n tel que |〈T ,ψn〉| >

C‖ψn‖(0)⇒ ord(T ) > 0.

Considérons maintenant la fonction suivante : θ(x)x =

1x x > 00 x < 0

où θ

est la fonction de Heaviside. Naturellement ∃Tθ(x)/x ∈ D(R \ 0), et on a lerésultat suivant :

13

Proposition 4. Il existe la limite limε→0

Tε où 〈Tε,ϕ〉 =∫ ∞ε

ϕ(x)xdx +ϕ(0) logε

qui prolonge Tθ(x)/x à R. Cette limite s’appelle partie finie deθ(x)x

, notée

P f

(θ(x)x

)avec ord

(P f

(θ(x)x

))= 1

Démonstration. Si suppϕ ⊂ [−A,A], alors on écrit∫ ∞ε

ϕ(x)xdx+ϕ(0) logε =

∫ ∞ε

ϕ(x)−ϕ(0)x

dx+ϕ(0) logA

Ce qui montre comme avant l’existence de la limite, et on pose alors

P f

(θ(x)x

):=

∫ A

0

ϕ(x)−ϕ(0)x

dx+ϕ(0) logA

On peut vérifier que c’est bien définie : en effet, soit B > 0 tel que supp(ϕ) ⊂[−B,B] ⊂ [−A,A] alors ϕ = 0 sur [A,B] donc

∫∞0

ϕ(x)−ϕ(0)x dx + ϕ(0) logA −∫ B

0ϕ(x)−ϕ(0)

x dx−ϕ(0) logB= −∫ BAϕ(x)−ϕ(0)

x dx+ϕ(0) logA−ϕ(0) logB=∫ BAϕ(0)x dx+

ϕ(0) (logA− logB) = 0. Par le théorème des accroissements finis on montrequ’elle est d’ordre ≤ 1. Pour montrer que son odre est > 0, on considèrela suite

(ψn1x>0

)n≥2

où ψn est comme dans la proposition 3. Finalementpour voir qu’elle défnifit le prolongement souhaité, on fait exactementcomme dans la proposition precédente.

2.1.2 Support d’une distribution

Soit Uini=1 un recouvrement ouvert d’un compact K ⊂ Rd . Considé-rons une partition de l’unité subordonnée à ce recouvrement φini=1 ⊂ D(Rd),c-à-d :(1) 0 ≤ φi ≤ 1, supp(φi) ⊂Ui i = 1, ...,n

(2) ∀x ∈ K,n∑i=1

φi(x) = 1

Définition 7. Soit T ∈ D′(Ω), Ω un ouvert de Rd . Soit Ω′ un ouvert contenudans Ω. On dit que Ω′ est un ouvert de nullité de T si T |Ω′ = 0.

Proposition 5. Pour toute distribution T sur Ω, il existe le plus grand ouvertde nullité Ω0.

14

Démonstration. SoitU = tous les ouvert de nullité deT , posons Ω0 =⋃ω∈U

ω.

Soitϕ ∈ D(Ω0), comme supp(ϕ) est compact ∃ωini=1 ⊂ U telles que supp(ϕ) ⊂⋃ni=1ωi , c-à-d un recouvrement ouvert fini de supp(ϕ). Considérons φini=1

une partition de l’unité subordonnée à ce recouvrement, alors on peut

écrireϕ(x) =n∑i=1

ϕ(x)φi(x) ∀x ∈Ω0. Remarquons que supp(ϕφi) ⊂ supp(ϕ)∩

supp(φi) ⊂ωi , ainsi 〈T ,ϕ〉 =n∑i=1

〈T ,ϕφi〉 = 0, donc Ω0 ∈ U .

Définition 8. Le support de T est supp(T ) := Ω \Ω0

Exemples1 supp(Tf ) = supp(f )

2 supp(vp

(1x

))= R

3 supp(δ) = 0

2.1.3 Distributions à support compact

Notons E(Ω) := C∞(Ω). On dit qu’une suite (ϕn)n≥1 ⊂ E(Ω) convergevers ϕ ∈ E(Ω) si ∀K ⊂Ω compact la suite Dpϕn|K converge uniformémentvers Dpϕ|K pour tout multi-indice p.

Remarque On a l’inclusion "continue" suivante : D(Ω) ⊂ E(Ω), qui estcontinue au sens où la convergence dans D(Ω) implique la convergencedans E(Ω). En considérant les espaces duales on a une application de res-triction :

E ′(Ω) ⊂ E∗(Ω) −→ D′(Ω)T 7→ T

Définition 9. Les distributions à support compact est l’ensemble D′c(Ω) =T ∈ D′(Ω)| supp(T )est compact

On définit une application :

D′c(Ω) −→ E ′(Ω)T 7→ T

comme suit : supp(T ) est compact, il existe un compactK tel que supp(T ) ⊂K . Choisissons une partition de l’unité α subordonnée à Ω (0 ≤ α ≤ 1,α ∈ D(Ω) et α(x) = 1∀x ∈ K), alors ∀ϕ ∈ E(Ω) on pose :

〈T ,ϕ〉 := 〈T ,αϕ〉

15

Il faut voir que cette définition est indépendante de K et de la partitionde l’unité choisie. En effet, soit L compact, supp(T ) ⊂ L et α ∈ D(Ω) subor-donnée à Ω, 0 ≤ α ≤ 1, α|L = 1, alors supp(ϕ − αϕ) ⊂ Ω \ K et de mêmesupp(ϕ− αϕ) ⊂Ω \ L⇒ supp(αϕ− αϕ) ⊂

(Ω \ K

)∩(Ω \ L

)= Ω \

(K ∪ L

)et

puisque supp(T ) ⊂ K∪L, alors 〈T ,αϕ−αϕ〉 = 0. T est continue : soit (ϕn)n≥1une suite dans E(Ω) qui converge vers ϕ, alors par définition ∀K compactde Ω Dpϕn|K → Dpϕ|K uniformément, en particulier pour K = supp(α)dans la définition de T , (αϕn)n≥1 devient une suite dans D(Ω) et alorsαϕn → αϕ uniformément dans D(Ω) grâce à la continuité de T , et pourmontrer queDp(αϕn)→Dp(αϕ) uniformément on utilise la règle de Leib-nitz pour la dérivée d’un produit et la proposition 1.

Théorème 2. ∀ T ∈ D′c(Ω), ˇT = T et ∀ T ∈ E ′(Ω), ˆT = T

Démonstration. (a) ˇT = T ∀T ∈ D′c(Ω) :

Soit ϕ ∈ D(Ω) et α comme dans la définition de T , on a ϕ(x)−α(x)ϕ(x) = 0∀x ∈ K ⇒ supp (ϕ −αϕ) ⊂Ω\ K ⊂Ω\supp(T ) car K ⊂ supp(T ), donc puis-qu’on est dans l’ouvert de nullité de T on a 〈T ,ϕ − αϕ〉 = 0 ⇒ 〈T ,ϕ〉 =〈T ,αϕ〉 = 〈T ,ϕ〉 = 〈 ˇT ,ϕ〉 car ϕ ∈ D(Ω) et c’est donc la restriction.

Montrons que T ∈ D′c(Ω) ∀ T ∈ E ′(Ω) :

Pour un ouvert Ω ⊂ Rd il existe toujours une suite de compacts (Kn)n≥1telle que

(1) Kn ⊂ Kn+1 ∀n ≥ 1(2) ∀K ⊂Ω compact, ∃n0 ≥ 1 tel que K ⊂ Kn ∀n ≥ n0

Une telle suite s’apelle suite exhaustive de compacts.Supposons par l’absurde que supp(T ) n’est pas compact, dans ce cas (exer-cice) ∀n ≥ 1 ∃ϕn ∈ D(Ω) telle que 〈T ,ϕn〉 , 0, mieux encore 〈T ,ϕn〉 = 1(après normalisation) et supp(ϕn) ⊂Ω \Kn. Alors, la suite (ϕn)n convergevers 0 dans E(Ω), en effet soit K ⊂Ω compact ∃n0 ≥ 1 tel que K ⊂ Kn ∀n ≥n0 et donc ∀x ∈ K x < supp(ϕn) ⊂ Ω \ Kn, autrement dit ϕn(x) = 1 pourx ∈ K , d’oùϕn→ 0 dans E(Ω). La continuité de T implique que 〈T ,ϕn〉 → 0ce qui contredit 〈T ,ϕn〉 = 1

(b) ˆT = T ∀T ∈ E ′(Ω) :

Soit (Kn)n≥1 une suite exhaustive de compacts de Ω. Considérons des par-titions de l’unité (αn)n≥1 avec supp(αn) ⊂ Kn+1 et αn|Kn = 1. ∀ϕ ∈ E(Ω) lasuite correspondante (ϕαn)n≥1 converge vers ϕ dans E(Ω) (utiliser le fait

16

que la suite de compact est exhaustive et la règle du produit de Leibnitz),par continuité de T 〈T ,αϕn〉

n→∞−→ 〈T ,ϕ〉.Puisque supp(T ) est compact ∃n0 ≥ 1 tel que supp(T ) ⊂ Kn ∀n ≥ n0, en-suite pa définition de ˆT on a :

〈 ˆT ,ϕ〉 = 〈T ,αnϕ〉 = 〈T ,αnϕ〉n→∞−→ 〈T ,ϕ〉 par continuité de T

La deuxième égalité vient du fait que αn ∈ D(Ω) donc αnϕ ∈ D(Ω) et T estla restriction. On voit donc que la suite des nombres 〈 ˆT ,αnϕ〉 se stabilise àpartir de l’indice n0 et comme elle converge vers 〈T ,ϕ〉 on a que ˆT = T .

Proposition 6. Soit T ∈ D′c(Ω), alors ∃m ∈ Z≥0 et C ∈ R≥0 tels que |〈T ,ϕ〉| ≤‖ϕ‖(m) ∀ϕ ∈ D(Ω).

Démonstration. T étant à support compact ⇒ ∃K,L deux compacts de Ω

tels que supp(T ) ⊂ K ⊂ K ⊂ L ⊂ L ⊂ Ω. Pour tout ϕ ∈ DK (Ω) ∃CK ≥ 0 etmK ≥ 0 tels que |〈T ,ϕ〉| ≤ CK‖ϕ‖(mK ).

Choisissons une partition de l’unité ψ ∈ D(Ω) avec supp(ψ) ⊂ L et ψ|K = 1,alors pour tout ϕ ∈ D(Ω), ψϕ ∈ DL(Ω), aussi supp(ϕ −ϕψ) ⊂Ω \ K ⊂Ω \supp(T ), donc 〈T ,ϕ−ϕψ〉 = 0⇒ 〈T ,ϕ〉 = 〈Tϕψ〉 ⇒ |〈T ,ϕ〉| ≤ CL‖ϕψ‖(mL) ≤C′‖ϕ‖(mL) où C′ est une constante qui dépend de ψ. Pour la deuxième in-égalité on a utilise la règle du produit de Leibnitz.

Corollaire 1. Toute distribution à support compact est d’ordre fini.

3 Opérations sur les distributions

Soit F : D(Ω)→ D(Ω) une application linéaire, la transposée de F estune application F∗ : D∗(Ω)→D∗(Ω) définie par 〈F∗(T ),ϕ〉 := 〈T ,F(ϕ)〉, deplus si F est continue F∗ descend en une application F∗ : D′(Ω)→ D′(Ω),en effet soit T ∈ D′(Ω) et soit (ϕn)n≥1 une suite qui converge vers ϕ dansD(Ω), alors par continuité de F, (F(ϕn))n≥1 converge vers F(ϕ) dans D(Ω).Par continuité de T , 〈F∗(T ),ϕn〉 = 〈T ,F(ϕn)〉 n→∞−→ 〈T ,F(ϕ)〉 = 〈F∗(T ),ϕ〉 c-à-d F∗(T ) ∈ D′(Ω)

3.1 Multiplication par un élément de E(Ω)

Lemme 1. Soit α ∈ E(Ω). Alors, l’application linéaire Mα : D(Ω) → D(Ω),ϕ 7→ αϕ est continue.

17

Démonstration. En effet, si (ϕn)n≥1 converge vers ϕ ∈ D(Ω), alors (αϕn)n≥1converge vers αϕ ∈ D(Ω) (Utiliser la formule du produit de Leibnitz).

.

Définition 10. Pour tout T ∈ D′(Ω) et tout α ∈ E(Ω) on définit :

αT :=M∗α(T )

3.2 La dérivée

Considérons l’application linéraire ∂i :D(Ω)→D(Ω) définie par ∂iϕ(x) =∂ϕ

∂x(x). ∂i est une application linéaire continue et on peut donc la tranpo-

ser.

Définition 11. Pour tout T ∈ D′(Ω) et tout i ∈ 1, ...,d on définit :

∂iT := −∂∗i (T )

.

Remarque Si f est différentiable, alors ∂iTf = T∂if car 〈∂iTf ,ϕ〉 = −〈∂∗iTf ,ϕ〉 =

〈Tf ,∂iϕ〉 = −∫Rdf (x)∂i(x)dx = −

∫Rd

(∂i(f (x)ϕ(x))−ϕ(x)∂if (x))dx =∫Rdϕ(x)∂if (x)dx =

〈T∂if ,ϕ〉. L’avant dernière égalité vient du fait que supp(ϕ) est compact etle théorème fondamental du calcul intégral.

3.3 Le problème de la division

Soit S ∈ D′(Ω) et α ∈ E(Ω). Existe-il T ∈ D′(Ω) telle que S = αT ? La ré-ponse est trivial lorsque α(x) , 0 ∀x ∈Ω dans ce cas on vérifie facilement

que T =1αS. En générale la réponse n’est pas toujours affirmative, même

sur la droite réelle nous en donnons une particulière sous la forme d’uneproposition :

Proposition 7. Pour tout S ∈ D′(R) il existe un T ∈ D′(R) tel que S = idRT .Si T0 est telle que S = idRT0, alors toute autre solution de l’équation S = idRTest de la forme T = T0 + cδ0 pour un c ∈ C et 〈δ0,ϕ〉 = ϕ(0) (la distributiondelta de Dirac en 0).

18

Démonstration. Soit χ ∈ D(R) telle que χ(0) = 1. Alors, pour touteϕ ∈ D(R)on définit Aχ :D(Ω)→D(Ω) par la formule : Aχ(ϕ)(x) = ϕ(x)−ϕ(0)χ(x) ∈D(R). Il est claire que Aχ est linéaire continue (en particulier on pourra latransposer pour obtenir une application entre distributions sur Ω) et queAχ(ϕ)(0) = 0.Si ϕ ∈ D(R) est telle que ϕ(0) = 0, alors ∃ψ ∈ D(R) telle que ϕ(x) = xψ(x) :

ϕ(x) = ϕ(x) −ϕ(0) =∫ x

0ϕ′(y)dy = x

∫ 1

0ϕ′(xt)dt et donc en posant ψ(x) =∫ 1

0ϕ′(xt)dt ∈ D(R) on a ϕ(x) = xψ(x).

Affirmation : Il existe Bχ :D(R)→D(R) linéaire continue telle queAχ(ϕ)(x) =xBχ(ϕ)(x).

En effet, posons Bχ(ϕ)(x) =∫ 1

0

(Aχϕ

)′(xt)dt =

∫ 1

0(ϕ′(xt) −ϕ(0)χ′(xt))dt,

on vérifie que Bχ(idRϕ)(x) =∫ 1

0(yϕ(y))′(xt)dt = ϕ(x) (si x = 0 c’est claire,

si x , 0 on pourra faire le changement de variable y = xt et intégrer parparties) et que Bχ est continue. Donc Bχ MidR = idD(R), en particulier sion transpose et on se restreint aux distributions M∗idR B

∗χ = idD′(Ω), po-

sons maintenant T := B∗χ(S) alors idRT = S.

Vérifions que Bχ satisfait la propiété voulue, c-à-dMidR Bχ = Aχ. En effet,

MidR Bχ(ϕ)(x) = xBχ(ϕ)(x) = x∫ 1

0

(Aχϕ

)′(xt)dt =

∫ 1

0

(Aχϕ

)′(xt)d(xt) =∫ x

0(Aχϕ)′dy = Aχϕ(x) −Aχϕ(0) = Aχϕ(x) ⇒MidR Bχ = Aχ, donc B∗χ

M∗idR = A∗χ.

Finalement, supposons que idRT = idRT0 = S, alors idR(T − T0) = 0 ⇒M∗idR(T − T0) = 0 ⇒ (composer par B∗χ à gauche) A∗χ(T − T0) = 0 ⇔ 〈T −T0,Aχϕ〉 = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω)⇔ 〈T − T0,ϕ −ϕ(0)χ〉 = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω)⇔ 〈T −T0,ϕ〉 = 〈T −T0,χ〉〈δ0,ϕ〉 ∀ϕ ∈ D(Ω), et donc en posant c = 〈T −T0,χ〉 ∈ Cet par linéarité on a 〈T − T0 − cδ0,ϕ〉 = 0 ∀ϕ ∈ D(Ω)⇒ T = T0 + cδ0.

Notation On écrira à présent xT au lieu de idRT , s’il n’y a pas de risquede confusion. De même pour la distribution Tf associée à une fonction fcontinue ou localement intégrable, on écrira f .

19

Exemple Calculons T dans l’équation xT = 1 (où 1 est la distributionassociée à la fonction constante égale à 1, que l’on note aussi par 1) :Au fait on va vérifier que xvp

(1x

)= 1, en effet 〈xvp

(1x

),ϕ〉 = 〈vp

(1x

),xϕ〉 =

limε→0

∫|x|>ε

xϕ(x)x

dx =∫Rϕ(x)dx = 〈1,ϕ〉, et donc par la proposition préce-

dente pour tout autre T ∈ D′(R) solution de l’équation xT = 1 on a que Test de la forme T = vp

(1x

)+ cδ0.

Proposition 8. supp(αT ) ⊂ supp(α)∩ supp(T ) où α ∈ E(Ω) et T ∈ D(Ω).

Démonstration. Soit ϕ ∈ D(Ω) t.q supp(α)∩supp(ϕ) = ∅, alors supp(αϕ) ⊂supp(α)∩ supp(ϕ) = ∅⇒ αϕ = 0, donc 〈αT ,ϕ〉 = 〈T ,αϕ〉 = 0⇒ supp(ϕ) ⊂Ω \ supp(αT ). On observe que Ω \ supp(α) est un ouvert de nullité deαT ,mais Ω \ supp(αT ) est par définition le plus grand ouvert de nullitéde αT , donc Ω \ supp(α) ⊂Ω \ supp(αT )⇒ supp(αT ) ⊂ supp(α).

Soit maintenant ϕ ∈ D(Ω) t.q supp(ϕ) ⊂ Ω \ supp(T ), alors supp(αϕ) ⊂supp(ϕ) ⊂ Ω \ supp(T ) ⇒ 〈T ,αϕ〉 = 0 ⇔ 〈αT ,ϕ〉 = 0, donc supp(ϕ) ⊂Ω\supp(T ). Avec le même raisonement qu’avant supp(αT ) ⊂ supp(T ).

Remarque Il est possible que supp(αT ) , supp(α) ∩ supp(T ). Prenonspar exemple δ0 ∈ D(R), on sait que supp(δ0) = 0, α(x) = x donc supp(α) =R⇒ supp(α)∩ supp(δ0) = 0mais αδ0 = 0 donc supp(αδ0) = ∅.

3.4 Dérivation de distributions

Rappelons qu’on avait définit la dérivée d’une distribution T par 〈∂iT ,ϕ〉 =−〈T ,∂iϕ〉 et on avait montré que si f était différentiable, alors ∂iTf =T∂if . On peut dériver T autant de fois qu’on le veut et on obtient ∀p ∈Zd≥0 〈DpT ,ϕ〉 = (−1)|p|〈T ,Dpϕ〉.

Proposition 9. Si α ∈ E(Ω) et T ∈ D′(Ω) alors ∂i(αT ) = ∂i(α)T +α∂iT .

Démonstration. Soit ϕ une fonction test, alors 〈∂i(αT ),ϕ〉 = −〈αT ,∂iϕ〉 =−〈T ,α∂iϕ〉 = −〈T ,∂i(αϕ) − (∂iα)ϕ〉 = 〈∂iT ,αϕ〉 + 〈(∂iα)T ,ϕ〉 = 〈α∂iT +(∂iα)T ,ϕ〉.

Exemples

1 Considérons la fonction de Heaviside θ(x) =

1 x > 00 sinon

. Cette fonc-

tion est localement intégrable, donc on peut lui associer la distribu-tion Tθ par l’intégration. A la place de Tθ, on écrira θ.

20

〈θ′,ϕ〉 = −〈θ,ϕ′〉 =∫ ∞−∞θ(x)ϕ′(x)dx = −

∫ ∞0ϕ′(x)dx = −

∫ ∞0d(ϕ(x))

= ϕ(x)|x=∞x=0 = ϕ(0) = 〈δ0,ϕ〉 ⇒ θ′ = δ0.

2 〈δ′0,ϕ〉 = −〈δ0,ϕ′〉 = −ϕ′(0).

Remarque Pour une distribution T on a supp(DpT ) ⊂ supp(T ), doncen particulier supp(δ0) = 0.

3 Pour f (x) =max(0,x) considérons la distribution associée, qu’on noteencore par f , alors on voit que f (x) = xθ(x) et même en tant que dis-tributions f = xθ (x répresente la fonction lisse idR), alors par larègle de dérivation de la proposition 9 on a : f ′ = xθ′ + x′θ = xδ0 +θet puisque xδ0 = 0 on a que f ′ = θ.

4 xδ′0 = (xδ0)′ − x′δ0 = −δ0 car xδ0 = 0.

5 Considérons la distribution associée à la fonction f (x) = log |x|. Unetelle distribution existe car f est localment intégrable, en effet lescompacts qui posent de problèmes sont ceux contenant l’origine,

mais si a < 0 < b alors∫ b

af (x)dx =

∫ 0

alog(−x)dx +

∫ b

0log(x)dx et

lorsque x > 0, log(x) admet une primivite x log(x) − x et si x < 0,log(−x) admet une primitive x log(−x)− x. Ensuite on utilise le théo-

rème fondamental du calcul intégral (écrire par exemple∫ b

0log(x)dx =

limε→0

∫ b

ε(x log(x)− x)′dx) et le fait que la fonction x log(x) est continue

en 0, ce qui montre que l’intégral existe, donc f est localement inté-grable. On peut donc la dériver (au sens de distributions) log |x| :

〈(log |x|)′,ϕ〉 = −〈log |x|,ϕ′〉 = −∫ ∞−∞

log |x|ϕ′(x)dx =

− limε→0

∫|x|>ε

log |x|ϕ′(x)dx = − limε→0

(∫ −ε−∞

log(−x)dϕ(x) +∫ ∞ε

log(x)dϕ(x))

= limε→0

(log(−x)ϕ(x)|−ε−∞ −

∫ −ε−∞

ϕ(x)xdx+ log(x)ϕ(x)|∞ε −

∫ ∞ε

ϕ(x)xdx

)= − lim

ε→0

(−∫|x|>ε

ϕ(x)xdx+ log(ε)(ϕ(−ε)−ϕ(ε))

)

21

= 〈vp(

1x

),ϕ〉+ lim

ε→0log(ε)(ϕ(−ε)−ϕ(ε)).

Mais ϕ(−ε)−ϕ(ε) ∼ ε (accroissements finis) donc la limite vaut 0, etalors (log |x|)′ = vp(1

x ) dans D′(Ω)

3.5 Opérations induites par une application lisse entre deuxouverts

Soit f : Ω1→Ω2, x 7→ y une application de classe C∞ entre Ω1 ⊂ Rd1 etΩ2 ⊂ Rd2 deux ouverts, alors on peut définir une application f ∗ : E(Ω2)→E(Ω) par f ∗(ϕ) = ϕ f .

Remarque f ∗ est continue.Supposons que la suite (ϕn)n≥1 ⊂ E(Ω2) converge vers ϕ dans E(Ω2), lasuite (f ∗(ϕn))n≥1 converge vers f ∗(ϕ) dans E(Ω1), c-à-d ∀K ⊂Ω1 compact,∀p ∈Zd1≥0 D

px (f ∗(ϕn))

n→∞−→ Dpx (f ∗(ϕ)) uniformément.

Fixons donc un compact K ⊂ Ω1. Par la règle de dérivation des fonctionscomposées on a :

∂∂xi

f ∗(ϕn) =d1∑j=1

f ∗(∂ϕn∂yj

)∂f ∗(yj)

∂xi⇒D

px f∗(ϕn) =

∑|q|≤|p|

f ∗(Dqyϕn

)hq(f )

où les hq(f ) sont des coefficients qui dépendent de f . Comme f (K) est un

compact de Ω2) et que par hypothèse Dqyϕnn→∞−→ D

qyϕ uniformement sur

f (K) alors on a que Dpx (f ∗(ϕn))n→∞−→ D

px (f ∗(ϕ)) uniformément sur K (on

laisse au lecteur écrire les détails).

Comme f ∗ est continue on a une unique application induite f∗ : E ′(Ω1)→E ′(Ω2) (que l’on peut aussi voir comme une application entre D′c(Ω1) etD′c(Ω2) d’après l’identification E ′(Ω) D′c(Ω) vu dans le théorème 2).

f∗(T ) s’appelle le push forward ou poussée en avant de T par f .

Exemple Considérons δa ∈ E ′(Ω), a ∈ Ω (par définition 〈δa,ϕ〉 = ϕ(a))et f : Ω → Ω lisse, alors 〈f∗(δa),ϕ〉 = 〈δa, f ∗(ϕ)〉 = 〈δa,ϕ f 〉 = ϕ(f (a)) =〈δf (a),ϕ〉 ⇒ f∗(δa) = δf (a).

Si f est une application propre (∀K compact f −1(K) est compact), alorsf ∗ (D(Ω2)) ⊂ D(Ω1) car dans ce cas pour ϕ ∈ D(Ω2) on a supp(ϕ f ) =f −1(supp(ϕ)) et la transposition nous donne une application f∗ :D′(Ω1)→

22

D′(Ω2) qui prolonge f∗|E ′(Ω1).

Si on regarde les élément de D(Ω1) comme distributions (par l’intégra-tion) nous avons une inclusion D(Ω1) ⊂ E ′(Ω1), on peut donc restreindref∗ à D(Ω1) et si de plus f∗|D(Ω1)(D(Ω1)) ⊂ D(Ω2) , alors on a une uniqueapplication f ∗ = (f∗)∗ :D′(Ω2)→D′(Ω1).

f ∗(T ) s’appelle le pull back ou tirée en arrière de T par f .

Exemple Considérons l’application lisse f : Rd → R, x 7→ ‖x‖2.L’application induite push forward de f donne une application f∗ : E ′(Rd)→E ′(R). Soit ϕ ∈ D(Rd), par l’intégration on peut voir ϕ comme un élémentde E ′(Rd), regardons maintenant si f∗(D(Rd)) ⊂ D(R). Soit donc, ψ ∈ E(Rd)quelconque,alors :

〈f∗ϕ,ψ〉 = 〈ϕ,f∗ψ〉 = 〈ϕ,ψ f 〉 =∫Rdϕ(x)ψ(‖x‖2)dx

=

dx = rd−1drdω, r = ‖x‖

dω la mesurestandard sur Sd−1

=∫ ∞

0rd−1ψ(r2)

(∫Sd−1

ϕ(x)|‖x‖=rdω)dr

=∫ ∞

0

12td−2d ψ(t)

(∫Sd−1

ϕ(x)|‖x‖=√tdω)dt =

∫ ∞−∞ψ(t)(f∗ϕ)(t)dt

où

(f∗ϕ)(t) =

12t

d−12

∫Sd−1

ϕ(x)|‖x‖=√tdω si t > 0

0 sinon

Comme ϕ est à support compact, on voit que f∗ϕ est à support com-pact (en effet son support est par définition fermé et il est claire qu’ilest borné, donc compact), mais par contre elle n’est pas C∞ car les dé-rivées succesives de f∗ϕ ne seront pas toutes continues en 0. Mais si onconsidère f : Rd \ 0 → R, alors f∗(ϕ) ∈ D(Ω), en effet si ϕ ∈ D(Rd \ 0),∫Sd−1

ϕ(x)|‖x‖=√tdω = 0 dans un voisinage de 0 et donc les dérivées de tout

ordre en t = 0 ne posent pas de problèmes de discontinuité.

Continuons la discusion sur les opérations induites par une applicationlisse f : Ω1 → Ω2 entre deux ouverts Ω1 ⊂ Rd1 et Ω2 ⊂ Rd2 . Dénotonspar xi : Ω1 → R, 1 ≤ i ≤ d1 et yj : Ω2 → R, 1 ≤ j ≤ d2 les coordo-nées respectives. Si ϕ ∈ E(Ω2) alors f ∗ϕ ∈ E(Ω1), par la règle de la chaîne

23

Dx (ϕ f ) =Df (x)ϕ ·Dxf où x = (x1, · · · ,xd1)t, matriciellement :

Df (x)ϕ ·Dxf =(∂ϕ∂y1

(f (x)), · · · , ∂ϕ∂yd2(f (x))

)∂y1∂x1

(x) · · · ∂y1∂xd1

(x)...

...∂yd2∂x1

(x) · · · ∂yd2∂xd1

(x)

On recupère la i-ème colonne de ce produit et on obtient :

∂∂xi

(ϕ f )(x) =d2∑j=1

∂ϕ

∂yj(f (x))

∂yj∂xi

(x)

Puisque (yj f )(x) = yj(x) on peut encore écrire (en oubliant l’argumentx) :

∂∂xi

ϕ f =d2∑j=1

f ∗(∂ϕ

∂yj

)∂f ∗yj∂xi

Cette même formule peut être vue comme les compositions des applica-

tions linéaires continues : ∂∂xi,Mαj : E(Ω1)→ E(Ω1) oùMαj (ψ) =

∂f ∗yj∂xi

ψ et∂∂yj

: E(Ω2) → E(Ω2), f ∗ : E(Ω2) → E(Ω1). Ainsi en oubliant encore ϕ on

peut écrire :

∂∂xi f ∗ =

d2∑j=1

Mαj f∗ ∂∂yj

Soit f∗ : E ′(Ω1) → E ′(Ω2) la transposée de f ∗, alors si on tranpose la for-mule ci-dessus on obtient :

−f∗ ∂∂xi

=d2∑j=1

− ∂∂yj f∗ M∗αj

Ce qui nous donne la formule :

f∗

(∂∂xi

T

)=

d2∑j=1

∂∂yj

(f∗

(∂f ∗yj∂xi

T

))∀T ∈ E ′(Ω1) (2)

On peut aussi verifier cette formule à la main.

Si de plus f∗ (D(Ω1)) ⊂ D(Ω2) on peut tranposer encore une fois et calculer

24

la tirée en arrière f ∗ :D′(Ω2)→D′(Ω1) par f (attention ! on note aussi cettetransposée par f ∗ mais cette fois-ci elle agit sur les ϕ considéres commedes distributions, tandis qu’au debut le f ∗ n’était pas le même car elle agis-sait sur le fonctions lisses), ainsi en transposant la formule (2) on obtient

∂∂xi

(f ∗T ) =d2∑j=1

∂f ∗yj∂xi

f ∗(∂∂yj

T

)∀T ∈ D′(Ω) (3)

3.6 Opérateur de Laplace

L’opérateur de Laplace est définit par ∆ =d∑i=1

(∂∂xi

)2

sur E(Rd) (mais

deux fois différentiable suffirait pour l’appliquer). On cherche des solu-tions de ∆g = 0 sur Rd \ 0 invariantes par rotations, i.e g(x) = f (‖x‖)

où ‖x‖2 =∑di=1x

2i . Donc, 2‖x‖∂‖x‖

∂xi= 2xi ⇒

∂‖x‖∂xi

=xi‖x‖

, ensuite∂g

∂xi=

f ′(‖x‖)∂‖x‖∂xi

= f ′(‖x‖) xi‖x‖

, en derivant encore une fois∂2g

∂x2i

= f ′′(‖x‖)x2i

‖x‖2+

f ′(‖x‖) 1‖x‖

+f ′(‖x‖)xi(− 1‖x‖2

)xi‖x‖

, en sommant sur les i on a ∆g(x) = f ′′(‖x‖)+

f ′(‖x‖)d − 1‖x‖

.

∆g = 0 ⇔ f ′′(t) + f ′(t)d − 1d

= 0 t ∈ R>0. La solution général de cette

équation différentielle (par la méthode de variation de la constante) est

f (t) = C1t2−d − 1

2− d+C2, posons fd(t) =

t2−d − 12− d

. Notons que lorsque t → 2,

f (t)→ C1 log(t) +C2.

Remarque fd(‖x‖) est localement intégrable sur Rd : Changement de va-

riable x = (‖x‖,ω) ∈ R>0×Sd−1⇒ dx = ‖x‖d−1d‖x‖dω⇒ fd(‖x‖)dx =‖x‖2−d − 1

2− d‖x‖d−1d‖x‖dω =

‖x‖ − ‖x‖d−1

2− dd‖x‖dω et l’on peut donc intégrer sans problème dans un voi-

sinage de 0, ainsi fd(‖x‖) définit un élément de D′(Rd).

Question qu’elle est la distribution ∆fd(‖x‖) ∈ D′(Rd) ?

Théorème 3. ∆fd(‖x‖) = cdδ(x) ∈ D′(Rd) où cd =∫Sd−1

dω.

25

Démonstration. On définit r : Rd \ 0 → R>0, alors dans un exemple on avu que r∗(D(Rd \ 0)) ⊂ D(R>0) et donc la tirée en arrière r∗ : D′(R>0) →D′(Rd \ 0) existe.Notre but sera de calculer ∆fd comme une limite d’une famille de distribu-tions d’élements Tε ∈ D′(Rd \0) ⊂ D′(Rd) (cette inclusion continue est par

prolongement évident). On définit alors Tε par 〈Tε,ϕ〉 =∫‖x‖≥ε

fd(‖x‖)ϕ(x)dx,

on on bien que Tεε→0→ fd(‖x‖) et donc ∆fd = limε→0∆Tε.

Remarque Tε = r∗Sε, Sε ∈ D′(R>0) définie par une fonction localementintégrable.

On pourrait donner la formule pour Sε mais on va plutôt la dériver :Soit ϕ ∈ D(R>0) et ψ ∈ D(Rd \ 0), alors d’une part 〈r∗ϕ,ψ〉 = 〈ϕ,r∗ψ〉 =∫Rd\0

ϕ(x)ψ(‖x‖)dx =∫ ∞

0ψ(t)td−1

(∫Sd−1

ϕ(t,ω)dω)dt. Notons parA l’opé-

rateur A : D(Rd \ 0)→ D(R>0) défini par (Aϕ)(t) =∫Sd−1

ϕ(t,ω)dω, alors

r∗(ϕ)(t) = td−1(Aϕ)(t).

D’autre part 〈r∗Sε,ϕ〉 = 〈Sε, r∗ϕ〉 =∫ ∞

0Sε(t)(r∗ϕ)(t)dt et si on calcule 〈Tε,ϕ〉 =∫

R>0×Sd−1fd(t)ϕ(t,ω)dtdω =

∫t>εfd(t)td−1

(∫Sd−1

ϕ(t,ω)dω)dt

=∫t>εfd(t)(r∗ϕ)(t)dt, donc en comparant Tε et r∗Sε on voit qu’il faut poser

Sε(t) = fd(t)θ(t − ε).

On a ∆Tε = ∆r∗Sε = r∗( ∂∂t

)2

+d − 1t

∂∂t

Sε(t) (utiliser deux fois la for-

mule (3)). Par la formule de Leibnitz pour les distributions :

∂∂tSε(t) = f ′d (t)θ(t − ε) + fd(t)δ(t − ε) = f ′d (t)θ(t − ε) + fd(ε)δ(t − ε)

Encore une fois :(∂∂t

+d − 1t

)(f ′d (t)θ(t − ε) + fd(ε)δ(t − ε) = f ′′d (t)θ(t − ε) + f ′d (ε)δ(t − ε)

+fd(ε)δ′(t − ε) +d − 1tf ′d (t)θ(t − ε) +

(d − 1)fd(ε)ε

δ(t − ε) =

26

(f ′d (ε) +

(d − 1)fd(ε)ε

)δ(t − ε) + fd(ε)δ′(t − ε) +

=0︷ ︸︸ ︷(f ′′d (t) +

d − 1tf ′d (t)

)θ (t − ε) =:

Sε(t)⇒ ∆Tε = r∗Sε. Ainsi 〈∆Tε,ϕ〉 = 〈Sε, r∗ϕ〉 = 〈Sε, td−1Aϕ〉 = 〈td−1Sε,Aϕ〉.

Calculons encore td−1Sε = εd−1(f ′d (ε) +

(d − 1)fd(ε)ε

)δ(t − ε)+

fd(ε)

∂∂t

(td−1δ(t − ε))︸ ︷︷ ︸εd−1δ′(t−ε)

− ∂∂ttd−1δ(t − ε)︸ ︷︷ ︸

(d−1)εd−2δ(t−ε)

= εd−1f ′d (ε)︸ ︷︷ ︸=1

δ(t−ε)+εd−1fd(ε)δ′ (t − ε)

= δ(t − ε) +ε − εd−1

2− dδ′(t − ε).

On continue les calculs 〈Sε, td−1Aϕ〉 = 〈td−1,Aϕ〉 = (Aϕ)(ε)−ε − εd−1

2− d(Aϕ)′(ε).

Soit maintenant ϕ ∈ D(Rd) :

limε→0〈∆Tε,ϕ〉 = (Aϕ)(0)− lim

ε→0

ε − εd−1

2− d(Aϕ)′(ε)︸ ︷︷ ︸

=0

∀d ≥ 1.

Donc, 〈∆fd ,ϕ〉 = limε→0〈∆Tε,ϕ〉 = (Aϕ)(0) =

∫Sd−1

ϕ(0,ω)︸ ︷︷ ︸ϕ(0)

dω = ϕ(0)∫Sd−1

dω︸ ︷︷ ︸cd

⇒ ∆fd = cdδ.

Petit calcul : On va déduire une formule de récurrence pour calculer cd .

Soit Bd(0,R) = x ∈ Rd | x21 + · · · + x2

d < R, alors V ol(Bd(0,R)

)=

∫‖x‖<R

dx =∫ R

0td−1dt

∫Sd−1

dω︸ ︷︷ ︸cd

=Rd

dcd . A partir de cette formule on obtient : V ol

(Bd(0,R)

)=

∫ R

−R

∫Bd−1

(0,√R2−x2

d

)dx1 · · ·dxd−1

dxd

27

= 2∫ R

0

(√R2 − x2

d

)d−1

d − 1cd−1dxd =

cd−1

d − 12∫ R

0

(√R2 − x2

d

)d−1dxd︸ ︷︷ ︸

I

.

I = 2∫ t=1

t=0

(R2 −R2t2

) d−12 d(tR) = R22

∫ 1

0

(1− t2)d−1

2

ttdt =

s = t2

ds = 2dt

=

= Rd∫ 1

0(1 − s)

d−12 s−

12ds = Rd

∫ 1

0(1 − s)

d−12 −1s

12−1ds = Rd · B

(d + 1

2,12

)= Rd ·

Γ(d+1

2

)Γ(

12

)Γ(d2 + 1

) ⇒ Rd

dcd =

cd−1

d − 1Rd

Γ(d+1

2

)√π

Γ(d2 + 1

) car Γ(12

)=√π.

On en déduit la formule :

cdcd−1

=d

d − 1·Γ(d+1

2

)√π

Γ(d2 + 1

) (4)

On peut encore développer cette récurrence et obtenir :

cd =2πd/2

Γ(d2

) (5)

Dans la démostration du théorème 3 on a utilisé le fait que :

∆ r∗ = r∗ (∂2

∂t2+d − 1t

∂∂t

)Cette formule se démontre à l’aide de la formule 3 sur la dérivée de la tiréeen arrière d’une distribution.En effet, r : Rd \ 0 → R>0, (x1, · · · ,xd) 7→ ‖x‖ = t, soit donc T ∈ D′(R>0)

⇒ ∂∂xi

(r∗T ) =∂t∂xi

r∗(∂∂tT

)=xitr∗

(∂∂tT

)d’après la formule 3. On dérive

encore une fois, et la règle de Leibnitz donne :∂2

∂x2i

(r∗T ) =(

1t−x2i

t3

)r∗

(∂∂tT

)+xit∂∂xi

r∗(∂∂tT

). On applique a nouveau la

formule 3 au second terme de l’inégalité à droite :∂∂xi

r∗(∂∂tT

)=xitr∗

(∂2

∂t2T

). Finalement on somme sur les i pour récupérer

le Laplacien :

(∆ r∗)T =d∑i=1

((1t−x2i

t3

)r∗

(∂∂tT

)+x2i

t2r∗

(∂2

∂t2T

))28

(∆ r∗)T =d − 1tr∗

(∂∂tT

)+ r∗

(∂2

∂t2T

)=

(r∗

(d − 1t

∂∂t

+∂2

∂t2

))T , d’où le ré-

sultat.

Le cas d=2

f2(x,y) = limd→2

‖(x,y)‖2−d − 12− d

= limd→2

log‖(x,y)‖(−1)‖(x,x)‖2−d

−1= log

√x2 + y2

Si on change de coordonnées, par exemple pour z = x + iy et z = x − iy, on

peut écrire f2(z) = 12 logzz. Rappelons que les opérateurs différentiels

∂∂z

et∂∂z

sont définis par les formules suivantes :

∂∂z

:=12

(∂∂x− i ∂∂y

),

∂∂z

:=12

(∂∂x

+ i∂∂y

)Une manière de retrouver ces formules est d’utiliser la règle de la dériva-tion en chaîne :

∂∂x

=∂z∂x· ∂∂z

+∂z∂x· ∂∂z

=∂∂z

+∂∂z

∂∂y

=∂z∂y· ∂∂z

+∂z∂y· ∂∂z

= i∂∂z− i ∂∂z

et ensuite on résout ce système.

Ainsi∂∂z

∂∂z

=∂∂z

∂∂z

=14

( ∂∂x)2

−(i∂∂y

)2 =14

( ∂∂x)2

+(∂∂y

)2 =∆

4.

Notons par δ(z) la distribution de Dirac dans le plan, alors par le Théo-

rème 3 on a 4∆f2(z) = c2δ(z) qui est aussi 4∆f2(z) = 4∂∂z

∂∂z

(12

logzz)

=

4∂∂z

( 12z

)= 2

∂∂z

(1z

)et puisque c2 = 2π on a :

∂∂z

(1z

)= πδ(z) (6)

L’équation 6 nous permet de déduire la formule de Cauchy de l’AnalyseComplexe :

D’abord un calcul formel avec les formes différentielles donne dx ∧ dy =

d(z+ z

2

)∧ d

(z − z2i

)=

14i

(−dz ∧ dz + dz ∧ dz) =12idz ∧ dz. Soit maintenant

29

f (z) holomorphe dans le plan ou de manière équivalente∂∂zf (z) = 0 (par

les équations de Cauchy- Riemann), alors :

πf (0) =∫B(0,r)

f (z)πδ(z)dx∧ dy =∫B(0,r)

f (z)∂∂z

(1z

) dz∧ dz2i

Comme∂∂zf (z) = 0 alors f (z)

∂∂z

(1z

)=∂∂z

(f (z)z

), donc si on continue les

calculs :

πf (0) =∫B(0,r)

∂∂z

(f (z)z

)dz∧ z

2i=

∫B(0,r)

d

(f (z)dz

2iz

)=

12i

∫∂B(0,r)

f (z)dzz

pour la dernière égalité on a utilisé le Théorème de Stokes, donc on retrouvela formule de Cauchy :

f (0) =1

2πi

∫∂B(0,r)

f (z)zdz

3.7 Produit tensoriel de distributions

Soient Ω ⊂ Rd , Ω′ ⊂ Rd′ deux ouverts. On a une application :

D(Ω)×D(Ω′)⊗→D(Ω×Ω′), (ϕ ⊗ψ)(x,y) := ϕ(x)ψ(y)

Cette application est bien définie car ϕ ⊗ψ ∈ D(Ω ×Ω′), en effet elle esttoujours C∞ sur Ω×Ω′ et aussi à support compact.

Théorème 4. Soient T ∈ D′(Ω), S ∈ D′(Ω′), il existe une unique distributionsur Ω ×Ω′ notée T ⊗ S appelée produit tensoriel de T et S, telle que ∀ϕ ∈D(Ω), ∀ψ ∈ D(Ω′) 〈T ⊗ S,ϕ ⊗ψ〉 = 〈T ,ϕ〉〈S,ψ〉.

On va démontrer ce théorème en utilisant 3 lemmes préliminaires,mais voyons d’abord un exemple d’application : le théorème dit donc quesi l’on prend δ(x,y) ∈ D(R2) (la distribution de Dirac dans le plan), alorsδ(x,y) = δ(x)δ(y) = (δ⊗ δ)(x,y).Avant d’ennocer le premier lemme, considérons ϕ ∈ D(Ω ×Ω′) et x ∈ Ω.On a une application lisse ix : Ω′ → Ω ×Ω′, y 7→ (x,y), ce qui donnei∗x : E(Ω×Ω′)→ E(Ω′), on peut vérifier que i∗x(ϕ) ∈ D(Ω′) et on peut doncdéfinir une application :

ϕS Ω −→ Cx 7→ 〈S, i∗x(ϕ)〉

30

Remarque ϕS est continue.

Lemme 2. ϕS ∈ D(Ω).

Si le lemme 2 est vrai, on va poser 〈T ⊗ S,ϕ〉 := 〈T ,ϕS〉 et si ϕ = χ ⊗ψ avec χ ∈ D(Ω) et ψ ∈ D(Ω′), on aura 〈T ⊗ S,χ ⊗ ψ〉 = 〈T , (χ⊗ψ)S〉 =〈T ,χ〉〈S,ψ〉 car i∗x(χ ⊗ ψ)(y) = (χ ⊗ ψ) ix(y) = (χ ⊗ ψ)(x,y) = χ(x)ψ(y) etalors (χ⊗ψ)S(x) = 〈S, i∗x(χ⊗ψ)〉 = 〈S,χ ·ψ〉 = χ(x)〈S,ψ〉.

Démonstration. Soit ei = (0, · · · ,1, · · · ,0)t le vecteur de Rd avec 1 à la i-èmecoordonnée et zéros aux restantes, alors par définition :

limε→0

ϕ(x+ eiε,y)−ϕ(x,y)ε

=∂∂xi

ϕ(x,y)

en l’applicant S des deux côtés de l’inégalité en haut, et par continuité deS :

limε→0

ϕS(x+ eiε)−ϕS(x)ε

=(∂ϕ

∂xi

)S

(x)

ce qui implique que∂ϕS∂xi

(x) existe et elle est égale à(∂ϕ

∂xi

)S

(x) ou de ma-

nière équivalente∂∂xi〈S, i∗x(ϕ)〉 = 〈S, i∗x

(∂ϕ

∂xi

)〉, et on peut continuer de dé-

river ϕS . On a aussi que supp(ϕS) est compact car supp(ϕ) l’est (exer-cice).

Lemme 3. Soient ϕ,ψ ∈ D(Rd), ε > 0, et x ∈ Rd . Posons gε(x) = εd∑m∈Zd

ϕ(x −

εm)ψ(εm). Alors limε→0

gε = ϕ ∗ψ dans D(Rd).

Démonstration. Remarquons d’abord que gε est bien définie car la sommeest finie vu que supp(ϕ) et supp(ψ) sont compacts.

Sa dérivée donne∂gε∂xi

(x) = εd∑m∈Zd

∂ϕ

∂xi(x−εm)ψ(εm). Pour un x fixé le théo-

rème d’accroissements finis donne : |ϕ(x−y)ψ(y)−ϕ(x−y′)ψ(y′)| ≤ C‖y−y′‖.

Partageons l’espace Rd en hypercubes d-dimensionelsQεm =m∏i=1

[miε, (mi + 1)ε]

où m = (m1, · · · ,md) ∈ Zd , l’intégral de convolution de ϕ et ψ peut doncs’écrire :

(ϕ ∗ψ)(x) =∫Rdϕ(x − y)ψ(y)dy =

∑m∈Zd

∫Qεm

ϕ(x − y)ψ(y)dy

31

ainsi :

|(ϕ ∗ψ)(x)− gε(x)| ≤∑m∈Zd

∫Qεm

|ϕ(x − y)ψ(y)−ϕ(x − εm)ψ(εm)|︸ ︷︷ ︸≤C‖y−εm‖

dy

Pour faire cette majoration on a écrit εd =∫Qεm

dy. D’une part par le théo-

rème de Pythagore on a ‖y − εm‖ ≤ ε√d et d’autre part la compacité du

support de ψ nous dit que ‖εm‖ ≤ N = maxy∈supp(ψ)

‖y‖, ce qui donne le majo-

rant(2 · N

ε+ 1

)dpour le nombre d’hypercubes qui interviennent dans la

somme, et on obtient finalment :

|(ϕ ∗ψ)(x)− gε(x)| ≤(2 · N

ε+ 1

)dCεd+1

√d

ε→0−→ 0

et pour toutes les dérivées de gε et ϕ ∗ ψ on fait le même calcul car ondérive juste ϕ, nos majorants ne changent pas sauf la constante C.

Lemme 4. L’espace vectorielD(Ω)⊗D(Ω′) engendré par ϕ⊗ψ |ϕ ∈ D(Ω),ψ ∈D(Ω′) est dense dans D(Ω×Ω′).

Démonstration. La notion de suite régularisante a été déjà utilisé dans ladémonstration du théorème 1 d’approximation.Une suite régularisante dans D(Rd) est une suite de fonctions (fn)n≥1 deD(Rd) dans [0,+∞[ tel que ∀n ∈ Z>0 :

(1)∫Rdfn(x)dx = 1

(2) supp(fn) ⊂ B(0, rn) avec limn→∞

rn = 0

Soit maintenant χ ∈ D(Rd), χ ≥ 0 avec supp(χ) = B(0,1) et∫Rdχ(x)dx = 1,

alors χ définit une suite régularisante (χn)n≥1 de D(Rd) par les formulesχn(x) = ndχ(xd).Soit χn et χn des suites régularisantes dans Rd et Rd′ respectivement, alors(exercice) χn ⊗ χn est une suite régularisante dans Rd ×Rd′ . Donc soit ϕ ∈D(Ω×Ω′) arbitraire, on a que ϕ ∗ (χn⊗ χn) ∈ DK1×K ′1(Ω×Ω′) où K,K1 ⊂Ω,

K ′,K ′1 ⊂Ω′ sont des compacts tels que supp(ϕ) ⊂ K ×K ′ et K ⊂ K1,K′ ⊂ K ′1.

On pose :gn,ε(x,y) = εd+d′

∑m∈Zd ,m∈Zd′

χn(x − εm)χn(y − εm)ϕ(εm,εm) ∈ D(Ω)⊗D(Ω′)

32

Par le lemme 3 on a que limε→0

gn,ε = ϕ ∗ (χn ⊗ χn) et puis comme la suite

(χn ⊗ χn)n≥1 est régularisante, comme pour le théorème 1, ϕ ∗ (χn ⊗ χn)converge vers ϕ.

Finalement pour démontrer le théorème 4 il ne nous reste que montrerla continuité de T ⊗ S

Démonstration. (continuité de T ⊗ S)Par définition 〈T ⊗ S,ϕ〉 = 〈T ,ϕS〉 avec ϕS(x) = 〈S, i∗x(ϕ)〉. La proposition1 nous dit qu’il faut montrer que pour tout compact K ⊂ Ω ×Ω′ ∃C >0,∃m ∈ Z≥0 tels que ∀ϕ ∈ DK (Ω×Ω′), alors |〈T ⊗ S,ϕ〉| ≤ C‖ϕ‖(m).

Soient K1 ⊂ Ω, K2 ⊂ Ω′ compacts tels que K ⊂ K1 × K2. Par continuitéde T et S il existent C1,C2 > 0 et m1,m2 ∈ Z≥0 tels que :

(1) ∀φ ∈ DK1(Ω) |〈T ,φ〉| ≤ C1‖φ‖(m1)

(2) ∀ψ ∈ DK2(Ω′) |〈S,ψ〉| ≤ C2‖ψ‖(m2)

Alors |ϕS(x)| = |〈S, i∗x(ϕ)〉|(2)≤ C2‖i∗x(ϕ)‖(m2), en particulier |DpxϕS(x)| = |Dpx 〈S, i∗x(ϕ)〉| =

|〈S,Dpx i∗x(ϕ)〉|(2)≤ C2‖D

px i∗x(ϕ)‖(m2) ≤ C2‖ϕ‖(m2+|p|), puisque i∗x(ϕ)(y) = ϕ(x,y).

Ensuite |〈T⊗S,ϕ〉| = |〈T ,ϕS〉|(1)≤ C1‖ϕS‖(m1) = C1

∑|p|≤m1

‖Dpx i∗x(ϕ)‖ ≤ C3‖ϕ‖(m2+m1).

Propriétés(1) supp(T ⊗ S) = supp(T )× supp(S)

(2)∂∂xi

(T ⊗ S) =∂T∂xi⊗ S.

(3)∂∂yj

(T ⊗ S) = T ⊗ ∂S∂yj

A titre d’exemple, on va prouver la propriété (1) :

Remarquons d’abord que si φ ∈ D(Ω ×Ω′) est telle que supp(φ) ⊂ Ω ×(Ω′ \ supp(S)), alors φS = 0. En effet supp(i∗x(φ)) ⊂ Ω′ \ supp(S) car si y ∈supp(i∗x(φ))⇒ i∗x(φ)(y) = φ(x,y) , 0 donc (x,y) ∈ supp(φ) et alors y ∈ Ω′ \supp(S), ainsi par définition de supp(S), φS(x) = 〈S, i∗x(φ)〉 = 0 ∀x ∈ Ω,donc φS = 0. On en déduit que supp(T ⊗ S) ⊂Ω× supp(S).

De même on montre que supp(T ⊗ S) ⊂ supp(T ) ×Ω′, pour ça on consi-dère φ ∈ D(Ω ×Ω′) avec supp(φ) ⊂ (Ω \ supp(T )) ×Ω′ et on montre quesupp(φS) ⊂ Ω \ supp(T ) et comme avant on en déduit que supp(T ⊗ S) ⊂

33

supp(T )×Ω′.

Finalement on obtient que supp(T ⊗ S) ⊂ supp(T )× supp(S).

Pour l’autre inclusion on prend (x,y) ∈ supp(T ) × supp(S) \ supp(T ⊗ S)et on arrive a une contradiction.

3.8 Produit de convolution

Soit σ : Rd ×Rd → Rd , σ (x,y) = x+y, elle induit σ ∗ : E(Rd)→E(Rd ×Rd)et de plus σ ∗ est continue, donc on a une application σ∗ : E ′(Rd ×Rd) →E ′(Rd).

Définition 12. Soient S,T ∈ E ′(Rd), le produit de convolution de S et T estla distribution T ∗ S = σ∗(T ⊗ S) ∈ E ′(Rd)

Notons que T ∗ S est bien un élément de E ′(Rd) car supp(S ⊗ T ) =supp(S) × supp(S) et par le théorème de Tychonov supp(S ⊗ T ) est com-pact (rappelons que le Théorème 2 donne l’identification E ′(Ω) D′c(Ω))et donc on peut appliquer σ∗ à T ⊗ S.

Remarques(1) supp(T ∗ S) ⊂ supp(T ) + supp(S) (somme point par point)(2) T ∗ (S ∗R) = (T ∗ S) ∗R(3) T ∗ S = S ∗ T(4) T ∗ δ = δ ∗ T = T(5) ∂i(T ∗ S) = ∂iT ∗ S = T ∗∂iS

Ces propriétés se démontrent à la main (sauf la première qu’on peut trou-ver facilement dans la literature) en utilisant les propriétés du produittensoriel des distributions et la commutativité de l’addition.

On peut prolonger le produit de convolution à toute paire (T ,S) ∈ D′(Rd)×D′(Rd), mais avant on a besoin du lemme suivant :

Lemme 5. (i) Soit Ω ⊂ Rd un ouvert et soient T ∈ D′(Ω), ϕ ∈ E(Ω) telsque supp(T )∩ supp(φ) est compact. Alors la quantité 〈T ,ρφ〉 ne dépendpas de la fonction ρ ∈ D(Ω) telle que ρ = 1 sur un ouvert contenantsupp(T )∩ supp(φ).

(ii) Soient Ω ⊂ Rd , Ω′ ⊂ Rd′ deux ouverts, A ⊂Ω un fermé et f : Ω→Ω′

une application de classe C∞ propre sur A (c-à- d que ∀K ⊂Ω′ compact,l’ensemble A∩ f −1(K) est compact). Alors la poussée en avant

f∗ : E ′(Ω)∩D′(Ω)A→E ′(Ω′)

34

où D′(Ω)A = T ∈ D′(Ω)|supp(T ) ⊂ A admet un unique prolongementf∗ :D′(Ω′)A→D′(Ω′).

Démonstration. (i) Soient ρ, ρ ∈ D(Ω) telles que ρ = ρ = 1 sur un ouvert Ucontenant supp(T )∩supp(φ) (de tels fonctions existent car on suppose l’in-tersection compact), alors on voit que supp(T )∩ supp(φ)∩ supp(ρ − ρ) = ∅et donc supp((ρ − ρ)φ) ⊂ Ω \ supp(T ) et par définition 〈T , (ρ − ρ)φ〉 = 0⇔ 〈T ,ρφ〉 = 〈T , ρφ〉.

(ii) Soient T ∈ D′(Ω)A et φ ∈ D(Ω′), alors φ f ∈ E(Ω). Comme f estpropre sur A et supp(T ) ⊂ A, et de plus f −1(supp(φ)) = supp(φ f ) alorssupp(φf )∩supp(T ) =: K est compact (utiliser le fait que tout fermé dansun compact est compact), donc par (i) on peut choisir n’importe quelleρ ∈ D(Ω) telle que ρ = 1 sur un ouvert U ⊃ K et donc on peut défi-nir 〈f∗(T ),φ〉 := 〈T ,ρ(φ f )〉 qui ne dépend pas de ρ. De plus c’est bienun prolongement car si T ∈ E ′(Ω)A = T ∈ E ′(Ω) | supp(T ) ⊂ A, alors〈T , (ρ − 1)(φ f )〉 = 0 puisque supp(ρ−1) ⊂Ω\U ⊂Ω\supp(T )∩supp(φf )et donc supp(ρ − 1)(φ f ) ⊂ (Ω \ supp(T )∩ supp(φ f )) ∩ supp(φ f ) ⊂Ω \ supp(T ).L’unicité (au sens du prolongement défini pour T ) est laissée en exer-cice.

Comme application de ce lemme prenons Ω = Rd ×Rd′ , Ω′ = Rd , f =σ où σ : Ω → Ω′, (x,y) 7→ x + y, le lemme dit alors que le produit deconvolution E ′

(Rd

)× E ′

(Rd

)→ E ′(Rd) défini par T ∗ S = σ∗(T ⊗ S) peut

être prolongé à toute paire (T ,S) ∈ D′(Rd)×D′(Rd) de sorte que σ∗(T ⊗S) ∈D′(Rd) si σ est propre sur supp(T )×supp(S), ce qui est le cas si par exempleS ∈ E ′(Rd). Au fait si on restreint σ à E×F où E,F ⊂ Rd sont des fermés telsqu’au moins un des deux est compact, alors σ |E×F et propre et donc σ estpropre sur E ×F (pour voir ça on utilise la caracterisation de la compacitépar des suites).

3.9 Dérivées/primitives fractionnaires

On définit D′(R)+ = T ∈ D′(R) | ∃l ∈ R supp(T ) ⊂ [l,+∞[ . Le pro-duit de convolution est bien défini sur cet ensemble. En effet pour toutesS,T ∈ D′(R)+ on a que σ est propre sur supp(S)×supp(T ) ⊂ [l,+∞[×[m,+∞[avec l,m ∈ R, et on se convaincre très facilement sur un dessin du fait queσ−1 ([−a,a])∩ [l,+∞[× [m,+∞[ est compact, donc pour toute paire (T ,S) ∈D′(R)+ par le lemme precédente on a que T ∗ S ∈ D′(R) et par la propriétésupp(T ∗ S) ⊂ supp(T ) + supp(S) on a que T ∗ S ∈ D′(R)+.

35

Définition 13. On dit que S est un k-primitive de T si S(k) = T

Affirmation : S = χk+ ∗ T est une k-primitive de T où χk+(x) =xk−1

(k − 1)!θ(x)

Preuve de l’affirmation : En effetd

dxχk+(x) =

(k − 1)(k − 1)!

xk−2θ(x) +xk−1

(k − 1)!δ(x)︸ ︷︷ ︸

0,car xδ(x)=0

=

χk−1+ (x) si k > 1.

Par récurrence sur k :dk

dxkχk+(x) = · · · = d

dxχ1

+(x) =d

dxθ(x) = δ(x). Finale-

ment :dk

dxk(χk+ ∗ T

)=

dk

dxkχk+ ∗ T = δ ∗ T = T .

En résumé chercher un k-ème dérivée d’une distribution est équivalentà convoler avec χk+, et de façon similaire par les propriétés de la dérivéed’une convolution, calculer la k-ème dérivée d’une distribution est équi-valente à convoler avec δ(k).

Pour a ∈ C on considère :

xa−1

Γ (a)θ(x) =

e(a−1)logx

Γ (a) x > 00 sinon

qui coïncide avec χk+ pour a = k ∈ N∗.Pour Re a > 0, on a une fonction localement intégrable qui définit unedistribution.Sur C \R− : Γ (a) est analytique sans zéro et alors 1

Γ (a) est donc holomorphe

(analytique). En résumé, pour Re a > 0, a 7→ xa−1

Γ (a) est analytique.

Proposition 10. Soit k ∈ N tel que Re(a+ k) > 0, la distribution :

dk

dxk

(xa+k−1

Γ (a+ k)θ(x)

)ne dépend pas de k.

Démonstration. Exercice.

On peut donc définir la distribution χa+(x) :=dk

dxk

(xa+k−1

Γ (a+ k)θ(x)

).

36

Propriétés

(1)d

dxχa+ = χa−1

+

(2) supp(χa+) ⊂ R+(3) χk+ = δ(k), k > 0(4) χa+ ∗χb+ = χa+b+

(1) Si Re(a + 1) > 0, on prend k = 1 et alors χa+ =d

dx

(xa

Γ (a+ 1)θ(x)

), or on

peut prende k = 0 pour χa+1+ et on voit donc que χa+ =

ddx

(χa+1

+

). Pour

a ∈ C quelconque on prend k ∈ N tel que Re(a+ k) > 0, et alors on voit que

χa+ =dk

dxkχa+k+ =

ddx

(dk−1

dxk−1χ

(a+1)+(k−1)+

)︸ ︷︷ ︸

χa+1+

ce qui montre (1).

La fonction a 7→ 〈χa+,φ〉 est analytique pour tout φ ∈ D(R) si Re a > 0, deplus 〈χa+,φ〉 = (−1)k〈χa+k+ ,φ(k)〉.

(2) Si Re a > 0 et supp(φ) ⊂ R∗−, comme χa+ est afféctée par la fonction deHeaviside, 〈χa+,φ〉 = 0⇒ supp(χa+) ⊂ R+. Comme 〈χa+,φ〉 = (−1)k〈χa+k+ ,φ(k)〉,par prolongement analytique la même propriété tient pour tout a ∈ C.

(3) χ0+ =

ddxχ1

+ = δ, et par récurrence χk+ = δ(k).

(4) Pour Re a,Re b > 0 et x > 0 :

χa+ ∗χb+(x) =∫R

ya−1(x − y)b−1

Γ (a)Γ (b)θ(x)θ(x − y)dy =

1Γ (a)Γ (b)

∫ x

0ya−1(x − y)b−1dy

=y=xt

1Γ (a)Γ (b)

∫ 1

0xa+b−1ta−1(1− t)b−1dt =

xa+b−1

Γ (a)Γ (b)B(a,b) =

xa+b−1

Γ (a+ b)

= χa+b+ (x)

On fait un calcul similaire pour Re a,Re b < 0, la prolongation analytique(d’abord on fixe b et ensuite a) donne le résultat pour a,b ∈ C quelcoques.

Avant de finir cette section, faisons quelques commentaires sur l’appli-cation Ia+ : D′(R+)→ D′(R+), T 7→ χa+ ∗ T . On appelle Ia+(T ) l’intégrale deRiemann-Liuoville, on observe de plus que Ia+ ∗ Ib+ = Ia+b+ (c.f propriété (4)de χa+) et I0

+ = δ, le produit de convolution munit donc les Ia+ d’une estruc-ture de groupe isomorphe à (C,+).

37

Sous certaines hypothèses Γ (a)〈χa+,φ〉 =∫Rxa−1θ(x)φ(x)dx =

∫R+

xa−1φ(x)dx

est la transformation de Mellin (cf. Analyse Complexe, Ernst Hairer et Ge-rhard Wanner pag. 58).

3.10 Équation d’onde

Dans Rn+1, on considère les coordonnées (t,x) = (t,x1, · · · ,xn). On munitRn+1 de la forme quadratique q(t,x) = t2−‖x‖2 (avec la norme euclidienne)provenant d’une forme bilinéaire symétrique non-dégénérée pas définiepositive.Le lieu de points où q(t,x) = 0 est un cône ∂C+∪∂C− avecC+ = (t,x)| q(t,x) >0, t > 0 et C− = (t,x)| q(t,x) > 0, t < 0.On appelle groupe de LorentzL le groupe de transformationsA ∈GLn+1 (R)telles que A∗q = q.On a 3 sous-groupes intéressants de L :

L↑ := A ∈ L | A(C+) = C+ groupe de Lorentz orthocrone.L+ := A ∈ L | detA = ±1 grope de Lorentz propre.L0 := L+ ∩L↑ groupe de Lorentz orthocrone-propre.

L’opérateur d’onde où d’alembertien : := ∂2t −∆x, on cherche de solu-

tions de l’équation u = f .Pour Rea > n− 1 on pose :

Ra+(t,x) =c(a)q(t,x)

a−n−12 si (t,x) ∈ C+

0 sinon

où c(a) =Γ(a+1

2

)πn2 Γ (a)Γ

(a−n+1

2

) , si Rea > n − 1 la fonction est localement inté-

grable et definit une distribution.

Lemme 6. Ra+ ∗Rb+ = Ra+b+

On admet sans démonstration le résultat suivant : Si f : Ω1 → Ω2 estune immersion (la différentielle en tout point est injective) où Ω1 ⊂ Rd1 etΩ2 ⊂ Rd2 sont des ouverts, alors la tirée en arrière f ∗ : D′(Ω2)→ D′(Ω1)existe (cf. Distributions, Duistermaat and Kolk, pag. 103).On vérifie que q : Rn+1 \ 0 → R est une immersion et que :

q∗(χa−n+1

2+

)=q(t,x)

a−n−12

Γ(a−n+1

2

) θ (q(t,x)) =πn2 Γ (a)

Γ(a+1

2

)Ra+(t,x)

38

sur Rn+1 \C−, car si Re a > n − 1 alors Re(a−n+1

2

)> 0 et on peut utiliser la

définition simple pour χa−n+1

2+ et calculer sa tirée en arrière par q. Si on pose

d(a) =Γ(a+1

2

)πn/2Γ (a)

, on peut écrire :

Ra+ = d(a)q∗(χa−n+1

2+

)sur Rn+1 \C−

Soit y la coordonnée sur R de q : Rn+1→ R, comme on l’avait déjà fait pourle Laplacien, en utilisant la formule 3 pour la dérivée de la tirée en arrièred’une distribution, on trouve :

q∗ = q∗ (2(n+ 1)

∂∂y

+ 4y∂2

∂y2

)(7)

Notre but est de définir Ra+ pour tout a ∈ C en s’inspirant de la défini-tion qu’on a donnée pour χa+, pour ça on calcule Ra+ et on montre queRa+ = Ra−2

+ :

χa+ est homogène de degré a − 1, c-à-d xd

dxχa+ = (a− 1)χa+, posons v =

χa−n+1

2+ , alors v′ = χ

a−n−12

+ , et v′ est homogène de degré a−n−32 , donc yv′′ =

a−n− 32

v′⇒ 2(n+ 1)v′ + 4yv′′ = (2a−4)v′, finalement on met tout ça dans

la formule 7 et on obtient :

Ra+ = d(a)(2a− 4)q∗(χa−n−1

2+

)=d(a)(2a− 4)d(a− 2)

Ra−2+ = Ra−2

+

puisque Γ(a+1

2

)= a−1

2 Γ(a−1

2

)et Γ (a) = (a− 1)(a− 2)Γ (a− 2).

Définition 14. Pour a ∈ C on définit Ra+ := kRa+2k+ pour k ∈ N tel que Re(a+

2k) > n− 1.

Remarque Comme dans la définition de χa+, cette définition ne dépendpas de k ∈ N tel que Re(a+ 2k) > 0, on a Ra+ ∈ D′(Rn+1) telle que :

(1) Ra+ = d(a)q∗(χa−n+1

2+

)(2) supp(Ra+) ⊂ C+(3) Ra+ = Ra−2

+(4) Ra+ ∗Rb+ = Ra+b+

39

Les 3 dernières propriétés sont des extensions de celles qu’on connaît déjàpour χa+. Pour montrer ces propriétés on se sert à nouveau de la prolon-gation analytique (la fonction a 7→ Ra+(φ) est analytique pour tout φ ∈D(Rn+1)), pour (4) il faudra attendre la preuve dans le cas Re a,Re b > n−1,qu’on donnera plus tard.

Définition 15. Une solution fondamental de est une distribution E ∈D′(Rn+1) telle que E = δ.

Utilité : (E ∗ f ) = E ∗ f = δ ∗ f = f c-à-d u = E ∗ f est solution deu = f .

Théorème 5. les trois propriétés suivantes sont vérifiées :

(a) R0+ = δ

(b) E+ := R2+ est une solution fondamentale.

(c) supp(E+) =C+ si n = 1 ou n ≡ 0(2)∂C+ n ≡ 1(2),n > 1

Démonstration. (a) La propriété (1) de Ra+ et le fait que 1Γ (a) = 0, Γ

(a+1

2

), 0

en a = 0 nous dit que R0+ = 0 sur Rn+1 \ C−, ceci plus la propriété (2)

impliquent que supp(R0+) = 0, donc (cf. Distributions, Duistermaat and

Kolk pag. 77-78) R0+ =

∑|α|≤m

cαDαδ. Par le calcul, on vérifie que Ra+ est ho-

mogène de degré a − n − 1, c-à-d

n∑j=1

xy∂j + t∂t

Ra+ = (a − n − 1)Ra+ et on

particulier R0+ est homogène de degré −n − 1. Par le calcul à nouveau, on

montre que Dαδ est homogène de degré −n− 1− |α|, donc :

0 =

n∑j=1

xj∂j + t∂t +n+ 1

R0+ = −

∑|α|≤m

|α|cαDαδ

Considérons la fonction test y 7→ yβ où y = (t,x) et β un multi-indice, en latestant dans l’équation ci-dessus on montre que les Dαδα sont linéaire-ment indépendants dans D′(Rn+1) et alors cα = 0 ∀α , 0. Donc R0

+ = cδ, etpar (4) Ra+ = Ra+ ∗R0

+ = cRa+ ∗ δ = cRa+⇒ c = 1.

(b) C’est une conséquence de (3) et (a).

(c) Omise (cf. Duistermaat ad Kolk pag. 162).

40

Si n = 3, on peut montrer que 〈E+,ϕ〉 =1

4π

∫R3

φ(‖x‖,x)‖x‖

d3x, comme u =

E+∗f ça nous donnera comme solution u(t,x) =1

4π

∫R3

f (t − ‖x − x′‖,x′)‖x − x′‖

d3x′

(potencial retardé).

Démontrons maintenant la propriété (4) de Ra+ :

Lemme 7. Supposons Re a,Re b > n − 1, alors Ra+ ∗Rb+ = Ra+b+ . Pour a,b ∈ Cquelconques, l’égalité reste vraie par prolongement analytique de a 7→ 〈Ra+,φ〉qui est analytique pour tout φ ∈ D′(Rn+1).

Démonstration. Pour calculer la fonction R := Ra+ ∗ Rb+ en y = (t,x) il fautintégrer Ra+ (t − τ,x − ξ)Rb+ (τ,ξ) sur η = (τ,ξ) ∈ C+. Ces deux conditionsdisent que ‖ξ‖ < τ < t, ce qui signifie que le domaine d’intégration estuniformément borné si t varie sur un domaine borné. Ensuite, commey − η ∈ C+ et η ∈ C+, on voit donc que y ∈ C+ et alors supp(R) ⊂ C+.Finalement, on observe que si on change de variables dans l’intégral deconvolution et on pose η = ρζ avec ρ > 0, alors R(ρy) = ρ2mR(y) où 2m =(a−n−1)+(b−n−1)+n+1 = a+b−n−1, c-à-d R est une fonction homogènede degré a+ b −n− 1.

Le groupe orthocrone L0 est l’ensemble des transformations A ∈ GLn+1Rtelles que A(C+) = C+ et detA = 1, par définition de la fonction Ra+ onvoit qu’elle est invariante par l’acction de L0. Réciproquement, si f estune fonction homogène de degré 2m invariante par l’action de L0, alorselle est de la forme f = cqm avec c constante. En effet, f est constante surtoutes les orbites Ay | A ∈ L0 des y ∈ C+ par l’action de L0. Il est connuque (regarder la literature) les orbites de C+ par l’action de L0 sont égalesaux surfaces de niveau de q(t,x) dans C+ : y ∈ C+ | q(y) = constant. Celaimplique l’existence d’une fonction g sur R>0 tel que f (y) = g(q(y)) pourtout y ∈ C+, on en déduit qu’elle doit être homogène de degré m car q l’estde dégré 2.

Pour chaque A ∈ L0 le changement de variable η = Aζ donne dans l’in-tégrale R(Ay) = R(y) (par l’invariance de q par A et puisque le Jacobien duchangement de variable vaut 1), c-à-d R est invariante par l’acction de L0,et alors la caractérisation précédente nous dit qu’il existe une constantec = c(a,b) telle que :

Ra+ ∗Rb+ = c(a,b)Ra+b+ (8)

Pour calculer c(a,b) on va tester l’égalité (8) des deux côtés par (t,x) 7→ e−t,cette fonction décroît sur C+ ce qui assure la convergence des intégrales.

41

Posons T (a) =∫R

∫Rn

e−tRa+(t,x)dxdt, en écrivant et = et−τeτ et testons dans

(8) on trouve :T (a)T (b) = c(a,b)T (a+ b)

T (a)c(a)

=∫R+

e−t∫‖x‖<t

(t2 − ‖x‖2

) a−n−12 dxdt, avec les changements de variables

‖x‖ = r = t√s et la notation cn pour le volume de la sphère unité Sn−1 on a :

T (a)c(a)

= cn

∫R+

e−t∫ 1

0(t2 − r2)

a−n−12 rn−1drdt

=cn2

∫R+

e−tta−1dt

∫ 1

0(1− s)

a−n−12 s

n−22 drdt

=cn2Γ (a)B

(n2,a−n+ 1

2

)=cn2Γ (a)

Γ(n2

)Γ(a−n+1

2

)Γ(a+1

2

) =1c(a)

Le mêmes calcules donnent T (b) = T (a + b) = 1 donc c(a,b) = 1 et alorsRa+ ∗Rb+ = Ra+b+ .

4 Solutions fondamentales et distributions tem-pérées

On avait déjà introduit la notion de solution fondamental dans le cadrede l’opérateur = ∂t −∆x, cette notion se généralise naturellement.

4.1 Solutions fondamentales

Soit P =∑|p|≤m

cpDp, p ∈ Zd≥0 un opérateur différentiel à coefficients constants

cp ∈ C, alors :

Définition 16. Une solution fondamental de P est une distribution E telleque P E = δ.

42

Exemples

(1) E(x) =‖x‖2−d − 1(2− d)cd

est une solution fondamental de ∆ =d∑i=1

∂2i dans

D′(Rd).

(2)1πz

=1

pi(x+ iy)est une solution fondamental de

∂∂z

=12

(∂∂x

+ i∂∂y

)dans D′(R2).

(3) θ(x) est une solution fondamental de∂∂x

dans D′(R).

Proposition 11. Soit E une solution fondamental de P un opérateur différen-tiel. Alors ∀S ∈ E ′(Rd) on a :

(1) P (E ∗ S) = S(2) E ∗ (P S) = S

Démonstration. (1) P (E ∗ S) = (P E) ∗ S = δ ∗ S = S.(2) E ∗ (P S) = P (E ∗ S) = (P E) ∗ S = δ ∗ S = S.

Remarques

(1) Soit PU = S une équations aux dérivées partielles de u, alors u = E ∗ Sen est une solution. De plus si S ∈ E ′(Rd), indépendament de E la solutionest bien définie (c.f lemme 5).

(2) Supposons que u dans (1) est telle que u ∈ E ′(Rd) (c-à-d supp(u) com-pact), alors u est unique : supposons que u ∈ E ′(Rd) est une autre solution,alors P u = S⇒ E ∗ (P u) = E ∗S (la convolution à gauche est bien définie carles dérivées ne changent pas le support de u) mais u = E ∗ (P u) = E ∗ S etdonc forcément toute solution est de la forme E ∗ S et elle ne dépend pasde la solution fondamental E choisit, puisque si E′ est autre autre solutionfondamental, alors E∗S = (δ∗E)∗S = (P E′ ∗E)∗S = P (E′ ∗E)∗S = (E′ ∗P E)∗S =E′ ∗ S.

(3) Si E est une solution fondamental. Alors E = E + F est une solutionfondamental si P F = 0.

On observe que P (E ∗ S) = S ⇔ (P E∗)(S) = S et que E ∗ (P S) = S ⇔((E∗) P ) (S) = S, donc une question naturelle se pose : est-ce que E∗ = P −1 ?La réponse est non, et ça est du au domaine de définition des distributions :si S ∈ E ′(Rd) alors P S ∈ E ′(Rd) car l’opérateur différentiel ne change pas le

43

support de S, mais par contre E ∗S < E ′(Rd) en générale, on peut juste direque E ∗ S ∈ D′(Rd). De même P

(D′(Rd)

)1 E ′(Rd).

Exemple ∆(x1 + ix2)n = 0 dans Rd . L’opérateur ∆ n’est pas injectif car lesx 7→ (x1 + ix2)n pour tout n ∈ Z≥0 sont harmoniques dans Rd .

4.2 Distributions tempérées

Espace de Schwartz

Définition 17. On dit qu’une fonction f : Rd → C est de décroissance rapide

si xpf (x)‖x‖→∞−→ 0 pour tout multi-indice p ∈ Zd≥0.

Définition 18. On dit qu’une fonction f : Rd → C est une fonction deSchwartz si f ∈ E(Rd) et si Dpf est de décroissance rapide ∀p ∈ Zd≥0. Onécrit f ∈ S(Rd).

Donc si f ∈ S(Rd), alors supx∈Rd|xpDqf (x)| < ∞. Pour m,n ≥ 0 entiers on

définit :‖f ‖(m,n) :=

∑|p|≤m,|q|≤n

‖xqDpf ‖∞

On dit qu’une suite (ϕn)n≥1 ⊂ S(Rd) converge vers ϕ ∈ S(Rd) si par défini-tion ‖ϕ −ϕn‖(a,b) n→∞−→ 0 pour tous a,b ∈ Z≥0.

Définition 19. Une distribution tempérée est un élément de S ′(Rd) = T | T :S(Rd)→ C linéaire continue.

Nous avons les inclusions :

D(Rd) ⊂ S(Rd) ⊂ E(Rd)

Remarque Ce sont des inclusions continues (par rapport à la conver-gence dans chaque espace). La dualisation donne donc :

E ′(Rd) ⊂ S ′(Rd) ⊂ D′(Rd)

44

Remarque L’opérateur dérivation est intérieur dans S ′(Rd). Par défini-tion on montre sans peine que Dp

(S(Rd)

)⊂ S(Rd)⇒ Dp

(S ′(Rd)

)⊂ S ′(Rd)

puisque Dp : S(Rd)→S(Rd) est continue (exercice). Donc comme pour lesdistributions usuelles, on peut dériver les distributions tempérées autantde fois que l’on veut.

De même pour l’opérateur (Mpϕ)(x) := xpϕ(x). On voit clairement queMpϕ ∈ S(Rd) pour toute ϕ ∈ S(Rd). Nous avons aussi queMp est un opé-rateur continu, donc on peut tranposerMp, et on obtient une applicationde S ′(Rd) dans lui même, que l’on notera encore parMp.

Exemple S ′(Rd) , ∅ car si f (x) est un polynôme, alors Tf ∈ S ′(Rd). En

effet, l’intégrale 〈Tf ,ϕ〉 =∫Rdf (x)ϕ(x)dx converge absolument pour toute

ϕ ∈ S(Rd).Par contre ex < S ′(Rd).

4.3 La transformation de Fourier

Soit f ∈ S(Rd). On définit sa transformée de Fourier par la formule :

(F f )(x) :=∫Rd

e−2πix·yf (y)dy

où x · y = x1y1 + · · · + xdyd . Pour tout x ∈ Rd , cette intégrale converge car

|(F f )(x)| ≤∫Rd|f (y)|dy < +∞ grâce à la décroissance rapide de f .

Proposition 12. F f ∈ S(Rd) pour tout f ∈ S(Rd).

Démonstration. Supposons que xk , 0 pour un k ∈ 1,2, · · · ,d, alors :

(F f )(x) =∫Rd−1

e−2πi∑dj=1,j,k xjyj

(∫ +∞

−∞e−2πixkykf (y)dyk

)︸ ︷︷ ︸

I

dd−1y

On intègre I par parties :

I =[e−2πixkyk

−2πixkf (y)

]yk=+∞

yk=−∞︸ ︷︷ ︸=0

−∫ +∞

−∞

e−2πixkyk

−2πixk∂kf (y)dyk

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Donc (F f )(x) =F (∂k)(x)

2πixk⇒ 2πixk (F f ) (x) = F (∂kf )(x), cette dernière for-

mule s’étend à xk = 0 par continuité. En répétant ce procédé on a la géné-ralisation suivante :

(2πi)|p|xp(F f )(x) = (F (Dpf )) (x) ∀p ∈ Zd≥0 (9)

Remarques

(1) xkf ∈ S(Rd) (utiliser la formule de Leibnitz).(2) f ∈ S(Rd)⇔ ‖f ‖(m,n) < +∞ ∀m,n ∈ Z≥0.

Par convergence absolue de l’intégrale :

∂k(F f )(x) =∫Rd

∂∂xk

e−2πix·yf (y)dy = −2πi (F (xkf )) (x)

et donc la transformée est infiniment dérivable.Comme avant, cette formule se généralise :

Dp(F f )(x) = (−2πi)|p|(F (xpf ))(x) ∀p ∈ Zd≥0 (10)

Ainsi en multipliant (10) par xp, grâce à (9) on obtient :

xqDp(F f )(x) = (−2πi)|p|xq(F (xpf ))(x) = (−2πi)|p|(2πi)−|q| (F (Dpxpf )) (x)

Ce qui permet de majorer :

|xpDp(F f )(x)| ≤ (2π)|p|−|q|∫Rd|Dpy ypf (y)|dy < +∞

par décroissance rapide. Donc ‖xqDp(F f )‖∞ < +∞⇒ ‖F f ‖(m,n) < +∞ ∀(m,n) ∈Z2≥0⇒F f ∈ S(Rd) d’après la remarque (2).

Ainsi F : S(Rd)→S(Rd), et il est facile a voir qu’elle est linéraire et en pluscontinue (exercice, pensez aux formules (10) et (9)), donc elle induit uneapplication au niveau des distributions tempérées F ∗ : S ′(Rd) → S ′(Rd).On écrira encore F ≡ F ∗ qui est par définition 〈F T ,ϕ〉 = 〈T ,F ϕ〉 ∀ϕ ∈S(Rd).

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4.4 L’inverse de la transformation de Fourier

Pour cette discusion, prenons d = 1. Soit f ∈ S(R), alors :

F f (x) =∫R

e−2πixyf (y)dy =∑m∈Z

∫ m+1

me−2πixyf (y)dy = y 7→ y +m =

∑m∈Z

∫ 1

0f (y +m)e−2πix(y+m)dy =

∫ 1

0

∑m∈Z

f (y +m)e−2πix(y+m)dy

où l’échange de l’intégrale avec la somme est une conséquence de la dé-croissence rapide de f . On définit f (x,y) :=

∑m∈Z

f (x+m)e−2πiym (bien défi-

nie grâce à la décroissance rapide de f ), ainsi par le calcul ci-dessus :

F f (x) =∫ 1

0f (y,x)e−2πixy

Remarques(1) f (x,y + 1) = f (y,x), c-à-d f est périodique au deuxième argument.(2) f (x+1, y) =

∑m∈Z

f (x+1+m)e−2πiym =∑m∈Z

f (x+m)e−2πiy(m−1) = f (x,y)e2πiy .

On dit parfois que f est quasi-périodique au premier argument.

Si on intègre f en y de 0 jusqu’à 1, on obtient f (x) =∫ 1

0f (x,y)dy, donc

f est une transformation inversible.

On définit f (x,y) = f (x,y)e−2πixy , avec cette notation F f (x) =∫ 1

0f (y,x)dy.

Il en resulte que f est périodique au premier argument : f (x + 1, y) =e2πiy f (x,y)e−2πi(x+1)y = f (x,y), donc f est périodique au premier argu-ment, mais elle devient quasi-périodique au deuxième argument : f (x,y +1) = f (x,y + 1)e−2πix(y+1) = e−2πixf (x,y).Comme f (x,y) est périodique en x, alors sa série de Fourier donne f (y,x) =∑m∈Z

cm(x)e2πimy avec cm(x) =∫ 1

0f (y,x)e−2πimydy, d’où c0(x) = F f (x).

Si on itère la quasi-périodicité de f au deuxième argument, on a f (y,x+m) =e−2πimy f (y,x), donc les coefficients de Fourier s’écrivent :

cm(x) =∫ 1

0f (y,x+m)dy = (F f )(x+m)

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Donc d’une part :

f (y,x) =∑m∈Z

(F f ) (x+m)e2πimy

et d’autre part :

f (y,x) = e−2πixy∑m∈Z

f (y +m)e−2πimx

D’où : ∑m∈Z

f (y +m)e−2πimx = e2πixy∑m∈Z

(F f ) (x+m)e2πimy

En intégrant des deux côtés en x entre 0 et 1 :

f (y) =∫ 1

0e2πixy

∑m∈Z

(F f ) (x+m)e2πimydx

f (y) =∑m∈Z

∫ 1

0(F f ) (x+m)e2πimy(x+m)dx =

∫ +∞

−∞(F f ) (x)e2πixydx

et donc on pose(F −1f

)(y) :=

∫ +∞

−∞f (x)e2πixydx = (F f ) (−y).

Remarquef (x,y) =

∑m∈Z

f (x+m)e2πimy s’appelle la transformation de Zack.

4.5 Quelques formules

Considérons les deux opérateurs suivantes sur S(Rd) :

∂j =Dj : S(Rd)→S(Rd), (Djf )(x) =∂f

∂xj(x)

Mj : S(Rd)→S(Rd), (Mjf )(x) = xjf (x)

alors

(F Djf )(x) =∫Rd

(Djf )(y)e−2πix·ydy =∫Rd

∂f

∂yj(y)e−2πix·ydy

= −∫Rdf (y)

(∂e−2πix·y

∂yj

)dy = 2πixj(F f )(x) = (2πiMjF f )(x)

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où la trosième égalité est une conséquence d’une intégration par parties etde la décroissance rapide de f . En oubliant f et son argument on obtientdonc

F Dj = 2πiMj F

On peut répéter le calcul ci-dessus, et trouver pour un multi-indice p laformule généralisée

F Dp = (2πi)|p|Mp F (11)

Faisons un autre calcul

(Dj(F f ))(x) =Dj

∫Rdf (y)e−2πix·ydy =

∂∂xj

∫Rdf (y)e−2πix·ydy

=∫Rdf (y)(−2πiyj)e

−2πix·ydy = (F (−2πiMj)f )(x)⇒Dj F = −2πiF Mj

Et en répétant, on obtient la formule généralisée

Dp F = (−2πi)|p|F Mp (12)

Notice Ces notes correspondent au cours de Théorie des Distributionsdonné par Rinat Kashaev pendant le semestre de Printemps 2013, ellesne sont pas complètes car il manque(ra) les scéances du 8,15, et 22 mai.Je tiens à vous dire que ce document n’a pas été révisé par le professeurKashaev, et il ne fait pas l’objet d’un polycopié officiel.

Pour toute correction, fautes de frappe ou français pas compréhensibleveuillez m’écrire à medrand0@etu.unige.ch

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