Theorie des distributions

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  • THORIE DES DISTRIBUTIONS

    D. Francisco Medrano

    Semestre de printemps 2013

    1

  • Table des matires

    1 Introduction 31.1 Quelques propits de (x) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2 Lespace des fonctions tests D . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

    1.2.1 Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2.2 Exemples des espaces de fonctions tests . . . . . . . 6

    1.3 Thorme dapproximation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.4 Critre de continuit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

    1.4.1 Les multi-indices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.4.2 Exemples de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2 Distributions support compact 122.1 Restriction et prolongement des distributions . . . . . . . . 12

    2.1.1 Convergence des suites dans D() . . . . . . . . . . 122.1.2 Support dune distribution . . . . . . . . . . . . . . . 142.1.3 Distributions support compact . . . . . . . . . . . 15

    3 Oprations sur les distributions 173.1 Multiplication par un lment de E() . . . . . . . . . . . . 173.2 La drive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.3 Le problme de la division . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.4 Drivation de distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.5 Oprations induites par une application lisse entre deux ou-

    verts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.6 Oprateur de Laplace . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.7 Produit tensoriel de distributions . . . . . . . . . . . . . . . 303.8 Produit de convolution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.9 Drives/primitives fractionnaires . . . . . . . . . . . . . . 353.10 quation donde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    4 Solutions fondamentales et distributions tempres 424.1 Solutions fondamentales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2 Distributions tempres . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.3 La transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.4 Linverse de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . 464.5 Quelques formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47Table de matires

    2

  • 1 Introduction

    Les distributions sont un outil avec lequel on peut :

    1. Driver des fonctions non drivables.2. Sommer des sries non sommables.3. Intgrer des fonctions non intgrables

    Pour essayer des comprender ces lignes qui semblent paradoxales, regar-dons lexemple suivant :

    La distribution delta de Dirac, appele par abus fonction delta de Dirac,est "dfinie" par les propits suivantes :

    (1) (x) = 0 si x , 0

    (2) ba(x)dx = 1 si a < 0 < b

    Notons quon fait attention de ne pas prscrire une valeur de en 0, maisil est trs pratique de prendre (0) = +. Une explication heuristique estque lon peut penser de (x) comme une limite :

    (x) = limn

    fn(x)

    o

    fn(x) =

    0 si |x| 1n

    nn2|x| si |x| 1n

    Observons que x , 0 n0 tel que fn(x) , 0 n n0 et que a < 0 etb > 0 n1 tel que

    bafn(x)dx = 1 n n1. La thorie des distributions

    justifie lexistence de (x).

    1.1 Quelques propits de (x)

    (1) (x) + (x) = 2(x). Plus gnralement, (x) est un lment dunespace vectoriel sur C.

    (2) Soit f (x) continue sur R : (x)f (x) = 0 six , 0 et de faon gnrale(x)f (x) = f (0)(x). En particulier x(x) = 0 si x , 0 et

    ba(x)dx =

    f (0) si a < 0 < b.

    3

  • (3) Soit c R {0}, (cx) = 0 si x , 0 et en supposant que lon puissechanger de variable dans lintgrale : Si c > 0 ac < 0 < bc et b

    a(cx)dx =

    bcac(y)

    dy

    c=

    1c

    Si c < 0 ac > 0,bc < 0 et ba(cx)dx =

    acbc(y)

    dy

    c= 1

    c

    En rsum pour c R {0} on a (cx) = 1|c|(x), en particulier (x) =(x)

    (4) De la mme maniere on montre que (x + c) = 1 si a + c < 0 < b + cou a < c < b.

    Tentons de calculer (sin(x)). Par dfinition de on a que (sin(x)) = 0 sisin(x) , 0 x < Z. Posons f (x) = (sin(x)), par la proprit (3) on voitque f (x + ) = (sin(x + )) = (sin(x)) = (sin(x)) = f (x), f (x) est donc2- priodique.Pour ne pas se soucier des bornes dintgration choisissons a et b danslintervalle

    (2 ,

    2

    ), sur cet intervalle sin(x) est monotone croissante, alors ba(sin(x))dx =

    sin(b)sin(a)

    (y)dy

    1 y2= 1

    o la dernire galit est une consquence de (2) avec f (x) = 11y2

    , ce

    calcul nous motive donc a poser :

    (sin(x)) =nZ

    (x+n)

    Cette somme est bien dfinie car tous ses termes, sauf un nombre fini, sontnuls. Changeons encore de variable et remplaons x par x, alors :

    (sin(x)) =nZ

    (x+n) =nZ

    ((x+n)) =1

    nZ

    (x+n)

    o pour la dernire galit on a utilis la proprit (3). Posons encoreg (x) = (sin(x)) =

    nZ(x + n), alors par translation sur Z on voit que

    g(x+ 1) = g(x), on peut donc considerer le dveleppement de g en srie de

    4

  • fourier si g est intgrable, ce quon supposera pour ce calcul introductoire.Rappelons dans lanalyse de Fourier on a une correspondance :

    fonctionspriodiquesintgrables

    {Sries de Fourier} CZ = {f : Z C}Si f priodique intgrable alors f 7 f CZ, f (n) =

    a+1a

    f (x)e2inxdx

    Si f CZ, f 7nZ

    f (n)e2nx. Pour tre sur que f converge vers sa srie

    de Fourier on peut demander que f soit au moins diffrentiable. Au faitle thorme de convergence uniforme de Dirichlet dit que cest le cas si fcontinment drivable au voisinage de tout point dun segment I , dans cecas la convergence est bien sr uniforme sur I . On a aussi la version deconvergence ponctuelle de Dirichlet laquelle dit que f converge poctuel-lement en x si f est continue en x et la drive gauche et droite de xexistent.Suposons quon est dans un des deux cas, alors calculons g(n) :

    g(n) = a+1a

    g(x)e2inxdx = a+1a

    nZ

    (x+n)

    e2inxdxTant que lon reste sur un intervalle de longueur 1, on peut choisir a tel que

    1 < a = < 0. Pour ce choix 1

    nZ{0}

    (x+n)

    e2inxdx = 0 car il nypas de contribution de . Ainsi g(n) =

    1

    (x)e2inxdx = 1 nouveau

    par la proprit (2). On en dduit la formule de sommation de Poisson :nZ

    (x+n) =nZ

    e2inx (1)

    .

    1.2 Lespace des fonctions tests DDfinition 1. Lespace vectoriel D sur R ou C dans lequel on a une notion deconvergence de suites sapelle espace des fonctions tests.

    Cette libert dans la dfinition nous donne des choix pour D et commeon verra, chaque choix donne plusieurs types de distributions. Rappelons

    5

  • que lon note par D = {f : D C;f linaire} lespace dual de D, et parD D le sous-espace de formes linaires continues.

    1.2.1 Distributions

    Dfinition 2. Une distribution est un lment de D

    1.2.2 Exemples des espaces de fonctions tests

    1 Prenons D = {fonctions continues et bornes sur R}, cest un espacevectoriel que lon peut donc munir de la norme .. Dans cet es-pace la notion de convergence est la convergence uniforme sur R.Alors llment D dfinie comme suit (f ) = ,f = f (0) estune distribution (il est facile de voir que est une forme linairairecontinue).

    2 Soient R un ouvert, f : C avec supp(f ) = {x | f (x) , 0}compact. Alors, le choix le plus typique pour lespace des fonctionstest est D() = { f : C de classe C support compact}. Ondit quune suite (n)n1 dans D converge vers D sil existe uncompact K tel que supp() K , supp(n) K n et Dpnconverge vers Dp uniformment sur K pour tout multi-indice p Zd0 o

    Dp =|p|

    xp11 x

    p22 x

    pdd

    ,p = (p1, ...,pd) ,pi Z0

    |p| = p1 + ...+ pd

    Rappelons quun lment f D est continue si pour toute suite(n)n1 dans D qui converge vers D la suite de nombres f | nconverge vers f | . Dans ce cas f D est une distribution associe .

    Construisons un exemple particulier : soit x R, on dfinit % : R R

    par %(x) ={

    e1x x > 0

    0 x 0. On peut montrer que cette fonction de de

    classe C et de plus dn%(x)dxn = Pn

    (1x

    )e

    1x o Pn est un polynme de de-

    gr n, ainsi on voit que les singularits de Pn(

    1x

    )sont tues par e

    1x .

    6

  • Pour x Rd alors (x) = % (1 x) est dansD =D(Rd

    ). En effet, est

    la composition de deux applications de classe C et 1 x2 > 0 x B(0,1), donc supp() = B(0,1) est compact, en particulier D ,.

    Remarque Pour nous, lespace de fonction tests sera toujours les-pace de fonctions C sur Rd ou bien sur un ouvert Rd valeursdans C. Cet espace on va le noter parD(Rd) ouD() respectivement.

    1.3 Thorme dapproximation

    Thorme 1. Soit f : Rd C une fonction continue support compact K .Alors il existe une suite (fn)n1 dans D

    (Rd

    )qui converge uniformment vers

    f .

    Dmonstration. Soit comme dans lexemple prcedent. n Z0 on dfi-

    nitn(x) :=1nd(nx) o =

    Rd(x)dx. On dfinit fn = f n o (f n) (x) =

    Rdf (x y)n(y)dy =

    Rdf (y)n(x y)dy est la convolution de f et n.

    Proprits de fn :

    1) supp(fn) K 1n

    = {x Rd | y K x y 1n }. En effet, x Rd K 1

    n

    x y > 1n y K nx ny > 1 y K (nx ny) = 0 donc

    n(x y) = 0 et ainsi fn(x) =Rdf (x y)n(y)dy =

    Kf (y)n(x y)dy = 0.

    2) fn est de classe C. En effet fn(x) =Kf (y)n(x y)dy et n(x) et de

    classe C.

    Retournons la preuve, on voit facilement que supp(n) = {x | nx 1} =

    B(0, 1n

    )et

    Rdn(y) = 1 (autrement dit (n)n1 est ce que lon appelle suite

    rgularisante), donc

    fn(x) f (x) = (fn(x) f (x))B(0, 1n )

    n(y)dy =

    =B(0, 1n )

    (f (x y) f (x))n(y)dy

    7

  • Mais f est en particulier continue sur la boule ferme de rayon 1n doncuniformment continue. On se fixe donc > 0 et