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Rappel: limites à gauche et à droite

DéfinitionSoit f : A →R, A intervalle de R et a ∈R (a est dans A ou c’est uneextrémité de A ). On dit que la limite à gauche de f en a existe si:

∀ε > 0,∃δ > 0 : ∀x ∈ A , a − δ < x < a =⇒ |f(x)− L | < ε.

La limite à droite se définit de la même manière avec a < x < a + δ.Dans le cas où les valeurs de f(x) s’approchent de la limite en restanttoujours au-dessus (ou en-dessous) on le notera « avec un plus »:

DéfinitionOn dit que limx→a f(x) = L+ si limx→a f(x) = L et f(x) > L pour x prochede a .

De la même manière, on peut aussi écrire limx→ax<a

f(x) = L+, etc...

ExempleLa fonction x 7→ x a une limite nulle en 0. On peut cependant être plusprécis et écrire :

limx→0<

x = 0− limx→0>

x = 0+.

Avec les règles de calcul étendues ceci donne :

limx→0<

1x=

10−

= −∞ limx→0>

1x=∞.

RemarqueLorsque la limite de f en a existe, alors les limites à gauche et à droiteexistent et valent limx→a f .

Notations de Landau:

Contenu de la section



Notation de Landau

Il arrive souvent qu’on ait besoin de comparer des fonctions « sur lelong terme ».

ExempleDeux populations de bactéries peuvent avoir le même nombred’individus au début, mais leur nombre va-t-il rester comparable toutle temps? Les deux nombres vont-ils rester du même ordre degrandeur?

ExempleSi deux algorithmes pour factoriser le nombre n prennentrespectivement f(n) et g(n) secondes, comment savoir lequel est leplus rapide lorsque n devient grand?

Nous allons voir une définition permettant de comparer cesgrandeurs.


Grands O

DéfinitionSoient f ,g :R→R deux fonctions. Supposons qu’il existe r ∈R et c > 0tels que pour tout x ∈ ]r ,+∞[ on a

|f(x)| ≤ c · |g(x)|On dit alors « f est un O(g) » (prononcer « f est un grand O de g »).

RemarqueCette notion indique que f /g reste borné. Généralement on compareune fonction f intéressante à une fonction g bien connue. On diraaussi que l’ordre de grandeur de f est inférieur à celui de g .


Exemple

I 10x est O(x). En effet, si x > 0, on a bien 10x ≤ cx (par exemplec = 10 fonctionne).

I Inversement, x est O(10x) car x ≤ c10x avec c = 110 .

I sin(x)+ x2 est en O(x2) car sin(x)+ x2 ≤ 1+ x2 ≤ 2x2 si x ≥ 1.I x est O(x2) mais x2 n’est pas O(x).


Une charactérisation des O

RésultatConsidérons la limite limx→∞

∣∣∣∣ f(x)g(x)

∣∣∣∣.I Si elle existe dans R, alors f(x) est O(g(x)).I Si elle est infinie, alors f(x) n’est pas O(g(x)).

Dans le premier cas, si la limite existe, c’est que∣∣∣∣ f(x)

g(x)

∣∣∣∣ reste bornéquand x devient suffisamment grand. Et donc

f(x) = O(g(x)

).


Exemplexn est O(xk ) si et seulement si n ≤ k . En d’autres termes : xn est d’unordre de grandeur inférieur à xk si et seulement si n ≤ k .En effet: on calcule le quotient

∣∣∣ xn

xk

∣∣∣= ∣∣∣xn−k∣∣∣ :

I Si n ≤ k alors l’exposant n − k est négatif ou nul, donc le quotienttend vers 0 ou 1.

I Si n > k , alors l’exposant est strictement positif et donc lequotient tend vers +∞.


« Petit o »Une définition similaire est la suivante :

DéfinitionLorsque limx→∞

∣∣∣∣ f(x)g(x)

∣∣∣∣= 0, on dit alors que f(x) est o(g(x)).

Remarque

I En particulier f(x) est en O(g(x)) mais être « peit o » donne plusd’informations (c’est plus fort).

I Si g(x) tend vers 0 et f(x) est un o(g(x)), alors f tend vers 0 plusvite que g !

Exemple

I x2 est un o(x3) (pour x→∞)I x3 n’est pas un o(x2) (pour x→∞),


DéfinitionLes définitions de o et O se définissent de la même manière lorsque xtend vers a ∈R ou vers −∞. Il faut alors préciser à chaque fois quelleest la limite pour x !

Exemple

I x3 est un o(x2) (pour x→ 0), car

limx→0

∣∣∣∣∣∣x3

x2

∣∣∣∣∣∣= limx→0|x |= 0.

I x2 n’est pas un o(x3) (pour x→ 0).I (x −1)3 est o((x −1)2) (pour x→ 1),I x −a est o(1) quand x→ a .

RemarqueÉcrire f(x) = o(1) quand x→ a » (ici a peut être fini ou ±∞) signifiejuste: limx→a f(x) = 0.

Continuité


Continuité

Continuité

DéfinitionSoit f : A → B une fonction réelle et a ∈ A . La fonction f est ditecontinue au point a si

limx→a

f(x) = f(a)

RemarqueUne fonction est continue en a si ses valeurs près de a tendent verssa valeur en a .

Définitionf est discontinue au point a si f n’est pas continue au point a .

Définitionf est continue (sur son domaine) si elle est continue en chaque point ade son domaine.

Continuité

ExemplePar exemple, la fonction

f :R0→R : x 7→ 1x

est continue car elle est continue en chaque a ∈R0 =R\{0}.

Attention, cette fonction n’est pas définie en 0. Donc ça n’a pas desens de parler de sa continuité en 0!

Continuité

Exemple

1. Les fonctions suivantes sont continues :I g :R→R : x 7→ x2,I h :R→R : x 7→ |x | etI i :R+→R+ = x 7→

√x

2. La fonction

j :

R→Z

x , 0 7→ x|x |

0 7→ 0est discontinue en 0.

Leitmotiv: Une fonction est continue si on peut tracer son graphesans lever le crayon. Ou encore: si son graphe n’a pas de « sauts ».

Continuité Continuité et opérations


ContinuitéContinuité et opérationsPropriétés importantes des fonctions continues


Soient deux fonctions f et g continues en un point a . Soit c ∈R uneconstante. Alors

f +g est continue en a

cf est continue en a

fg est continue en aSi, de plus, g(a) , 0, alors

fg

est continue en a .


RésultatSi f : A → B et g : C → D, avec A ,B ,C ,D ⊂R et Im f ⊂ C (de sorte que lacomposée g ◦ f a du sens), si f est continue en a et g est continue enf(a) alors

g ◦ f est continue en a .

RemarqueCes règles de calculs sont des conséquences directes des règles decalculs pour les limites.

Continuité Propriétés importantes des fonctions continues


ContinuitéContinuité et opérationsPropriétés importantes des fonctions continues


Le théorème des bornes atteintes

Théorème (Théorème des bornes atteintes)Soit f : [a ,b ]→R une fonction continue. Alors l’image f([a ,b ]) estencore un intervalle fermé: il existe u ,v deux réels dans [a ,b ] tels quef([a ,b ]) = [f(u),f(v)].


ExempleL’image de [0,2π] par la fonction sinus est [−1,1], qu’on peuteffectivement ré-écrire [sin(3π/2),sin(π/2)].

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

-2

-1

1

2

Fig.: Graphe de sin


Théorème des valeurs intermédiaires

Il est intuitivement clair que si le graphe d’une fonction continue« démarre » en dessous d’une droite horizontale et se termine audessus de cette droite, il doit croiser la droite quelque part. C’estl’objet du résultat suivant :

Théorème (Théorème de la valeur intermédiaire.)Soit f : [a ,b ]→R une fonction continue. Pour tout γ ∈R strictementcompris entre f(a) et f(b), il existe c ∈ ]a ,b [ tel que f(c) = γ.

Une conséquence frappante est la suivante:

RésultatSoit f : [a ,b ]→R une fonction continue telle que f(a) < 0 et f(b) > 0.Alors il existe c ∈ ]a ,b [ tel que f(c) = 0.


Continuité des fonctions réciproques

RésultatSoit f une fonction réelle bijective définie sur un intervalle. Si f estcontinue en a, alors sa réciproque est continue en f(a).

Attention, ça ne marche plus si f n’est pas définie sur un intervalle! Parexemple si f est définie sur une union d’intervalles. (Uncontre-exemple est dans le syllabus).

Dérivées


Dérivées

Dérivées

RappelConsidérons la droite D du plan passant par les points (x ,y) et(x +∆x ,y +∆y), avec ∆x , 0. Cette droite possède une pente

m B∆y∆x

qui vaut, lorsque le repère est orthonormé, la tengente de l’angleformé par la droite avec l’horizontale.

DéfinitionSoit f : A ⊂R→R une fonction, et soit a un point intérieur à A (cen’est pas une extrémité de A ). Si la limite

limx→a

f(x)− f(a)x −a

existe dans R, on appelle cette limite le nombre dérivé de f en a et onle note f ′(a).

Quand cette limite existe, on dit que f est dérivable au point a , ouencore que f ′(a) existe.

Dérivées

6

-

y

x

∆y

∆x

P2

P1

y = f(x)

Dérivées

6

-

y

x

P2P1

y = f(x)

Dérivées

ExempleSi f(x) = x2, le nombre dérivé de f en a est 2a

Démonstration.On remarque que

f(x)− f(a)x −a

=x2 −a2

x −a=

(x −a)(x +a)x −a

= x +a

pour tout x , a . Dès lors lorsque x→ a , la limite vaut bien 2a .

On notera donc f ′(a) = 2a , ou f ′(x) = 2x .

Dérivées

RemarqueLes deux écritures suivantes sont identiques :

limx→a

f(x)− f(a)x −a

= limh→0

f(a +h)− f(a)h

On a juste posé h = x −a , qui tend vers 0 lorsque x tend vers a . Onchoisira de calculer l’expression la plus simple en fonction ducontexte donné.

Étant donnée f une fonction, la notion de dérivabilité ci-dessus donnelieu à une nouvelle fonction, notée f ′ qui à chaque valeur x pourlaquelle f est dérivable associe le nombre dérivé de f en x , c’est-à-diref ′(x). Cette fonction f ′ est appelée la fonction dérivée de f .

Dérivées

Opérations sur les fonctions dérivables

RésultatSi c est une constante, et f et g sont des fonctions dérivables, on a

1. (cf)′ = cf ′

2. (f +g)′ = f ′ +g ′

3. (fg)′ = f ′g + fg ′

4. Sur un domaine où g ne s’annule pas :(

fg

)′= f ′g−fg ′

g2 .

Nous allons détailler les preuves de 1 et 3 (les autres sont dans lesyllabus).

Dérivées

RésultatSi c est une constante et f une fonction dérivable, alors (cf)′ = cf ′

Démonstration.Il faut montrer que pour tout u dans le domaine de f ′ ,(cf)′(u) = cf ′(u). On calcule simplement :

limx→u

(cf)(x)− (cf)(u)x −u

= limx→u

cf(x)− cf(u)x −u

= limx→u

cf(x)− f(u)

x −u

= c limx→u

f(x)− f(u)x −u

= cf ′(u)

Dérivées

Avant de prouver la formule pour le produit, nous aurons besoin durésultat suivant :

RésultatSi f est dérivable en u, alors f est continue en u.

Démonstration.On suppose que limx→u

f(x)−f(u)x−u existe et vaut alors le nombre réel

f ′(u). On écrit alors que, pour tout x , u :

f(x) =f(x)− f(u)

x −u(x −u)+ f(u)

et donc en passant à la limite :

limx→u

f(x) = limx→u

( f(x)− f(u)x −u

(x −u)+ f(u))= f ′(u)0+ f(u) = f(u).

Dérivées

RésultatSi f et g sont des fonctions dérivables en u,alors(fg)′(u) = f ′(u)g(u)+ f(u)g ′(u)

Démonstration.

limx→u

(fg)(x)− (fg)(u)x −u

= limx→u

f(x)g(x)− f(u)g(u)x −u

= limx→u

f(x)g(x)− f(x)g(u)+ f(x)g(u)− f(u)g(u)x −u

= limx→u

f(x)(g(x)−g(u))+ (f(x)− f(u))g(u)x −u

= limx→u

f(x)(g(x)−g(u))x −u

+(f(x)− f(u))g(u)

x −u

= limx→u

f(x)g(x)−g(u)

x −u+ lim

x→u

(f(x)− f(u))x −u

g(u)

= f(u)g ′(u)+ f ′(u)g(u)

Dérivées

Dérivées de fonctions élémentaires

RésultatLa dérivée de f définie par f(x) = x est la fonction f ′ telle que f ′(x) = 1.En général, on dira simplement « La dérivée de x est 1 ».( Parfois on précisera « par rapport à x ».)

Démonstration.

f ′(u) = limx→u

x −ux −u

= 1

Dérivées

RésultatSoit n un entier naturel. La dérivée de la fonction x 7→ xn vaut nxn−1

Démonstration.On prouve par récurrence que la proposition

P(n): « La dérivée de x 7→ xn vaut nxn−1 »est vraie pour tout n ≥ 0.Initialisation: Si n = 0, cela revient à prouver que la dérivée de lafonction nulle est la fonction nulle, qui est vrai.Récurrence: Fixons n ≥ 0 et supposons que la dérivée de xn vautnxn−1 pour cette valeur fixée. Alors:(xn+1)′ = (x·xn)′ = (x)′xn+x(xn)′ = 1·xn+x·nxn−1 = xn+nxn = (n+1)xn

ce qui est bien la formule attendue pour n +1.

Dérivées

Dérivée des fonctions exponentielles

RésultatSoit a > 0 et soit f la fonction f :R→]0,+∞[ donnée par f(x) = ax .Alors f est dérivable en tout point et f ′(x) = ax ln(a).

Preuve incomplète.

(ax)′ = limh→0

ax+h −ax

h= lim

h→0ax ah −1

h= ax lim

h→0

ah −1h

Il se trouve qu’on a:

limh→0

ah −1h

= ln(a),

mais nous ne pouvons pas encore le démontrer actuellement (et nousl’admettons donc!)

Conséquence: comme ln(e) = 1, la dérivée de la fonctionexponentielle exp(x) est elle-même!

Dérivées

Dérivation de fonctions composées

RésultatSi f et g sont des fonctions et a est intérieur au domaine de f ◦g, si gest dérivable en a et f dérivable en g(a), alors

(f ◦g)′(a) = f ′(g(a))g ′(a).

Nous ne le prouverons pas ici.

ExempleSi f(x) = exp(nx), c’est la composée de l’exponentielle et de x 7→ nx .La dérivée de l’exponentielle est elle-même, la dérivée de nx est n , dèslors f ′(x) = n exp(nx).On peut également écrire f(x) = (expx)n , d’où on voit f comme lacomposée de t 7→ tn et de l’exponentielle. La dérivée de tn par rapportà t est ntn−1, dès lors f ′(x) = n(expx)n−1 expx = n(expx)n .Le résultat est évidemment le même.

Dérivées

RésultatSi f : A → B est une bijection dérivable en a avec f ′(a) , 0, alors saréciproque f−1 est dérivable en f(a) et

(f−1)′(f(a)) =1

f ′(a).

Démonstration.Comme f est une bijection dérivable en a , elle est également continueen a et son inverse est donc continue en f(a). Dès lors nous avonslimt→f(a) f−1(t) = f−1(f(a)) = a .On a donc successivement

limt→f(a)

f−1(t)− f−1(f(a))t − f(a)

= limx→a

f−1(f(x))− f−1(f(a))f(x)− f(a)

= limx→a

x −af(x)− f(a)

=1

f ′(a).

La première égalité s’obtient par composition des limites en posantt = f(x). La dernière égalité est la définition du nombre dérivé de f−1

en f(a).

Dérivées

ExempleLa dérivée de ln(x) vaut 1/x .

Démonstration.On sait que ln est la réciproque de exp. Et exp′(x) = exp(x) > 0 pourtout x ∈R. Dès lors:

ln′(x) =1

exp′ ln(x)=

1exp(lnx)

=1x.

ExempleLa fonction f :R0→R : x 7→ ln |x | a pour dérivée 1

x .

Démonstration.

I Pour x > 0, c’est simplement lnx ;I pour x < 0, c’est ln(−x), dont la dérivée vaut 1

−x (−x)′ = 1x

également par la règle sur la dérivée d’une composée.

Dérivées

RésultatLa dérivée de xn vaut nxn−1 pour tout réel n, x > 0.

Démonstration.On écrit que, pour tout n ∈R et x > 0:

xn = exp(ln(xn)) = exp(n ln(x))En dérivant cette dernière expression nous obtenons le résultat.

Exemple

I Nous savons que c’est vrai pour n naturel.I Pour n = 1/2, on peut donner une autre preuve :

limh→0

√x +h −

√x

h= lim

h→0

(√

x +h −√

x)(√

x +h +√

x)

h(√

x +h +√

x)

= limh→0

h

h(√

x +h +√

x)=

1

2√

x=

12

x−1/2

Dérivées Dérivée seconde, troisième, etc. . .


DérivéesDérivée seconde, troisième, etc. . .


Questions de notations

Dans vos cours vous rencontrerez les notations suivantes pour ladérivée d’une fonction f en un point a :I f ′(a)

Idfdx

(a)

Ou, ayant écrit y = f(x) :I y ′(a)

Idydx

(a)


Dérivées d’ordres successifs

SupposonsI f est dérivable dans un intervalle ouvert ]a ,b [, etI sa dérivée f ′ est aussi dérivable dans ]a ,b [,

alors on définit la dérivée seconde, notée f ′′ par :f ′′(x) = (f ′)′(x); x ∈ ]a ,b [

Si f ′′ admet à son tour une dérivée dans ]a ,b [, on l’appelle dérivéetroisième, notée f ′′′ ou f 3 et ainsi de suite, c’est-à-dire

f (n+1) = (f n)′

par récurrence, pour tout n .

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