Geometria euclidea, affine e proiettiva Anno accademico 2007-2008 1 ottobre – 1 dicembre 2007.

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Geometria Geometria euclidea, affine e euclidea, affine e proiettiva proiettiva Anno accademico 2007-2008 Anno accademico 2007-2008 1 ottobre – 1 dicembre 1 ottobre – 1 dicembre 2007 2007

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Geometria euclidea, Geometria euclidea, affine e proiettivaaffine e proiettiva

Anno accademico 2007-2008Anno accademico 2007-2008

1 ottobre – 1 dicembre 20071 ottobre – 1 dicembre 2007

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Quante geometrie?Quante geometrie?

Felix Klein, 1872, Felix Klein, 1872, “Programma di Erlangen”“Programma di Erlangen”

S, insieme di punti

G, gruppo di trasformazioni di S

Ricerca delle proprietà che non variano

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Figure equivalenti rispetto a GFigure equivalenti rispetto a G

F, F’ F, F’ sottoinsiemi disottoinsiemi di S, S, figurefigure

φφ: S → S : S → S bigettiva (bigettiva (trasformazione)trasformazione)

φ Є G

F equivalente a F’ rispetto a G

F G F’ se F = φ(F’)

La relazione G è riflessiva, simmetrica, transitiva

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Il programma di ErlangenIl programma di Erlangen

La geometria dello spazio La geometria dello spazio S S dotato del dotato del gruppo gruppo G G è la ricerca e lo studio delle è la ricerca e lo studio delle proprietà delle figure di proprietà delle figure di S S che sono che sono invariantiinvarianti rispetto alle trasformazioni del rispetto alle trasformazioni del gruppo gruppo G.G.

Figure equivalenti rispetto a Figure equivalenti rispetto a G G hanno le hanno le stesse proprietà geometriche. stesse proprietà geometriche.

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Trasformazioni in natura: ombreTrasformazioni in natura: ombre

Raggi del sole a Raggi del sole a perpendicolo: figura e perpendicolo: figura e ombra hanno lati e ombra hanno lati e angoli uguali angoli uguali ((isometria, isometria, trasformazione trasformazione euclideaeuclidea))Lampada sulla Lampada sulla verticale: figura e verticale: figura e ombra sono ombra sono similisimili

Figure da M. MenghiniFigure da M. Menghini

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Altre ombre e trasformazioniAltre ombre e trasformazioni

Ombra prodotta dai Ombra prodotta dai raggi del sole: i raggi del sole: i quadrati diventano quadrati diventano parallelogrammi, parallelogrammi, trasformazione affinetrasformazione affineOmbra da una Ombra da una lampada: i quadrati si lampada: i quadrati si proiettano in proiettano in quadrilateri generici, quadrilateri generici, proiettivitàproiettività Figura da M. MenghiniFigura da M. Menghini

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Perché la geometria proiettiva?Perché la geometria proiettiva?

modello matematico che spiega l’insieme modello matematico che spiega l’insieme delle tecniche – delle tecniche – la prospettivala prospettiva -- trovate dai trovate dai pittori del Rinascimentopittori del Rinascimento Leon Battista Alberti, De pictura, 1435 Piero della Francesca, De prospectiva

pingendi, 1482 Albrecht Dürer, L’arte della misura, 1525

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Pittura e geometriaPittura e geometria

poiché la geometria è il giusto fondamento di ogni pittura, ho deciso di insegnare i suoi rudimenti e principi a tutti i giovani che vogliono apprendere l’arte... (A. DA. Dürer)ürer)

Euclide, Euclide, OtticaOttica, stampata a Venezia nel , stampata a Venezia nel 15051505

Desargues, Desargues, La prospettiva, La prospettiva, 16361636 http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/http://www-groups.dcs.st-and.ac.uk/~history/

HistTopics/Art.htmlHistTopics/Art.html

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Che cosa è la prospettiva?Che cosa è la prospettiva?

Per farcene un’idea, cominciamo Per farcene un’idea, cominciamo osservando alcuni quadri osservando alcuni quadri

Molte fra le immagini che seguono sono Molte fra le immagini che seguono sono tratte dal CD allegato al testo “tratte dal CD allegato al testo “Le Le geometrie della visionegeometrie della visione” di Catastini-” di Catastini-GhioneGhione

Per i disegni, è stato usato un software di Per i disegni, è stato usato un software di geometriageometria

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Confrontate questo dipinto…Confrontate questo dipinto…

Duccio da

Boninsegna

(ca. 1255-1319)

Nozze di Canaan

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……con questo dipintocon questo dipinto

Raffaello Sanzio

(1483-1520)

Sposalizio della vergine

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Il modello della piramide visivaIl modello della piramide visiva(figura da E.Danti, 1536-1586)(figura da E.Danti, 1536-1586)

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I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in I raggi visivi che colpiscono una retta giacciono in un pianoun piano

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Il piano dei raggi visivi taglia il quadro in una rettaIl piano dei raggi visivi taglia il quadro in una retta

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Se P descrive una retta del Se P descrive una retta del pavimento, P’ .....pavimento, P’ .....

Nel piano definito dall’occhio e dalla retta Nel piano definito dall’occhio e dalla retta osservata, i raggi visivi stabiliscono una osservata, i raggi visivi stabiliscono una corrispondenza tra la retta osservata e la corrispondenza tra la retta osservata e la sua immagine sul quadrosua immagine sul quadro

CabriIICabriII

Come vengono viste nel quadro due rette Come vengono viste nel quadro due rette parallele del pavimento?parallele del pavimento?

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Rette parallele sono viste incidentiRette parallele sono viste incidenti

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Il punto di fugaIl punto di fuga

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Punti all’infinitoPunti all’infinito

Le immagini di due rette parallele si intersecano Le immagini di due rette parallele si intersecano in un puntoin un punto

Il punto Il punto di fugadi fuga si può pensare come immagine si può pensare come immagine di un punto lontano, dove convergono le due di un punto lontano, dove convergono le due rette parallele, rette parallele, il punto all’infinitoil punto all’infinito

La proiezione dall’occhio è una corrispondenza La proiezione dall’occhio è una corrispondenza quasi quasi biunivoca tra una retta e la sua immaginebiunivoca tra una retta e la sua immagine

Con l’introduzione dei punti all’infinito diviene Con l’introduzione dei punti all’infinito diviene bijettivabijettiva

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La proiezione, funzione dispettosaLa proiezione, funzione dispettosa

Ogni punto Ogni punto P P dello spazio, diverso da dello spazio, diverso da O O (occhio) ha una ben definita immagine sul (occhio) ha una ben definita immagine sul piano del quadropiano del quadro se la retta se la retta OP OP è parallela al quadro, è parallela al quadro,

l’immagine di l’immagine di P P è un punto all’infinitoè un punto all’infinito

Ogni punto P’ del quadro è immagine degli Ogni punto P’ del quadro è immagine degli infiniti punti della retta infiniti punti della retta OP’OP’Fissato un piano Fissato un piano diverso dal quadro,ogni diverso dal quadro,ogni P’ P’ del quadro è immagine di un solo del quadro è immagine di un solo P P

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Pavimento e quadroPavimento e quadro

La proiezione da La proiezione da O O è biunivoca tra pavimento e è biunivoca tra pavimento e quadroquadroLinea di terra:Linea di terra: retta comune ai due piani retta comune ai due pianiI punti della linea di terra hanno come immagine I punti della linea di terra hanno come immagine se stessise stessi

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Il pittore disegna su un semipianoIl pittore disegna su un semipiano

Studiamo la corrispondenza tra il pavimento al di là del Studiamo la corrispondenza tra il pavimento al di là del quadro e il quadroquadro e il quadroSe P descrive una semiretta nel pavimento, la sua Se P descrive una semiretta nel pavimento, la sua immagine nel quadro descrive un segmentoimmagine nel quadro descrive un segmento

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L’omologia di Piero della FrancescaL’omologia di Piero della Francesca

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Il pavimento e le alzateIl pavimento e le alzate

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Il pavimento a piastrelle di Fra LippiIl pavimento a piastrelle di Fra Lippi

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Nello spazio ampliatoNello spazio ampliato

Si estendono agli elementi impropri Si estendono agli elementi impropri proprietà valide per quelli propri:proprietà valide per quelli propri: Due punti all’infinito individuano una retta Due punti all’infinito individuano una retta

all’infinito che li contiene entrambiall’infinito che li contiene entrambi Due rette all’infinito hanno in comune uno ed Due rette all’infinito hanno in comune uno ed

un solo punto all’infinitoun solo punto all’infinito

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Senza distinguere propri, impropriSenza distinguere propri, impropri

Due punti Due punti individuano una retta individuano una retta a cui appartengono a cui appartengono (retta congiungente)(retta congiungente)Tre punti che non Tre punti che non appartengono ad una appartengono ad una stessa retta, stessa retta, individuano un piano individuano un piano a cui essi a cui essi appartengono (piano appartengono (piano congiungente)congiungente)

Due piani individuano Due piani individuano una retta, che una retta, che appartiene ad appartiene ad entrambi (loro entrambi (loro intersezione)intersezione)Tre piani, che non Tre piani, che non appartengano ad una appartengano ad una stessa retta, stessa retta, individuano un punto, individuano un punto, in cui si taglianoin cui si tagliano

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Senza distinguere propri, impropriSenza distinguere propri, impropri

Un punto ed una retta Un punto ed una retta che non si appartengono, che non si appartengono, individuano un piano individuano un piano (congiungente) a cui (congiungente) a cui appartengono entrambiappartengono entrambiSe due punti di una retta Se due punti di una retta appartengono a un piano, appartengono a un piano, la retta appartiene al la retta appartiene al pianopianoDue rette per uno stesso Due rette per uno stesso punto appartengono ad punto appartengono ad uno stesso pianouno stesso piano

Un piano ed una retta, Un piano ed una retta, che non si appartengano, che non si appartengano, individuano un punto individuano un punto (intersezione) che (intersezione) che appartiene a entrambiappartiene a entrambiSe due piani per una retta Se due piani per una retta contengono un punto, la contengono un punto, la retta passa per il puntoretta passa per il puntoDue rette appartenenti ad Due rette appartenenti ad uno stesso piano uno stesso piano passano per uno stesso passano per uno stesso puntopunto

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La geometria proiettiva sinteticaLa geometria proiettiva sintetica

Le proposizioni precedenti vengono prese Le proposizioni precedenti vengono prese a fondamento della teoriaa fondamento della teoriaTeoria assiomaticaTeoria assiomatica: : nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione nozioni primitive: punti, rette, piani, relazione

di appartenenzadi appartenenza assiomi “grafici” assiomi “grafici”

DualitàDualità: ogni assioma grafico si cambia in : ogni assioma grafico si cambia in un altro se si scambiano le parole un altro se si scambiano le parole punto e punto e pianopiano

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Geometria proiettiva algebricaGeometria proiettiva algebrica

analitica:analitica:

punti,punti, rette,rette, piani sono determinati da piani sono determinati da coordinate o da equazioni coordinate o da equazioni omogeneeomogenee

Coordinate omogeneeCoordinate omogenee

Quoziente di uno spazio vettorialeQuoziente di uno spazio vettoriale

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Indice indicativoIndice indicativo

Il piano proiettivo come ampliamento del piano Il piano proiettivo come ampliamento del piano della geometria elementaredella geometria elementare

Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, Costruzioni grafiche: birapporto, prospettività, proiettività tra rette proiettività tra rette

Spazi proiettivi, dualitàSpazi proiettivi, dualità

Proiettività del piano, omologiaProiettività del piano, omologia

Affinità, isometrieAffinità, isometrie

Polarità, coniche e quadrichePolarità, coniche e quadriche Classificazioni proiettive e affiniClassificazioni proiettive e affini

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