MATEMATIKA EKONOMIPertemuan 7Elastisitas, Biaya Produksi dan Penerimaan, Maksimum dan Minimum Suatu FungsiI Komang Adi AswantaraUT Korea Fall 2013

Elastisitas• Elastisitas merupakan ukuran kepekaan jumlah

permintaan terhadap perubahan faktor yang mempengaruhinya (harga).

εh = %Perubahan jumlah yang diminta % Perubahan harga barang tsb

Elastisitas• Apabila terjadi perubahan

harga dari P0 menjadi P1, maka konsumen hanya bersedia membeli sebanyak Q1.

• Persentase perubahan harga:P1 – P0 . 100% P0

• Persentase perubahan jumlah barang:Q1 – Q0 . 100% Q0

Elastisitasεp = εh = ΔQ . P0

ΔP Q0

Dengan demikian, apabila diambil limit dari ΔQ/ΔP sehingga akan menjadi:

εp = εh = dQ . P0

dP Q0

Jenis-jenis ElastisitasNilai elastisitas yang terkecil adalah 0 dan yang terbesar

adalah ∞.• εh > 1 permintaan elastis• εh = 1 unitary elastis (elastisitas tunggal)• εh < 1 permintaan inelastis (tidak elastis)

Contoh SoalBila fungsi permintaan seorang konsumen ditunjukkan oleh persamaan P = 50

– 2Q, berapakah elastisitas permintaannya pada harga (P) = 20?P = 50 – 2QdP = -2dQdQ = -1dP 2Bila P = 20, maka Q = 15 sehingga elastisitasnya:Εh = dQ . P0

dP Q0

Εh = -1 . 20 2 15

Εh = -2/3• Dalam elastisitas tidak diperhatikan apakah nilainya negatif atau positif,

sehingga apabila Εh = |-2/3| = 2/3 permintaan inelastis karena < 1

Biaya Produksi dan Penerimaan1. Biaya Produksi:• Biaya Tetap Total (Total Fixed Cost) = TFC

atau FC adalah jumlah biaya-biaya yang besarnya tetap, berapapun tingkat output yang dihasilkan.

• Biaya Variabel Total (Total Variabel Cost) = TVC atau VC adalah biaya yang besarnya tergantung dari jumlah output yang dihasilkan.

• Biaya Total (Total Cost) = TC adalah jumlah dari biaya tetap dan biaya variabel.

TC = FC + VC

Biaya Produksi• Biaya Tetap Rata-Rata (Average Fixed Cost) = AFC adalah

ongkos tetap yang dibebankan pada setiap unit output.AFC = TFC / Q

• Biaya Variabel Rata-Rata (Average Variable Cost) = AVC adalah semua biaya-biaya lain, selain AFC yang dibebankan pada setiap unit output.

AVC = TVC / Qdimana kurva AVC diturunkan dari kurva TVC.

• Biaya Total Rata-Rata (Average Total Cost) = ATC biaya total yang dibebankan pada setiap unit output yang diproduksi.

ATC = TC / Q• Biaya Marjinal (Marginal Cost) = MC tambahan biaya total karena

ada tambahan biaya produksi 1 unit output.MC = dTC dQ

- Jumlah output yang diproduksi pada saat AC atau MC minimum terjadi bila turunan pertama bernilai nol dan turunan kedua bernilai lebih dari 1.

Contoh SoalBila kurva biaya rata-rata ditunjukkan oleh persamaan: AC

= 25 – 8Q + Q2, tentukan jumlah output yang diproduksi pada saat AC minimum.

Turunan pertama AC = 0 -8 + 2Q = 0 Q = 4Turunan kedua AC = 2 AC > 1, sehingga pada Q = 4,

maka AC minimum.

Penerimaan• Penerimaan (revenue) adalah penerimaan

produsen dari hasil penjualan outputnya.a. Penerimaan Total (Total Revenue) = TR

penerimaan total produsen dari hasil penjualan outputnya. TR = P . Q

b. Penerimaan Rata-Rata (Average Revenue) = AR penerimaan produsen per unit outputnya yang dijual. AR = TR / Q = P

c. Penerimaan Marjinal (Marginal Revenue) = MR tambahan penerimaan karena adanya tambahan penjualan satu unit output.MR = dTR

dQ

Jenis Pasar1. Pasar Persaingan Sempurna

ditandai oleh banyaknya produsen dan konsumen sehingga masing-masing pihak baik itu produsen dan konsumen tidak dapat mempengaruhi harga di pasar.

2. Pasar Monopoli ditandai dengan hanya ada satu penjual dalam pasar sehingga tidak ada orang lain yang menyaingi sehingga produsen dapat mempengaruhi harga di pasar dengan cara menjual barangnya lebih banyak atau sedikit dari yang diproduksi.

Penerimaan dan Elastisitas• Konsep penerimaan seringkali dihubungkan

dengan konsep elastisitas. Sifat-sifatnya adalah:

1. TR menaik selama elastisitas harga εh dari kurva permintaan D lebih besar dari satu.

2. TR mencapai maksimum pada saat elastisitas harga sama dengan satu.

3. TR menurun pada daerah dimana kurva permintaan mempunyai elastisitas harga lebih kecil dari satu

Contoh SoalBila fungsi permintaan ditunjukkan oleh persamaan P = 20

– 0.4Q, berapkah penerimaan maksimum yang dapat diperoleh oleh produsen?

TR = P . Q = (20 – 0.4Q) Q = 20Q – 0.4Q2

TR maksimum apabila turunan pertamanya = 0 dan turunan keduanya < 0

TR’ = MR = 20 – 0.8Q = 0 Q = 25Turunan kedua = -0.8 < 0, sehingga pada Q = 25,

penerimaan total maksimum sebesar 250.Pada Q = 25, TR = 250 maka P = 10

Maksimum dan Minimum Suatu Fungsi

A. Turunan PertamaTurunan pertama dari suatu fungsi dapat digunakan untuk mengetahui bagian fungsi yang menarik dan bagian yang menurun.

Contoh: f(x) = 3x2 + 7, maka turunan pertama dari fungsi f(x) = f’(x) = 6x, sehingga untuk semua nilai x > 0, f(x) merupakan fungsi yang menaik dan untuk setiap x < 0, f(x) merupakan fungsi yang menurun

Turunan Pertama• Fungsi f(x) mempunyai titik minimum lokal pada x = a, bila

f(a) lebih kecil dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.• Fungsi f(x) mempunyai titik maksimum lokal pada x = a,

bila f(a) lebih besar dari setiap nilai f(x) untuk nilai x sekitar a.

• Titik maksimum lokal = titik maksimum relatif.• Titik minimum lokal = titik minimum relatif.

Turunan PertamaSetiap fungsi f(x) dapat diselidiki apakah mempunyai titik-titik maksimum atau minimum dengan cara:

a. Mencari nilai x yang menyebabkan f(x) = 0. Nilai x diperoleh dengan mencari akar persamaan f’(x) = 0.

b. Menyelidiki perubahan tanda yang mungkin terjadi di sekitar x. Bila akar dari persamaan f’(x) = 0 adalah a, maka perubahan tanda f’(x) dari (+) ke (-) menunjukkan titik maksimum lokal, dan apabila tanda f’(x) berubah dari (-) ke (+) menunjukkan titik minimum lokal. Dan apabila tandanya tidak berubah pada x = a, maka tidak terdapat titik maksimum dan minimum lokal pada fungsi f(x).

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari fungsi y =

2x3 + 3x2 – 36x + 4.y’ = 6x2 + 6x – 36 = 0 :6y’ = x2 + x – 6 = 0(x + 3)(x – 2) = 0x1 = -3 dan x2 = 2Untuk setiap x < -3 nilai y’ > 0 (+) dan untuk setiap -3<x<2

nilai y’ < 0 (-) sehingga fungsi tersebut maksimum pada x = -3.

Untuk setiap -3<x<2 nilai y’ < 0 (-) dan untuk setiap x > 2 nilai y’ > 0 (+) sehingga fungsi tersebut minimum pada nilai x = 2.

Turunan Kedua• Turunan kedua dari suatu fungsi merupakan turunan dari

turunan pertama suatu fungsi.• Turunan kedua dari suatu fungsi dapat digunakan untuk

menentukan bagian kurva yang lengkung ke atas dan bagian yang lengkung ke bawah.

• Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya positif, maka y’ = f’(x) merupakan fungsi yang menaik di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke atas. (d2y / dx2) > 0

• Jika untuk x = a, turunan kedua f”(x) nilainya negatif, maka y’ = f(x) merupakan fungsi yang menurun di x = a dan kurva y = f(x) lengkung ke bawah.

Turunan KeduaTurunan kedua suatu fungsi dapat digunakan untuk melakukan tes terhadap suatu fungsi apakah fungsi tersebut mempunyai titik maksimum atau minimum

Bila f(x) dan f’(x) kontinu pada x = a dan f’(a) = 0, maka:• Titik x = a maksimum bila f”(a) < 0• Titik x = a minimum bila f”(a) > 0• Tes tidak dapat dilakukan bila f”(a) = 0

Contoh SoalTentukan titik maksimum dan minimum lokal dari y = 1/3 x3 – 2x2 – 5x +2

y’ = x2 – 4x – 5 = 0(x – 5)(x + 1) = 0X1 = 5 dan x2 = -1

Untuk x = -1 y” < 0 maksimum pada x = -1Untuk x = 5 y” > 0 minimum pada x = 5

Keuntungan Produsen• Keuntungan merupakan selisih antara seluruh

penerimaan dan ongkos-ongkos yang harus dikeluarkan:π = TR – TC

• Keuntungan yang diperoleh akan maksimum apabiadπ = 0 dan d2π < 0dQ dQ2

atauMR = MC dan dMR < dMC

dQ dQ• Untuk memperoleh kerugian yang minimum maka P >

AC.

Contoh SoalBila penerimaan total produsen ditunjukkan oleh TR = 100Q – 4Q2 dan biaya totalnya ditunjukkan oleh TC = 50 + 20Q, maka tentukan jumlah output yang harus diproduksi agar supaya produsen memperoleh keuntungan yang maksimum.

π = TR – TC

= 100Q – 4Q2 – 50 – 20Q = 80Q – 4Q2 – 50π akan maksimum bila:1. dπ/dQ = 0 80 – 8Q = 0 Q = 102. d2π/dQ2 < 0 -8 < 0 syarat terpenuhiAtau• MR = MC

MR = turunan TR = 100 -8QMC = turunan TC = 20100 – 8Q = 20 Q = 10

2. dMR < dMC dQ dQ-8 < 0 syarat terpenuhi

Contoh Soal 2Biaya rata-rata yang dikeluarkan oleh produsen ditunjukkan oleh persamaan AC = 1/3 Q2 – 25Q +

500 + 600/Q. Berapakah keuntungan maksimum yang dapat diperoleh bila harga barang per unitnya adalah P = 100?

AC = 1/3 Q2 – 25Q + 500 + 600/QTC = AC . Q = 1/3 Q3 – 25Q2 + 500Q + 600MC = turunan dari TC = Q2 – 50Q + 500MR = P = 100Keuntungan maksimum didapat apabila:1. MR = MC 100 = Q2 – 50Q + 500

Q2 – 50Q + 400 = 0(Q – 10)(Q – 40) = 0Q1 = 40 dan Q2 = 10

2. dMR < dMC dQ dQuntuk Q = 40 dMR < dMC

dQ dQuntuk Q = 10 dMR > dMC tidak memenuhi syarat

dQ dQTR = 40 x 100 = 4000TC = 1/3 (40)3 – 25(40)2 + 500(40) + 600 = 1933 1/3π = TR – TC = 2066 2/3

Tugas 31. Cari hasil dari:

a.b.

2. Cari turunan pertama dari:a. y = x2 +2x-10b. y = (x+1)(x+2)c. y = 1/(x2 +5)d. y = log(2x+10)