Modul Medan Em II

Click here to load reader

  • date post

    29-Nov-2015
  • Category

    Documents

  • view

    192
  • download

    14

Embed Size (px)

description

Medan EM

Transcript of Modul Medan Em II

  • I. GAYA DAN MEDAN ELEKTROMAGNETOSTATIK

    A. Teori Elektrostatik (ES)

    Gaya interaksi antara dua muatan titik q dan q` yang berada dalam ruang hampa

    dan berjarak R (Gambar I.1) ditentukan oleh hukum Coulomb dalam satuan MKS/satuan

    internasional (SI).

    3o R

    R

    4

    'qqF

    , 'xxR (I.1)

    Dengan o = 8,854 x 10-12

    Farad/m (1/36) 10-9 F/m. Gaya yang dialami muatan titik q

    ini dapat pula dipandang sebagai gaya interaksi q dengan medan elektrostatik E , yang

    bersumber dari q`. Dengan kata lain, untuk gaya pada q dapat dituliskan

    EqF (I.2)

    dengan 3o R

    R

    4

    'q

    q

    FE

    (I.3)

    Berdasarkan identitas

    n2nn R

    1`

    R

    Rn

    R

    1 (I.4)

    dengan ` sebagai operator yang bekerja pada variabel `x , maka persamaan (I.3) dapat

    dituangkan dalam bentuk:

    R

    1

    4

    'q)x(E

    o (I.5)

    Untuk sumber medan dengan distribusi kontinu )`x( , rumus (I.3) dan (I.5) tetap berlaku

    untuk medan muatan yang terletak dalam elemen volume invenitesimal dV`. Jadi

    q q` R

    x

    `x

    O

  • `dVR

    1)`x(

    4

    1

    R

    R`dV)`x(

    4

    1Ed

    o3

    o

    yang selanjutnya dapat diperluas menjadi ungkapan integral:

    `dVR

    1)`x(

    4

    1)x(E

    `Vo

    (I.6)

    Setiap medan vektor dapat dikarakterisasikan melalui divergensing ( rapat

    sumber monopol/muatan) dan rotasi/curlnya ( rapat sumber sirkulasi/arus). Untuk

    medan E , persamaan (I.6) memberikan ungkapan

    `dVR

    1)`x(

    4

    1)x(E. 2

    `Vo

    (I.7)

    Tidak sulit untuk menunjukkan hubungan-hubungan (PR):

    0 R ,0R

    1`

    R

    1 22

    (I.8)

    dan tak terdefinisikan hbila R=0, namun memenuhi persamaan :

    4`dV

    R

    1`dV

    R

    1`V

    2V

    2 (I.8a)

    asal `xx terdapat dalam V atau x`x terdapat dalam V`. Ini berarti dalam tanda

    integral berlaku ekuivalensi:

    )R(4R

    1`

    R

    1 22

    (I.8b)

    Dengan demikian persamaan (I.7) menjadi

    x1xE.

    o

    (I.9)

    Persamaan ini dikenal sebagai hukum Gauss dalam bentuk diferensial. Bentuk

    integralnya langsung diperoleh dari persamaan (I.9) dengan bantuan dalil Gauss dan

    diungkapkan dalam fluksi medan E :

    dS, ndS ,dVE.dS.E vs n mengarah ke luar (I.10)

  • dengan S sebagai permukaan tertutup yang membatasi ruang V. Substitusi persamaan (I.9)

    untuk integran di ruas kanan segera menghasilkan persamaan integral:

    vo

    s dV q dengan q

    dS.E (I.11)

    Selanjutnya, rotasi medan E diperoleh dari persamaan (I.6) dengan bantuan

    identitas 0R

    1x

    . Hasilnya adalah

    0 E x (I.12)

    Jadi medan elektrostatis tidak mengenal sumber arus (sirkulasi), dan bersifat konservatif

    karena dengan bantuan dalil Stokes persamaan (I.12) dapat diubah menjadi

    0 dl . Ec (I.13)

    dengan C sebagai kontur/lintasan integral yang membatasi permukaan S.

    B. Teori Magnetostatik (MS)

    Gaya interaksi antara dua elemen arus yang berjarak R dalam ruang hampa seperti

    diperlihatkan oleh Gambar I.2 ditentukan oleh hukum Ampere (dalam satuan SI):

    dV`dV

    R

    Rx`JxJ

    4Fd

    3o

    (I.14)

    Medan magnet (induksi magnet) yang bersangkutan dari sumber elemen arus `dV`J

    didefinisikan oleh ungkapan:

    Bd x dV J Fd (I.15)

    atau `dVR

    1x`J

    4`dV

    R

    Rx`J

    4Bd o

    3o

    (I.16)

    R dl

    j

    `dl

    j`

    `dl`I`dV`J dlIdVJ , dV =Adl

  • o = permeabilitas ruang hampa/bebas dan bernilai o = 4 x 10-7

    H/m. Persamaan (I.16)

    juga dikenal sebagai hukum Biot Savart. Seperti kasus ES, ungkapan ini selanjutnya dapat

    diperluas menjadi bentuk integral:

    `dVR

    1x)`x(J

    4`dV

    R

    Rx)`x(J

    4xB `v

    o3`v

    o

    (I.16a)

    Divergensi medan B segera diperoleh dari persamaan (I.16a) sebagai berikut:

    `dVR

    Jx .

    4

    `dVR

    1x)`x(J .

    4xB.

    `vo

    `vo

    Karena `xJ tak bergantung pada variabel x . Jadi berdasarkan identitas 0R

    Jx.

    dapat dituliskan

    0xB . (I.17) dan selanjutnya dengan bantuan dalil Gauss langsung diperoleh

    0 dS . Bs (I.17a)

    Ini berarti medan B tidak mengenal sumber monopol (muatan magnetik). Selanjutnya

    rotasi medan B diperoleh sebagai berikut

    `dVR

    J

    R

    J .

    4

    `dVR

    )`x(J xx

    4xBx

    `v2o

    `vo

    (I.18)

    dengan memanfaatkan identitas:

    WW.Wxx 2 (I.19)

  • Mengingat bahwa J hanya bergantung pada variabel `x , maka persamaan (I.18) dapat

    disederhanakan menjadi

    xJ`dVR

    J.`

    R

    J.`

    4

    `dV)R()`x(J4`dV)`x(J.R

    1`

    4

    `dVR

    1)`x(J)`x(J.

    R

    1

    4xBx

    o`vo

    `v`vo

    `v2o

    Dalam keadaan stasioner (magnetostatik), 0`xJ.` sesuai dengan syarat 0t

    berdasarkan persamaan kontinuitas. Karena itu suku pertama dalam integral di atas sama

    dengan nol. Suku kedua dalam integral juga dapat disingkirkan dengan mengambil V` tak

    terhingga dan mengubah integral volume menjadi integral permukaan atas dasar dalil

    Gauss. Sebagai hasilnya,

    xJxBx o (I.20) Dengan bantuan dalil Stokes segera diperoleh hubungan integral

    I dl . B oc (I.20a)

    Dengan I = arus total yang mengalir melalui permukaan dengan batas C.

    Sebagai rangkuman, perangkat persamaan medan ES dan MS dapat dikumpulkan

    berikut ini

    (I.20) J B x

    (I.17) 0 B .

    (I.12) 0 E x

    (I.9) E .

    o

    o

  • Perhatikan bahwa persamaan medan ES sama sekali terpisah (decoupled) dari persamaan

    medan MS, dan kedua jenis medan tersebut masing-masing mempunyai hanya satu jenis

    sumber, muatan listrik untuk medan ES dan arus listrik untuk medan MS.

  • II. MEDAN NON-STATIK DAN PERSAMAAN MAXWELL

    A. Hukum Faraday dan Hipotesa Maxwell

    Berdasarkan pengamatan Faraday (secara terpisah juga Henry dan Lenz), medan

    magnet yang berubah dengan waktu akan menghasilkan medan listrik. Gejala ini dapat

    dirumuskan dengan bantuan Gambar I.3. Bila fluksi magnet dalam luas yang dibatasi simpal

    (loop) kawat C berubah dengan waktu, maka pada kawat tersebut akan terjadi gaya gerak

    listrik (emf) yang dapat diukur melalui arus I yang ditimbulkannya pada kawat tersebut. GGL

    (emf) atau I yang diimbas ini selalu berarah melawan perubahan fluksi B tersebut. Hubungan

    kuantitatif yang kini dikenal sebagai hukum Faraday itu diungkapkan oleh persamaan:

    dt

    demf m

    (II.1)

    atau berdasarkan ketentuan emf dan m, persamaan ini dapat pula dituliskan dalam bentuk:

    sc dS . Bdt

    d- dl . E (II. 1a)

    Dengan bantuan dalil Stokes, persamaan (I.21a) dapat dituliskan dalam bentuk persamaan

    diferensial:

    t

    B- E x

    (II.2)

    Ini berarti bahwa tB berperan sebagai sumber sirkulasi/arus bagi medan E yang tidak lagi

    bersifat statik maupun konservatif.

    Akibat keadaan nonstsioner tidak hanya terbatas pada modifikasi persamaan

    persamaan (I.12) menjadi persamaan (I.22), melainkan juga menentukan perluasan persamaan

    I

    B

    C

  • Ampere (I.20), sebab untuk arus nonstasioner, 0J. , seddangkan divergensi ruas kiri

    persamaan (I.20) identik dengan nol. Selain itu dengan perangkat persamaan medan yang ada

    belum bisa diturunkan persamaan (meramalkan kehadiran) gelombang elektromagnet. Cara

    mengatsi masalah ini dikemukakan oleh J. C. Maxwell (1862) dalam bentuk hipotesis

    perluasan ruas kanan persamaan (I.20): DJJJ dengan

    t

    EJ oD

    (II.3)

    yang disebut rapat arus perpindahan (displacement current). Dengan demikian hukum

    Ampere diperluas menjadi