I. GAYA DAN MEDAN ELEKTROMAGNETOSTATIK

A. Teori Elektrostatik (ES)

Gaya interaksi antara dua muatan titik q dan q` yang berada dalam ruang hampa

dan berjarak R (Gambar I.1) ditentukan oleh hukum Coulomb dalam satuan MKS/satuan

internasional (SI).

3o R

R

4

'qqF

, 'xxR (I.1)

Dengan o = 8,854 x 10-12

Farad/m (1/36) 10-9 F/m. Gaya yang dialami muatan titik q

ini dapat pula dipandang sebagai gaya interaksi q dengan medan elektrostatik E , yang

bersumber dari q`. Dengan kata lain, untuk gaya pada q dapat dituliskan

EqF (I.2)

dengan 3o R

R

4

'q

q

FE

(I.3)

Berdasarkan identitas

n2nn R

1`

R

Rn

R

1 (I.4)

dengan ` sebagai operator yang bekerja pada variabel `x , maka persamaan (I.3) dapat

dituangkan dalam bentuk:

R

1

4

'q)x(E

o (I.5)

Untuk sumber medan dengan distribusi kontinu )`x( , rumus (I.3) dan (I.5) tetap berlaku

untuk medan muatan yang terletak dalam elemen volume invenitesimal dV`. Jadi

q q` R

x

`x

O

`dVR

1)`x(

4

1

R

R`dV)`x(

4

1Ed

o3

o

yang selanjutnya dapat diperluas menjadi ungkapan integral:

`dVR

1)`x(

4

1)x(E

`Vo

(I.6)

Setiap medan vektor dapat dikarakterisasikan melalui divergensing ( rapat

sumber monopol/muatan) dan rotasi/curlnya ( rapat sumber sirkulasi/arus). Untuk

medan E , persamaan (I.6) memberikan ungkapan

`dVR

1)`x(

4

1)x(E. 2

`Vo

(I.7)

Tidak sulit untuk menunjukkan hubungan-hubungan (PR):

0 R ,0R

1`

R

1 22

(I.8)

dan tak terdefinisikan hbila R=0, namun memenuhi persamaan :

4`dV

R

1`dV

R

1`V

2V

2 (I.8a)

asal `xx terdapat dalam V atau x`x terdapat dalam V`. Ini berarti dalam tanda

integral berlaku ekuivalensi:

)R(4R

1`

R

1 22

(I.8b)

Dengan demikian persamaan (I.7) menjadi

x1xE.

o

(I.9)

Persamaan ini dikenal sebagai hukum Gauss dalam bentuk diferensial. Bentuk

integralnya langsung diperoleh dari persamaan (I.9) dengan bantuan dalil Gauss dan

diungkapkan dalam fluksi medan E :

dS, ndS ,dVE.dS.E vs n mengarah ke luar (I.10)

dengan S sebagai permukaan tertutup yang membatasi ruang V. Substitusi persamaan (I.9)

untuk integran di ruas kanan segera menghasilkan persamaan integral:

vo

s dV q dengan q

dS.E (I.11)

Selanjutnya, rotasi medan E diperoleh dari persamaan (I.6) dengan bantuan

identitas 0R

1x

. Hasilnya adalah

0 E x (I.12)

Jadi medan elektrostatis tidak mengenal sumber arus (sirkulasi), dan bersifat konservatif

karena dengan bantuan dalil Stokes persamaan (I.12) dapat diubah menjadi

0 dl . Ec (I.13)

dengan C sebagai kontur/lintasan integral yang membatasi permukaan S.

B. Teori Magnetostatik (MS)

Gaya interaksi antara dua elemen arus yang berjarak R dalam ruang hampa seperti

diperlihatkan oleh Gambar I.2 ditentukan oleh hukum Ampere (dalam satuan SI):

dV`dV

R

Rx`JxJ

4Fd

3o

(I.14)

Medan magnet (induksi magnet) yang bersangkutan dari sumber elemen arus `dV`J

didefinisikan oleh ungkapan:

Bd x dV J Fd (I.15)

atau `dVR

1x`J

4`dV

R

Rx`J

4Bd o

3o

(I.16)

R dl

j

`dl

j`

`dl`I`dV`J dlIdVJ , dV =Adl

o = permeabilitas ruang hampa/bebas dan bernilai o = 4 x 10-7

H/m. Persamaan (I.16)

juga dikenal sebagai hukum Biot Savart. Seperti kasus ES, ungkapan ini selanjutnya dapat

diperluas menjadi bentuk integral:

`dVR

1x)`x(J

4`dV

R

Rx)`x(J

4xB `v

o3`v

o

(I.16a)

Divergensi medan B segera diperoleh dari persamaan (I.16a) sebagai berikut:

`dVR

Jx .

4

`dVR

1x)`x(J .

4xB.

`vo

`vo

Karena `xJ tak bergantung pada variabel x . Jadi berdasarkan identitas 0R

Jx.

dapat dituliskan

0xB . (I.17) dan selanjutnya dengan bantuan dalil Gauss langsung diperoleh

0 dS . Bs (I.17a)

Ini berarti medan B tidak mengenal sumber monopol (muatan magnetik). Selanjutnya

rotasi medan B diperoleh sebagai berikut

`dVR

J

R

J .

4

`dVR

)`x(J xx

4xBx

`v2o

`vo

(I.18)

dengan memanfaatkan identitas:

WW.Wxx 2 (I.19)

Mengingat bahwa J hanya bergantung pada variabel `x , maka persamaan (I.18) dapat

disederhanakan menjadi

xJ`dVR

J.`

R

J.`

4

`dV)R()`x(J4`dV)`x(J.R

1`

4

`dVR

1)`x(J)`x(J.

R

1

4xBx

o`vo

`v`vo

`v2o

Dalam keadaan stasioner (magnetostatik), 0`xJ.` sesuai dengan syarat 0t

berdasarkan persamaan kontinuitas. Karena itu suku pertama dalam integral di atas sama

dengan nol. Suku kedua dalam integral juga dapat disingkirkan dengan mengambil V` tak

terhingga dan mengubah integral volume menjadi integral permukaan atas dasar dalil

Gauss. Sebagai hasilnya,

xJxBx o (I.20) Dengan bantuan dalil Stokes segera diperoleh hubungan integral

I dl . B oc (I.20a)

Dengan I = arus total yang mengalir melalui permukaan dengan batas C.

Sebagai rangkuman, perangkat persamaan medan ES dan MS dapat dikumpulkan

berikut ini

(I.20) J B x

(I.17) 0 B .

(I.12) 0 E x

(I.9) E .

o

o

Perhatikan bahwa persamaan medan ES sama sekali terpisah (decoupled) dari persamaan

medan MS, dan kedua jenis medan tersebut masing-masing mempunyai hanya satu jenis

sumber, muatan listrik untuk medan ES dan arus listrik untuk medan MS.

II. MEDAN NON-STATIK DAN PERSAMAAN MAXWELL

A. Hukum Faraday dan Hipotesa Maxwell

Berdasarkan pengamatan Faraday (secara terpisah juga Henry dan Lenz), medan

magnet yang berubah dengan waktu akan menghasilkan medan listrik. Gejala ini dapat

dirumuskan dengan bantuan Gambar I.3. Bila fluksi magnet dalam luas yang dibatasi simpal

(loop) kawat C berubah dengan waktu, maka pada kawat tersebut akan terjadi gaya gerak

listrik (emf) yang dapat diukur melalui arus I yang ditimbulkannya pada kawat tersebut. GGL

(emf) atau I yang diimbas ini selalu berarah melawan perubahan fluksi B tersebut. Hubungan

kuantitatif yang kini dikenal sebagai hukum Faraday itu diungkapkan oleh persamaan:

dt

demf m

(II.1)

atau berdasarkan ketentuan emf dan m, persamaan ini dapat pula dituliskan dalam bentuk:

sc dS . Bdt

d- dl . E (II. 1a)

Dengan bantuan dalil Stokes, persamaan (I.21a) dapat dituliskan dalam bentuk persamaan

diferensial:

t

B- E x

(II.2)

Ini berarti bahwa tB berperan sebagai sumber sirkulasi/arus bagi medan E yang tidak lagi

bersifat statik maupun konservatif.

Akibat keadaan nonstsioner tidak hanya terbatas pada modifikasi persamaan

persamaan (I.12) menjadi persamaan (I.22), melainkan juga menentukan perluasan persamaan

I

B

C

Ampere (I.20), sebab untuk arus nonstasioner, 0J. , seddangkan divergensi ruas kiri

persamaan (I.20) identik dengan nol. Selain itu dengan perangkat persamaan medan yang ada

belum bisa diturunkan persamaan (meramalkan kehadiran) gelombang elektromagnet. Cara

mengatsi masalah ini dikemukakan oleh J. C. Maxwell (1862) dalam bentuk hipotesis

perluasan ruas kanan persamaan (I.20): DJJJ dengan

t

EJ oD

(II.3)

yang disebut rapat arus perpindahan (displacement current). Dengan demikian hukum

Ampere diperluas menjadi