Modul MTE3143-Bab 5.pdf

24
93 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK 93 5.1 PENGHAMPIRAN π OLEH ARCHIMEDES Pendahuluan Sekitar tahun 250 SM, ahli matematik Yunani Archimedes mengira nisbah ukur lilit bulatan melalui diameternya. Suatu penentuan tepat ini, yang pada hari ini dikenali sebagai nisbah telah lama menarik minat minat orang-orang Greek purba untuk mencari perkadaran matematik yang tepat dalam seni bina, muzik dan seni-seni yang lain. Penghampiran (pi) telah diketahui selama lebih daripada 1000 tahun. Nilai Archimedes, bukan sahaja tepat malah ia adalah satu teori yang pada asalnya dan bukan pengiraan. Maka, nilai pada hari ini adalah asas daripada penghampiran daripada teori Archimedes. Siapakah Archimedes Archimedes of Syracuse (Greek: Ἀρχιμήδης; c. 287 SM c. 212 SM) adalah seorang ahli matematik greek, ahli fizik, jurutera dan sebagainya. Walaupun tidak banyak yang diketahui tentang tentang beliau, beliau dianggap sebagai salah seorang saintis yang terkemuka di zamannya. Antara karya-karyanya yang terkenal dalam fizik ialah berkenaan prinsip hidrostatik, statik dan penerangan prinip tuas dan takal. Beliau diberi pujian dalam menghasilkan inovatif kepada mesin-mesin dan sebagainya. Dan antara salah satu hasil karya beliau ialah teori pengampiran kepada . Apa itu Pi ialah pemalar matematik yang merupakan nibah kepada lilitan bulatan dengan garis pusat (diameter) , lebih kurang sama dengan 3.14159. Pi diwakilkan dengan huruf greek iaitu sejak pertengahan abad ke 18 dengan sebutan (/paɪ/). Kegunaan digunakan untuk mengira dalam beberapa rumus matematik seperti lilitan satu bulatan jejari ( = 2 ), luas suatu bulatan berjejari ( = 2 ), luas permukaan sesuatu sfera berjejari ( = 4 2 ) dan isipadu suatu sfera berjejari ( = 3 ). BAB 5 IDEA UTAMA MATEMATIK BERKAITAN KALKULUS Rajah 7 Archimedes of Syracuse

Transcript of Modul MTE3143-Bab 5.pdf

Page 1: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

93 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

93

5.1 PENGHAMPIRAN π OLEH ARCHIMEDES

Pendahuluan

Sekitar tahun 250 SM, ahli matematik Yunani Archimedes mengira nisbah ukur lilit bulatan melalui diameternya. Suatu penentuan tepat ini, yang pada hari ini dikenali sebagai nisbah telah lama menarik minat minat orang-orang Greek purba untuk mencari perkadaran matematik yang tepat dalam seni bina, muzik dan seni-seni yang lain. Penghampiran 𝜋 (pi) telah diketahui selama lebih daripada 1000 tahun. Nilai Archimedes, bukan sahaja tepat malah ia adalah satu teori yang pada asalnya dan bukan pengiraan. Maka, nilai 𝜋 pada hari ini adalah asas daripada penghampiran 𝜋 daripada teori Archimedes. Siapakah Archimedes Archimedes of Syracuse (Greek: Ἀρχιμήδης; c. 287 SM – c. 212 SM) adalah seorang ahli matematik greek, ahli fizik, jurutera dan sebagainya. Walaupun tidak banyak yang diketahui tentang tentang beliau, beliau dianggap sebagai salah seorang saintis yang terkemuka di zamannya. Antara karya-karyanya yang terkenal dalam fizik ialah berkenaan prinsip hidrostatik, statik dan penerangan prinip tuas dan takal. Beliau diberi pujian dalam menghasilkan inovatif kepada mesin-mesin dan sebagainya. Dan antara salah satu hasil karya beliau ialah teori pengampiran kepada 𝜋. Apa itu 𝝅 Pi ialah pemalar matematik yang merupakan nibah kepada lilitan bulatan dengan garis pusat (diameter) , lebih kurang sama dengan 3.14159. Pi diwakilkan dengan huruf greek iaitu 𝝅 sejak pertengahan abad ke 18 dengan sebutan (/paɪ/). Kegunaan 𝝅 𝝅 digunakan untuk mengira dalam beberapa rumus matematik seperti lilitan satu bulatan jejari ( 𝑟 = 2𝜋𝑟 ), luas suatu bulatan berjejari (𝑟 = 𝜋𝑟2), luas permukaan sesuatu sfera berjejari (𝑟 = 4𝜋𝑟2) dan isipadu suatu sfera berjejari (𝑟 = 𝜋𝑟3).

BAB 5 IDEA UTAMA MATEMATIK

BERKAITAN KALKULUS

Rajah 7 Archimedes of Syracuse

Page 2: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

94 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

94

PENGHAMPIRAN 𝝅 OLEH ARCHIMEDES Kaedah Archimedes tentang penghampiran pi yang melibatkan perimeter dan poligon dibataskan dengan ukur lilitan bulatan yang diberikan. Oleh itu, daripada mengukur poligon pada suatu-suatu masa, Archimedes menggunakan Teori Euclid untuk membentuk prosedur numerikal untuk mengira perimeter bagi ukur liitan poligon sisi 2n, apabila perimeter bagi sisi poligon diketahui. Kemudian, permulaan bagi mengukur lilit heksagon, dia menggunakan formula untuk mengira perimeter bagi poligon yang mempunyai sisi 12, 24, 48 dan akhirnya 96. Dia kemudiannya mengulang proses menggunakan poligon yang lain (selepas membangunkan formula yang setara). Keunikan prosedur Archimedes ini ialah dia telah menyingkirkan geometri dan menukarkannya kepada prosedur aritmetik, sesuatu yang mungkin membuatkan Plato terkejut. Tapi ia sebenarnya adalah amalan yang biasa dilakukan di timur terutamanya sarjana China Teori Kunci (The Key Theorem) Teori kunci yang digunakan oleh Archimedes ialah dalam bab ‘Proposition 3’ dalam buku VI Euclid’s Elements. Teorinya ialah seperti berikut:

Jika sudut bagi segi tiga dibahagi dua sama, dan garis lurusnya memotong sudut tapaknya juga, maka segmen tapak tersebut akan mempunyai nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga tersebut. Dan jika segmen tapaknya mempunyai nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga, garis lurus yang bersambung dengan bahagian bucu akan membahagi sudut segi tiga kepada dua.

Kaedah Archimedes Archimedes membuat penisbahan dengan menggunakan poligon yang dilukis di dalam (inscribed polygon) dan poligon yang dilukis di luar bulatan (circumscribe polygon).

Rajah 8

Poligon dalaman Poligon luaran

Page 3: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

95 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

95

Pertamanya, Archimedes mengatakan bahawa kawasan luar bulatan bulatan adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilakarkan di dalam. Dalam rajah di bawah, heksagon sekata telah dilakarkan di dalam.

Rajah 9

Untuk mencari nilai pi, archimedes mengambil poligon bersisi enam (heksagon sekata) sebagai eksperimen awal. Heksagon awal terdiri daripada enam buah segi tiga sama sisi.

Rajah 10

Maka, kita keluarkan satu bahagian daripada segitiga tersebut.

Rajah 11

Page 4: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

96 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

96

Daripada rajah 5 di atas, kiat dapat mengetahui bahawa OCB ialah segitiga bersudut tegak. Kita juga tahu bahawa OB=OD=BD kerana segi tga OBD ialah segi tiga sama

kaki. BD kita wakilkan sebagai L. Jadi, BC=CD iaitu 𝐿

2.

Katakan Li ialah poligon dalaman (inscribed polygon), Maka, ungkapannya boleh jadi seperti berikut:

𝐿𝑖 = sin (𝜃

2) + sin (

𝜃

2)

𝐿𝑖 = 2 sin (𝜃

2)

Seterusnya, Archimedes turut melakar heksagon di luar bulatan (circumscribed polygon) dan membuat pengiraan luas heksagon tersebut.

Rajah 12

Sama juga seperti poligon dalaman, kita juga akan mengeluarkan satu bahagian daripada poligon luaran. Kemudian, kita katakan pula 𝐿𝑐 sebagai poligon luaran (circumscribed polygon), maka ungkapannya seperti berikut:

𝐿𝑐 = tan ( 𝜃

2 ) + tan (

𝜃

2 )

𝐿𝑐 = 2 tan ( 𝜃

2 )

Maka, daripada kedua-dua persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa

𝑁 sin𝜃

2≪ 𝜋 ≪ 𝑁 𝑡𝑎𝑛

𝜃

2

Dimana, 𝑁 = 𝑏𝑖𝑙𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛 𝑠𝑖𝑠𝑖 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑔𝑜𝑛

𝜃 =360

𝑁=

2𝜋

𝑁

Setelah mendapatkan formula ini, kita akan mengambil heksagon sebagai poligon percubaan yang pertama.

Page 5: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

97 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

97

𝑁 sin𝜃

2≪ 𝜋 ≪ 𝑁 𝑡𝑎𝑛

𝜃

2

6 sin(360

6 )

2≪ 𝜋 ≪ 6 𝑡𝑎𝑛

(360

6 )

2

6 sin 30 ≪ 𝜋 ≪ 6 tan 30

61

2≪ 𝜋 ≪ 6

√3

3

3 ≪ 𝜋 ≪ 2√3 Berdasarkan hasil yang diperolehi dengan menggunakan poligon heksagon, maka kita bahawa nilai 𝜋 ialah di antara 3.0 hingga 3.464. Untuk meneruskan pencarian Archimedes menggunakan poligon dengan sisi yang lebih banyak iaitu poligon bersisi 12,24,48 dan 96. Kesemua dapatan direkodkan dalam jadual di bawah.

N 𝜋𝑖 𝜋𝑐 Purata

6 3.000 3.464 3.232

12 3.106 3.215 3.161

24 3.133 3.160 3.146

48 3.139 3.146 3.143

96 3.141 3.143 3.142 Nilai 𝜋 berdasarkan poligon yang mempunyai sisi sebanyak 96 memberikan nilai 3.142 yang mana nilai ini adalah sangat tepat dengan nilai 𝜋 yang digunakan pada hari ini.

APLIKASI 𝝅 (PI) DALAM KONTEKS SEBENAR

Piramid Besar Giza atau dikenali sebagai Piramid Khufu ialah yang tertua dan terbesar di antara 3 piramid di Giza, Mesir. Piramid ini juga tersenarai dalam & Keajaiban Dunia yang masih bertahan hingga kini. Piramid Giza ini merupakan struktur binaan yang paling tinggi di dunia pernah dibina oleh manusia dalam 3800 tahun.

Page 6: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

98 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

98

Ramai yang tidak tahu bahawa pembinaan piramid melibatkan penggunaan 𝜋 (pi) di dalamnya. Piramid dibina dalam dimensi yang sangat istimewa. Anggaran dimensi bagi piramid dikira oleh Petrie mengikut tinggalan batu dalam tanah untuk batu-batu yang masih kekal di bahagian atas piramid dengan sudut kecerunannya 51° 52' ± 2'. Penglibatan nilai pi dalam dimensi utama menunjukkan ketepatan yang hampir kepada nilai pi. Satu lagi kebetulannya ialah hubungan di antara tinggi segi tiga piramid dengan separuh tinggi bagi sisi piramid., kerana ia wujud sebagai Golden Section atau nisbah tertentu yang yang menyamai perkadaran , F = (sqr(5)+1)/2 = 1.618 = 356:220. Nisbah ini 356:220 = 89:55 juga terkandung dalam Siri Fibonaci 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

PENENTUAN LUAS BULATAN OLEH ARCHIMEDES PENDAHULUAN Masalah menentukan luas bagi bulatan pernah dianggap sebagai satu cabaran matematik yang hebat. Cabaran-cabaran ini disahut oleh banyak ahli matematik dari zaman matematik Babylon hinggalah kepada zaman ahli matematik Greek.

Page 7: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

99 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

99

Permasalahan ini diteruskan oleh Archimedes (287-212 SM) dengan menggunakan kaedah kuasa dua bulatan (squaring of circle). Archimedes menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon di dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidak terhinggaan (infinity). Prinsip Asas Archimedes Dalam Bulatan Dalam menghuraikan masalah ini, Archimedes menekankan kepada beberapa prinsip asas dalam bulatan. Pertama, luas poligon dengan sisi n (n-gon) yang dilukis di dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi (𝜋) apabila nilai n meningkat. Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat. Kemudian, perimeter poligon semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat. PENENTUAN LUAS BULATAN Seperti yang dinyatakan di atas, Archimedes menggunakan kaedah squaring the circle iaitu kaedah yang mengenalpasti poligon yang menyamai luas bulatan dengan jejari (r) tertentu. Untuk percubaan pertamanya, Archimedes menggunakan poligon dalaman segi empat dalam bulatan. Segi empat sama yang dilukis di dalam (inscribed) bulatan. Ini bermakna segi empat tersebut adalah sepadan dan bucunya menyentuh bulatan.

Rajah 13

Berdasarkan rajah 7 di atas, AC ialah diameter kepada bulatan dan panjang AC ialah 2r. Oleh kerana ABC merupakan segi tiga sama kaki, maka panjang AB ialah sama dengan BC. Dengan menggunakan AC sebagai hipotenus (2r), panjang AB dan BC dapat ditentukan seperti berikut:

Page 8: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

100 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

100

Jadikan AB = BC = a, maka nilai a dicari dengan menggunakan teori Phytagoras. 𝑎2 + 𝑎2 = (2𝑟)2

2𝑎2 = 4𝑟2 𝑎2 = 2𝑟2

𝑎 = √2𝑟

Didapati panjang AB dan BC ialah √2𝑟. Maka, luas segi empat A ialah: = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 × 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟

= √2𝑟 × √2𝑟

= 2𝑟2 Luas segi empat yang kita dapatkan ialah 2𝑟2. Namun begitu, ianya masih belum dapat menghampiri luas bulatan yang sebenar. Jadi, archimedes menggunakan poligon yang lain dalam percubaan seterusnya. Poligon yang dipilih ialah poligon sisi 6 ataupun heksagon. Beliau percaya bahawa percubaan kali ini akan mendapat keputusan yang lebih baik daripada sebelumnya. Untuk menentukan penghampiran luas bulatan dengan heksagon, Archimedes membahagikan heksagon kepada enam bahagian segi tiga. Luas heksagon boleh didapati setelah luas satu segi tiga berjaya diperolehi.

Rajah 14

Berdasarkan rajah 8, Panjang AB = r. Jadi pengiraan bagi menentukan tinggi satu segi tiga ialah seperti berikut. Kita wakilkan tingginya sebagai h.

ℎ2 + ( 𝑟

2 )2 = 𝑟2

ℎ2 +𝑟2

4= 𝑟2

ℎ2 = 4𝑟2 − 𝑟2

4

ℎ2 = 3𝑟2

4

Page 9: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

101 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

101

ℎ = √3𝑟2

4

ℎ = √3𝑟

2

Setelah mendapat nilai tinggi segi tiga iaitu ℎ =√3𝑟

2, maka luas heksagon di dalam

bulatan dapat ditemukan. Maka, luas heksagon ialah:

= 6 × 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖 𝑡𝑖𝑔𝑎

= 6 ×1

2× 𝑡𝑎𝑝𝑎𝑘 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖

= 6 ×1

2× 𝑟 × ℎ

Gantikan, ℎ =√3𝑟

2 ke dalam persamaan

= 6 (1

2× 𝑟 ×

√3𝑟

2)

= 3√3𝑟2

2

= 2.59𝑟2

Berdasarkan persamaan di atas, maka luas heksagon ialah 2.59𝑟2. Nilai yang diperoleh dengan menggunakan luas heksagon adalah lebih baik berbanding luas segi empat sama, ia sebenarnya masih belum menghampiri luas sebenar bulatan. Hal ini mendorong Archimedes untuk meneruskan percubaan ketiga. Beliau telah mencuba dengan menambahkan sisi poligon untuk mendapatkan luas bulatan yang paling tepat.

Rajah 15

Maka, luas bagi poligon sisi n adalah n kali luas satu segi tiga seperti mana di bawah.

Page 10: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

102 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

102

𝐴 = 𝑛(𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑔𝑖𝑡𝑖𝑔𝑎) = 𝑛1

2ℎ𝑏

Apabila bilangan n-sisi bertambah,

𝐴 = 𝑛1

2ℎ𝑏 =

1

2ℎ(𝑛𝑏)

(𝑛 𝑏) ialah perimeter poligon, di mana apabila n semakin meningkat, ia menghampiri lilitan bulatan (circumference of the circle) iaitu 2𝜋𝑟. Archimedes telah membuat pencerapan bahawa sekiranya poligon tersebut mempunyai sisi n, maka setiap segi

tiga dikira sebagai 1

2 daripada lilitan bulatan. Selain itu, tinggi segi tiga, h juga

menghampiri jejari bulatan, r. Semakin bertambah bilangan segi tiga, luas poligon akan menghampiri dan memenuhi luas bulatan. Sehubungan dengan itu, Archimedes telah dapat menentukan luas bulatan seperti berikut:

𝐴 =1

2ℎ(𝑛 𝑏) ≈

1

2𝑟(2𝜋𝑟) = 𝜋𝑟2

Dalam menentukan luas bulatan, ia melibatkan nilai tetap 𝜋, yang mana wujud sebagai nisbah lilitan bulatan kepada diameter bulatan.

APLIKASI LUAS BULATAN DALAM KONTEKS SEBENAR Pernahkah anda masuk ke kolam renang? Adakah anda semua tahu bahawa kolam renang menggunakan formula luas dalam menentukan keluasannya? Bagi kolam renang yang tidak berbentuk petak, formula yang digunakan ialah formula luas bulatan kerana ia melibatkan nilai pi. Seperti mana yang anda semua pernah lihat, kolam renang mempunyai pelbagai bentuk dan bentuk-bentuk ini sangat mempengaruhi luasnya. Ahli matematik telah lama menggunakan konsep luas dalam membentuk satu kolam renang berdasarkan kepada kriteria yang mereka mahukan.

Page 11: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

103 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

103

PARADOKS ZENO PENDAHULUAN Hampir kesemua yang kita tahu tentang Zeno of Elea (seorang ahli falsafah Greek) boleh di dapati dalam buku Plato yang berjudul Permenides. Dari situ kita belajar bahawa Zeno berumur dalam lingkungan 40 tahun yang mana Socrates masih seorang yang muda (ada yang mengatakan dalam 20). Socrates lahir dalam tahun 469 SM, maka kita menggarkan bahawa Zeno lahir pada sekitar tahun 495 hingga 480 SM. Dalam lewat ini, kita mengetahui Zeno sangat rapat dengan Permenides (Plato melaporkan bahawa mereka ialah pasangan kekasih semasa Zeno masih muda), dan kerana itu Zeno menulis buku ‘paradoks’ yang mempertahankan falsafah Parmenides. PARADOKS ZENO Zeno mengusulkan 4 paradoks dalam usaha untuk mencabar penerimaan tentang tanggapan ruang dan masa yang membuatkan pandangan dirinya bertembung dengan lingkaran kepelbagaian falsafah. Paradoksnya sangat membingungkan ahli matematik selama berabad-abad sehinggalah pembangunan Cantor ( dalam tahun 1860 dan 1870) tentang teori set tidak terhingga yang mampu menyelesaikan ‘masalah’ paradoksnya. Paradoks Zeno memfokuskan kepada perkaitan berasingan kepada berterusan (discrete to the continuous), satu isu yang menjadi jantung kepada matematik. Secara umumnya, paradoks bermaksud pernyataan yang kelihatan benar / logik tetapi sebenarnya bercanggah / tidak logik. Zeno percaya bahawa sesuatu entiti boleh dibahagikan dan tidak boleh berubah dalam realiti. Dalam bahagian ini, saya hanya akan membincangkan satu sahaja ialah Paradoks Pergerakan. 2.1 PARADOKS PERGERAKAN. 2.1.1 Dikotomi (Pembahagian)

“Sebuah benda yang bergerak tidak akan pernah mencapai tujuan. Pertamanya dia harus menempuh perjalanan setengah jarak. Lalu setelah itu, dia mesti menempuhi satu perempat, satu perlapan, satu perenam belas, satu pertiga puluh dua dan seterusnya. Demikian hingga jumlah menajdi tidak terhingga. Oleh kerana mustahil melakukan perjalanan sebanyak tidak terhingga, maka tujuannya tidak akan pernah sampai.

Rajah 16 Zeno of Elea

Page 12: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

104 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

104

Paradoks: Pernyataan : Pergerakan adalah mustahil. Bukti : Jika objek boleh dibahagikan, maka ia sebenarnya tidak wujud. Sebelum objek boleh bergerak dengan jarak yang diberikan, ianya mesti melalui separuh daripada jarak tersebut. Untuk bergerak separuh daripada jarak tersebut, ianya mesti bergerak suku daripada jarak dan seterusnya sehingga tidak terhingga (infiniti) iaitu proses pembahagian separuh tidak pernah sampai hingga ke penghujung (tidak terhad/infinite) kerana sentiasa ada jarak yang perlu dibahagikan separuh tidak kira betapa kecil jarak itu. Dengan adanya pembahagian separuh menyebabkan tiada jarak yang boleh digerakkan di dalam jumlah masa yang terhad (finite). Oleh itu ianya kelihatan kita tidak boleh bergerak pada jarak yang sebenar dan pergerakan adalah mustahil. Contoh:

Ilustrasi paradox dikotomi Zeno

Dalam rajah di atas menggambarkan bagaimana terdapat banyak segmen perjalanan di antara dua titik (0-100). Yang mengganggu Zeno di sini bukan pergerakannya, tetapi bagaimana ketidak terhinggaan itu sangat menyusahkannya. Dalam contoh di atas Zeno mengetengahkan bahawa ‘apabila jumlah segmen yang harus ditempuhi sejumlah tidak terhingga, maka gerak dari satu tempat ke tempat yang lain adalah mustahil. Para ahli matematik dan falsafah moden telah mengemukakan hujah yang dapat menyangkal paradoks Zeno ini:

a) urutan 1,1

2,

1

4,

1

8, dan lain-lain mempunyai had kepada 0

b) urutan 0.9, 0.99, 0.999 dan seterusnya mempunyai had kepada 1 c) Apabila kita menulis 0.99999...., ianya bermaksud had nombor 9 adalah

sehingga infiniti, maka 0.9999... ≈ 1 d) Dalam erti kata yang lain, urutan

yang sebenarnya akan menghampiri had yang kita kehendaki.

Jadi realitinya, jarak yang terhad memerlukan jumlah masa yang terhad untuk bergerak (jarak boleh digerakkan pada masa yang terhad).

Page 13: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

105 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

105

Paradoks Achilles dan Kura-Kura Paradoks ini sangat terkenal dalam sejarah Yunani kerana pada waktu itu, mereka gagal untuk menyangkal paradoks ini walaupun pada waktu ini tidak terlalu sulit untuk dijelaskan. Namun, para ahli falsafah dan matematik mengambil masa selama ribuan tahun untuk menjelaskannya. Achilles merupakan seorang pelumba terkenal di zaman Yunani yang ingin berlumba dengan seekor kura-kura yang lambat. Achilles digambarkan sebagai seorang pahlawan yang hebat pada ketika itu sehingga tiada siapa yang dapat menandinginya. Paradoks: Pernyataan : ruang dan waktu adalah berterusan. Bukti : Achilles tidak akan dapat memintas kura-kura. Berdasarkan paradoks ini, Achilles tidak akan dapat mengalahkan kura-kura yang bergerak terlebih dahulu. Zeno ingin membuktikan bahawa, ruang dan waktu adalah berterusan . Jika ada pergerakan, pergerakan itu adalah seragam. Di sini, Zeno membahagikan jarak Achilles kepada nombor yang infiniti .

Rajah 17 Ilustrasi gambar pahlawan Achilles

Ilustrasi paradox zeno berkenaan Achilles dan kura-kura

Page 14: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

106 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

106

Ini dibenarkan (logik) kerana jarak dalam satu segmen tertentu boleh dibahagikan kepada beberapa jarak sehingga ke infiniti . Dengan itu, Zeno membahagikan jarak perlumbaan Achilles kepada bahagian-bahagian kecil sehingga infiniti tetapi dilaksanakan pada masa yang terhad . Berikut ialah hujah-hujah yang diketengahkan oleh ahli falsafah dan matematik dalam menyangkal paradoks Achilles dan kura-kura ini.

Hujah 1: Untuk Achilles mengejar kura-kura, dia mesti melalui jarak yang tidak terhad: 100m + 50m + 25m + 12.5m + 6.25m + …. Walaubagaimana pun, jumlah jarak tidak terhad merupakan satu jumlah jarak yang terhad . Jadi, bagaimana Zeno mengatakan jarak yang dilalui Achilles tadi adalah tidak terhad. Bukti:

𝑎 = 100𝑚 𝑟 =1

2 𝑛 = ∞

maka kita menggunakan janjang geometri untuk mencari jarak yang tidak terhad:

𝑠∞ =𝑎

1 − 𝑟

=100

1 −12

= 200 𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 Justeru, jumlah jarak tidak terhad (yang dikatakan oleh Zeno) sebenarnya adalah merupakan satu jumlah jarak yang terhad. Paradoks ini dikeluarkan sebelum janjang geometri (geometric series) ditemukan. Jadi apabila adanya janjang, ia telah menyangkal paradoks Zeno ini.

Kedudukan Achilles dan kura-kura dalam perlawanan.

Page 15: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

107 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

107

Hujah 2:

Rajah 18 realitinya, ruang dan waktu tidak berubah-ubah

Berikut adalah ilustrasi karikatur berkenaan paradox Achilles dan kura-kura:

Page 16: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

108 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

108

Paradoks Anak Panah Paradoks anak panah ini membantah idea bahawa ruang atau masa itu berasingan (discrete). Zeno berpendapat bahawa satu objek yang sedang terbang, selalu menepati ruang yang sama besarnya dengan objek tersebut. Paradoks: Pernyataan : Pergerakan adalah mustahil Bukti : Semua objek berada dalam keadaan pegun dan tidak bergerak

Masa terdiri daripada ketika atau waktu sekarang (moment of now). Satu anak panah sedang dalam penerbangan, pada mana-mana suatu ketika, ia tidak dapat dibezakan dengan satu anak panah yang dalam keadaan rehat (pegun) pada kedudukan yang Rajah 19 Ilustrasi paradox Anak Panah

Page 17: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

109 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

109

sama. Persoalannya pada ketika tersebut, adakah anak panah tersebut bergerak atau dalam keadaan rehat (pegun)? Dan jika anak panah itu tidak bergerak, ia mestilah dalam keadaan rehat (pegun) dan tidak dalam penerbangan.

Pada 1 saat ini, anak panah ini dalam keadaan pegun (tidak bergerak). Pada masa ini juga tiada jarak direkodkan kerana tiada pergerakan. Kesimpulannya, jika tiada jarak pada setiap saat, bila anak panah itu bergerak (berada dalam penerbangan). Contoh: Apabila sebuah anak panah dilemparkan dari busurnya ianya sebenarnya tidak bergerak melainkan setiap saat berhenti. Di setiap tempat anak panah itu berada, sebenarnya anak panah itu sedang berhenti dan diam disitu. Jadi, panah yang sedang terbang itu

sebenarnya tidak bergerak melainkan dalam keadaan diam. Ia hanya kelihatan sahaja bergerak. Hujah: Katakan anak panah yang berterbangan bergerak pada jarak, d = 20 meter dalam masa, t = 4 saat. Halaju anak panah:

𝑣 =𝑑

𝑡

= 20 𝑚

4 𝑠

= 5𝑚𝑠−1 Anak panah yang berterbangan pada ketika 1 saat sebenarnya mempunyai: Jarak, d = 0 meter seperti yang dikatakan oleh Zeno sebenarnya mempunyai jarak, d yang boleh dikira.

𝑑 = 𝑣𝑡 = (5𝑚𝑠−1)(1𝑠)

= 5𝑚 Ini membuktikan bahawa terdapat pergerakan pada sesuatu ketika (sekarang) di mana pada ketika tersebut sebenarnya anak panah sedang bergerak. Realitinya, ruang dan masa adalah berasingan (descrete)

Page 18: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

110 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

110

Paradoks Stadium / Stadion Paradoks ini dikenali juga sebagai paradoks pergerakan barisan. Paradoks ini adalah pradoks yang paling mustahil di antara semua Paradoks Zeno. Paradoks ini melibatkan kedudukan baris selari (seperti di stadium) dan divisualisasikan sebagai pergerakan tiga baris selari, A, B, dan C. Paradoks: Pernyataan : Ruang dan masa boleh dibahagikan hanya dengan jumlah yang pasti. Bukti : Separuh daripada masa adalah sama dengan dua kali masa.

Hujah: Penyelesaian matematik untuk paradoks ini adalah: Halaju B menuju A = 𝑠 𝑚𝑠−1 Halaju C menuju A = 𝑠 𝑚𝑠−1 Halaju C menuju B = 2𝑠 𝑚𝑠−1 Jarak untuk menghabiskan pergerakan = 2𝐷 𝑚 (2 kereta / unit)

Page 19: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

111 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

111

Waktu yang diperlukan untuk menghabiskan pergerakan

= 2𝐷 𝑚

2𝑆 𝑚𝑠−1

= 𝐷 𝑚

𝑆 𝑚𝑠−1

= 1 𝑢𝑛𝑖𝑡 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 (𝑠) Realitinya, ruang dan masa tidak boleh dibahagikan. Zeno dan gurunya Permenides mempunyai pendapat yang sama berkenaan pergerakan dan alam semesta. Menurut catatan sejarah, Zeno telah menghasilkan sebanyak 40 paradoksnya tetapi malangnya hanya beberapa sahaja yang sempat ditangkap oleh Plato dan Aristotle untuk ‘diselesaikan’ berikutan buku-buku tulisan Zeno berkenaan paradoksnya hilang (kemungkinan dicuri).

PENYIASATAN LENGKUNG KUBIK OLEH NEWTON

Isaac Newton

Dilahirkan pada tahun 1642.

Ibunya mengeluarkannya dari sekolah supaya dia jadi jadi petani yang baik.

Pada umur 18 tahun telah memasuki Universiti Cambridge.

Di sinilah Newton mula belajar pelbagai bidang ilmu termasuk Matematik

Suka melakukan penyelidikan sendiri dan akhirnya tercipta pelbagai teori yang

kemudian mampu mengubah dunia

Antaranya menghasilkan 72 jenis lengkung kubik

Lengkung Kubik

Isaac Newton merupakan orang pertama yang mula-mula menjalankan penyiasatan yang sistematik tentang lengkung kubik (kuasa tiga). Persamaan umum lengkung kubik adalah;

Daripada persamaan ini, Newton telah mencipta 72 jenis lengkung kubik.

Page 20: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

112 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

112

Daripada persamaan umum tadi, dia telah memecahkannya kepada 4 jenis lengkung:

Jenis 1: Witch of Agnesi

Page 21: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

113 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

113

Jenis 2: Newton’s Trident

Jenis 3: Newton Diverging Parabolas

Jenis 4: Cubic Parabolas

Page 22: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

114 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

114

Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid. (d) Deltoid. (e) Devil on two sticks.

(f) Lemniscate of Bernoulli. (g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i) Bowditch curve. (j) Fermat's

spiral. (k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid.">

Plane curves. (a) Right strophoid. (b) Trident of Newton. (c) Cardioid. (d) Deltoid. (e)

Devil on two sticks. (f) Lemniscate of Bernoulli. (g) Epitrochoid. (h) Rhodona. (i)

Bowditch curve. (j) Fermat's spiral. (k) Logarithmic spiral. (l) Cycloid.

Read more: http://www.answers.com/topic/plane-curve#ixzz2jzNTEjnX

Page 23: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

115 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

115

Alexis Claude Clairaut telah menjalankan penyiasatan terhadap Jenis III (Newton

Diverging Parabolas) dengan memperkenalkan permukaan dalam ruang tiga

dimensi.

Lengkung kubik diaplikasikan dalam lukisan yang dihasilkan oleh St. James

sehinggakan lukisan tersebut kelihatan secara 3-dimensi.

Page 24: Modul MTE3143-Bab 5.pdf

116 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

116

Penghargaan:

Nota Cikgu Al-Kindi

En. Tan Kah Keng (Bab 2 dan Bab 3) IPG KPP

Cik Ng Sok Moay IPG KPP

Dr. Teong Mee Mee IPG KPP

Pelajar Matematik PISMP Jan 2010 IPG KPP

Semoga modul ini membantu anda dalam peperiksaan.

shamsul naim, IPG KPP