Modul MTE3143-Bab 5.pdf

Click here to load reader

  • date post

    21-Dec-2015
  • Category

    Documents

  • view

    42
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Modul MTE3143-Bab 5.pdf

  • 93 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    93

    5.1 PENGHAMPIRAN OLEH ARCHIMEDES

    Pendahuluan

    Sekitar tahun 250 SM, ahli matematik Yunani Archimedes mengira nisbah ukur lilit bulatan melalui diameternya. Suatu penentuan tepat ini, yang pada hari ini dikenali sebagai nisbah telah lama menarik minat minat orang-orang Greek purba untuk mencari perkadaran matematik yang tepat dalam seni bina, muzik dan seni-seni yang lain. Penghampiran (pi) telah diketahui selama lebih daripada 1000 tahun. Nilai Archimedes, bukan sahaja tepat malah ia adalah satu teori yang pada asalnya dan bukan pengiraan. Maka, nilai pada hari ini adalah asas daripada penghampiran daripada teori Archimedes. Siapakah Archimedes Archimedes of Syracuse (Greek: ; c.287 SM c.212 SM) adalah seorang ahli matematik greek, ahli fizik, jurutera dan sebagainya. Walaupun tidak banyak yang diketahui tentang tentang beliau, beliau dianggap sebagai salah seorang saintis yang terkemuka di zamannya. Antara karya-karyanya yang terkenal dalam fizik ialah berkenaan prinsip hidrostatik, statik dan penerangan prinip tuas dan takal. Beliau diberi pujian dalam menghasilkan inovatif kepada mesin-mesin dan sebagainya. Dan antara salah satu hasil karya beliau ialah teori pengampiran kepada . Apa itu Pi ialah pemalar matematik yang merupakan nibah kepada lilitan bulatan dengan garis pusat (diameter) , lebih kurang sama dengan 3.14159. Pi diwakilkan dengan huruf greek iaitu sejak pertengahan abad ke 18 dengan sebutan (/pa/). Kegunaan digunakan untuk mengira dalam beberapa rumus matematik seperti lilitan satu bulatan jejari ( = 2 ), luas suatu bulatan berjejari ( = 2), luas permukaan sesuatu sfera berjejari ( = 42) dan isipadu suatu sfera berjejari ( = 3).

    BAB 5 IDEA UTAMA MATEMATIK BERKAITAN KALKULUS

    Rajah 7 Archimedes of Syracuse

  • 94 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    94

    PENGHAMPIRAN OLEH ARCHIMEDES Kaedah Archimedes tentang penghampiran pi yang melibatkan perimeter dan poligon dibataskan dengan ukur lilitan bulatan yang diberikan. Oleh itu, daripada mengukur poligon pada suatu-suatu masa, Archimedes menggunakan Teori Euclid untuk membentuk prosedur numerikal untuk mengira perimeter bagi ukur liitan poligon sisi 2n, apabila perimeter bagi sisi poligon diketahui. Kemudian, permulaan bagi mengukur lilit heksagon, dia menggunakan formula untuk mengira perimeter bagi poligon yang mempunyai sisi 12, 24, 48 dan akhirnya 96. Dia kemudiannya mengulang proses menggunakan poligon yang lain (selepas membangunkan formula yang setara). Keunikan prosedur Archimedes ini ialah dia telah menyingkirkan geometri dan menukarkannya kepada prosedur aritmetik, sesuatu yang mungkin membuatkan Plato terkejut. Tapi ia sebenarnya adalah amalan yang biasa dilakukan di timur terutamanya sarjana China Teori Kunci (The Key Theorem) Teori kunci yang digunakan oleh Archimedes ialah dalam bab Proposition 3 dalam buku VI Euclids Elements. Teorinya ialah seperti berikut:

    Jika sudut bagi segi tiga dibahagi dua sama, dan garis lurusnya memotong sudut tapaknya juga, maka segmen tapak tersebut akan mempunyai nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga tersebut. Dan jika segmen tapaknya mempunyai nisbah yang sama seperti baki sisi segi tiga, garis lurus yang bersambung dengan bahagian bucu akan membahagi sudut segi tiga kepada dua.

    Kaedah Archimedes Archimedes membuat penisbahan dengan menggunakan poligon yang dilukis di dalam (inscribed polygon) dan poligon yang dilukis di luar bulatan (circumscribe polygon).

    Rajah 8

    Poligon dalaman Poligon luaran

  • 95 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    95

    Pertamanya, Archimedes mengatakan bahawa kawasan luar bulatan bulatan adalah lebih besar daripada kawasan poligon yang dilakarkan di dalam. Dalam rajah di bawah, heksagon sekata telah dilakarkan di dalam.

    Rajah 9

    Untuk mencari nilai pi, archimedes mengambil poligon bersisi enam (heksagon sekata) sebagai eksperimen awal. Heksagon awal terdiri daripada enam buah segi tiga sama sisi.

    Rajah 10

    Maka, kita keluarkan satu bahagian daripada segitiga tersebut.

    Rajah 11

  • 96 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    96

    Daripada rajah 5 di atas, kiat dapat mengetahui bahawa OCB ialah segitiga bersudut tegak. Kita juga tahu bahawa OB=OD=BD kerana segi tga OBD ialah segi tiga sama

    kaki. BD kita wakilkan sebagai L. Jadi, BC=CD iaitu

    2.

    Katakan Li ialah poligon dalaman (inscribed polygon), Maka, ungkapannya boleh jadi seperti berikut:

    = sin (

    2) + sin (

    2)

    = 2 sin (

    2)

    Seterusnya, Archimedes turut melakar heksagon di luar bulatan (circumscribed polygon) dan membuat pengiraan luas heksagon tersebut.

    Rajah 12

    Sama juga seperti poligon dalaman, kita juga akan mengeluarkan satu bahagian daripada poligon luaran. Kemudian, kita katakan pula sebagai poligon luaran (circumscribed polygon), maka ungkapannya seperti berikut:

    = tan (

    2 ) + tan (

    2 )

    = 2 tan (

    2 )

    Maka, daripada kedua-dua persamaan ini, kita dapat menyimpulkan bahawa

    sin

    2

    2

    Dimana, =

    =360

    =

    2

    Setelah mendapatkan formula ini, kita akan mengambil heksagon sebagai poligon percubaan yang pertama.

  • 97 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    97

    sin

    2

    2

    6 sin(360

    6 )

    2 6

    (360

    6 )

    2

    6 sin 30 6 tan 30

    61

    2 6

    3

    3

    3 23 Berdasarkan hasil yang diperolehi dengan menggunakan poligon heksagon, maka kita bahawa nilai ialah di antara 3.0 hingga 3.464. Untuk meneruskan pencarian Archimedes menggunakan poligon dengan sisi yang lebih banyak iaitu poligon bersisi 12,24,48 dan 96. Kesemua dapatan direkodkan dalam jadual di bawah.

    N Purata 6 3.000 3.464 3.232

    12 3.106 3.215 3.161

    24 3.133 3.160 3.146

    48 3.139 3.146 3.143

    96 3.141 3.143 3.142 Nilai berdasarkan poligon yang mempunyai sisi sebanyak 96 memberikan nilai 3.142 yang mana nilai ini adalah sangat tepat dengan nilai yang digunakan pada hari ini.

    APLIKASI (PI) DALAM KONTEKS SEBENAR

    Piramid Besar Giza atau dikenali sebagai Piramid Khufu ialah yang tertua dan terbesar di antara 3 piramid di Giza, Mesir. Piramid ini juga tersenarai dalam & Keajaiban Dunia yang masih bertahan hingga kini. Piramid Giza ini merupakan struktur binaan yang paling tinggi di dunia pernah dibina oleh manusia dalam 3800 tahun.

  • 98 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    98

    Ramai yang tidak tahu bahawa pembinaan piramid melibatkan penggunaan (pi) di dalamnya. Piramid dibina dalam dimensi yang sangat istimewa. Anggaran dimensi bagi piramid dikira oleh Petrie mengikut tinggalan batu dalam tanah untuk batu-batu yang masih kekal di bahagian atas piramid dengan sudut kecerunannya 51 52' 2'. Penglibatan nilai pi dalam dimensi utama menunjukkan ketepatan yang hampir kepada nilai pi. Satu lagi kebetulannya ialah hubungan di antara tinggi segi tiga piramid dengan separuh tinggi bagi sisi piramid., kerana ia wujud sebagai Golden Section atau nisbah tertentu yang yang menyamai perkadaran , F = (sqr(5)+1)/2 = 1.618 = 356:220. Nisbah ini 356:220 = 89:55 juga terkandung dalam Siri Fibonaci 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 ...

    PENENTUAN LUAS BULATAN OLEH ARCHIMEDES PENDAHULUAN Masalah menentukan luas bagi bulatan pernah dianggap sebagai satu cabaran matematik yang hebat. Cabaran-cabaran ini disahut oleh banyak ahli matematik dari zaman matematik Babylon hinggalah kepada zaman ahli matematik Greek.

  • 99 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    99

    Permasalahan ini diteruskan oleh Archimedes (287-212 SM) dengan menggunakan kaedah kuasa dua bulatan (squaring of circle). Archimedes menyimpulkan bahawa luas bulatan merupakan had kepada luas poligon di dalam bulatan dengan bilangan sisi kepada ketidak terhinggaan (infinity). Prinsip Asas Archimedes Dalam Bulatan Dalam menghuraikan masalah ini, Archimedes menekankan kepada beberapa prinsip asas dalam bulatan. Pertama, luas poligon dengan sisi n (n-gon) yang dilukis di dalam unit bulatan menghampiri suatu nilai iaitu pi () apabila nilai n meningkat. Luas poligon yang dilukis di dalam bulatan menghampiri luas bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat. Kemudian, perimeter poligon semakin menghampiri lilitan bulatan apabila bilangan sisi poligon meningkat. PENENTUAN LUAS BULATAN Seperti yang dinyatakan di atas, Archimedes menggunakan kaedah squaring the circle iaitu kaedah yang mengenalpasti poligon yang menyamai luas bulatan dengan jejari (r) tertentu. Untuk percubaan pertamanya, Archimedes menggunakan poligon dalaman segi empat dalam bulatan. Segi empat sama yang dilukis di dalam (inscribed) bulatan. Ini bermakna segi empat tersebut adalah sepadan dan bucunya menyentuh bulatan.

    Rajah 13

    Berdasarkan rajah 7 di atas, AC ialah diameter kepada bulatan dan panjang AC ialah 2r. Oleh kerana ABC merupakan segi tiga sama kaki, maka panjang AB ialah sama dengan BC. Dengan menggunakan AC sebagai hipotenus (2r), panjang AB dan BC dapat ditentukan seperti berikut:

  • 100 MODUL MTE3114 APLIKASI MATEMATIK

    100

    Jadikan AB = BC = a, maka nilai a dicari dengan menggunakan teori Phytagoras. 2 + 2 = (2)2

    22 = 42 2 = 22

    = 2

    Didapati panjang AB dan BC ialah 2. Maka, luas segi empat A ialah: =

    = 2 2 = 22

    Luas segi empat yang kita dapatkan ialah 22. Namun begitu, ianya masih belum dapat menghampiri luas bulatan yang sebenar. Jadi, archimedes menggunakan poligon yang lain dalam percubaan seterusnya. Poligon yang dipilih ialah poligon sisi 6 ataupun heksagon. Beliau percaya