Bab III Medan 2010

1

1

Medan Elektromagnetik TF-2206

Dr. [email protected]

2

Hukum Coulomb : Gaya pada Muatan Titik

• Muatan titik : Partikel bermuatan yang terkumpul pada volume yang terbatas dan relatif kecil

• Ukuran volume muatan << jarak antara muatan titik• Jika dua muatan titik q1 terletak pada P(x,y,z) dan

q2 terletak pada S(x’,y’,z’) terhadap 0

2

3


Sistem SI :

εo= Permitivitas udara/vakum8.85x10-12 farad/meter

zyx azayaxrrraRRrrrr

rrrr

++=−==

1

21121212

zyx azayaxr rrrr '''2 ++= ......................................

)'()'()'(

12

112

21

=

−=

−+−+−=−

arrR

azzayyaxxrr yx

r

rr

rrrrr

4


atau

3

5


Contoh : dua muatan titik q1=0.7 mC dan q2=4.9 μC diletakkan pada ruang terbukapada (2,3,6) dan (0,0,0). Hitung gaya yang bekerja pada muatan 0.7 mC

...................

632

2112

21

rrR

aaarr yxrr

rrrrr

−=

++=−

Solusi :

6


Contoh : tiga muatan titik 200 nC diletakkan pada ruang terbuka pada (0,0,0), (2,0,0) dan (0,2,0). Tentukan gaya total yang bekerja pada muatan 500 nC pada (2,2,0)

Gaya pada q karena q1

4

7


Contoh : tiga muatan titik 200 nC diletakkan pada ruang terbuka pada (0,0,0), (2,0,0) dan (0,2,0). Tentukan gaya total yang bekerja pada muatan 500 nC pada (2,2,0)




8

5

9

P(x’,y’,z’)

S(x,y,z)

10

6

11

12

7

13

14

8

15

16

9

17

18

10

19

20

11

21

22

12

23

24

Fluks Listrik• Perhatikan ilustrasi berikut :

Dua muatan titik +Q dan –Q dihubungkan suatutube fluks listrik .

Fluks listrik Ψ yang melalui tube:

Dimana D=kerapatan fluks listrik Cm-2

A=luas area bidang melintang m2

Bentuk umum

Ψ konstan sepanjang tube

13

25

Fluks Listrik

Perhatikan untuk kasus muatan titik POSITIF

RaR

QE rr24πε

=

atau

RaR

QE rr24π

ε =Luas bola

Mengingat :

makaRa

RQD r

24π= atau ED

rε=

26

Fluks Listrik

CATATAN :

EDr

ε=Rapat fluks listrik (D) dan intensitas listrik (E) mempunyai vektor yang samaJIKA :

MEDIUM DIALEKTRIK : ISOTROPIK TIDAK TERGANTUNG ARAH

14

27

Fluks Listrik pada permukaan tertutup : Hukum Gauss

Perhatikan Ilustrasi berikut:

Integrasi sepanjang luas bola dengan radius r

Pada Bidang Normal

28


Perhatikan Ilustrasi berikut:Ra

RQD r

24π=

Maka

15

29


Intergral permukaan pada bidang normal dari rapat fluks listrik D sepanjang permukaan tertutup adalah sama dengan muatan yang dilingkupinya

Q = total muatan yang dilingkupinya

30


Jika total muatan terdistribusi pada rapat muatan ρ

atau dapat ditulis dalam bentuk

16

31


Jika Q terdistribusi pada suatu volume, luasan, kawat

32

17

33

Contoh: Muatan terdistribusi uniform pada permukaan bola? Intensitas Medan Listrik ?

Tentukan intensitas medan listrik E dan potensial listrik V relatif terhadap titik pusat bola pada arah radial

dr= tebal dari kulit bola

34

Contoh: Muatan terdistribusi uniform pada permukaan bola? Intensitas Medan Listrik ?

Untuk r<r1- dr

Kenapa ?

Untuk r>r1+ dr

18

35

Potensial Listrik Skalar

Perhatikan dua titik x1 dan x2 diletakkan pada medan listrik E pada arah x. Jikamuatan uji positif dipindah dari x2 ke x1 :

Kerja per unit muatan= Intensitas x jarak

E(x2-x1) = kerja per unit muatan== Joule/Coulomb = Volt

Contoh: jika E = 10 V/m-1 dan jarak x2-x1 = 100 mm, tentukan potensial antaradua titik tersebut ?

Jawab : V = 10 x 0.1 = 1 V (potensial x1 adalah 1 Volt lebih tinggi dari potensial x2)

36


1).Jika intensitas medan listrik adalah berasal dari sumber titik +Q2). Muatan uji digerakkan dari r2 ke r1 pada arah radial

Maka :

Tanda ‘-’ diberikan karena dalam kenyataanperpindahan dari r2 ke r1 adalah berlawanandengan arah medan.

V1 = potensial di r1V2 = potensial di r2

19

37


Jika titik r2 diletakkan pada titik tak hingga dimana potensial didefinisikan nolTentukan V1 ?

38


Untuk potensial, jalur yang diambil tidak berarti, hanya meninjau titik awal dan akhir

Tinjau untuk kasus berikut :

Jalur dari x2 ke x1 tidak paralel terhadap E

V21=(x2-x1)Ecosθ

Jika muatan uji berpindah perpendicular terhadap arah medan listrik (θ=90) tidak ada kerja yang dilakukan lintasan yang memberikan kerja=0

EQUIPOTENTIAL LINE

20

39

Potensial Listrik SkalarTinjau untuk kasus berikut :

Untuk tiap bagian segmen

θ sudut antara elemen lintasan dengan medanPeningkatan potensial dV diperlukan untukBergerak paralel TAPI berlawanan dengan E

Sehingga tanda negative (-) diberikan

Maka potensial dari a ke b =

40


Tinjau untuk kasus berikut : muatan positif Q = 223 pC. Jika a=400 mm dan b=100mmMedium udara. Tentukan tegangan absolut Va dan Vb serta kenaikan potensial Vab ?

Kerja pada muatan tes pada suatu lintasan tertutup Sepanjang ekuipotensial = 0Kerja maksimum jika muatan uji bergerak normal terhadap ekuiptensial normal

21

41

42


Kerja pada muatan tes pada suatu lintasan tertutup sepanjang ekuipotensial = 0

atau

Integral garis sepanjang lintasan tertutup = 0

22

43

Medan Listrik dan Ekuipotensial padamedan non-uniform

Jika Q=10 pC : Sketsa isocontour untuk 20,10,5 dan 3 V

Garis Ekuipotensial

Medan Listrik

44


Jika Q dan –Q dengan muatan140 pF terpisah pada 127 mmSketsa contour untuk equipotential

23

45


Jika Q dan +Q dengan muatan140 pF terpisah pada 127 mmSketsa contour untuk equipotential

46

Potensial Listrik untuk distribusi muatan

• Total dari potensial listrik dari muataun titik adalah penjumlahandari potensial individu dari kontribusi setiap muatan titik

• Misalkan terdapat Q1,Q2 dan Q3 potensial listrik pada point P diberikan

24

47


• Jika muatan terdistribusi sepanjang garis tertentu :

Dimana:

48


• Jika muatan terdistribusi sepanjang permukaan tertentu :

Dimana:

25

49


• Jika muatan terdistribusi sepanjang volume tertentu :

Dimana:

50


• Contoh : Seperti yang ditunjukkan pada Gbr. berikut, sebuah bujursangkardengan sisi 1 m pada udara mempunyai muatan Q1= +1 pC dan Q2=-10pC. Padasumbu y, muatan terdistribusi dengan ρL=+10 pCm-1 diletakkan. Tentukanpotensial pada titik P pada pusat dari bujur sangkar

26

51


∫

∫

+

−

+

−

+=

>−−+=

−−>−−−=

=

5.0

5.0 22

22

5.0

5.0

5041

50

41

dyy).(

V

makay).(r

dlr

V

LL

LL

ρπε

ρπε

dan

muatanposisiperhatikandydl:jika

)50ln( 22504

1 5.0

5.0

5.0

5.0 22 y).(ydyy).(

V LL ++∫

−

+

−=

+=

ρπε

52


Q1= +1 pC dan Q2=-10pC

27

53


• Contoh : muatan pada cincin dengan radius ‘a’ mempunyaidistribusi muatan yang uniform. Tentukan potensial listrik padasetiap lokasi pada sumbu dari cincin tersebut?

54

Contoh: E pada kawat

LooS

hQsdE ρεε

==∫2

. rr

ρπ ahrs r..22 = ρaEE rr=

.2

..2.

rE

hahraE

o

L

Lo

περ

ρε

π

ρ

ρρ

=

=rr

28

55

Contoh: V pada kawat

•Tentukan beda potensial antara titik P1(=a) danP2(=b) untuk kawat bermuatan tersebut

•Potensial antara titik P1 dan P2 :

.2 rE

o

L

περ

ρ =

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡πε

ρ−

περ

−=πε

ρ−=−=−= ∫∫ ρ bln

2aln

2dr

r2drE)b(V)a(VV

o

L

o

La

b o

La

bab

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡πε

ρ−=−

baln

2)b(V)a(V

o

L

56

Contoh: Muatan terdistribusi uniform pada permukaan bola ? Potensial Listrik ?

Untuk r>r1- dr

RaR

QE rr24πε

=

potensial listrik pada radius r diluar kulit

29

57


Untuk r=r1 pada kulit

Karena E didalam kulit = 0 maka tidak ada kerja yang diperlukan untuk memindahkanmuatan uji untuk r<r1 MAKA untuk r<r1 potensial listrik adalah konstan

58


Intensitas Medan Listrik akan mengalami diskontinue pada kulit (r=r1) dengan ASUMSIkulit bola sangat tipis

30

59

Batas-Batas Konduktor

JIKA : konduktor metal dipengaruhi medan listrik statik bagian konduktoryang berbeda akan mempunyai potensial yang berbeda TETAPI : aliranelektron dalam konduktor akan terjadi sampai distribusi muatan padapermukaan menuju ke nol

Contoh konduktor : metal, silver, brass, aluminium

waktu 10-14 second untuk tembaga : untukmenghasilkan rapat muatan dalam konduktor ρv=0

medan listrik E pada medium konduktor = 0semua bagian konduktor mempunyai potensial yang sama

60

Batas-Batas Konduktor

JIKA : konduktor metal dipengaruhi medan listrik bagian konduktor yang berbeda akan mempunyai potensial yang berbeda TETAPI : aliran elektrondalam konduktor akan terjadi sampai distribusi muatan pada permukaanmenuju ke nol

Contoh : Perhatikan konduktor dalam bentuk “kulit/shell” bola dengantebal kulit b-a, DIMANA pada pusat bola diberikan muatan +Q

Ea = applied field

Ei = induction field

31

61

Batas-Batas Konduktor• Konduktor diletakkan pada medan listrik :

“suatu volume luas A dan tebal dl ” --> pada permukaan konduktor

Berdasarkan hukum Gauss:

D dalam konduktor = 0

E

62

Batas-Batas Konduktor• Konduktor diletakkan pada medan listrik :

Contoh : plat tipis pada medan listrik

n vektor normal permukaan

32

63

Persamaan Poisson dan Laplace

• Muatan yang terdistribusi dalam volume teorema Gauss:

atau

• ingat teorema Divergensi

• Dengan membuat V sangatkecil maka

Persamaan ini menyatakan kuat darisumber medan elektrostatik

64


• Dengan membuat V sangatkecil maka

Persamaan ini menyatakan kuat darisumber medan elektrostatik

• Jika E=-∇V V=potensial skalar

( )

o

o

o

V

V

E

ερερ

ερ

−=∇

=∇−∇

=∇

2

.

.r

Persamaan Poisson

33

65


( )

o

o

o

V

V

E

ερερ

ερ

−=∇

=∇−∇

=∇

2

.

.r

Persamaan Poisson

Untuk kasus suatu ruang bebas sumber muatan maka :

02 =∇ V Persamaan Laplace

66

Persamaan Poisson dan Laplace• Jika E diketahui dalam ruang yang terdapat konduktor

muatan pada permukaan konduktor dapat diketahui• Problem dasar dari data ruang bebas muatan mencari

potensial elektrostatik yang memenuhi persamaan Lapalcedan juga syarat-syarat batas pada konduktor, yaituV=konstan pada permukaan konduktor

Contoh:Dua metal konduktor dengan luas A dipisahkanPada jarak d antar pelat. Potensial pada z=d adalah Vo dan potensial pada z=0 V=0Tentukan :•Distribusi potensial•Medan listrik•Distribusi muatan pada tiap pelat•Kapasitassi dari sistem

34

67

Persamaan Poisson dan LaplaceContoh:

Dua metal konduktor dengan luas A dipisahkanPada jarak d antar pelat. Potensial pada z=d adalah Vo dan potensial pada z=0 V=0Tentukan :•Distribusi potensial•Medan listrik•Distribusi muatan pada tiap pelat•Kapasitassi dari sistem

ruang antar pelat bebas sumber muatan maka : persamaan laplace 02 =∇VLihat Gambar….hanya fungsi dari z

68

Persamaan Poisson dan LaplaceContoh:

Maka:

35

69


Maka:

Distribusi muatan pada plat ingat: Maka :

Plat bawah

Plat atas

70


Maka :

Plat bawah

Plat atas

Kapasitansi

36

71

Metode Pencitraan

Perhatikanlah persoalan syarat batas :sebuah muatan titik q yang ditempatkan sejauh h di depan suatu bidang

konduktor tak hingga yang amat tipis.

Dari teorema keunikan

jika V dapat ditemukan maka Vadalah suatu ekuipotensial diseluruh permukaan konduktor

? Bagaimana V di titik p sehinggamemenuhi persyaratanekuipotensial pada seluruh

permukaan konduktor

72

Metode Pencitraan

Tanpa kehadiran konduktor plat Φpotensial di titik P

14 RqV

oπε=

Jika titik P pada konduktor platsyarat batas V=0

Maka metode pencitraan (image methods) menghadirkan muatan citra –q yang terletak segarisdengan q serta jarak ke konduktor plat sama

37

73

Metode Pencitraan

Dengan kehadiran konduktor plat Φpotensial di titik P

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=Φ

21

114 RR

q

oπε

Jika R1=R2 maka Φ=0

74

Metode Pencitraan

Bagaimana dengan E (medan listrik)pada bidang konduktor

Jika plat konduktor pada bidang-zKita akan menganalisa medan padatitik P(x,y,0)

Di sebarang titik (x,y,z) medan dalam arah z

38

75

Metode Pencitraan

Jika :

Medan normal En terhadap permukaanbidang konduktor adalah Ez(x, y, 0)

76

Metode PencitraanBagaimana dengan muatan pada Bidang konduktor plat

39

77

Metode Pencitraanapa konsekuensinya ?garis-garis flus medan listrik yang keluar dari muatan q akanberakhir di bidang konduktor

78

Metode Pencitraan : inversi pada bola

Muatan q diletakkan pada jarak d dariTitik pusat bola dengan radius a

a. Tentukan medan potensial pada titik Pb. Rapat muatan density pada

permukaan bolar

40

79

Metode PencitraanInversi dalam sebuah bola

80

Metode Pencitraan

Inversi dalam sebuah bola

akan dipenuhi jika

41

81

Metode Pencitraan


82

Metode Pencitraan


segitiga OP2 P dan segitiga OP1P sebangun

42

83

Metode Pencitraan


yang terletak di garis yang menghubungkan pusat bola

84

Metode Pencitraan

43

85

Contoh

Tentukan : a). potensial pada titik P(x,y,z)b). Medan listrik pada titik P(x,y,z)

P(x,y,z)

R1R2

h

Muatan citra

-q

86

P(x,y,z)

R1R2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

21

114 RR

qVoπε

44

87

88

Contoh

Tentukan : a). potensial pada titik (3,2,4)b). Medan listrik pada titik (3,2,4)

X

Z

Y

Z=2

Muatan q padatitik(2,-3,5)

45

89

Contoh

Tentukan : a). potensial pada titik (3,2,4)b). Medan listrik pada titik (3,2,4)

r1r2

90

x

z

y

q

q pada z=b

a

a<b

P(x,y,z)Tentukan potensial di titik

46

91

x

z

y

q1

q1 pada z=b

a

A<b


r1

Muatan

citra

r2

R1=b

R1

Besar muatan citra q2= -(a/b)q1Posisi , muatan citra terhadap pusat bola R2=a2/b

R2

92

Konduktor bola tidak ditanahkan

47

93

x

z

y

q

q pada z=b

a

A<b


Bola konduktor tidak ditanahkan

94

x

z

y

q1

q pada z=b

a

A<b


Jika bola konduktor tersebut tidak di tanahkan :•maka untuk menjaga keadaan netral sebuah muatan +q2 harusditambahkan di dalam bola. •Untuk bola yang ditanahkan pada dasarnya +q2 di tempatkan di takhingga. •Lokasi dari +q2 haruslah sedemikian rupa sehingga tidakmengganggu sifat ekipotensial dari permukaan bola.

48

95

x

z

y

q1

q1 pada z=b

a

A<b

P(x,y,z)

Tentukan potensial di titik

r1

ro

R1=b

R1

Besar muatan citra q2= -(a/b)q1Posisi , muatan citra terhadap pusat bola R2=a2/b

R2

-q2q2

Muatan citra

r2

96

x

z

y

q1

q1 pada z=b

a

A<b

P(x,y,z)

Tentukan potensial di titik

r1

ro

R1

R2

-q2q2

Muatan citra

r2

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

oo rba

rba

rqV //1

4 21

1

πε

49

97

98

50

99

100

51

101

Konduktor dan Muatan Induksi

Aplikasikan Hukum Gauss untuk “bola imaginer” dengan luas S1, S2 dan S3

102


Medan Total DALAM konduktor adalah NolSehingga:

Medan induksi Ei :-menginduksi muatan negatif pada kulit dalam-Menginduksi muatan positif pada kulit luar-

52

103

Konduktor dan Muatan InduksiVariasi dari Ea dan Ei sebagai fungsi r:

JIKA kawat konduktor dihubungkan permukaandalam dan muatan +Q pada pusat : elektron akanmengalir dan muatan pada permukaan dalam = 0

Tidak ada mujatan induksi maka :Variasi medan terhadap fungsi r padagambar (f), (g)

104

Konduktor dan Muatan InduksiContoh: muatan terdistribusi pada bola pejal dengan radius a.

Suatu kulit bola konduktor dengan radius b dan radius luar c, diletakkan secara konsentris. Tentukan E sbgfungsi r

Daerah I: r < a

53

105


Suatu kulit bola konduktor dengan radius b dan radius luar c, diletakkan secara konsentris. Tentukan E sbgfungsi r

Daerah II: a<= r < b

106


Suatu kulit bola konduktor dengan radius b dan radius luar c, diletakkan secara konsentris. Tentukan E sbgfungsi r Daerah III: b<= r < c

iEErr

−=

rvo

ab

aE rrρ

ε 2

3

3=

rvo

i ab

aE rrρ

ε 2

3

3−=

Untuk r=b

Maka :

Jika rapat muatan induksi : ρsb

54

107


Daerah III: b<= r < c Jika rapat muatan induksi : ρsb

vsb

voo

sb

o

sbi

o

sbi

o

sbi

sbsb

ba

ba

E

bbE

QsdE

bQ

ρρ

ρεε

ρ

ερ

ερπ

π

ε

ρπ

2

3

2

3

22

2

3

3

44.

.

4

−=

−=

=

=

=

=

∫rr

108


Daerah IV: r >= c rapat muatan induksi untuk r=c

vsc ca ρρ 2

3

3=

Medan listrik untuk r>=c

55

109

Dialektrik dalam Medan Listrik• Apa itu Dialektrik ? Material yang mempunyai muatan

positif dan negatif dengan ikatan yang kuat susahdipisahkan

• Material dialektrik konduktivitas 1/1020 kali konduktor• Material dialekrik dalam pengaruh gaya listrik molekul

dari material akan mengalami polarisasi

110

Dialektrik dalam Medan Listrik

56

111

Dialektrik dalam Medan Listrik

112

Dipole Listrik dan Momen Dipole Listrik

• Dua muatan (Q) sama tetapi berbeda polaritas terpisah pada jarak (l) yang sempit dipole listrik

• Produk dari Ql momen dipole listrik

positif pada P:

negatif pada P:

Potensial total di P:

57

113


Potensial total di P:

Jika P terletak pada jarak >> terhadap l :

Potensial V pada jarak r terhadap dipole listrik

114


Medan Listrik dari Potensial Dipole Listrik

Grad V dengan koordinat bola

58

115


Jika dinyatakan dalam tiap komponen

persamaan berlaku untuk r>>l

116

Dipole Listrik dan Momen Dipole Listrik• Prosedur yg sama : potensial dan medan listrik untuk

konfigurasi yang lebih kompleks : – Quadrupole– Octopole

59

117

Kapasitor dan Kapasitansi• Kapasitor : perangkat listrik dengan dua konduktor yang

dipisahkan oleh medium diaelektrik• Kapasitansi: rasio muatan yang tersimpan pada kapasitor

dengan beda potensial

118

Kapasitor dan Kapasitansi• Contoh : dua plat konduktor paralel, dengan luas A dipisahkan

pada jarak d. Jika muatan pada bagian plat atas adalah +Q danpelat bagian bawah –Q, tentukan kapasitansinya

• Asumsi untuk kapasitor pelatsejajar : luas pelat >> jarakantar pelat <<

• tidak ada fringe

60

119

Kapasitor dan Kapasitansi

120

Kapasitor dan Kapasitansi• Kapasitor terbetuk dari dua bola konsentrik dengan radius a dan b.

Muatan pada bola bagian dalam adalah +Q dan bola bagian luar –Q.• Tentukan kapasitansi dari sistem• Tentukan kapasitansinya jika beda b-a sangat kecil dibandingkan

dengan jari-jari

Dengan Hukum Gauss E antar bola

61

121

Kapasitor dan Kapasitansi

Kapasitansi :

Jika d=b-a dan d<<< maka

122

Energi Pada Kapasitor• Kerja diperlukan untuk mengisi kapasitor• Energi yang disimpan adalah muatan kapasitor

Muatan yang tersimpan (q) :

Potensial = Kerja/muatan

dari (*) dan (**)

(*)

(**)

62

123

Energi Pada Kapasitor

• Jika proses pengisian muatan dari 0 sampai dengan muatanakhir Q maka kerja total W adalah

124

Perbandingan Metode Theroma Gauss dan Pers. Laplace

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=−−=− ∫

b

ao

l drr

bVaVaVbVπερ

2)]()([)()(

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡== ∫ a

bdrr

VVo

lb

ao

labo ln

22 περ

περ

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

=

ab

V ool

ln

2περ

63

125


Jika f=V dan tidak ada variasi pada φ dan z

Dengan persamaan Laplace

=

126


Potensial antar daerah

64

127


Potensial antar daerah

128


65

129

Syarat Batas

• Perhatikan sifat dari E pada bidang batas antara dua media• Antarmuka dapat terjadi antara :

– Dialektrik dan konduktor– Dialektrik yang berbeda

• Persamaan yang menghubungkan sifat medan listrik padaantar muka syarat batas

130

Syarat Batas

• Komponen Normat Rapat Fluks Listrik D

- Aplikasikan Hukum Gauss pada syarat batas pada bidang normal- Asumsi : rapat muatan permukaan pada pada antar muka (interface)

66

131

Syarat Batas

Jika luas permukaan Δs maka dari Hukum Gauss

atawa

Kompenen normal D adalah diskontinue JIKA rapat muatanpermukaan terdapat pada antar-muka

132

Syarat Batas

INGAT

MAKA

ATAU

Kompenen normal D adalah kontinue JIKA TIDAK terdapatrapat muatan permukaan ( ρs=0) terdapat pada antar-muka

ATAU

67

133

Syarat Batas

JIKA Medium 2 = KONDUKTOR MAKA D2= 0 pada medan statik

134

Syarat Batas• Komponen Tangensial

INGAT : Medan Listrik konservatif

Perhatian pada loopABCD

Jika :

atau

68

135

Syarat Batas• Komponen Tangensial

atau

Bagaimana jika medium 1 = elektrik dan medium 2 = konduktor ?Ingat Medan listrik Statik inside konduktor = 0

136

Syarat Batas

69

137

Syarat Batas

138

Syarat Batas

70

139

Syarat Batas

140

Syarat Batas

71

141

Syarat Batas

Bab III Medan 2010

Documents

Transcript of Bab III Medan 2010