Modul 3 Integral Lipat Dua

download Modul 3 Integral Lipat Dua

of 30

  • date post

    10-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    721
  • download

    6

Embed Size (px)

Transcript of Modul 3 Integral Lipat Dua

Click to edit Master subtitle style4/28/12 MODUL INTEGRAL LIPAT DUA 4/28/12Pengertian Integral Lipat DuaAndaikan f fungsi dua variabel yang terdefinisikan pada daerah R padabidang xy. Pada daerah R, bentuklah partisi P, Ai = xi yi. Bentuk jumlahan Reimann,Fungsi f dikatakan terintegralkan pada R, didefinisikan oleh : nii i iPRA y x f dA y x f10 | |) , ( lim ) , (Jika limitnya ada 4/28/12Integral Lipat Dua : R Empat Persegi PanjangMisalkan R adalah berbentuk empat persegi panjang yang dibatasi oleh, R = {(x,y) : a x b ; c y d}dA=dxdyPenghitungan integral lipat dua dengan integral berulang diberikan oleh : dx dy y x f dA y x fdy dx y x f dA y x fbadcRdcbaR) , ( ) , (atau,) , ( ) , (1]1

1]1

4/28/12Contoh : Hitunglah,dA y x xyR) 4 (3 2+ R = {(x,y) : 1 x 3;0 y 2}Sketsa daerah R adalah : y21 3Cara pertama, dA = dy dx+ + 31203 23 2) 4 () 4 (dydx y x xydA y x xyRCara kedua, dA = dx dy+ + 20313 23 2) 4 () 4 (dxdy y x xydA y x xyR 4/28/12Contoh : volume Hitunglah volume benda dibawah permukaan bidang, 3x + 2y + z = 12, dan dibatasi bidang, x=2, y=3, dan ketiga bidang-bidang koordinat. 4/28/12Contoh : volumeV adalah volume benda pejal dibawah permukan, z=f(x,y)=123x 2y, maka,dimana R adalah empat persegi panjang yang dibatasi, R = {(x,y) : 0 x 2; 0 y 3}. VdA y x VR) 2 3 12 ( 362927 ) 9 27 ( ) 9 9 36 (223 12 ) 2 3 12 ( ) 2 3 12 (20220202030220301]1

1]1

x x dx xdx y dx y xy ydydx y x dA y x VR 4/28/12Integral Lipat Dua : Daerah Umum R, Y sederhana (1)Suatu himpunan R dikatakan berbentuk y sederhana, bilamana terdapat fungsi-fungsi kontinu g dan h, sedemikian rupa sehingga :R = {(x,y) : g(x) y h(x), a x b}dA=dydx 4/28/12Dengan pendekatan volume benda pejal di bawah permukaan, z = f(x,y), dan diatas daerah S yang berbentuk empat persegi panjang,dx dy y x fdA y x f VbayyR) , ( ) , (211]1

Dengan mengambil lajur berbentuk empat persegi panjang, volume kepingan, V secara hampiran diberikan oleh, V = A(xi)x, dengan demikian,dA y x f VR) , ( dx x A Vba) ( Karena, A(x) adalah luas bidang datar untuk xi tetap dan perpotongan antara permukaan dengan xi tetap adalah kurva, maka luas daerah tersebut diberikan oleh,dy y x f x Ayy) , ( ) (21Dengan mensubsitusikan A(x) pada volume V maka didapatkan hasil,Integral Lipat Dua : Daerah Umum R, Y sederhana (2) 4/28/1212072416115424161154 3134 31x) (108 6 5107 5 4103 3102 322 1]1

,_

1]1

+ +x x xdx x x xdx xy ydydx xy xxxxxJawab : +102 3) (2dydx xy xxx+102 2) (33dydx y xxx30830161611033016161103 3131x 31) (1010 6 2 3 / 10109 5 7/3103 2102 23333 + 1]1

+

,_

+ 1]1

+ +x x x xdx x x xdx y y xdydx y xxxxxJawab : Contoh 4/28/12ContohHitunglah,bilamana R adalah daerah dikuadran pertama yang dibatasi oleh kurva, x2 + y = 2, x = y3 dan sumbu y.dA xyR223637231813231) 2 (8132] ) 2 ( [32 32 2 2103 4 2102 3 210231022 223 / 123 / 1

,_

+ 1]1

1]1

x xdx x x xdx xydx dy xy dA xyxxxxRJawab 4/28/12Contoh : VolumeHitunglah volume benda pejal V, dibawah permukaan, z = 4 y,dan dibatasi bidang-bidang, x + y = 2, x = y2, z = 0, dan x = 0.Volume benda pejal V diberikan oleh,1237) 4 ( dA y VRDengan R seperti gambar 4/28/12Integral Lipat Dua : Daerah Umum R, x sederhanaSuatu himpunan R dikatakan berbentuk x sederhana, bilamana terdapat fungsi-fungsi kontinu p dan q, sedemikian rupa sehingga :R = {(x,y) : x1=p(y) x x2=g(y), c y d}Dengan pendekatan volume benda pejal di bawah permukaan, z = f(x,y), dan diatas daerah S yang berbentuk empat persegi panjang,dy dx y x fdA y x f VdcxxR) , ( ) , (211]1

dA=dxdy 4/28/12Contoh : x sederhana (1)12072038112120381121 432141 21x41) (105 4 3104 3 2102 2 4102 3 + 1]1

+

,_

+ 1]1

+ +y y ydy y y ydy y xdy dx xy xyyyyHitunglah,Jawab : dy dx xy xyy+102 3) (+102 2) (33dxdy y xyy30861301103616130110361 3131 31) (106 10 3 / 10 2105 9 7/3102 3102 23333 + 1]1

+

,_

+ 1]1

+ +y y y ydy y y y ydy xy xdxdy y xyyyyHitunglah,Jawab : 4/28/12Contoh : x sederhana (2)Hitunglah,bilamana R adalah daerah dikuadran pertama yang dibatasi oleh kurva, x2 + y = 2, x = y3 dan sumbu x.dA xyR223611914132914132] ) 2 ( [ 22 2 2109 4 3108 21022 21022 233

,_

1]1

1]1

y y ydy y y ydy y xdy dx xy dA xyyyyyRJawab : 4/28/12Contoh volumeHitunglah volume benda pejal V yang terletak dibawah permukaan, z = 16 x2, dan dibatasi oleh bidang-bidang, y = x, x+y=4,y=0 dan z = 0.Volume benda pejal V dibawah permukaan, z = 16 x2, dan diatas daerah R diberikan oleh,y=xx+y =43136) 16 (2 dA x VRdengan R seperti gambaryx 4/28/12Massa dan Pusat MassaMisalkan diberikan suatu pelat yang tipis (lamina) sehingga dapat dipandang sebagai benda berdimensi dua. Andaikan diberikan lamina yang dibatasi oleh daerah R pada bidang xy, dan kerapatannya (massa per satuan luas) di sembarang titik (x,y) dinyatakan dengan (x,y)dA y x y MdA y x x MdA y x mmMymMxRxRyRxy) , () , () , (, 4/28/12Contoh : massa dan pusat massaLamina pada kuadran pertama dibatasi oleh, y = x2 dan x = y2. Bilamana kerapatannya di setiap titiknya sebanding dengan kuadrat jarak terhadap titik pusat. Hitunglah massa dan pusat lamina.JawabDiketahui bahwa kerapatannya adalah (x,y) = k(x2 + y2), dan dari sketsa lamina simetris terhadap garis y=x, sehingga :2x y x y y x + + + RRyRdA xy x kdA y x x k Mk dA y x k m) () (356) (2 32 22 2 4/28/12Fungsi DensitasSebuah fungsi f(x,y) dikatakan sebagai fungsi densitas, jika :(1) f(x,y) 0dA y x yfdA y x xfdA y x f y x PdA y x fRRRR) , ( x) | E(y) , ( y) | (4).E(xas probabilit menyatakan) , ( ) , ( ) 3 (1 ) , ( ) 2 (Soal-soal Latihan(a) Suatu fungsi kepadatan dengan dua variable bebas didefinisikan oleh,f(x,y) = kxy3, x