EL MODELO EN DESVIOS - fvela.files. EL MODELO EN DESVIOS Considere los datos proporcionados en el

download EL MODELO EN DESVIOS - fvela.files. EL MODELO EN DESVIOS Considere los datos proporcionados en el

of 22

  • date post

    23-Sep-2018
  • Category

    Documents

  • view

    230
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of EL MODELO EN DESVIOS - fvela.files. EL MODELO EN DESVIOS Considere los datos proporcionados en el

  • ECONOMETRA FORTINO VELA PEN

    UAM-X 10P 1

    EL MODELO EN DESVIOS Considere los datos proporcionados en el cuadro siguiente para estimar el modelo de regresin lineal

    iii eXY ++= 21

    t Y X Y-Ybar X-Xbar 1 3 3 -1 0 2 1 1 -3 -2 3 8 5 4 2 4 3 2 -1 -1 5 5 4 1 1

    media 4 3 0 0 Sabemos que los estimadores de MCO estn dados por las expresiones:

    2

    1

    12

    )(

    )()(

    =

    =

    =

    n

    ii

    i

    n

    ii

    XX

    YYXX XY 21 =

    que al aplicar a los datos mostrados rinden los siguientes resultados: regress y x Source | SS df MS Number of obs = 5 -------------+------------------------------ F( 1, 3) = 32.00 Model | 25.6 1 25.6 Prob > F = 0.0109 Residual | 2.4 3 .8 R-squared = 0.9143 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8857 Total | 28 4 7 Root MSE = .89443 ------------------------------------------------------------------------------ y | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- x | 1.6 .2828427 5.66 0.011 .6998683 2.500132 _cons | -.8 .9380832 -0.85 0.456 -3.785399 2.185399 ------------------------------------------------------------------------------

    Ahora, considere el mismo modelo pero estimado en trminos de sus desviaciones respecto a la media, esto es, donde las variables estn dadas por X* y Y*, es decir,

    )(* XXX i = )(* YYY i = Una diferencia importante es que el estimador de 2 -bajo estas condiciones- queda expresado como

  • ECONOMETRA FORTINO VELA PEN

    UAM-X 10P 2

    =

    ==n

    i

    n

    iii

    ix

    yx

    1

    2

    12

    mientras que 1 se puede obtener de la manera acostumbrada, esto es,

    XY 21 = (aunque Stata considera a 1 =0 (por qu?), como se muestra a continuacin. Para recuperar al estimador de 1 en Stata se puede considerar la expresin XY *21 = ). regress yybar xxbar Source | SS df MS Number of obs = 5 -------------+------------------------------ F( 1, 3) = 32.00 Model | 25.6 1 25.6 Prob > F = 0.0109 Residual | 2.4 3 .8 R-squared = 0.9143 -------------+------------------------------ Adj R-squared = 0.8857 Total | 28 4 7 Root MSE = .89443 ------------------------------------------------------------------------------ yybar | Coef. Std. Err. t P>|t| [95% Conf. Interval] -------------+---------------------------------------------------------------- xxbar | 1.6 .2828427 5.66 0.011 .6998683 2.500132 _cons | 0 .4 0.00 1.000 -1.272979 1.272979 ------------------------------------------------------------------------------ REGRESIN A TRAVS DEL ORIGEN Se ha considerado el modelo

    iii eXY ++= 21 el cul es una recta de regresin con un intercepto. En ocasiones puede ser necesario estimar el modelo

    iii eXY += 2 esto es, una lnea que pasa a travs del origen. Este modelo se llama modelo sin intercepto. El forzar que la lnea pase a travs del origen puede deberse a razones tericas o por otras consideraciones fsicas y/o materiales del caso particular en estudio( por ejemplo, la distancia de viaje es una funcin del tiempo pero no debe tener ninguna constante). La estimacin aplicando el principio de mnimos cuadrados del modelo sin intercepto da por resultado (se recomienda al lector elaborar este ejercicio)

  • ECONOMETRA FORTINO VELA PEN

    UAM-X 10P 3

    =

    ==n

    i

    n

    iii

    iX

    YX

    1

    2

    12

    donde el valor ajustado para i-sima observacin esta dado por

    iii eXY += 2 i= 1, 2,, n. y la residual correspondiente es

    ii YYe 1 = i= 1, 2,, n El error estndar del coeficiente 2 es igual a

    =

    =n

    ii

    X

    ee

    1

    2

    2)(

    donde

    1 2

    =

    n

    SCE

    Observe que los grados de libertad para SCE son n-1, y ya no n-2, como lo es en el caso del modelo con intercepto. Adems los residuales sealados arriba no necesariamente suman cero como si ocurra con el modelo con intercepto. Tambin, la identidad SCT= SCR+SCR tampoco se cumple en general. Por esta razn, algunas medidas de la calidad de ajuste de los modelos con intercepto como no resultan ser apropiadas para los modelos sin intercepto. La identidad apropiada modelos sin intercepto se obtiene substituyendo a 0=Y en la sumas de cuadrados. Por lo tanto, la identidad fundamental de la SCT se convierte

    ===

    +==+==+=n

    ii

    n

    ii

    n

    ii eYYSCESCRSCTVNEVEVT

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    lo que se a su vez redefine a R2 como

    =

    =

    =

    = ==n

    ii

    n

    ii

    n

    ii

    n

    ii

    Y

    e

    Y

    YR

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    1

    2

    2 1

    sta es la forma apropiada de R2 para los modelos sin intercepto. Note, sin embargo, que las interpretaciones para los casos del modelo con y sin intercepto

  • ECONOMETRA FORTINO VELA PEN

    UAM-X 10P 4

    de R2 son diferentes. En el caso de modelos con intercepto, R2 se puede interpretar como la proporcin de la variacin de Y que es explicada por la variable X (despus de ajustar a Y por su media). Para los modelos sin intercepto, esta interpretacin ya no es posible mantenerla dado que incluso R2 puede llegar a ser negativa. Por otra parte, la frmula basada en el estadstico t para la pruebas de significancia individual sobre 2 , esto es, cuando HO: 02 = vs la alternativa H1: 01 , contina sostenindose pero con la nueva definicin de ee( 2 ) antes sealada. Como se apunto anteriormente, los modelos sin intercepto deben ser utilizados siempre que sean consistentes con la teora que esta en estudio o debido a consideraciones fsicas y materiales. En algunos usos, sin embargo, uno puede no estar seguro qu modelo debe ser utilizado. En estos casos, la decisin entre los modelos dados (con y sin intercepto) tiene que ser tomada con cuidado1. _______________________________________________________________________________________________ Ejemplo _______________________________________________________________________________________________ Uno puede preguntarse si la gente de altura similar tiende a casarse. Con este fin, una muestra de parejas recientemente casados fue seleccionada. Sea X la altura del esposo y Y la altura de la esposa. Las alturas se encuentran dadas en centmetros y se muestran en el cuadro siguiente.

    a) Calcule la covarianza entre las alturas de los esposos y las esposas. b) Cul sera la covarianza si las alturas fueron medidas en pulgadas

    (recuerde que 1cm=0.39 pulgadas). c) Calcule el coeficiente de correlacin entre las alturas de los esposos. d) Cul sera si la correlacin de las alturas si fueran medidas en

    pulgadas en lugar de centmetros? e) Cul sera la correlacin si cada hombre se casa con a una mujer

    exactamente 5 centmetros ms pequea que l? f) Deseamos ajustar un modelo de regresin que relacione a las alturas de

    los esposos y las esposas. Cul de las dos variables usted elegira como la variable de la respuesta? Justifique su respuesta.

    g) Usando su opcin de la variable de la respuesta del inciso anterior, pruebe la hiptesis nula de que el coeficiente pendiente es cero.

    h) Usando su opcin sobre la variable de respuesta del inciso (f), pruebe la hiptesis nula de que el intercepto es cero.

    i) Usando su opcin de la variable de la respuesta en (f), pruebe el hiptesis nula de que el intercepto y el coeficiente pendiente son cero.

    j) Cul de las hiptesis y pruebas antedichas elegira usted para probar que la gente de altura similar tiende a casarse? Cul es su conclusin?

    1 Una exposicin excelente de los modelos de regresin a travs del origen es proporcionada por Eisenhauer (2003) que tambin alerta a los usuarios de los modelos de regresin a travs del origen a tener cuidado cuando ajustan estos modelos usando los programas de computo, ya que algunos de ellos dan los resultados incorrectos.

  • ECONOMETRA FORTINO VELA PEN

    UAM-X 10P 5

    k) Si ninguna de las pruebas antedichas son apropiadas para probar la hiptesis que la gente de altura similar tiende a casarse, que prueba utilizara usted ? Cul es su conclusin basada en esta prueba?

    Cuadro 1. Altura de los esposos

    Altura Altura

    id Esposo Esposa id Esposo Esposa 1 86 175 25 182 167 2 180 168 26 162 160 3 160 154 27 169 165 4 186 166 28 176 167 5 163 162 29 180 175 6 172 152 30 157 157 7 192 179 31 170 172 8 170 163 32 186 181 9 174 172 33 180 166

    10 191 170 34 188 181 11 182 170 35 153 148 12 178 147 36 179 169 13 181 165 37 175 170 14 168 162 38 165 157 15 162 154 39 156 162 16 188 166 40 185 174 17 168 167 41 172 168 18 183 174 42 166 162 19 188 173 43 179 159 20 166 164 44 181 155 21 180 163 45 176 171 22 176 163 46 170 159 23 185 171 47 165 164 24 169 161 48 183 175

  • ECONOMETRA FORTINO VELA PEN

    UAM-X 10P 6

    Altura Altura

    id Esposo Esposa id Esposo Esposa 49 162 156 73 179 160 50 192 180 74 170 149 51 185 167 75 170 160 52 163 157 76 165 148 53 185 167 77 165 154