El átomo de Hidrógeno -...

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El Átomo de Hidrógeno

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El Átomo de Hidrógeno

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El Modelo Clásico de Rutherford

Se basa en la segunda ley de Newton y la atracción coulombiana entre electrón y núcleo (Z=1).

22

04eF

Rπε=

eF m a=

Consideremos que la orbita es circular.

R

F

v

2 2

0

v 14v

eea R m Rπε= → =

2

0

12 8eK

eE m Rπε= =2v

La energía potencial se obtiene de la electrostática:

2

04PeE Rπε=−

La energía total es negativa, por lo cual se tiene un estado ligado.

2

008K P

eE E E Rπε= + =− <

...sin embargo este modelo no es correcto.

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El problema consiste en que no se ha considerado que las Ecuaciones de Maxwell predicen que una carga acelerada emite radiación electromagnética en forma continua.Ello significará que el sistema perderá energía en forma continua, lo que se manifestaría en una orbita de radio decreciente (espiral).

El tiempo, calculado, que duraría el electrón orbitando, antes de caer al núcleo es absurdamente pequeño:

810 sτ ⎡ ⎤⎣ ⎦

−∼

¿Los átomos son inestables ? No, el tartamiento clásoco no es adecuado.

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Comportamiento ondulatorio de electrónes en átomos

Cuando se estima cuál es la longitud de onda de De Broglie del electrón en el átomo de Hidrógeno, se obtiene que es del mismo orden de magnitud que el radio del átomo de Rutherford.

220

20

44

ee e ee

hm eh p m Rp R m eπελ λπε= → = = → =v

104,6 10e Hm Rλ ⎡ ⎤⎣ ⎦

−→ ≈ i ∼1010atomoR m⎡ ⎤⎣ ⎦

−≈Para

...por lo cual los aspectos ondulatorios son importantes y la Mecánica Clásica ya no es aplicable.

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El Modelo de Bohr (Niels Bohr 1912)

Este considera que el electrón se comporta como una onda, cuya longitud de onda es la que predice la relación de De Broglie. La hipótesis que se incluye, es que la onda del electrón es continua, es decir el radio de la orbita es igual a un múltiplo entero de su longitud de onda.

2 eR nπ λ= ; 1,2,3,...n=Es decir:

20

24;

e

hm eπεβ =e Rλ β→ =Como se vio antes

Combinando lo anterior, se obtiene una cuantización del radio de la órbita:

20 2; 0.053

4R nmβ

π⎡ ⎤⎣ ⎦= ≈2

0R R n→ =

...donde el mínimo valor para el radio de la órbita, es el llamado Radio de Bohr y ocurre cuando n = 1.

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...hay otras cantidades que también se encuentran cuantizadas en el átomo de hidrógeno.

Cuantización de la Energía:

2 02

0...8

EeE R nπε=− = =−2

00 0

; 8eE Rπε=

0min 13,6E E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− ≈− Mínima energía posible del átomo (electrón y núcleo ligados)

Cuantización del Momento Angular:

...eL m R hn= = =v Predicción incorrecta.

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Transiciones Cuánticas

02=−n

EEn

E

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Transiciones Cuánticas

Emisión de Energía: ifn n< Absorción de Energía: ifn n>

0 2 21 1

ifi f

E E E En n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = − = −

0 2 21 1;i f

ifE E h h E

n nν ν

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= + = − ; 0 2 21 1

i fi f

E h E h En n

ν ν⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ = = −

1 ,i fn nLa energía de Ionización sería la de la siguiente transición (absorción):

= →∞ 0 02 21 11ionE E E⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

= − =∞

0 2 21 1

i fif

E E E En n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

∆ = − = −

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Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

¿?γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

<∆ ≈

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Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

<∆ ≈

γ

E Eγ δ−

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Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

¿?γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

∆ ≈≥

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Ejemplo.

1n=

2n=

1n=

2n=

12 0 02 21 1 3 10,241 2

E E E eV⎛ ⎞

⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦

⎝ ⎠

∆ = − = ≈

γ

12 10,2E E eVγ⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

≥∆ ≈

γ

12E Eγ −∆

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Experimento de Franck – Hertz

Confirmó la estructura discreta del espectro de absorción para gases de un elemento químico.

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1n=

2n=

1n=

2n=

Cuando: 12 0 02 21 1 3 10,241 2eE eU E E E eV

⎛ ⎞⎡ ⎤⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎣ ⎦⎜ ⎟

⎝ ⎠

= <∆ = − = ≈

...,los electrones atómicos (en estado fundamental ) no pueden acceptear la energía de los electrones incidentes. Por tanto un electrón incidente solo perde una pequeña cantidad de energía , debido a colisión elástica con el átomo como un todo indivisible:

eE Eδ

1n=

La energía mínima que puede ser transferida al electrón atómico

La corriente I, aumentará si lo hace el voltaje U de la fuente variable.

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Cuando: 12 10,2eE eU E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= >∆ ≈

..., en este caso los electrones pierden prácticamente toda su energía cinética y por ende su flujo se detiene en forma repentina.

Lo anterior se traduce en que el amperímetro A marca I=0.

Con este experimento se hace posible conocer cuál es la energía necesaria para realizar la transición entre el estado base(n=1) y el primero de los excitados(n=2), esta energía es igual a eU, donde U es el voltaje con el cual se detiene la corriente.

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Virtudes del Modelo de Bohr

El átomo es estable, esto es, los electrones no pueden reducir su energía más allá del estado base (hay un límite para la emisión). Esto resuelve el problema de la caída en espiral.

0min 13,6E E eV⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− ≈−

Explica la presencia y posición de los máximos en los espectros de emisión de energía (y los mínimos en los de absorción).

02 2 2 2

1 1 1 1 1 1H

i if f

E Rhc n n n nγ γλ λ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= − → = −La teoría de Bohr predice el mismo resultado empírico que obtuvo Rydberg para la posición de los máximos.

La constante de Rydberg es: 4 7 1

2 30

1,097 108H

em eR mh cε

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

− −= ≈ ⋅

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En un experimento de absorción, se hace pasar un haz de luz cuyo espectro es plano (todas las componentes espectrales tienen prácticamente la misma amplitud) a través de la muestra (átomos en estado gaseoso) y se analiza el espectro de la luz que se transmite.

Mínimos en el espectro, es decir que estas frecuencias son fuertemente absorbidas.Espectro “plano”.

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Predice la energía de ionización del átomo de Hidrógeno.

0 13,6IonE E eV⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦≈

...lo cual está de acuerdo casi perfectamente con el resultado experimental.

Predice las propiedades magnéticas del átomo de Hidrógeno.

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Vacíos en el modelo de Bohr

Si bien su modelo daba cuenta de las posiciones de los centros de los máximos én los espectros de emisión (y los mínimos en los de absorción), no explicaba la razón de sus anchos, diferentes entre si.

¿Por qué los anchos de diferentes líneas son diferentes entre si?

...la respuesta se encuentra en el Principio de Incertidumbre.

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Explicación:El electrón se encuentra en el estado excitado durante un tiempo finito antes de decaer a otro estado de menor energía. Llamemos a la vida media del estado excitado.

ττ

i fE E E hν− =∆ =

E hδ δν⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→ ∆ =

Si colocamos esto en la expresión del principio de incertidumbre, se obtendrá una cota para el mínimo ancho espectral:

Si hay incertidumbre en las energías de los estados iniciales y finales, ella se manifestará en una incertidumbre en la frecuencia del fotón emitido.

2E tδ δ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠∆ ⋅ ≥

2 12h t h tδν δ δν τδ⋅ ≥ → ≥ ≈

Ahora, una estimación para el ancho espectral consiste en decir que es del mismo orden de magnitud que el inverso de la vida media (o sea, olvidarnos de la desigualdad):

1δν τ∼

... ¡ el modelo de Bohr no predice cual es la vida media de los estados !

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Otros vacíos en el modelo de Bohr

•No explica la intensidad de las líneas espectrales. I=I(v)

•No explica otros detalles (hay experimentos en que se ven más líneas) del espectro (estructura fina e hiperfina).

•No da cuneta de las probabilidades de transición entre niveles:

¿...?i fProb n n⎧ ⎫⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭

→ =

•No sirve para tratar átomos con más de un electrón (ni siquiera para el He)

•No explica la formación de moléculas.

•Etc.

...pero aún así le fue otorgado el Premio Nobel.

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El átomo de Hidrógeno en Mecánica Cuántica.

El estado de un electrón en un presencia del potencial eléctricodel núcleo, está determinado por su función de onda:

( ), ,r x y zψ ψ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=

La cual debe ser una solución de la Ecuación de Schrödinger (ES):

2 22 e

r U r r E rm ψ ψ ψ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

− ∇ + =

El potencial debido al núcleo resulta ser esféricamente simétrico (no depende de la dirección):

2 2 2 2

2 2 2 ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )2 e

x y z U x y z x y z E x y zm x y z

ψ ψ ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂

− + + + =⎜ ⎟∂ ∂ ∂⎝ ⎠

2

04eU r rπε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=−

Por lo que resulta conveniente aprovechar

la simetría del problema, al intentar

resolverlo en coordenadas esféricas.

r r=( )U r

r

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Planteamiento del problema en coordenadas esféricas.

Cambiamos a coordenadas esféricas:

( ), , , ,x y z r θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Por medio de la transformación:

x rsen cosy rsen senz rcos

θ φθ φθ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

===

La cual es invertible si se satisface:

0 , 0 , 0 2r θ π φ π≤ <∞ ≤ < ≤ <

El operador laplaciano, en estas coordenadas, toma la forma:

22 22 2 2 2 2

1 1 1r senr rr r sen r senθθ θθ θ φ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

∂ ∂ ∂ ∂ ∂∇ = + +∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Al colocar esta expresión en la ES (y luego de reordenar sus términos), se llega a lo siguiente:

2 22 22 2 2 2

0

21 1 02

e em e m Er r sen senrr r senψ ψ ψψ θ θθ θπε θ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∂ ∂ ∂∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂ ∂ ∂

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La ecuación anterior tiene una estructura que permite su resolución por separación de variables.

( ), , ,r r R r Yψ ψ θ φ θ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠= = ⋅

Al sustituir esta expresión en la ecuación anterior las derivadas parciales con respecto a “r” se convertirán derivadas completas, pues actúan sobre R(r), que es función solo de esa variable:

2 22 22 2 2 2

0

21 1 02

e em e m Ed dR Y YY r r R R sen senrdr dr senθ θθ θπε θ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂

Dividiendo por RY, la ecuación se hace separable:

2 22 22 2 2 2

0

21 1 1 1 02

e em e m Ed dR Y Yr r sen senrR Ydr dr senθ θθ θπε θ φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎝ ⎠⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

∂ ∂ ∂+ + + + =∂ ∂ ∂

[Función sólo del radio] [Función sólo de ángulos]

Esta es una ecuación del tipo:

( ) , 0f r h θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

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Para una ecuación del tipo anterior (con funciones de variables independientes entre si):

( ) , 0f r h θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

+ =

La única solución que puede existir (que sea válida para toda coordenada de radio y ángulos) es de la forma:

( ) ,f r h θ φσ σ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭= ∧ =−

CONSTANTE

Así la separación del problema conlleva a resolver un sistema de ecuaciones:

22 22 2

0

22 2

21 02

1 1

e em e m Ed dRr r R Rrdr dr

Y Ysen Ysen sen

πε

θθ

σ

σθ θ θ φ

⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

+ + − =

∧∂ ∂ ∂+ =−∂ ∂ ∂

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Resolvamos primero la ecuación angular del sistema anterior:

22 2

1 1 0d dY d Ysen Ysen d d sen dθθ θ θ θ

σφ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

+ + =

Es conceptualmente importante fijarnos en que la ecuación para la parte angular de la función de onda es independiente de la forma del potencial U(r). Esto tiene que ver con la conservación del momento angular en potenciales centrales.

" "L cte=

Se puede probar con una nueva separación de variables:

,Y T Fθ φ θ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

Resultando la ecuación:

222

1 1 0d dt d Fsen sen senT Fd d dθ θ θθ θ σ

φ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎜ ⎟⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

+ + =

Nuevamente de una forma separable:

2 20A B m mA Bθ φ θ φ⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭+ = = ∧ =−

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Nos quedará el sistema:

22

2

22

1

1

d FF d

d dtsen sen seT

m

nd md

φ

θ θ σ θθ θ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟⎪ ⎪⎜ ⎟⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭

=−

+ =

La razón para imponer que sea negativa la parte dependiente del ángulo phi se entiende en cuanto es resuelta la primera de las ecuaciones anteriores.

2 202

1 mid F Fm F eF dφφ

φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

=− → =

La función F, debe continua (para que la función de onda también lo sea), en particular esto debe ser cierto cuando se da una vuelta completa. Es decir:

0 2F F π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

=

De imponer lo anterior saldrá:

( ): 0, 1, 2,...0 2 20 0 1 ; o sea mi im m mF e F e eπ π = ± ±= → = ↔ ∈

...de haberse elegido el otro signo para la constante del sistema de ecuaciones, se habrían conseguido exponenciales crecientes y decrecientes para la función F. Ello no permitirían que la función de onda sea continua en los puntos anteriores.

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La segunda ecuación del sistema es famosa, se le conoce como “Ecuación de Legendre”

2 2 0d dtsen sen sen Td d mθ θ θθ θ σ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠

+ − =

Sus soluciones para , existen si y solo si se satisfacen las dos condiciones siguientes:0 θ π≤ <

01 ; 0,1,2,...

, 1 ,..., 1 ,

l l l

m

l

l l l l

σ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= + ∈ =

=− − − −

Las soluciones son polinomios en senos y cosenos.

La solución angular completa, Y=FT, es conocida como “Armónico Esférico” y es conjunto de funciones, siendo los índices “l” y “m”, los que las identifican:

,,

, " , "

0,1,2,..., 1 ,..., 1 ,

l ml

mi

m

m

Y Polinomio en cos sen e

ll l l l

φθ φ θ θ⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎪ ⎪

⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎩ ⎭⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎪ ⎪⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

±=

==− − − −

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Algunos Armónicos Esféricos son: , ,l mY θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

0,0

1,0

1, 1

1, 43, 43, 8

i

Y

Y cos

Y sen e φ

θ φ πθ φ θπθ φ θπ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

±±

=

=

=

22,0

2, 1

22, 2

5, 3 1165, 85, 16

i

i

i

Y cos sen e

Y sen cos e

Y sen cos e

φ

φ

φ

θ φ θ θπθ φ θ θπθ φ θ θπ

⎛ ⎞⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

±

±±

±±

= −

=

=

Convención de normalización:

2 22

, ,0 0

1 , ,l m l mEsferacompleta

Y d Y sen d dππ

θ φ θ φ θ θ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

= Ω=∫∫ ∫ ∫

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Por otro lado, la parte radial de la Ecuación de Schrödinger es:

22 22 2

0

21 1 02

e em e m Ed dRr r R l l Rrdr dr πε

⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

+ + − + =

222 2

2

02

11 012

2e el m Ed dRr Rdr

ed r

m lr rr πε

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎜ ⎟⎝ ⎠

++ + =−

Estos términos tienen la forma de potenciales: el atractivo es el de Coulomb, el repulsivo se debe al Momento Angular.

O bien:

Las soluciones, que representen estados ligados, deben satisfacer que la probabilidad de encontrar al electrón muy lejos del núcleo sea cero. Ello se consigue exigiendo:

( )lim 0r R r→∞ =

Se puede demostrar que las soluciones existen si y solo si se satisface lo siguiente:

( ) 02 1,2,3,...

1 0,...,

nEa E E nn

b l n l n⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= =− ← = (cuantización de la energía)

1≤ − ← = − (cuantización del momento angular orbital)

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El valor de la energía de ionización coincide con la predicción del modelo de Bohr(que es correcta):

40 2 2 2

013,6

32em eE eV

π ε⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

= ≈

El conjunto de soluciones para el término radial es dependiente de la energía y con el numero l.

( ),: ; 1,2,3,... ; 1n n lE R r n l n= ≤ −

Normalización de la parte radial R(r).

( ) ( )2 22

2 2,

01 , ,

1

l mTodoel Esferaespacio completa

R r Y r sen drd d R r r dr Y dθ φ θ θ φ θ φ⎛ ⎞ ⎛ ⎞×⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

∞= = Ω

= ↵

∫∫∫ ∫ ∫∫

El convenio de normalización para la parte radial tiene que ser:

( )2

2

01R r r dr

∞=∫

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Interpretación física

¿Qué podemos decir acerca de la localización del electrón en el átomo (órbita)?

Se puede dar la probabilidad de encontrarlo alrededor de algún lugar. Por ejemplo, se puede calcular la probabilidad de encontrarlo dentro de un cascarón entre r y r+dr.

Para ello hay que considerar que todos los valores son posibles para los ángulos.

2, ,r dVψ θ φ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

→ Probabilidad de encontrar al electrón en el volumen: 2dV r drd= Ω

, con coordenadas(esféricas):

, ,r θ φ

Como son posibles todos los ángulos, hay que integrar sobre toda la esfera:

( ) ( ) ( )22 2

2 2, ,l m

Esferacompleta

P r dr R r r dr Y d R r r drθ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= × Ω=∫∫

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Por ejemplo para el estado base del átomo de Hidrógeno, la probabilidad de encontrarlo orbitando, alrededor del núcleo, con un radio entre r y r+dr, es:

( ) ( ) 0

3 222 2

1,00

14r

RP r dr R r r dr e r drR⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

−= =

100 0.53 10R m⎡ ⎤

⎣ ⎦−≈ ⋅

Hay que concluir que el electrón no posee una órbita definida alrededor del núcleo, más bien se comporta como si fuera una nube de carga eléctrica. El electrón se encuentra “distribuido” en un átomo.

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Resumen:

Las funciones de onda que son solución de la ecuación de Schrödinger, forman un conjunto y las identificamos por los índices (n,l,m)

, ,nlm rψ θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

Las energías posibles son:

002 , 13,6n

EE E eVn

⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

=− ≈−

Todo ello determinado por tres índices, a los que llamaremos Números Cuánticos:

1,2,3,...

0 1

n

l n

l m l

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

= →

≤ ≤ − →

− ≤ ≤+ →

Número Cuántico Principal.

Número Cuántico Angular.

Número Cuántico Magnético.

Así habrán estados diferentes para un nivel de energía .2n nE

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Número de estados que pueden tener la misma energía :nE

Para cada , hay valor diferentes que puede tomar el número m:(2 1)l +l

0, 1, 2,..., 2 1l m l l⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

→ = ± ± ± → +

Para cada estado n hay n valores que puede tomar el número l:

0,1,2,3,..., 1n l n→ = −

El número total de estados es:

1 1 12

0 0 0

12 1 2 1 2

n n n

l l l

n nl l n n

⎛ ⎞⎜ ⎟⎛ ⎞ ⎝ ⎠

⎜ ⎟⎝ ⎠

− − −

= = =

−+ = + = + =∑ ∑ ∑

2nE n→ estados (sin considerar spin)

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¿ Cuál es el significado físico de los Números Cuánticos l y m ?

La respuesta se encuentra en el formalismo de la Mecánica Cuántica, con ella se puede mostrar lo siguiente:

(I) El número cuántico determina cual es la magnitud del momento angular(orbital) del electrón, este vale:

1L L l l⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

= = +

0,1,2,3,...l =

zL m=

(II) El número magnético determina cual es la proyección del momento angular sobre el

eje Z:l m l− ≤ ≤+ estados2 1l+con

m

(III) Las otras proyecciones son indefinidas ( no se puede conocer completamente cual es el momento angular):

¿...? , ¿...?x yL L⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

= =

L r p= ×

p

r Definición del momento angular

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¿Cómo puede intuirse lo que pasa con las otras componentes (x e y) del momento angular?Hay que pensar que se conoce una componente (z) y la magnitud. Así que podríamos imaginarnos que el vector momento angular baila como si fuera un trompo:

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El SpinEl momento angular orbital es una cantidad cuantizada:

22 21 , 0,1,2,...

, 0, 1, 2,...,z l l

L L l l l

L m m l

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

≡ = + =

= = ± ± ±

Las particulas (electrones) pueden poseer un momento angular adicional, al que llamaremos Spín, este es intrínseco a la partícula.

S I rMvω α= = ⋅

( 1)s sSv crM rM rMα α

+= = >

⋅ ⋅∼

Se requiere el tratamieno relativistaEl radio de la partícula

Los experimentos muestran que el electrón es prácticamente un punto. El problema con el que nos enfrentamos al considerar spín, es que clásicamente un punto no puede tener momento angular (de rotación en torno a si mismo).

EL Spín es el momento angular intrínseco de las partículas elementales “puntuales”. Tiene propiedades cuánticas de momento angular:

22 2 11 , 0, ,1,...2

, , 1 ,..., 1 ,z S S

S S s s s

S m m s s s s

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

≡ = + =

= =− − − −

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El spín es una propiedad fundamental de las partículas elementales, como lo son sus masas y sus cargas eléctricas. No es el resultado de ningún tipo de rotación.

La explicación para la existencia de esta propiedad proviene de la Teoría Cuántica Relativista, establecida en la llamada Ecuación de Dirac.

Las partículas elementales se dividen en dos grupos, de acuerdo con su spín.

Fermiones: S=1/2, 3/2,… entre ellos encontramos al electrón, muón, neutrón,...

Bosones: S=0,1; el fotón, el -mesón...π

Ejemplos:

2 2 2

2 2 2

31 1 1 1 11 , ,2 2 2 4 2 2

1 1 1 1 2 , ,0,

z S

z S

S S S m

S S S m

⎧ ⎫⎛ ⎞ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪⎪⎜ ⎟⎨ ⎨ ⎬⎬⎜ ⎟ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎩ ⎭⎧ ⎫⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪⎨ ⎨ ⎬⎬⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎩ ⎭⎪ ⎪⎩ ⎭

+ −= ⇒ = + = = =

= ⇒ = + = = = + −

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El momento magnético.Una carga en movimiento orbital se comporta como una corriente eléctrica I, la cual tiene un momento magnético dipolar asociado:

2q vI qT Rπ= = 2

2lvI A q RRµ ππ= =iL M R= v

R,q M

2lq LMµ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

=

La relación entre momento angular y magnético es:

, 2 2Z Bl Z l le ee eL m mm mµ µ

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠

−= =− =−

Para un electrón en un átomo, la componente Z del momento magnético orbital es:

0, 1, 2,...,lm l= ± ± ±

El “magnetón de Bohr” vale:

2B eemµ =

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Haciendo una analogía entre momento angular orbital y de spín, se esperaría que el electrón tuviese un momento magnético intrínseco (asociado con su spín).

¿ ?S Sµ ∼

La teoría cuántica relativista predice que es así, los resultados son:

BS g Sµ µ=− 1 1,2 2Sm − +=, BS Z Sg mµ µ=−

2g ≈Razon giromagnética. Para electron es

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Experimento de Stern-Geraltch.Este confirmó la existencia de spín en los electrones (s=1/2) y que el momento angular se encuentra cuantizado.

Aprovecha cual es el comportamiento de una partícula con el momento magnético en presencia de un campo magnético no uniforme.

La energía potencial de una partícula con momento magnético dipolar en presencia de un campo magnético externo es:

m BU B g S Bµ µ=− =i i

Si orientamos el campo magnético en la dirección del eje Z, se tendrá:

ˆB Bz= → m B Z B SU g S B g m Bµ µ= =

Debido a la naturaleza cuántica del momento magnético, habrán solo dos valores posibles:

12 2

BmSg Bm U µ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠±

=± → =±

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B

B

ms=+1/2

ms=-1/2

El concepto clásico de “fuerza conservativa” esta relacionado con el de energía potencial en la forma:

F U=−∇

Aparecería una fuerza que desviaría a los electrones en alguna dirección que dependerá de cuál sea el spín:

ˆ ˆm B BS SBF U g m z g m zzBµ µ

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎝ ⎠

± ∂=−∇ =− ∇ =− ∂

El iman de forma especialproduce el campo que sole depende de coordenada z, asi que

( )B z ( ) ( )B z B zz∂

∇ =∂Las dos posibilidades son:

2B

Zg BF zµ⎛ ⎞

⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠± ∂=± ∂ ...por lo que solo se verán 2 franjas.

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Para partículas con momento angular S, se verán 2s+1 franjas:

S=3 2x3+1=7 franjas

, 1,..., 1,

Z B S

S

BF g mzm s s s s

µ⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

⎧ ⎫⎨ ⎬⎩ ⎭

∂=− ∂= − − + −

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Los estados electrónicos en el átomo de hidrógeno.

Ya que el electrón puede tener dos posibilidades para su número cuántico de spín, hay que considerarlo en la función de onda como otro número cuántico.

, ,Sln lm m rψ θ φ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

1,2,3,...

0 1

1 1,2 2

l

S

n

l n

l m l

m

⎧⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪ ⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎨ ⎬⎪ ⎪ ⎪⎩ ⎭⎪⎩

→=

→≤ ≤ −

− ≤ ≤+ →

+ −= →

Número cuántico principal.

Número cuántico angular.

Número cuántico magnético.

Número cuántico de spín.

De este modo se duplican la cantidad de estados en el átomo de hidrógeno.Así habrán estados diferentes para un nivel de energía .22 n× nE

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Estructura Fina.

Consiste en la interacción del momento magnético del electrón (spín S) con su propio campo magnético debido a su movimiento orbital (momento angular L).

Los niveles energético son perturbados. Donde antes había un nivel energético, ahora habrán dos, este desdoblamiento es casi imperceptible; solo pueden observarse con aparatos muy sensibles.

Las energías son levemente diferentes a las calculadas en las secciones anteriores:

,n nn lE E E Bαµ→ = + i

,

12

n n Z Zn l

Z

B LE E S L E S L

S

S

ρ ρµ

⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭

⎛ ⎞⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

→ = + = +

∼i