Algunas anotaciones

Rulo Kobashikawa<akobashikawa@gmail.com>

Razón Áurea en el Pentágono

Razón ÁureaEs una proporción talque el menor es al mayorcomo el mayor es al total

a

(xa - a) / a = a / xa

xa - a

xa

Razón ÁureaResolviendo la ecuación:

x2 - x - 1 = 0x = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) = φ

a

(φa - a) / a = a / φa

φa - a

φa

φφ (phi) es llamado el número áureo

φ = (√5 + 1) / 2 = 2 / (√5 - 1) ≈ 1.618

1

(φ - 1) / 1 = 1 / φ

φ - 1

φ

1/φ1/φ (la inversa de phi) es llamada la sección áurea

1/φ = (√5 - 1) / 2 = 2 / (√5 + 1) ≈ 0.618

1/φ

(1 - 1/φ) / (1/φ) = (1/φ) / 1

1 - 1/φ

1

1/φφ y su inversa se diferencian en 1

1/φ = φ - 1 = 0.618

1/φφ - 1

1 - 1/φ2 - φ

1 1

1/φφ - 1

φ

El simbolismo de φ

El menor es al mayor como el mayor es al todo.

" Así como abajo es arriba."

" Así en la tierra como en el cielo."

φ en la serie de FibonacciCada término de la serie es la suma de los dos anteriores

F: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, ...

Se observa que la relación entre un número y su anterior va tendiendo hacia φ mientras oscila

r: ..., 1, 2, 1.5, 1.67, 1.60, 1.625, 1.615, 1.619, 1.618, ...

φ en la serie de Fibonaccir = limn→∞ ( F(n) / F(n-1) ) = limn→∞ ( [ F(n-1) + F(n-2) ] / F(n-1) ) = limn→∞ ( F(n-1) / F(n-1) ) + limn→∞ ( F(n-2) / F(n-1) ) = limn→∞ ( F(n-1) / F(n-1) ) + 1 / limn→∞ ( F(n-1) / F(n-2) ) = 1 + 1 / r (pues la serie es convergente)entonces:

r = (√5 + 1) / 2 = φ

Algunas equivalencias de φ● 1/φ = φ - 1● 1 - 1/φ = 2 - φ = (φ - 1)2

● φ = 1 + 1/φ = (φ + 1) (φ - 1)● φ2 = φ + 1, φ2 - 1 = φ● φ3 = (φ + 1) / (φ - 1)● φn = φn-1 / (φ - 1)● φ = limn→∞ ( F(n) / F(n-1) )

● √5 = 2φ - 1 = 2/φ +1

Fracción continua de φφ = 1 + 1/φ = 1 + 1/(1 + 1/φ) = 1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(1 + 1/(...)))))

φ ≈ 1 + 1 = 2 ≈ 1 + 1/2 = (1+2)/2 = 3/2 ≈ 1 + 2/3 = (2+3)/3 = 5/3 ≈ 1 + 3/5 = (3+5)/5 = 8/5 ≈ 1 + F(n-1)/F(n)

Trazando 1/φLa idea es conseguir un segmento de longitud √5 / 2 y luego restarle 1/2.

Si la altura mide 1, un pie perpendicular de 1/2determina un triángulo rectángulo con hipotenusa √5 / 2

Proyectando la hipotenusa sobre el pie, se le puede restar 1/2 para obtener (√5 - 1) / 2 = 1 / φ

El área del rectángulo también es 1 / φ.

Trazando φLa idea es conseguir un segmento de longitud √5 / 2 y luego restarle 1/2.

Si la altura mide 1, un pie perpendicular de 1/2determina un triángulo rectángulo con hipotenusa √5 / 2

Proyectando la hipotenusa sobre el pie, se le puede agregar 1/2 para obtener (√5 + 1) / 2 = φ

El área del rectángulo también es φ.

φ en el pentágono

La razón áurea está presente en el pentágono.

¿Cómo se podría haber hallado eso?

Apotema de un triángulo● OP divide AB en dos

partes iguales.● AOP es semejante a

CAP● AP = AC/2● Entonces,

OP = AO/2

a = r/2

Apotema de un cuadrado● OP divide AB en dos

partes iguales.● OPA es isósceles● Entonces,

OP = AO / √2

a = r / √2

Apotema de un pentágono● OP divide AB en dos

partes iguales.● QOB es la mitad de

OQB● La bisectriz QM

determina los triángulos isosceles OMQ y BQM

● QOB es semejante a BQM:r / x = x / (r - x)

● Entonces, x = r / φ● ONM es semejante a

OPB:a / (r/2) = r / x

● Entonces,a = rφ / 2

Apotema de un pentágonoAdemás:● PQ = r - a● Entonces,

PQ = r - r/(2φ)= (r/2)(φ - 1) / φ= (r/2) / φ2

= x / φ

Triángulos notables

Triángulos notables

φ en el pentágono

Construyendo un pentágono

La idea es conseguir primero el lado del decágono:AD = r/φ.Luego unir dos lados de decágono para obtener el lado del pentágono ED.

Construyendo un pentágono

Luego copiar esa longitud a lo largo de la circunferencia.

● En el triángulo isósceles de 36°, el que la medida del ángulo de la base sea el doble conduce a encontrar φ.

● El que φ y su inverso se diferencien en 1 conduce a equivalencias interesantes.

Me parece que

Enlaces

● Wikipedia: Número áureo explica la diferencia entre número áureo (φ) y sección áurea (1/φ)

● Geogebra es el programa libre y open source para realizar construcciones geométricas.

● Google Drive Slides permite hacer presentaciones como esta.

Presentado por

Rulo Kobashikawaakobashikawa@gmail.com

2013/05/15