1

ONDAS

Modelo 2018. Pregunta 2B.- En el extremo izquierdo de una cuerda tensa y horizontal se aplica un

movimiento armónico simple perpendicular a la cuerda, y como consecuencia, por la cuerda se propaga

una onda transversal con la siguiente expresión: ( ) ( )[ ]x 5,2t 100 π sen 01,0t,xy −= en unidades del Sistema Internacional.

Calcule:

a) La velocidad de propagación, frecuencia, longitud de onda y número de onda.

b) La aceleración y velocidad máximas de un punto cualquiera de la cuerda.

Solución. Operando con la ecuación de la onda para poder comparar:

( ) ( ) s) (m, x π5,2t π100 sen 01,0t,xy −=

( ) ( ) s) (m, φx Kt ω sen At,xy o+−=

Por comparación: m 01,0A = ; 1rad·s π100ω −= ; 1

m π5,2K−= ; rad 0φo =

a. Velocidad de propagación: 1s m 40π5,2

π100

K

ω

T

λv −====

Frecuencia: f π2ω = ; Hz 50π2

π100

π2

ωf ===

Longitud de onda: λ

π2K = ; m 8,0

π5,2

π2

K

π2λ ===

Número de onda: 1

m π5,2K−=

b. Partiendo de la ecuación de la onda y derivando, se obtienen las expresiones de la velocidad y

aceleración:

( ) ( ) s) (m, x π5,2t π100 sen 01,0t,xy −=

( ) ( )( ) ( ) ( )x π5,2t π100cosππ100x π5,2t π100cos01,0txdt

dtv −=⋅−== (m s

‒1)

( ) ( )( ) ( ) ( )x π5,2t π200 sen π100π100x π5,2t π200 sen πtvdt

dta

2 −−=⋅−−== (m/s‒2

)

El valor absoluto de la aceleración máxima se obtiene cuando la parte trigonométrica de la

expresión de la a(t) vale 1 22

max sm 96,9861 π100a −⋅=⋅=

El valor absoluto de la velocidad máxima se obtiene cunado la parte trigonométrica de la

expresión de v(t) vale 1. 1

max sm 14,31πv −⋅=⋅=

Modelo 2018. Pregunta 2A.- Disponemos de n altavoces iguales que emiten como fuentes

puntuales. Sabiendo que en un punto P, situado a una distancia r, el nivel de intensidad sonora total es 70

dB:

a) Calcule el valor de n, si cada uno genera un nivel de intensidad sonora de 60 dB en dicho punto

P.

b) Determine la potencia de cada altavoz en función de la potencia total.

Solución. a. Para calcular el numero de altavoces iguales que producen una intensidad sonora de 70 dB en un

punto donde uno solo de ellos produce una intensidad de 60 dB, se puede tener en cuenta que ambas

intensidades están calculadas a igual distancia, y por lo tanto la superficie permanece constante.

S

PI =

Para un altavoz: 1

1I

PS

S

PI ==

2

Para n altavoces de igual potencia: n

nI

PnS

S

PnI

⋅=

⋅=

Igualando: 1

n

1n I

In

I

P

I

Pn==

⋅

La relación entre las intensidades se puede obtener a partir de la intensidad sonora:

( )10

ββ

10β

o

10β

o

1

n

10β

o1

10β

on10β

oo

1n

1

n

1

n

10

10I

10I

I

I

10II

10II:10II

I

Ilog10β

−

=

⋅

⋅=⇒

⋅=

⋅=⋅=⋅=

altavoces 101010I

In

1106070

1

n ====−

b. Según se ha calculado en el primer apartado:

110 I10I ⋅=

10

PP

S

P10

S

P T1

1T =⇒=

Septiembre 2017. Pregunta 2B.- Una fuente puntual de 3 µW emite una onda sonora.

a) ¿Qué magnitud física “oscila” en una onda de sonido? ¿Es una onda longitudinal o transversal?

b) Calcule la intensidad sonora y el nivel de intensidad sonora a 5 m de la fuente. Determine a qué

distancia del foco emisor se debe situar un observador para dejar de percibir dicho sonido. Dato: Intensidad umbral de audición, Io =10‒12 W m‒2.

Solución. a. El sonido es una onda que consiste en una sucesión de compresiones y enrarecimientos del

medio que las propaga, por lo tanto, la magnitud que oscila es la presión. Es una onda mecánica y

longitudinal, ya que la magnitud que oscila, la presión, varía en la dirección de propagación.

b. La intensidad sonora es el cociente entre la potencia y la superficie de la onda, supuesto que el

sonido son ondas esféricas:

29

2

6

2 mw1055,9

54

103

r4

P

S

PI −

−

⋅=⋅π

⋅=

π==

El nivel de intensidad sonora es una magnitud que se utiliza para comparar las intensidades de

diferente sonidos, es una escala logarítmica que viene expresada por oI

Ilog10=β siendo Io la intensidad

umbral de audición humana.

8,3910

1055,9log10β

12

9

=

⋅=

−

−

Para que un observador deje de percibir el sonido se deberá situar en un punto donde la

intensidad del sonido sea igual o menor que la intensidad umbral.

2o

or π4

PI = m 489

10π4

101

I π4

Pr

12

6

oo =

⋅

⋅==

−

−

Septiembre 2017. Pregunta 2A.- La perturbación asociada a una onda viene descrita por la

expresión, ψ(x, t) = 10‒8

sen (2765 t +1,85 x), donde ψ y x se expresan en metros y t en segundos.

a) Indique su dirección y sentido de propagación, y calcule su longitud de onda y su frecuencia.

b) Obtenga la velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de oscilación.

Solución. a. La ecuación de una onda armónica unidimensional que se desplaza en el sentido positivo del eje

x es: ψ(x, t) = A sen (ωt ‒ Kx + ϕo)

3

Por comparación con la ecuación del enunciado, la onda se desplaza en el eje x en el sentido

negativo.

La longitud de onda se obtiene del valor de K(número de onda) y la frecuencia de ω(frecuencia

angular).

λ

π2K = m 4,3

85,1

π2

K

π2λ ===

f π2ω = Hz 440π2

2765

π2

ωf ===

b. Velocidad de propagación: 1

p s m 14964404,3f λv−=⋅==

La velocidad de vibración se obtiene derivando la ecuación de la onda.

( )( ) ( )oo KxtcosAKxt sen Adt

d

dt

dv ϕ+−ωω=ϕ+−ω=

Ψ=

En este tipo de ecuaciones, la velocidad alcanza su valor máximo cuando la función

trigonométrica toma el valor 1. 158

max s m10765,2276510ωAv −−− ⋅=⋅==

Junio 2017. Pregunta 2B.- Una onda armónica transversal se propaga en el sentido negativo del

eje X con una velocidad de 10 m s‒1

y con una frecuencia angular de π/3 rad s‒1

. Si en el instante inicial la

elongación en el origen de coordenadas es 6/π cm y la velocidad de oscilación es 1 cm s‒1

, determine:

a) La expresión matemática que representa la onda.

b) La velocidad de oscilación en el instante inicial en el punto situado en x = λ/4.

Solución. a. La ecuación de una onda armónica transversal puede representarse mediante una ecuación

sinusoide o cosinusoide, diferenciándose únicamente en el desfase inicial, la primera va retrasada π/2

radianes respecto de la segunda.

Considerando la ecuación sinusoide y teniendo en cuenta que la onda se desplaza en el sentido

negativo de X:

( ) ( )oφx Kt ω sen At,xy ++=

El número de onda se puede obtener con la velocidad de propagación y la velocidad angular o

frecuencia angular.

1

ppp m

30

π

10

3π

v

ωK

K

ωv:

λ

π2K

T

π2ω

:T

λv −===⇒=

=

==

La amplitud y la fase inicial se calculan con un sistema de ecuaciones que nos permite plantear

los datos de elongación y velocidad inicial en el origen de coordenadas.

( ) ( )( ) ( )

=

===

++=

++=

oo

oo

o

o

φcosωAv

φ sen Ay:0 t,0x:

φx Kt ωcosωAt,xv

φx Kt ω sen At,xy

Dividiendo se simplifica la amplitud y se calcula la fase inicial.

oo

o

o

o φ tgω

1

φ cos ωA

φ sen A

v

y⋅== 2

1

3

π

π

6

v

ωyφ tg

o

oo =

⋅=

⋅=

=+=

===

rad 4,251'11π

rad 1'112 arctgφo

De los posibles desfases iniciales, solo 1’11 rad cumple las condiciones iniciales (yo > 0; vo > 0).

<

<

>

>

025'4cos

025'4 sen ;

011'1cos

011'1 sen

4

Conocida la fase inicial, se calcula la amplitud sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones del

sistema.

m 1014,2cm 14,211'1 sen

π6

φ sen

yAφ sen Ay

2

o

ooo

−⋅====⇒=

La ecuación de la onda es: ( ) ( )s m, 11'1x30

πt

3

π sen1014,2t,xy

2

++⋅= −

b. ( ) ( ) ( )[ ] ( )oo φx Kt ω cos ωAφx Kt ω sen Adt

d

dt

t,xy dt,xv ++=++==

+=

+⋅=

++⋅⋅=

=

−11'1

2

π cos 022,011'1

4

λ

λ

π2 cos 022,011'1

4

λ K·0ω cos

3

π1014'20 ,

4

λv

λ

π2K

2

sm 02,00 ,

4

λv −=

Junio 2017. Pregunta 2A.- Un gallo canta generando una onda sonora esférica de 1 mW de

potencia.

a) ¿Cuál es el nivel de intensidad sonora del canto del gallo a una distancia de 10 m?

b) Un segundo gallo canta simultáneamente con una potencia de 2 mW a una distancia de 30 m del

primer gallo. ¿Cuál será la intensidad del sonido resultante en el punto medio del segmento que

une ambos gallos? Dato: Intensidad umbral de audición, Io = 10‒12 W m‒2.

Solución. a. El nivel de intensidad sonora viene determinado por la expresión:

oI

Ilog10β =

La intensidad de una onda se calcula como el cociente entre la potencia del foco que la produce y

la superficie de la misma, suponiendo ondas esféricas:

27

2

3

2m W1096,7

10π4

101

r π4

W

S

WI −−

−

×=⋅

×===

dB 5910

1096,7log10

I

Ilog10β

12

7

o

=×

==−

−

b. Suponiendo ondas coherentes (ondas con igual longitud de onda, frecuencia y amplitud y fases o

bien iguales o con diferencia constante) e interferencias ni destructiva ni constructivas, la intensidad de la

ondas resultante en un punto cualquiera será la suma de las intensidades de cada onda en ese punto.

2

2

1

1

2

2

1

121

r π4

W

r π4

W

S

W

S

WIII +=+=+=

Teniendo en cuenta que se pide calcular la intensidad en el punto medio:

m 152

30rr 21 ===

26

2

3

2

3

mW 1006,151π4

102

51π4

101I −−

−−

×=⋅

⋅+

⋅

⋅=

Nota: No confundir intensidad con intensidad sonora. En este apartado se pide calcular intensidad

5

Septiembre 2016. Pregunta 2B.-

Una onda armónica transversal se desplaza en el sentido positivo del eje X con una velocidad de 5 m s‒1

y

con una frecuencia angular de π/3 rad s‒1

. Si en el instante inicial la elongación en el origen de

coordenadas es 3/π cm y la velocidad de oscilación es ‒1 cm s‒1

, determine:

a) La función de onda.

b) La velocidad de oscilación en el instante inicial a una distancia del origen igual a media longitud

de onda.

Solución. a. La ecuación matemática de una onda armónica transversal que se desplaza en el sentido positivo

del eje X expresada en función de seno es:

( ) ( )oφx Kt ωsen At,xy +−=

3

πω =

1m

15

π

5

3π

v

ωK

−===

La amplitud y la fase inicial se calculan mediante un sistema que se plantea con la posición y

velocidad inicial.

( ) ( ) o0t ; 0x

o φ sen Aπ

3φx Kt ω sen At ,xy = →+−=

==

( ) ( ) ( ) o0t ; 0x

o φ cos3

πA1φx Kt ω cosωA

dt

t ,xdyt ,xv =− →+−==

==

Dividiendo la expresión de la posición inicial entre la velocidad se obtiene la fase inicial

( )( ) 1

π3

φ cos3

πA

φ sen A

0 ,0v

0 ,0y

o

o

−==

−=

=−=

rad4

πφ

rad4

π3φ

:1φ tg

o

o

o

De los dos posibles desfases iniciales, el único que cumple las condiciones iniciales es 4

π3rad

( )

( )

( )

( )

<

−=

<

−=

−=

<=

>==

04

π cosωA0 ,0v

04

π sen A0 ,0y

:rad4

πφ

04

π3cosωA0 ,0v

04

π3sen A0 ,0y

:rad4

π3φ

o

o

Conocida la fase inicial se calcula la amplitud.

4

π3 sen A

π

03,0= m 0135,0A =

( ) ( )s,m 4

π3x

15

πt

3

πsen 1035,1t,xy

2

+−⋅= −

b. Dos puntos que distan media longitud de onda están en oposición de fase, por lo tanto sus

velocidades son iguales pero con signos cambiados: 1scm 1v −⋅=

También se puede calcular mediante la ecuación de la velocidad particularizando para m 2

λx =

y t = 0 s.

( ) 4

π3x

15

πt

3

πsco

3

π1035,1t,xv

2

+−⋅⋅= −

m 3015π

π2

K

π2λ === ⇒ m 15

2

λ=

( ) 112s cm 1s m 10,0

4

π315

15

π0

3

πsco

3

π1035,10 ,15v

−−− =≈

+⋅−⋅⋅×=

6

Junio 2016. Pregunta 2B.- Una onda transversal se propaga a lo largo de una cuerda tensa. En un

cierto instante se observa que la distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m. Además, se

comprueba que un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,125 s y que la

velocidad máxima de un punto de la cuerda es de 0,24π m s‒1

. Si la onda se desplaza en el sentido

positivo del eje X, y en t = 0 la velocidad del punto x = 0 es máxima y positiva, determine:

a) La función de onda.

b) La velocidad de propagación de la onda y la aceleración transversal máxima de cualquier punto

de la cuerda.

Solución.

a. “La distancia entre dos máximos consecutivos es de 1 m” λ = 1 m

“Un punto de la cuerda pasa de una elongación máxima a nula en 0,125 s” s 125,04

T=

1max s m π24,0v −= . ( ) 00,0v > . La onda se desplaza en OX

+

Conocido el periodo, se calcula la velocidad angular.

s 5,0Ts 125,04

T=⇒= 1s rad π4

5,0

π2

T

π2ω −===

La longitud de onda permite calcular el número de onda

1m π2

1

π2

λ

π2K

−===

La amplitud de la onda se obtiene a partir de la velocidad máxima de vibración.

( ) ( )oφKxt ω sen At,xy +−=

( ) ( )oφKxt ω sco ωAdx

y dt,xv +−==

⇒= maxvv ( ) ωAv1φKxt ω sco maxo =⇒±=+−

π4Aπ24,0 ⋅= m 06,04

24,0A ==

Para calcular el desfase inicial se tiene en cuenta: ( )( )

>

=

00 ,0v

00 ,0y

( ) ( )

=

==⇒==+⋅−⋅=

rad πφ

rad 0φ:0φ sen0φ sen Aφ0K0ω sen A0,0y

o

oooo

( ) ( )( )( )

rad 0φ:0π sco ωA0,0v

00 sco ωA0,0v:φ sco ωAφ0K0ω sco ωA0,0v ooo =

<=

>==+⋅−⋅=

La ecuación de la onda es: ( ) ( )( )s m, x π2t π4 sen 06,0t,xy −=

b. 1p s m 2

5,0

1

T

λv −===

( ) ( )o2

φKxt ω sen ωAdt

dvt,xa +−−==

( ) 1φKxt ω senaa omax ±=+−⇔= ⇒ ( ) 222max s m 47,9π406,0ωAa −=⋅==

Modelo 2016. Pregunta 2A.- Una onda armónica transversal de 2 mm de amplitud y 250 Hz de

frecuencia, se propaga con una velocidad de 250 m s‒1

en el sentido positivo del eje X.

a) Determine el período, la longitud de onda, número de onda y la frecuencia angular de la onda.

b) Si en el instante inicial la elongación de un punto de abscisa x= 3 m es y= ‒2 mm, determine, en

el mismo instante, el valor de la elongación de un punto de abscisa x = 2,75 m.

Solución.

a. El periodo de la onda se calcula mediante la frecuencia: s104250

1

f

1T

3−×===

La longitud de onda se puede obtener de la velocidad de propagación, conocido el periodo:

T

λv = m 1

250

1250Tvλ =⋅=⋅=

7

El número de onda se calcula a partir de la longitud de onda:

1m π2

1

π2

λ

π2k

−==

La frecuencia angular se calcula mediante la frecuencia o el periodo

1s rad π500250π2

T

π2fπ2ω

−=⋅==⋅=

b. La ecuación de la onda es: ( ) ( )oφx kt ω sen At,xy +−=

( ) ( )o3 φx π2t 500 sen 102t,xy +−×= −

El desfase inicial se puede calcular a partir de la elongación que tiene un punto de la onda en el

instante inicial ( )( )mm 1020,3y 3−×−=

( ) ( )o33 φ3π20500 sen 102mm 1020,3y +⋅−⋅×=×−= −−

( ) 1φπ6 sen o −=+− ( ) 1φ sen o −= 2

πφo −=

( )

−−×= −

2

πx π2t 500 sen 102t,xy

3

Conocida la ecuación de la onda, se calcula la elongación de cualquier punto y en cualquier

instante

( ) ( ) 0π6 sen 1022

π75,2π20500 sen 1020,75'2y

33 =−×=

−⋅−⋅×= −−

Septiembre 2015. Pregunta 2A.- En un punto situado a igual distancia entre dos fábricas, que

emiten como focos puntuales, se percibe un nivel de intensidad sonora de 40 dB proveniente de la

primera y de 60 dB de la segunda. Determine:

a) El valor del cociente entre las potencias de emisión de ambas fábricas.

b) La distancia a la que habría que situarse respecto de la primera fábrica para que su nivel de

intensidad sonora fuese de 60 dB. Suponga en este caso que solo existe esta primera fábrica y

que el nivel de intensidad sonora de 40 dB se percibe a una distancia de 100 m.

Dato: Intensidad umbral de audición, I0 = 10‒12

W m‒2

.

Solución.

a. Intensidad sonora de la primera fábrica: dB 40βA =

Intensidad sonora de la segunda fábrica: dB 60βB =

La potencia de un sonido se puede despejar de la definición de intensidad.

S

PI = ⇒

⋅=

⋅=⋅⋅=⋅=

2BBB

2AAA2

esféricasOndas

rIπ4P

rIπ4P:rπ4ISIP

B

A2

B

2A

B

A

I

I

rIπ4

rIπ4

P

P=

⋅

⋅=

El cociente entre las potencias de emisión de ambas fábricas, teniendo en cuenta que ambas están

a igual distancia (r), es:

B

A2

B

2A

B

A

I

I

rIπ4

rIπ4

P

P=

⋅

⋅=

La intensidad se obtiene de la intensidad sonora (β).

10β

o

10II

Ilog10β =⇒=

Aplicando al cociente entre las potencias, simplificando y sustituyendo:

100

1

10

11010

10I

10I

P

P

210

6040

10

ββ

10β

o

10β

o

B

ABA

B

A

====

⋅

⋅=

−−

8

b. En este apartado, teniendo en cuenta que no varía el foco emisor, lo que se mantiene constante es

la potencia.

S

PI = ⇒ SIP ⋅=

Aplicando a las dos distancias:

222

211

esféricasOndas

2211 rπ4Irπ4ISISIP ⋅=⋅ →⋅=⋅=

222

211 rIrI ⋅=⋅

2

112

I

Irr =

Teniendo en cuenta la relación del apartado a

m 10101001010010rr 210

6040

10

ββ

12

21

=⋅=⋅=⋅= −−−

Junio 2015. Pregunta 2B.- Una onda armónica transversal se propaga en el sentido de las x

positivas. A partir de la información contenida en las figuras y justificando su respuesta:

a) Determine el periodo, la frecuencia, el número de onda y la longitud de onda.

b) Escriba la expresión de la función de onda.

Solución.

a. De las graficas se leen los valores de la longitud de onda ( )λ , distancia entre dos puntos en

igualdad de fase, periodo (T), tiempo que invierte en un ciclo completo y amplitud (A), distancia que hay

entre la posición de equilibrio y el punto de elongación máxima.

s 2T = ; cm 10λ = ; cm 5A =

Hz 5,02

1

T

1f ===

1m π201,0

π2

λ

π2k −===

b. ( ) ( )oφx kt ωsen At,xy +−= sradπ2

π2

T

π2ω ===

La fase inicial se calcula sabiendo que 0)0 ,0(y = y que 0)0 ,0(v < , como pone de manifiesto el

hecho de que la pendiente de la recta tangente a la grafica y-t a la derecha del origen de coordenadas es

negativa.

( )

=

===

rad πφ

rad 0φ:0φ sen A0,0y

o

oo

Para es coger el desfase se estudia el signo de la velocidad

( ) rad πφ0ωAπ cos ωA

0ωA0 cos ωAφ cos ωA0,0v oo =⇒

<−=

>===

( ) ( )πx π20t πsen 05,0t,xy +−=

9

Modelo 2015. Pregunta 2B.- Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con

el eje X, tiene por expresión matemática: y (x, t)= 2 sen (7t ‒ 4x), donde x e y están expresadas en metros

y t en segundos. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto

de la cuerda.

b) El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.

Solución. a. La velocidad de propagación de una onda se puede obtener por

k

ωv =

La velocidad angular (ω) y el número de onda (k), se obtienen comparando la ecuación que nos

dan co la ecuación genérica de onda

( ) ( )( ) ( ) s

m75,1s

m4

7v

mrad4k

srad7ω

:x4t7 sen 2tx,y

φx kt ω sen At,xy o ==⇒

=

=

−=

+−=

La velocidad máxima se obtiene derivando la expresión de la onda respecto del tiempo:

( ) ( ) ( )x4t7cos14x4t7cos72t,xv −=−⋅=

( ) 1x4t7cosvmax =−⇔

sm14vmax =

b. El tiempo que tarda la onda en recorrer una longitud de onda es el período.

s 898,07

π2

ω

π2T ===

Septiembre 2014. Pregunta 2A.- Una onda armónica transversal viaja por una cuerda con una

velocidad de propagación v = 12 cm s‒1

, una amplitud A = 1 cm y una longitud de onda λ = 6 cm. La

onda viaja en el sentido negativo de las X y en t = 0 s el punto de la cuerda de abscisa x = 0 m tiene una

elongación y = ‒1 cm. Determine:

a) La frecuencia y el número de onda.

b) La elongación y la velocidad de oscilación del punto de la cuerda en x = 0,24 m y t = 0,15 s.

Solución. a. La frecuencia de la onda se puede calcular a partir de la velocidad de propagación y de la

longitud de onda.

fλvp ⋅= ; ( )1

2-

12p

sHz 2m 106

s m 1012

λ

vf −

−−

=×

×==

El número de onda se puede calcular de su definición: “número de longitudes de onda que hay

en un ciclo”.

1

2m

3

π100

m106

π2

λ

π2k −

−=

×==

b. Para conocer la elongación y la velocidad de vibración de un punto de la onda en un instante

determinado, es necesario conocer su ecuación.

La ecuación matemática de una onda que se desplaza en el sentido negativo del eje X tiene por

expresión:

( ) ( )oφx kt ω sen At,xy ++=

( )s

radπ4s 2radπ2fπ2ω 1 =⋅=⋅= −

El único parámetro que falta por conocer es el desfase inicial ( )oφ , para lo cual se da el dato de

la elongación inicial en x = 0 ( )( )A0,0y −= .

( ) ( )oφ0k0ω sen AA0,0y +⋅+⋅=−= : 1φ sen o −= ; rad2

πφo −=

10

La ecuación de la onda es: ( ) ( )S.I. 2

πx

3

π100t π4 sen 01,0t,xy

−+=

( ) m 0,003 2

π0,24

3

π10015,0π4 sen 01,015,0 ;24,0y =

−⋅+⋅=

( ) ( )

−+=⋅

−+==

2

πx

3

π100t π4 cosπ04,0π4

2

π x

3

π100t π4 cos01,0

dt

t,xy dt,xv

( )s

m12,02

π0,24

3

π10015,0π4 cosπ04,015,0 ;24,0v =

−⋅+⋅=

Junio 2014. Pregunta 2B.- Una onda armónica transversal se propaga por un medio elástico a lo

largo del eje X (sentido positivo) produciendo un desplazamiento en las partículas del medio a lo largo

del eje Y. La velocidad de propagación de la onda es de 30 m s‒1

siendo su longitud de onda igual a 3 m.

En el instante t = 0 s el desplazamiento inducido por la onda en el origen de coordenadas es nulo, siendo

la velocidad de vibración positiva. Si el desplazamiento máximo inducido por la onda es igual a 0,2 cm:

a) Escriba la expresión matemática que describe la onda.

b) Determine la máxima velocidad y aceleración de una partícula del medio.

Solución. a. La ecuación matemática de una onda que se desplaza a lo largo del eje x en el sentido positivo

viene dada por la expresión:

( ) ( )oφx kt ω sen At,xy +−=

y la velocidad de vibración vendrá expresada por la derivada de la ecuación:

( ) ( )oφx kt ω cos ωAt,xv +−=

Datos: ( ) 1s m 30npropagacióv −= ; m 3λ = ; ( ) 00,0y = ; ( ) 00,0v > ; m 0,002cm 2,0yA máx ===

Con la velocidad de propagación y con la longitud de onda se calcula el periodo, el cuál, permite

calcular la velocidad angular.

T

λv = ; s 1,0

30

3

v

λT === → 1s rad π20

1,0

π2

T

π2ω −===

La longitud de onda, permite calcular el número de onda (k).

1m

3

π2

λ

π2k

−==

El desfase inicial se calcula conocida la posición inicial y el signo de la velocidad inicial.

( )( )( )

rad 0φ :0πcosωA0,0vrad πφ

00cosωA0,0vrad 0φ:0φ sen A0,0y o

o

oo =

<=→=

>=→===

La ecuación matemática de la onda es:

( )

−×= −

x 3

π2t π02 sen 102t,xy

3

b. Si ( ) ( )oφx kt ω cos ωAt,xv +−= , ( ) 1φx kt ω cosv omáx =+−⇔ ⇒ ωAvmax =

13max s m 126,0π20102v −− =⋅×=

La aceleración se obtiene derivando la ecuación de la velocidad.

( ) ( )o2 φkxtω sen ωAt,xa +−−= ( ) 1φkxtω sena omax =+−⇔ ⇒ 2

max ωAa =

( ) 223max s m 9,7π20102a −=×=

11

Modelo 2014. Pregunta 2B.- Una onda transversal se propaga por un medio elástico con una

velocidad v, una amplitud Ao y oscila con una frecuencia fo. Conteste razonadamente a las siguientes

cuestiones:

a) Determine en qué proporción cambiarían la longitud de onda, la velocidad de propagación, el

periodo y la amplitud, si se actúa sobre el foco emisor de ondas reduciendo a la mitad la

frecuencia de oscilación.

b) Sin alterar su frecuencia fo, se modifica la amplitud de la onda haciendo que aumente al doble.

¿En qué proporción cambiarían la velocidad de la onda, la velocidad máxima de las partículas

del medio y la longitud de onda?

Solución. a. - La velocidad de propagación de la onda solo depende de las propiedades del medio material

por el que se propaga la onda, por lo que al variar la frecuencia no variará la velocidad de propagación.

- Teniendo en cuenta la relación existente entre la velocidad de propagación (que no varía), la

longitud de onda y la frecuencia, si se reduce la frecuencia a la mitad, la longitud de onda se duplicará.

λ2λ2

2f

f

f

f

fv

fv

λ

λ:Comparando:

2

ff Si:

f

vλ

f

vλ

=′⇒==′

=′=′

=′

′=′

=

- Si se reduce la frecuencia a la mitad, el periodo aumenta al doble.

T2T2

2f

f

f

f

f1f

1

T

T:Comparando:

2

ff Si:

f1T

f1T

=′⇒==′

=′=′

=′

′=′

=

- La amplitud no depende de la frecuencia

b. - La velocidad de la onda no depende de la amplitud, depende de las propiedades del medio en el

que se propaga.

- La velocidad máxima de vibración aumentara al doble.

máxmáxmáx

máx

máx

máxv2v2

A

A2

A

A

ωA

ωA

v

v:Comparando:

ωAv

ωAv=′⇒==

′=

⋅

⋅′=

′

⋅′=′

⋅=

- La longitud de onda no depende de la amplitud, como se vio en el apartado a.

Modelo 2014. Pregunta 2A.- Un espectador que se encuentra a 20 m de un coro formado por 15

personas percibe el sonido con un nivel de intensidad sonora de 54 dB.

a) Calcule el nivel de intensidad sonora con que percibiría a un solo miembro del coro cantando a

la misma distancia.

b) Si el espectador sólo percibe sonidos por encima de 10 dB, calcule la distancia a la que debe

situarse del coro para no percibir a éste.

Suponga que el coro emite ondas esféricas, como un foco puntual y todos los miembros del coro emiten

con la misma intensidad.

Dato: Umbral de audición, Io = 10‒12

W m‒2

Solución. a. Teniendo en cuenta que cada miembro del coro es un foco puntual y que todos los miembros del

coro tienen igual potencia. La intensidad (I1) que recibiría un espectador a una determinada distancia

procedente del coro será:

S

P15I1 =

Siendo P la potencia de cada miembro del coro. La intensidad (I2) que recibiría un espectador a esa misma

distancia de un único miembro del coro será:

S

PI2 =

Comparando ambas expresiones:

12

15

1

SP15S

P

I

I

1

2 ==

La intensidad sonora (β) que recibiría el espectador en cada una de las situaciones anteriores

seria:

o

11

I

Ilog10β =

o

22

I

Ilog10β =

Si se despejan la intensidades y se compara:

( )12

1

2

2

1ββ

10

1

10β

o

10β

o

1

2

10β

o2

10β

o1 10

10I

10I

I

I:

10II

10II −=

⋅

⋅=

⋅=

⋅=

Sustituyendo la relación obtenida entre las intensidades:

( )12 ββ10

1

1

2 1015

1

I

I −==

Tomando logaritmos decimales, se despeja la intensidad sonora (β2) que se percibiría cuando

cantase un solo miembro del coro.

( )12 ββ10

1

10log15

1log

−= ( )

15

1logββ

10

112 =−

15

1log10ββ 12 +=

dB 24,4215

1log1054β2 =+=

b. En este apartado, se mantiene constante la potencia de emisión y se varia la distancia al coro, y

por lo tanto la superficie. Si se aplica la definición de intensidad cuando el espectador se encuentra a 20 m

(d1) y a la posición donde la intensidad sonora que percibe es de 10 dB o menor (d2) y se comparan:

22

21

21

22

1

2

22

22

21

11

d

d

dπ

P

dπ

P

I

I:

dπ

P

S

PI

dπ

P

S

PI

=

⋅

⋅=

⋅==

⋅==

Por otro lado la relación entre la intensidades y las intensidades sonoras es la misma que la

obtenida en el apartado anterior:

( )12 ββ10

1

1

2 10I

I −=

Sustituyendo las intensidades por la relación entre las distancias, se despeja la distancia a la que

se empezaría a no oír al coro.

( )12 ββ10

1

22

21

1

2 10d

d

I

I −==

( )12 ββ10

112

10

1dd

−

⋅=

( )541010

12

10

120d

−

⋅=

m 79,3169d2 ≥

13

Septiembre 2013. Pregunta 2A.- Un altavoz emite sonido como un foco puntual. A una distancia d,

el sonido se percibe con un nivel de intensidad sonora de 30 dB. Determine:

a) El factor en el que debe incrementarse la distancia al altavoz para que el sonido se perciba con

un nivel de intensidad sonora de 20 dB.

b) El factor en el que debe incrementarse la potencia del altavoz para que a la distancia d el sonido

se perciba con un nivel de intensidad sonora de 70 dB.

Dato: Umbral de audición, Io = 10‒12

W m‒2

Solución. a. La intensidad de un sonido, depende de la potencia de la fuente emisora y de la distancia a ella.

2r π4

PI =

Para una misma fuente a dos distancias diferentes:

21

22

2

1

22

2

21

1

r

r

I

I Comparando:

r π4

PI

r π4

PI

=

=

=

La intensidad de un sonido, también se puede relacionar con el nivel de intensidad sonora con

que se percibe (β).

oI

Ilog10β = 10β

o 10II ⋅=

Aplicando a dos intensidades diferentes, producidas por la misma fuente:

10

ββ

10β

10β

2

110β

o2

10βo1

21

2

1

2

1

1010

10

I

I Comparando:

10II

10II−

==

⋅=

⋅=

Las relaciones obtenidas permiten obtener otra relación entre las intensidades y el nivel de

intensidad sonora.

10

ββ

1210

ββ

21

22

10

ββ

2

1

21

22

2

1

2121

21

10rr10r

r:

10I

I

r

r

I

I

−−

−

⋅=⇒=

=

=

Sustituyendo por los datos:

d10r10dr 210

2030

2 ⋅=⇒⋅=

−

b. En este apartado nos piden la potencia de la fuente para que a la misma distancia, aumente el

nivel de intensidad sonora. Trabajando de forma análoga al apartado a):

2

1

2

1

21

11

21

11

2 P

P

I

I Comparando:

d π4

PI

d π4

PI

:r π4

PI =

=

=

=

Teniendo en cuenta la relación obtenida en el apartado anterior entre la intensidad y el nivel de

intensidad sonora:

14

10

ββ

1210

ββ

2

1

10

ββ

2

1

2

1

2

1

1221

21

10PP10P

P:

10I

I

P

P

I

I

−−

−⋅=⇒=

=

=

14

110

3070

12 P1000010P10PP =⋅=⋅=

−

Junio 2013. Pregunta 1A.- Una onda transversal, que se propaga en el sentido positivo del eje X,

tiene una velocidad de propagación de 600 m s‒1

y una frecuencia de 500 Hz. Determine:

a) La mínima separación entre dos puntos del eje X que tengan un desfase de 60º, en el mismo

instante

b) El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un intervalo de

tiempo de dos milésimas de segundo.

Solución. Parámetros de la onda:

1s m 600v −= Hz 500f = 11 s rad π1000s rad 500π2f π2ω −− =⋅== 1

m π3

5

600

π1000

v

ωk

−===

a. El desfase entre dos puntos en un mismo instante viene dado por:

( ) ( ) ( ) xkxxkφkxtωφkxtωφ 12o2o1 ∆⋅=−=+−−+−=∆

xkφ ∆⋅=∆ m 2,0

3π53π

k

φx ==

∆=∆

b. El desfase entre dos elongaciones, en la misma coordenada x, separadas por un intervalo de

tiempo viene expresado por: ( ) ( ) ( ) tωttωφkxtωφkxtωφ 12o2o2 ∆⋅=−=+−−+−=∆

rad π2s102s

radπ1000tωφ 3 =×⋅=∆⋅=∆ −

Modelo 2013. Pregunta 2B.- La función matemática que representa una onda transversal que avanza

por una cuerda es ( ) ( )oφx π4,0t π100sen 3,0t,xy +−= , donde todas las magnitudes están expresadas en

unidades del SI.

Calcule:

a) La separación entre dos puntos cuya diferencia de fase, en un determinado instante, es de π/5

radianes.

b) La diferencia de fase entre dos vibraciones de un mismo punto del espacio separadas por un

intervalo de tiempo de 5 ms.

Solución. a. Para un mismo instante de tiempo, la diferencia de fase entre dos puntos es:

( ) ( ) ( ) xπ4,0xxπ4,0φx π4,0t π100φx π4,0t π100φφφ 21o1oo2o12 ∆⋅=−⋅=+−−+−=−=∆

m 5,0π4,0

5π

π4,0

φx ==

∆=∆

b. Para un intervalo de tiempo, la diferencia de fase de un mismo punto viene dado por:

( ) ( ) ( ) tπ100ttπ100φx π4,0t π100φx π4,0t π100φφφ 12o01o0212 ∆⋅=−⋅=+−−+−=−=∆

rad2

π105π100tπ100φ

3 =⋅⋅=∆⋅=∆ −

15

Septiembre 2012. Pregunta 1B.- Una onda armónica transversal de frecuencia angular 4π rad s‒1

se

propaga a lo largo de una cuerda con una velocidad de 40 cm s‒1

, en la dirección positiva del eje X. En el

instante inicial t = 0, en el extremo de la cuerda x = 0, su elongación es de + 2,3 cm y su velocidad de

oscilación es de 27 cm s‒1

.

Determine:

a) La expresión matemática que representa la onda.

b) El primer instante en el que la elongación es máxima en x = 0.

Solución. a. La expresión matemática de una onda transversal que se propaga en la dirección positiva del eje

X es:

( ) ( )oφx kt ω sen At,xy +−=

El número de onda (k) se obtiene a partir de la velocidad propagación (v = 0,4 m s‒1) y de la

frecuencia angular (ω = 4π rad s‒1).

1m rad 42,314,0

π4

v

ωk −===

La amplitud y el desfase inicial se calculan planteando un sistema con la posición y velocidad de

oscilación en el instante inicial y en el origen de espacio (y(0,0) = 0,023 m; v(0,0) = 0,27 m s‒1).

( ) ( ) 023,0φ sen Aφ0k0ω sen A0,0y oo ==+⋅−⋅=

( ) ( ) ( ) ( ) 27,0φcosωAφ0k0ωcosωAt,xvφkxtωcosωAdt

dyt,xv ooo ==+⋅−⋅=⇒+−==

=

=

27,0φcosωA

023,0φ sen A

o

o Dividiendo: o

o

o φ tgω

1

φcosωA

φ Asen

27,0

023,0==

( ) rad 82,0π4085,0 arctgφo =⋅=

m 031,082,0 sen

023,0

φ sen

023,0 A

o

===

Conocidos todos los parámetros de la onda se sustituyen en la ecuación.

( ) ( )82,0x 42,31t π4 sen 031,0t,xy +−=

b. Se pide calcular el tiempo que ha de pasar para que se cumpla y(0, t) = A

( ) ( ) ( ) 031,082,0t π4 sen 031,082,0042,31t π4 sen 031,0t,0y =+=+⋅−=

( ) 182,0t π4 sen =+ ⇒ 2

π1 arcsen82,0t π4 ==+

s 06,0t =

Junio 2012. Pregunta 2A.- En una cuerda se genera una onda armónica transversal de 20 cm de

amplitud, velocidad de propagación 5 m s-1

y frecuencia 30 Hz. La onda se desplaza en el sentido

positivo del eje X, siendo en el instante inicial la elongación nula en la posición x = 0

a) Escriba la expresión matemática que describe dicha onda si en t = 0 y x = 0 la velocidad de

oscilación es positiva.

b) Calcule la velocidad y aceleración máximas de un punto 'de la cuerda.

Solución. a. Ecuación de una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X es:

( ) ( )oφ xk tωsen A t,xy +−=

Datos: m 0,2cm 20A == 1s m 5v −= Hz 30f =

La frecuencia permite calcular la velocidad angular

sradπ6030π2f π2ω =⋅==

El número de onda se puede calcular a partir fe la longitud de onda (λ), y esta conocidas la

velocidad y la frecuencia.

16

1m π12

5

30π2

v

f π2

fv

π2k:

f

vTvλ

λ

π2k

−=⋅

===

=⋅=

=

Sustituyendo en la ecuación:

( ) ( )oφ xπ12 tπ60sen 0,2t,xy +−=

Para calcular la fase inicial se tiene en cuenta que y(0, 0) = 0 y que v(0, 0) = 0.

( ) ( )

=

===+⋅−⋅=

rad πφ

rad 0φ:0φ senφ0π120π60sen 0,20,0y

o

ooo

Para discernir cual de las dos corresponde a los datos, se tiene en cuenta el valor de la velocidad

inicial.

( ) ( ) ( )oφ xk tωcos ωAdt

t,xdyt,xv +−== ( ) ( ) oo φcosωAφk0ωcos ωA0,0v =+⋅−⋅=

( )( ) ( ) 0ωA1ωAπcosωA0,0vπφSi

0ωA1ωA0cosωA0,0v0φSi

o

o

<−=−⋅===

>=⋅===

El desfase inicial es nulo y la ecuación de la onda es:

( ) ( ) xπ12 tπ60sen 0,2t,xy −=

b. ( ) ( ) ( )x π12 tπ60cos π12x π12 tπ60cos π602,0t,xv −=−⋅=

( ) 1x π12t π60cosvv max =−⇔= s

mπ12vmax =

La aceleración se obtiene derivando la velocidad respecto al tiempo.

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x π12t π60 senπ720x π12t π60 senπ602,0x kt ω senωAdt

t,xdvt,xa 222 −=−⋅−=−−===

( ) 1x π12t π60 senaa max =−⇔= 2

2max

smπ720a =

Junio 2012. Pregunta 2.B- La potencia sonora del ladrido de un perro es aproximadamente 1 mW y

dicha potencia se distribuye uniformemente en todas las direcciones. Calcule:

a) La intensidad y el nivel dé intensidad sonora a una distancia de 10 m del lugar donde se produce

el ladrido.

b) El nivel de intensidad sonora generada por el ladrido de 5 perros a 20 m de distancia de los

mismos.

Suponga que todos los perros emiten sus ladridos en el mismo punto del espacio. .

Dato: Intensidad umbral. Io = 10−12

W m−2

Solución.

a. 2

7

2

3

2m

w1096,7

10π4

w10

rπ4

P

S

PI −

−

×=⋅

===

Nivel de intensidad sonora (β): dB 5910

1096,7log10

I

Ilog10β

12

7

o

=×

==−

−

b. La potencia de los cinco ladridos es:

3105P ⋅= 2

7

2

3

2m

w1095,9

20π4

w105

rπ4

P

S

PI −

−

×=⋅

⋅===

dB 6010

1095,5log10

I

Ilog10β

12

7

o

=×

==−

−

17

Modelo 2012. Pregunta 2B.- Una onda sinusoidal con una amplitud de 1,5 m y una frecuencia de 100

Hz viaja a una velocidad de propagación v = 200 m/s en la dirección positiva del eje X y oscila en la

dirección del eje Y. En el instante t = 0 la elongación es máxima y positiva en el punto x = +3 m.

a) Calcule la longitud de onda, λ, y el número de onda, k, de la onda.

b) Determine la expresión matemática que representa la onda.

Solución.

m 5,1A = ; Hz 100f = ; s

m 200v =

a. m 2s 100

sm 200

f

vλ

1

1

===−

−

m

rad π2

π2

λ

π2k ===

b. La expresión matemática de una onda armónica que se desplaza en el sentido positivo de x es:

( )oφ xk tωsen Ay +−=

sradπ200100π2f π2ω =⋅==

( )oφ xπ tπ200sen 5,1y +−=

Para calcular la fase inicial se tiene en cuenta que para t = 0; y = A = 1,5 m en x = 3 m.

( )oφ3π0π200sen 5,15,1 +⋅−⋅= ; ( ) 1π3φsen o =− ; 2

ππ3φo =−

2

π7π3

2

πφo =+=

La expresión matemática de una onda armónica queda:

+−=

2

π7 xπ tπ200sen 5,1y

Septiembre 2011. Problema 1A.- Una onda armónica que se propaga en el sentido positivo del eje X

tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8 Hz. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La fase inicial sabiendo que para x = 0 y t = 0 la elongación es y = + 1 cm y la velocidad

positiva.

c) La expresión matemática de la onda, como una función de x y t.

d) La distancia mínima de separación entre dos puntos que tienen un desfase de π / 3 radianes.

Solución.

a. s

m32,0s 8m 04,0fλT

λv

1 =⋅=⋅== −

b. ( ) ( )oφkxtω senAt,xy +−⋅= ; ( ) ( ) oo φ senAφ0k0ω senA0,0y ⋅=+⋅−⋅⋅=

( ) ( )oφkxtωcosωAdt

dyt,xv +−⋅== ; ( ) ( ) oo φcosωAφ0k0ωcosωA0,0v ⋅=+⋅−⋅⋅=

Aplicando los datos del enunciado:

( ) oφ sen02,001.00,0y ⋅== :

=

==

rad6

π5φ

rad6

πφ

:2

1arcsenφ

o

o

o

Para discernir cual de los dos desfase es el que corresponde a la onda propuesta, se tiene en

cuenta que la velocidad inicial es positiva.

• Para rad6

πφo = ; ( ) 0

6

πcosωA0,0v >⋅=

• Para rad6

π5φo = ; ( ) 0

6

π5cosωA0,0v <⋅=

18

Teniendo en cuenta que la velocidad inicial es positiva, el desfase inicial es:

rad6

πφo =

c. ( ) ( )oφkxtω senAt,xy +−⋅=

sradπ16s 8rad π2fπ2

T

π2ω

1 =⋅=== −; 1m π50

04,0

π2

λ

π2k −===

( )

+−⋅=

6

πxπ50tπ16 sen022,0t,xy

d. ( ) xπ50xxπ506

πxπ50tπ16

6

πxπ50tπ16φφφ 211212 ∆⋅=−=

+−−

+−=−=∆

m1067,6150

1

π50

3π

π50

φx 3−×===

∆=∆

Junio 2011. Cuestión 2A.- Una onda transversal de amplitud A = 5 cm que se propaga por un medio

material tarda 2 s en recorrer una distancia de 50 cm, y sus puntos más próximos de igual fase distan entre

si 25 cm. Determine:

a) la expresión matemática de la función de onda si en el instante t = 0, la elongación es el origen,

x = 0, es nula.

b) La aceleración de un punto de la onda situado en x = 25 cm, en el instante t = 1 s.

Solución.

a. Tomando como positivo el sentido de desplazamiento de la onda:

( ) ( )oφk x tωsen At,xfy +−==

• Amplitud: A = 5×10 ‒2

m

• ϕo (desfase inicial): Para t = 0, x = 0 ⇒ y = 0

( ) ( ) 0φ0k0ωsen A0,0fy o =+⋅−⋅== ;

=

==

rad πφ

rad 0φ:0φsen

o

oo

• Número de ondas (k): número de longitudes de onda que hay en una distancia

2π. Entre dos puntos en igual fase, es decir, con igual elongación, velocidad y

aceleración, la distancia mínima entre ellos es la longitud de onda (λ).

mradπ8

1025

π2

λ

π2k

2=

×==

−

• Velocidad angular (ω): se puede obtener de su relación con el numero de

ondas.

kvω : v

ωk :

ω

π2v

π2k

Tv

π2k:

Tvλλ

π2k ω

π2T

⋅==

⋅

= →⋅

=

⋅=

= =

sradπ2

m

radπ8

s 2

m 1050ω

2

=⋅×

=−

Sustituyendo los datos en la expresión, se obtiene la ecuación de la onda.

( ) ( ) xπ8 tπ2sen 105t,xfy 2 −×== − o ( ) ( )π xπ8 tπ2sen 105t,xfy 2 +−×== −

b. Por definición, la aceleración es la derivada segunda de la posición respecto al tiempo.

( ) ( )oφk x tωsen At,xy +−=

( ) ( )oφk x tω cos ωAt,xy +−=′

( ) ( ) ( ) yωφk x tωsen Aωφk x tωsen ωAt,xy 2

y

o2

o2 =+−=+−=′′

444 3444 21

19

( ) ( ) ( )0'25 ,1yω0'25 ,1ym 0'25 s, 1a 2=′′=

( ) ( ) 00sen 1050'25π81π2sen 1050'25 ,1y 22 =×=⋅−⋅×= −−

( ) ( ) 00ω0'25 ,1yωm 0'25 s, 1a 22 =⋅=⋅=

Utilizando la otra expresión se obtiene idéntico resultado.

Junio 2011. Cuestión 2B.- Un altavoz emite con una potencia de 80 W. Suponiendo que el altavoz es

una fuente puntual y sabiendo que las ondas sonoras son esféricas, determine:

a) La intensidad de una onda sonora a 10 m del altavoz.

b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 60 dB?

Dato: Intensidad umbral Io = 10‒12

W m‒2

.

Solución. a. La intensidad de una onda sonora viene determinada por la potencia y la posición.

222 m

W064,0

10π4

80

Rπ4

P

S

PI =

⋅===

b. El nivel de intensidad sonora es:

oI

Ilog 10β = ;

12-10

Ilog 1060 = ;

2

6

m

W10I

−=

Conocida la intensidad y la potencia se calcula la posición (R).

2Rπ4

P

S

PI == ; m 2523

01 π4

80

I π4

PR

6-===

Modelo 2011. Problema 1B. Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la dirección

del eje Y según la expresión:

+=

4

πt

3

π sen 5y (y en cm, t en s).

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X.

Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados

una distancia mínima de 30 cm, determine:

a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica.

b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

c) La expresión matemática de la onda resultante.

d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X

de coordenada x = 90 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s.

Solución. a. La amplitud y frecuencia de la onda coincide con la amplitud y frecuencia del movimiento

oscilatorio.

m 105A 2−×= fπ2rad3

πω ==

1s

6

1f

−=

b. El incremento de fase en un instante dado es:

( ) ( ) ( ) xkxxkφkxtωφkxtωφφφ 21o2o112 ∆⋅=−=+−−+−=−=∆

Teniendo en cuenta λ

π2k =

xλ

π2φ ∆⋅=∆ ; m 6,03,0

π

π2x

φ

π2λ =⋅=∆⋅

∆=

Conocida la longitud de onda, se calcula la velocidad de propagación.

sm1,0s

6

1m 6,0fλ

T

λv

1 =⋅=== −

20

c. ( ) ( )oφkxtω senAt,xy +−⋅=

El número de onda (k) se calcula con la longitud de onda

1m π3

10

6,0

π2

λ

π2k −===

El desfase inicial coincide con el desfase inicial del movimiento ondulatorio

( )4

πsen 5

4

π0

3

π sen 50y =

+⋅= ; rad

4

πφo =

Sustituyendo los datos se obtiene la ecuación de la onda

( )

+−⋅=

4

πxπ

3

10t

3

π sen05,0t,xy

d. ( )

−⋅=

+⋅−⋅= π

4

11t

3

π sen05,0

4

π9'0π

3

10t

3

π sen05,0t,9'0y

( )

−=

−== π

4

11t

3

πcos

60

ππ

4

11t

3

πcos

3

π05,0

dt

dyt,90́v

Para t = 20 s

( )s

m05,0π12

47cos

60

ππ

4

1120

3

πcos

60

π20,90́v =

=

−⋅=

Septiembre 2010 F.M. Cuestión 2B.- Una onda armónica transversal de

longitud de onda λ =1 m se desplaza en el sentido positivo del eje X.

En la gráfica se muestra la elongación (y) del punto de coordenada x = 0 en

función del tiempo. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La expresión matemática que describe esta onda.

Solución. a. De la gráfica anexa se pueden obtener el periodo y la amplitud.

El periodo es el tiempo que tarda en completar un ciclo (línea roja). La

amplitud es la máxima elongación, o máxima separación del origen

A = 0,8 m; T = 3 s

La velocidad de propagación de una onda es: 3

1

tv =

λ=

b. La ecuación de una onda armónica transversal que se desplaza en

el sentido positivo de X es:

( ) ( )ϕ+−ω= k x tsen A t,xy

srad

3

π2

T

π2ω == ; 1m 2

31

32

vk −π=

π

=ω

= o también 1m 21

22k −π=

π=

λ

π=

El desfase inicial (ϕ) se calcula sabiendo que para x = 0 y t = 0, y = 0.

( ) 0sen 0203

2sen 8,000,0y =ϕ⇔

ϕ+⋅π−⋅

π== : ϕ = 0

Sustituyendo los datos en la expresión se obtiene la ecuación de la onda.

( )

−== x π2t

3

π2sen 8,00t,xy

21

Junio 2010 F.M. Problema 1A.- Una onda armónica transversal, de periodo T = 2 s, se propaga con

una velocidad de 60 cm/s en una cuerda tensa orientada según el eje X, y en sentido positivo.

Sabiendo que el punto de la cuerda de abscisa x = 30 cm oscila en la dirección del eje Y, de forma que en

el instante t = 1 s la elongación es nula y la velocidad con la que oscila positiva y en el instante t = 1,5

s su elongación es −5 cm y su velocidad de oscilación nula, determine:

a) La frecuencia y la longitud de onda.

b) La fase inicial y la amplitud de la onda armónica.

c) La expresión matemática de la onda armónica.

d) La diferencia de fase de oscilación de dos puntos de la cuerda separados un cuarto de longitud de

onda.

Solución.

a. La frecuencia (ν) es inversa al periodo y a la velocidad de la onda.

Hz5,02

1

T

1===ν

ν⋅λ=v ; m 2,1s 5,0

s m 1060v

1

12

=×

=ν

=λ−

−−

b. La ecuación de una onda transversal es:

( ) ( )ox kt sen At,xy ϕ+−ω=

srad

2

2

T

2π=

π=

π=ω

3

5

2,1

22k

π=

π=

λ

π=

( )

ϕ+

π−π= ox

3

5t sen At,xy

0 2

sen A ; 0 2

sen A ; 30, 3

51 sen A0:

0v

0y:s 1 tm; 3,0x ooo =

ϕ+

π=

ϕ+

π−π

ϕ+

π−π=

>

===

π+=ϕπ=ϕ+

π

π−=ϕ=ϕ+

π

⇒=

ϕ+

π

2 :

2

2 : 0

20 2

sen

oo

oo

o

( )

π−

π−π=

2x

3

5t sen At,xy ó ( )

π+

π−π=

2x

3

5t sen At,xy

Para diferenciar entre los desfases se tiene en cuenta el dato de que la velocidad es positiva.

( )( )

π±

π−πω==

2x

3

5tcos A

dt

t,xdyt,xv

( )

π±

πω=

π±⋅

π−⋅πω=

22cosA

23,0

3

51cosA1 ,3'0v

Si el desfase es positivo: ( ) 0cosA22

cosA1 ,3'0v <πω=

π+

πω=

Si el desfase es negativo: ( ) 00cosA22

cosA1 ,3'0v >ω=

π−

πω=

Conclusión el desfase es rad2

oπ

−=ϕ

Para calcular la amplitud se tiene en cuenta el segundo dato, que suponemos relativo al punto

que ocupa la posición 0,3 m ( )( )m 05,0s 5'1 ,m 3'0y −= , que nos informa que medio segundo después,

(T/4), el punto se encuentra con velocidad nula y por tanto con elongación máxima negativa, lo cuál

presenta una inconsistencia con el primer dato que nos informaba que para t = 1s, el punto estaba en la

22

posición de equilibrio y con velocidad positiva, por lo que un cuarto de periodo después, debería estar con

velocidad nula y elongación máxima positiva.

Considerando el dato como ( ) m 05,0s 5'1 ,m 3'0y = , la amplitud es A = 0,05 m

c. La ecuación de una onda transversal es:

( ) ( )ox kt sen At,xy ϕ+−ω=

Según los datos obtenidos en los apartados anteriores la ecuación de la onda es:

( )

−−=

2

πx

3

π5t π sen 05,0t,xy

d. La diferencia de fase entre dos puntos (1 y 2) de la cuerda:

( ) ( ) x kxx kx kt x kt 12o1o212 ∆=−=ϕ+−ω−ϕ+−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆

3,04

2,1

4x ==

λ=∆ ⇒

23,0

3

5x k

π=⋅

π=∆=ϕ∆ rad

Junio 2010 F.G. Cuestión 2A.- a) Escriba la expresión matemática de una onda armónica transversal unidimensional, y = y (x, t),

que se propaga en el sentido positivo del eje X.

b) Defina los conceptos de las siguientes magnitudes: amplitud, periodo, longitud de onda y fase

inicial.

Solución.

a. ( ) ( )ϕ+−ω= xk tsen A t,xy

b. Amplitud (A): Es la máxima elongación con que vibran las partículas del medio. También se

puede definir como la distancia máxima que hay entre un punto de la onda y su posición de equilibrio. En

el sistema internacional se expresa en metros.

Periodo (T): Es el tiempo que tarda el movimiento en repetirse. También puede definirse como

el tiempo transcurrido entre dos puntos equivalentes de la oscilación o ciclo. En el S. I. se expresa en

segundos.

Longitud de onda (λλλλ): La longitud de una onda es la distancia que recorre la onda

en el intervalo de tiempo transcurrido entre dos máximos consecutivos. En el S. I. Se

expresa en metros.

Fase inicial (ϕϕϕϕ): Indica el estado de vibración (ó fase) en el instante t = 0 de la

partícula que oscila. En el S. I. se expresa en radianes.

Junio 2010 F.G. Cuestión 1B.- El sonido producido por la sirena de un barco alcanza un nivel de

intensidad sonora de 80 dB a 10m de distancia. Considerando la sirena como un foco sonoro puntual

determine:

a) La intensidad de la onda sonora a esa distancia y la potencia de la sirena.

b) El nivel de intensidad sonora a 500 m de distancia.

Dato: Intensidad umbral de audición Io =10−12

W m−2

Solución.

β ≡ Nivel de intensidad sonora.

a. La intensidad, I, de la onda y el nivel de intensidad sonora, nivel acústico,β, están relacionados

por la expresión:

oI

Ilog 10=β

Aplicando los datos del enunciado se puede calcular la intensidad de la onda sonora a esa

distancia.

1210

Ilog 1080

−= : 12Ilog8 += : 4Ilog −= :

2

4

M

W10I

−=

23

La intensidad de una onda en un punto es la cantidad de energía por unidad de tiempo que

atraviesa la unidad de superficie colocada en ese punto.

St

EI

⋅= : ( )PotenciaP

t

E= :

S

PI = :

2r 4

PI

π= : W126,010104Ir 4P

422 =⋅⋅π=π= −

b. Teniendo en cuenta que la potencia de la fuente es constante, se calcula la intensidad a 500m,

conocida la intensidad, se calcula el nivel de intensidad sonora.

2

8

22 m

W104

5004

126,0

r 4

P

S

PI

−×=⋅π

=π

==

dB 4610

104log10

I

Ilog10

12

8

o

=×

==β−

−

Modelo 2010. Problema 1B.- Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la

dirección del eje Y, según la expresión:

π+

π=

2 t

4sen 2y (y en cm; t en s),

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X.

Sabiendo que dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están

separados una distancia mínima de 20 cm., determine:

a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica.

b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

c) La expresión matemática que representa la onda armónica.

d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X

de coordenada x = 80 cm., y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s.

Solución a. Para hallar la amplitud de la onda nos fijamos simplemente en la ecuación dada, de donde

A = 2 cm

Para hallar la frecuencia de la onda volvemos a fijarnos en la ecuación dada

fπ24

πω ⋅== ⇒ 1-s 125,0

8

1

π2

4π

π2

ωf ====

b. Para hallar la longitud de onda basta darse cuenta de que al decirnos que dos puntos que oscilan

con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm es como decir

cm 202

λ= ⇒ cm 40λ =

Conocida la longitud de onda y la frecuencia, la velocidad es:

scm5s 125,0cm 40fλ

T

λv

1 =⋅=⋅== −

c. La expresión matemática que representa la onda es ( ) ( )oφx k tωsen At,xy +−= , donde k es el

número de onda

=== −1

cm 20

π

40

π2

λ

π2k , y ϕo es el desfase inicial, fijando otra vez la atención sobre

la ecuación inicial, 2

πφo = , sustituyendo los valores conocidos se obtiene la expresión matemática de la

onda:

( )

+−=

2

πx

20

πt

4

πsen 2t,xy

d. La expresión para la velocidad se obtiene derivando la expresión de y(x, t) respecto del tiempo.

( )

+−=⋅

+−=

+−==

2

πx

20

πt

4

πcos

2

π

4

π

2

πx

20

πt

4

πcos2

2

πx

20

πt

4

πsen 2

dt

d

dt

t,xy dvy

24

Para x = 80 cm

( )

−=

+−==

2

π7t

4

πcos

2

π

2

π80

20

πt

4

πcos

2

π t,80xvy

Para t = 20 s

( ) 002

π

2

π3cos

2

π

2

π720

4

πcos

2

π20 t,80xvy =⋅==

−===

Septiembre 2009. Problema 1A.- Una onda armónica transversal de amplitud 8 cm y longitud de

onda 140 cm se propaga en una cuerda tensa, orientada en el sentido positivo del eje X, con una velocidad

de 70 cm/s. El punto de la cuerda de coordenada x = 0 (origen de la perturbación) oscila en la dirección

del eje Y y tiene en el instante t = 0 una elongación de 4 cm y una velocidad de oscilación positiva.

Determine:

a) Los valores de la frecuencia angular y del número de onda.

b) La expresión matemática de la onda.

c) La expresión matemática del movimiento del punto de la cuerda situado a 70 cm del origen.

d) La diferencia de fase de oscilación, en un mismo instante, entre dos puntos de la cuerda que

distan entre sí 35 cm.

Solución. La ecuación de una onda armónica transversal viene dada por la expresión:

( )oφk x tωsen Ay +±=

donde A es la amplitud, ω es la velocidad angular, k es el número de onda y ϕo es el desfase inicial

a. A = 0,08 m; λ = 1,4 m. El número de onda se puede calcular por la expresión:

mradπ

7

10

4,1

π2

λ

π2k ===

conocido el número de onda se calcula la velocidad angular.

sradπ

m

radπ

7

10

s

m7,0kvk:

k

ωv =⋅=⋅==

b. Para expresar la ecuación de la onda se necesita conocer el desfase inicial el cuál se puede

calcular con los datos del enunciado (Para t = 0; x = 0; y = 4 cm = 4×10−2

m) aplicados a la ecuación

general (el signo de la fase se escoge negativo debido a que la onda se propaga en el sentido positivo del

eje OX.

rad 6

πφ

2

1φ sen:φ0π

7

100π sen108104 ooo

22 =⇒=

+⋅−⋅×=× −−

Conocido el desfase la ecuación de la onda queda:

+−×= −

6

πx π

7

10 tπ sen108y

2

c. Para x = 70 cm = 70×10−2

m:

+×⋅−×= −−

6

π1070π

7

10 tπ sen108y

22

−×= −

6

π5 tπ sen108y

2

d. ( )12122o1o xx7

π10x

7

π10x

7

π10

6

πx

7

π10 tπ

6

πx

7

π10 tπφ −=−=

+−−

+−=∆

rad2

π35,0

7

π10x

7

π10φ =⋅=∆=∆

Junio 2009. Cuestión 2.- Una fuente puntual emite un sonido que se percibe con nivel de intensidad

sonora de 50 dB a una distancia de 10 m.

a) Determine la potencia sonora de la fuente.

b) ¿A qué distancia dejaría de ser audible el sonido?

Dato: Intensidad umbral de audición I0 = 10 −12

W m -2

Solución.

a. Mediante la definición de nivel sonoro, se puede calcular la intensidad del sonido.

25

oI

Ilog10 ⋅=β :

1210

Ilog1050

−⋅= : 2

71050

12

mW101010I −− =⋅=

Teniendo en cuenta que la potencia P del foco se reparte en esferas concéntricas y que el medio

es isótropo:

2

o

r4

PI

π= :

24722

om

W1026,110104Ir4P −− ×=⋅⋅π=π=

b. El sonido dejara de oírse a una distancia tal que la intensidad en ese punto sea menor o igual a la

intensidad umbral

o2

oI

r4

PI ≤

π= : m 7,316

104

1026,1

I 4

Pr

12

6

o

o =⋅π

×=

π≥

−

−

Modelo 2009. Cuestión 2.- La potencia de la bocina de un automóvil, que se supone foco emisor

puntual, es de 0,1 W. .

a) Determine la intensidad de la onda sonora y el nivel de intensidad sonora a una distancia

de 8 m del automóvil.

b) ¿A qué distancias desde el automóvil el nivel de intensidad sonora es menor de 60 dB?

Dato: Intensidad umbral de audición I0 = 10 -12

W m -2

Solución. a. Suponemos un medio isótropo con ondas esféricas. En cualquier punto situado a una distancia r

del foco que emisor, la intensidad valdrá:

24

222

o

mw1024,1

m84

W1,0

r4

P

S

PI

−×=⋅π

=π

==

La intensidad sonora es.

db8110

1024,1log10

I

Ilog10db

12

4

o

=×

⋅=⋅=−

−

b. Se calcula la distancia en la cual la intensidad de la onda sonora es 60 db. Teniendo en cuenta

que la intensidad es inversamente proporcional a la distancia, en cualquier punto más alejado, la

intensidad será menor.

26126

12

6

oo mw101010I:

10

I10:

I

Ilog6:

I

Ilog10db60

−−

−=⋅===⋅=

m 2,89104

10

I 4

Pr:

r4

PI

6

1o

2

o =⋅π

=π

=π

=−

−

m 2,89r >

Septiembre 2008. Problema 2B.- Una onda armónica transversal se propaga en una cuerda tensa de

gran longitud y está representada por la siguiente expresión:

y = 0,5 sen (2π t − π x + π) (x e y en metros y t en segundos)

Determine:

a) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

b) La diferencia de fase en un mismo instante entre las vibraciones de dos puntos separados entre sí

∆x = 1 m.

c) La diferencia de fase de oscilación para dos posiciones de un mismo punto de la cuerda cuando

el intervalo de tiempo transcurrido es de 2 s.

d) La velocidad máxima de vibración de cualquier punto de la cuerda.

Solución. a. La longitud de onda se obtiene a partir del número de onda, y este por comparación de la

ecuación general (y = A sen (ω· t − k·x + ϕo)) con la ecuación de la onda.

26

( )( )

π=ϕ

π=

π=ω

π+π−π=

ϕ+−ω= −

−

rad

m k

s rad 2

:x t 2sen 5,0y

x kt sen Ay

o

1

1

o

El número de onda (k) se define como el número de longitudes de onda que hay en una distancia

2π:

λ

π=

2k : m 2

2

k

2=

π

π=

π=λ

La velocidad de propagación de la onda es:

Tv

λ=

El periodo se calcula a partir de la velocidad angular:

T

2π=ω : s 1

2

22T =

π

π=

ω

π=

sm2

1

2

Tv ==

λ=

b. Para un punto cualquiera su fase es: ( ) π+π−π=ϕ x t2 t,x , para otro punto situado a 1 m del

anterior su fase es: ( ) ( ) π++π−π=+ϕ 1x t2 t,1x . La diferencia de fase entre ellos será:

( ) ( ) ( ) ( ) rad x t21x t2 t,x t,1x π=π+π−π−π++π−π=ϕ−+ϕ=ϕ∆

c. Para un punto cualquiera su fase es: ( ) π+π−π=ϕ x t2 t,x , para ese mismo punto, en el instante

t + 2 su fase es: ( ) ( ) π+π−+π=+ϕ x2t 22 t,x . La diferencia de fase entre ellos será:

( ) ( ) ( ) ( ) rad 4 x t2x 2t 2 t,x2 t,x π=π+π−π−π+π−+π=ϕ−+ϕ=ϕ∆

d. La velocidad de vibración de in punto viene dado por la expresión:

( )( ) ( ) ( )π+π−ππ=π⋅π+π−π=π+π−π== x t2cos 2 x t2cos 5,0 x t2sen 5,0dt

d

dt

dyv

La velocidad máxima se alcanza cuando la componente trigonométrica valga 1.

smvmáx π=

Junio 2008. Problema 2A.- Se realizan dos mediciones del nivel de intensidad sonora en las

proximidades de un foco sonoro puntual, siendo la primera de 100 dB a una distancia x del foco, y la

segunda de 80 dB al alejarse en la misma dirección 100 m más.

a) Obtenga las distancias al foco desde donde se efectúan las mediciones.

b) Determine la potencia sonora del foco.

Dato: Intensidad umbral de audición Io = 10−12

W/m2

Solución. a. La intensidad de una onda es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia.

21

22

2

1

r

r

I

I=

Para calcular la intensidad se tiene en cuenta la escala decibélica

oI

Ilog 10=β : 10

0

10I

I β

= : 10o 10II

β

⋅=

Donde β es el nivel de intensidad de sonido medido en decibelios, I es la intensidad e Io es la

intensidad umbral.

xrm

w101010IdB 100 12210

10012

11 =→=⋅=→=β −−

27

100xrm

w101010IdB 80 22410

8012

12 +=→=⋅=→=β −−

Sustituyendo en la relación:

( )2

2

4

2

x

100x

10

10 +=

−

−

:

2

x

100x100

+= : 10

x

100x=

+ : m 1,11x =

b. 2

r4

PI

π= Aplicando a la 1ª experiencia: W5,151,11410r4IP 222

11 =⋅π=π⋅= −

Modelo 2008. Cuestión 2.- La expresión matemática que representa una onda armónica en unidades

SI es:

( )

π−π= x

4 t2sen 04'0t,xy

Determine:

a) La frecuencia de la onda y su velocidad de propagación.

b) La distancia mínima entre dos puntos que vibran con una diferencia de fase de 120°.

Solución. a. Comparando la expresión matemática de la onda armónica con la ecuación general, se pueden

deducir los valores de la velocidad angular (ω) y del numero de onda (k). Conocida la velocidad angular

se calcula la frecuencia (ν) y conocida la velocidad angular y el número de onda se calcula la velocidad

de propagación de la onda (v).

( ) ( )

( )

π=

π=ω

π−π=

−ω=

mrad

4k

srad2

:x

4 t2sen 04'0t,xy

x k tsen At,xy

Frecuencia:

νπ=ω 2 ( )1sHz 12

2

2

−=π

π=

π

ω=ν

Velocidad de propagación:

vk

ω=

sm8

4

2

kv =

π

π=

ω=

b. Se denomina fase (ϕ) al paréntesis (ωt − kx). Su valor determina el estado de vibración o fase

del movimiento. Para un instante to la diferencia de fase entre dos puntos viene dada por:

( ) ( ) ( )122o1o21 xxk xk t xk t −⋅=−ω−−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆

m 67'2m3

8

mrad

4

rad3

2

kx:

xk

rad3

2º120

==π

π

=ϕ∆

=∆

∆⋅=ϕ∆

π==ϕ∆

Septiembre 2007. Cuestión 2.- Una onda sinusoidal transversal en una cuerda tiene un período de 0,2

s y se propaga en el sentido negativo del eje X a una velocidad de 30 m/s. En el instante t = 0, la partícula

de la cuerda en x = 0 tiene un desplazamiento positivo de 0,02 m y una velocidad de oscilación negativa

de 2 m/s. a) ¿Cuál es la amplitud de la onda? b) ¿Cuál es la fase inicial? c) ¿Cuál es la máxima velocidad

de oscilación de los puntos de la cuerda? d) Escriba la función de onda correspondiente.

Solución. a. La ecuación general de una onda que se desplaza en sentido negativo del eje x es:

y(x, t) = A sen (ωt + kx + ϕo)

Utilizando los datos conocidos para las condiciones iniciales (t = 0; x = 0 ⇒ y(0, 0) = +0’02 m):

y(0, 0) = 0’02 = A sen ϕo

28

Si derivamos la ecuación de posición de la onda respecto del tiempo, obtenemos la expresión de

la velocidad en función de x y t.

( ) ( ) ( ) ( )oo k x tcosAk x tcosA t,xvdt

t,xdyϕ++ωω=ω⋅ϕ++ω==

Utilizando el valor de la velocidad para condiciones iniciales (t = 0; x = 0 ⇒ v(0, 0) = −2 m/s):

( ) ocosA20 ,0v ϕω=−=

La velocidad angular (ω) se obtiene mediante su relación con el periodo:

srad 10

s 2'0

2

T

2π=

π=

π=ω

Sustituyendo en la expresión de la velocidad inicial:

( ) ocosA1020 ,0v ϕπ=−=

Dividiendo la ecuación de la posición entre la de la velocidad, obtenemos una expresión que nos

permite calcular el valor de la fase (ϕo).

( )

=

==−=⇒=−=

− rad 5,98

rad 84,231'0 arctgφφ tg31'0 :

φcosAπ10

φsen A

2

02'0oo

o

o

Para discernir cual de los dos desfases iniciales corresponde a la onda se tiene en cuenta que en

condiciones iniciales, la posición es positiva y la velocidad negativa.

098,5cosωAv05,98sen A yrad 5,98φ

084,2cosωAv02,84sen A yrad 84,2φ

o

o

>=<==

<=>==

Teniendo en cuenta los signos de la posición y velocidad inicial, el desfase inicial es:

rad 84,2φo =

Conocido el desfase, la expresión de la posición permite calcular la amplitud.

0’02 = A sen ϕo ⇒ m 067'02,84sen

02'0A ≈=

b. ϕo = 2,84 rad

c. El valor máximo de la velocidad ( ) ( )( )ok x tcosA t,xv ϕ++ωω= se alcanza cuando el coseno

vale 1, y por tanto queda:

sm 1'2

srad10m 067'0Avmáx ≈π⋅=ω=

d. Función de onda:

y(x, t) = A sen (ωt + kx + ϕo)

Donde: ω = 10π rad/s; 1m 330

10

vk −π

=π

=ω

= ; rad 84,2φo =

( )

++= 2,84 x

3

π tπ10sen 067'0 t,xy

29

Junio 2007. Problema 1A.- Un punto material oscila en torno al origen de coordenadas en la

dirección del eje Y, según la expresión:

π+

π=

2t

4sen 2y ( y en cm; t en s ),

originando una onda armónica transversal que se propaga en el sentido positivo del eje X. Sabiendo que

dos puntos materiales de dicho eje que oscilan con un desfase de π radianes están separados una distancia

mínima de 20 cm, determine:

a) La amplitud y la frecuencia de la onda armónica. .

b) La longitud de onda y la velocidad de propagación de la onda.

c) La expresión matemática que representa la onda armónica.

d) La expresión de la velocidad de oscilación en función del tiempo para el punto material del eje X

de coordenada x = 80 cm, y el valor de dicha velocidad en el instante t = 20 s.

Solución a. La amplitud y la frecuencia de la onda coinciden con la amplitud y frecuencia del movimiento

oscilatorio.

A = 0,02 m

La frecuencia de la onda se calcula a partir de la velocidad angular.

fπ24

πω == Hz 125,0s

8

1f

1 == −

b. Para hallar la longitud de onda basta darse cuenta de que al decirnos que dos puntos que oscilan

con un desfase de π radianes están separados una distancia mínima de 20 cm es como decir

cm 202

λ= m 0,4cm 40λ ==

Otra forma seria teniendo en cuenta que el incremento de fase en un instante dado es:

( ) ( ) ( ) xkxxkφkxtωφkxtωφφφ 21o2o112 ∆⋅=−=+−−+−=−=∆

Teniendo en cuenta λ

π2k =

xλ

π2φ ∆⋅=∆ ; m 4,02,0

π

π2x

φ

π2λ =⋅=∆⋅

∆=

Conocida la longitud de onda y la frecuencia se calcula la velocidad de propagación de la onda.

sm05,0s 125,0m 4,0fλ

T

λv

1 =⋅=== −

c. El número de onda es: 1m π54,0

π2

λ

π2k −===

La expresión matemática que representa la onda es:

( )

+−=

2

πx π5t

4

πsen02,0t,xy

d. La expresión para la velocidad se obtiene como la derivada de la función y respecto del tiempo.

( )s

m2

πx π5t

4

πcos

200

π

2

πx π5t

4

πcos

4

π02,0

dt

dyt,xv

+−=

+−⋅==

Para x = 0,8 m

( )s

m2

π7t

4

πcos

200

π

2

π8,0π5t

4

πcos

200

πt,8́0v

−=

+⋅−=

Para x = 0,8 y t = 20 s

( ) 0020

π

sm

2

π3cos

200

π

2

π720

4

πcos0

20

π20 ,8́0v =⋅=

=

−⋅=

30

Modelo 2007. Cuestión 2.- Una fuente sonora puntual emite con una potencia de 80 W. Calcule:

a) La intensidad sonora en los puntos distantes 10 m de la fuente.

b) ¿A qué distancia de la fuente el nivel de intensidad sonora es de 130 dB?

Datos: Intensidad umbral de audición 212

0 mW10I −−=

Solución. a) La intensidad I de un sonido puede medirse mediante la energía que transporta por unidad

de superficie, se expresa en W/m2.

( )22

22m·W104'6

104

80

R4

P

S

PI −−×=

π=

π==

b) El volumen acústico ß de un sonido de intensidad I expresado en Bels se define como:

oI

Ilog=β (Bels)

Como la unidad resultaba demasiado grande, se utiliza el decibelio (décima parte del Bel) designado dB que ha quedado como unidad para la medida del volumen acústico. Así pues, el volumen

acústico ß de un sonido de intensidad I expresado en decibles se define como:

oI

Ilog10=β (dB)

Siendo Io la intensidad umbral de audición para el oído humano. Aplicando a los datos

propuestos se despeja la intensidad:

1210

Ilog10130

−= :

1210

Ilog13

−= :

13

1210

10

I=

− : I = 10 W·m−2.

22 d4

P

R4

P

S

PI

⋅π=

π==

8'0Wm104

W80

I4

Pd

2=

⋅π=

⋅π=

−m

Modelo 2007. Problema 1A.- La expresión matemática que representa una onda armónica que se

propaga a lo largo de una cuerda tensa es:

( )π+π+π= x2 t10sen 0,01 t)y(x, ,

donde x e y están dados en metros y t en segundos. Determine:

a) El sentido y la velocidad de propagación de la onda.

b) La frecuencia y la longitud de onda.

c) La diferencia de tase de oscilación entre dos puntos de la cuerda separados 20 cm.

d) La velocidad y la aceleración de oscilación máximas de un punto de la cuerda.

Solución.

a) La ecuación general de una onda armónica es; y(x, t) = A sen(ωt − kx + ϕo), donde A es la

amplitud, ω la velocidad angular, k el número de ondas y ϕo el desfase inicial.

Comparando la expresión general con la expresión propuesta:

A = 0’01 m; ω = 10π rad/s; k = −2π rad/m; ϕo = π rad.

• Sentido. El valor de k negativo indica que el sentido es de propagación es el negativo en la

dirección x ( )ir

− .

• Velocidad de propagación. Por definición:

sm 5

mrad 2

srad 10

k2

k2

Tvp −=

π−

π=

ω=

ωπ

π

=λ

=

“El signo negativo es debido al sentido de desplazamiento”

b) La frecuencia se obtiene a partir de la velocidad angular, y la longitud de onda del número de

ondas.

31

ν⋅π=ω 2 ( )1sHz 5rad 2

srad 10

2

−=π

π=

π

ω=ν

m 1

mrad 2

rad 2

k

2=

π

π=

π=λ

“En el calculo de la longitud de onda, no tiene sentido incluir el signo del número de ondas puesto que se

trata de una longitud”

c) La diferencia de fase de oscilación en un instante dado (mismo tiempo) entre dos puntos viene

dado por la diferencia entre sus fases.

El ángulo de fase de una onda es ( )ox kt ϕ+−ω , por lo tanto la diferencia de fase es:

( ) ( ) ( ) xkxxkx kt x kt 12o1o212 ∆⋅=−=ϕ+−ω−ϕ+−ω=ϕ−ϕ=ϕ∆

Sustituyendo por los valores numéricos:

{ } rad 0'4m 2'0m

rad 2m 2'0cm 20xxk π=⋅π===∆=∆⋅=ϕ∆

d) Por definición: ( ) ( ) ( )( ) ( )oo φk xω tcos ωAφx kt ω sen Adt

d

dt

t,xy dt,xv +−⋅=+−==

La velocidad será máxima cuando cos(ωt − kx + ϕo) = 1.

( )s

m1'0s

rad10rad

m01'0At,xv max π=π⋅=ω⋅=

( ) ( ) ( )( ) ( )o2

o k xω tsen Ax kt cos Adt

d

dt

t,xv dt,xa ϕ+−ω⋅−=ϕ+−ωω⋅==

La aceleración será máxima cuando sen(ωt − kx + ϕo) = 1.

( ) ( )2

222max

sm1001'0At,xa π−=π⋅−=ω⋅−=

Septiembre 2006. Problema 1B.- Una onda armónica transversal se desplaza en la dirección del eje

X en sentido positivo y tiene una amplitud de 2 cm, una longitud de onda de 4 cm y una frecuencia de 8

Hz. Determine:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La fase inicial, sabiendo que para 0y t 0x == la elongación es y = ‒2 cm.

c) La expresión matemática que representa la onda.

d) La distancia mínima de separación entre dos partículas del eje X que oscilan desfasadas 3π rad.

Solución.

a. T

λv = s 125,0

8

1

f

1T ===

sm0´32v

s 0'125

m 040́v ==

b. ( ) ( )oφkxtωsen At,xy +−=

Aplicando las condiciones iniciales:

( ) ( ) oo φsen Aφ0k0ωsen A0,0y =+⋅−⋅= ( ) oφsen A0,0y =

oφsen 02,002,0 =− 1φsen o −= 2

π3φo =

c. ( ) ( )oφkxtωsen At,xy +−=

sradπ168π2fπ2

T

π2ω =⋅=== 1m π50

04,0

π2

λ

π2k −===

( )

+−=

2

π3 xπ50 tπ16sen 02,0t,xy

d. Las ecuaciones del movimiento de dos partículas del eje son:

32

( ) ( )( ) ( )

2π3kxtωsen At,xy

2π3kxtωsen At,xy

222

111

+−=

+−=

La diferencia de sus fases es:

( ) ( ) ( ) xkxxk2π3kxtω

2π3kxtωφ 2121 ∆⋅=−=+−−+−=∆

Teniendo en cuenta que rad3

π=ϕ∆

x040́

π2

3

π∆= m107,6

6

04,0x

3−×==∆

Junio 2006. Cuestión 2.- Una onda sonora que se propaga en el aire tiene una frecuencia de 260 Hz. a) Describa la naturaleza de la onda sonora e indique cuál es la dirección en la que tiene lugar la

perturbación, respecto a la dirección de propagación.

b) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda.

Datos: velocidad del sonido en el aire v = 340 m s-1

Solución. Una onda sonora en una onda de presión, es decir es una perturbación periódica de la presión o

la densidad del medio por el que se propaga. Además la dirección en que se produzca la perturbación

coincide con la dirección de propagación

c) Calcule el periodo de esta onda y su longitud de onda.

Solución. El periodo es la inversa de la frecuencia, por tanto

s1085'3Hz 260

11T 3−×==

ν=

La longitud de onda (λ) la calculamos a partir de la velocidad de propagación.

Tv

λ= ⇒ m 31'1s1085'3

sm340Tv 3 =×⋅=⋅=λ −

Modelo 2006. Cuestión 2.- Razone si son verdaderas o falsas las afirmaciones siguientes:

a) La intensidad de la onda sonora emitida por una fuente puntual es directamente proporcional a la

distancia a la fuente.

b) Un incremento de 30 decibelios corresponde a un aumento de la intensidad del sonido en un

factor 1000.

Solución.

a. Falso: Si eso fuera así a mayor distancia el sonido se oiría con mayor intensidad, y sabemos que

no es así. De hecho, la intensidad de una onda sonora emitida por una fuente puntual es inversamente

proporcional a la distancia a la fuente puntual elevada al cuadrado, pues una cantidad constante de energía

se tiene que repartir en la superficie de una esfera de radio igual a la distancia a la fuente y esta superficie

es proporcional al radio al cuadrado.

2R4

PI

π=

b. Verdadero: La formula que relaciona la intensidad en decibelios con la intensidad en unidades

SI es:

( ) ( )

oI

.I.SIlog10dBI =

Donde Io es la intensidad umbral del oído humano en unidades SI.

Si ( ) ( ) ⇒=− dB30dBIdBI 12 (diferencia de 30dB)

33

( ) ( ) ( ) ( )

−=−=

o

1

o

2

o

1

0

2

I

SIIlog

I

SIIlog10

I

SIIlog10

I

SIIlog10dB30

Por las propiedades de los logaritmos tenemos que B

AlogBlogAlog =−

( )( )

( )( )

( )( )

100010SII

SII3

SII

SIIlog

I/SII

I/SIIlog1030 3

1

2

1

2

o1

o2 ==⇒=

⇒=

Septiembre 2005. Problema 1B. Dada la expresión matemática de una onda armónica transversal que

se propaga en una cuerda tensa de gran longitud:

y = 0,03sen (2πt −πx),

donde x e y están expresados en metros y t en segundos.

a) ¿Cuál es la velocidad de propagación de la onda?

b) ¿Cuál es la expresión de la velocidad de oscilación de las partículas de la cuerda? ¿cuál es la

velocidad máxima de oscilación?

c) Para t = 0, ¿cuál es el valor del desplazamiento de los puntos de la cuerda cuando x = 0,5 m y

x = 1 m?

d) Para x = l m, ¿cuál es el desplazamiento cuando t = 0,5 s?

Solución. a. La expresión general de la onda armónica transversal es

( )kxtsen Ay −ω=

Identificando con la ecuación propuesta y = 0,03sen (2πt −πx)

ω = 2π s−1

k = π m−1

Por definición

λ

π2k =

siendo λ la longitud de onda, T el periodo y T

2π=ω .

La onda avanza con velocidad constante recorriendo la distancia λ en el tiempo T.

k2

k2

Tv

ω=

ωπ

π

=λ

=

Sustituyendo los datos del enunciado

sm2

m

s 2

kv

1

1

=π

π=

ω=

−

−

b. La velocidad de oscilación de las partículas es la derivada de su posición respecto del tiempo.

( )( ) ( ) ( )s

mxt2cos06,0kxtcosAkxtensAdt

d

dt

dyπ−π⋅π=−ω⋅ω=−ω⋅=

La máxima velocidad es cuando el coseno vale 1.

sm06'0

dt

dy

Máx

π=

c. Para t = 0 el desplazamiento del punto en la posición x = 0,5 m es:

( ) ( ) m 03'02

senm 03'05'002senm 03'0s 0t m, 5'0xy −=

π−⋅=⋅π−⋅π⋅===

Para t = 0s y x = 1 m, el desplazamiento es:

( ) ( ) ( ) m 0senm 03'0102senm 03'0s 0t m, 1xy =π−⋅=⋅π−⋅π⋅===

34

d. Para x = 1 m y t = 0’5s, el desplazamiento es:

( ) ( ) m 00sen m 03'010'52senm 03'0s 5'0t m, 1xy =⋅=⋅π−⋅π⋅===

Junio 2005. Cuestión 1.- El nivel de intensidad sonora de la sirena de un barco es de 60 dB a 10 m de

distancia. Suponiendo que la sirena es un foco emisor puntual, calcule:

Dato: Intensidad umbral de audición lo = 10−12

W m−2

.

a) El nivel de intensidad sonora a 1 Km de distancia.

b) La distancia a la que la sirena deja de ser audible.

Solución.

a.

Lo primero es pasar el nivel de intensidad al sistema internacional.

10βd

oo

10II lesexponencia tomandodespeja se I

Ilog10βd ⋅=⋅=

donde Io = 10−12

W m−2

2610

601210

βd

om

W 10101010II −− =⋅=⋅=

Una vez conocida la intensidad en el sistema internacional de unidades, se calcula la potencia de

la fuente.

W10π4m 10π4m

w10Rπ4IAreaIP 4222

62 −− ×=⋅⋅=⋅⋅=⋅=

Teniendo en cuenta que la potencia de la fuente es constante, se calcula la intensidad a 1 Km.

( )( ) 2

10

26

4

Esfera mW10

m 10π4

W10π4

Km 1rA

PotenciaKm 1I −

−

=⋅

×=

==

βd 2010

10log10

I

Ilog10βd

12

10

o

=⋅=⋅=−

−

b. La sirena dejará de ser audible en donde I = Io

Km 10m10r 10

10π4rπ4

I

PA:

IIA

PI 4

12

42

oo

==×

=⋅=

=

=−

−

Junio 2005. Problema 1B.- Una onda armónica transversal se propaga por una cuerda tensa de gran

longitud, y por ello, una partícula de la misma realiza un movimiento armónico simple en la dirección

perpendicular a la cuerda. El periodo de dicho movimiento es de 3 s y la distancia que recorre la partícula

entre posiciones extremas es de 20 cm.

a) ¿Cuáles son los valores de la velocidad máxima y de la aceleración máxima de oscilación de la

partícula?

b) Si la distancia mínima que separa dos partículas de la cuerda que oscilan en fase es de 60 cm,

¿cuál es la velocidad de propagación de la onda? ¿cuál es el número de onda?

Solución.

a.

35

Las partículas en el eje vertical realizan un m.a.s. por tanto su posición viene descrita por:

( ) ( )ot senAty φ+ω⋅=

donde T

2π=ω , y el desfase inicial ( )oφ no influye en la resolución del problema.

Para calcular la velocidad y de la aceleración, se deriva ( )ty respecto del tiempo

( ) ( ) ( ) tωcosωAtω senAdt

d

dt

tdytv ⋅=⋅==

( ) ( ) ( ) yt senAttcosAdt

d

dt

tdvta 22 ω−=ω⋅ω−=ω⋅ω==

Por ser funciones trigonométricas, sus valores máximos se alcanzan cuando las razones seno o

coseno valen 1 ó −1.

sm021'0

seg3

2m10

T

2AAv

2max =

π=

π=ω= −

sm044'0

s 3

2m10

T

2AAa

22

22

2max =

π=

π=ω+= −

b. La distancia mínima de dos puntos que están en fase es la longitud se onda λ, por tanto λ = 60

cm.

La velocidad de propagación de la onda se calcula con la ecuación:

sm 2'0

s 3

m1060

Tv

2

p =×

=λ

=−

y el número de onda:

mrad10

301060

22K

2

2×

π=

×

π=

λ

π=

−

Septiembre 2004. Cuestión 2. Una partícula oscila con movimiento armónico simple según el eje Y

en torno al origen de coordenadas, originando una onda trasversal que se proponga en el sentido positivo

del eje X con una velocidad de 20 m s-1

, una amplitud de 0,02 m y una frecuencia de 10 Hz. Determine:

a) El periodo y la longitud de onda.

b) La expresión matemática de la onda, si en t = 0 la partícula situada en el origen de coordenadas

está en la posición máxima elongación positiva.

Solución. a. Conocida la frecuencia, se calcula el periodo

s 1,0s 10

1

f

1T

1===

−

Sabiendo que m 2s 1'0s

m 20TvλT

λv pp =⋅==→=

b. En ( ) 02'0A0,0y0x

0t=

=→=

=

( ) ( )oφ xk tωsenAt,xy +−⋅=

π201'0

π2

T

π2ω ===

k2

k2

Tv

ω=

ωπ

π

=λ

= ⇒ π20

π20

v

ωk ===

36

( ) oφ senAA0,0y ⋅== ⇒ 1φ sen o = ; rad2

πφo =

Sustituyendo se obtiene la ecuación de la onda

( )

+−⋅=

2

π xπ tπ20sen02,0t,xy

Junio 2004. Problema 1A.- Una onda trasversal se propaga a lo largo de una cuerda horizontal, en el

sentido negativo del eje de abscisas, siendo 10 cm la distancia mínima entre dos puntos que oscilan en

fase. Sabiendo que la onda esta generada por un foco emisor que vibra con un movimiento armónico

simple de frecuencia 50 Hz y una amplitud de 4 cm, determine:

a) La velocidad de propagación de la onda.

b) La expresión matemática de la onda, si el foco emisor se encuentra en el origen de coordenadas,

y en t = 0 la elongación es nula.

c) La velocidad máxima de oscilación de una partícula cualquiera de la cuerda.

d) La aceleración máxima de oscilación en un punto cualquiera de la cuerda.

Solución. a. La distancia mínima entre dos puntos que oscilan en fase es la longitud de onda.

λ = 0,1 m; f = 50 Hz; A = 0,04 m

La velocidad de propagación de la onda es s

m5501,0fλT

λν =⋅=⋅==

b. ( ) ( )oφx kt ω sen At,xy ++= El signo positivo del número de onda es debido a que se desplaza

en el sentido negativo del eje x.

sradπ10050π2fπ2

T

π2ω =⋅=== 1m π50

04,0

π2

λ

π2k −===

( ) ( )oφ0k0ω sen A0,0y +⋅+⋅=

=

==

rad πφ

rad 0φ:0φ sen A

o

oo

Las posibles ecuaciones de la onda serán:

( ) ( )x π50t π100 sen 04,0t,xy += ó ( ) ( )πx π50t π100 sen 04,0t,xy ++=

c. La velocidad de vibración se halla derivando respecto del tiempo:

( ) ( ){ }s

m56'12π25004'0f·π2AωA1kxtω cosνφkxtω cos ωAdt

dyv maxo =××=⋅=⋅==+=⇒++⋅==

d. La aceleración se halla derivando la velocidad respecto del tiempo:

( )2

22222máxo

2

sm63'125650π404'0f·π4AωAaφkxtωsenωA

dt

dva =××=⋅==⇒++−==

Modelo 2004. Cuestión 2.- Una onda armónica unidimensional esta dada, en el sistema SI de

unidades, por la expresión:

( ) ( )x4t50sen4t,xy −=

Determine: a) la amplitud; b) el periodo; c) la longitud de onda; d) la velocidad de propagación.

Solución.

La ecuación de la onda unidimensional es:

( ) ( )x4t50sen4t,xy −=

lo cual indica que es una onda que se propaga en la dirección positiva del eje x. (−4x)

a. Si comparamos esta ecuación, con la ecuación general de una onda:

( ) ( )kxtsenAt,xy −ω⋅=

identificando se obtiene la amplitud:

A = 4m

b. De la ecuación, identificando se obtiene el valor de la velocidad angular:

37

ω = 50 rad/s

Conocida la relación entre ω y T:

T

π2ω = seg

25T

50

22T

π=

π=

ω

π=

c. De la ecuación de la onda: k = 4 m−1

y su relación con la longitud de onda(λ) pedida es:

m24

2

k

2 π=

π=λ

π=λ

d. La velocidad de propagación de la onda viene expresada por la siguiente relación:

kv

ω=

Conocidos ambos valores:

sm 12'5 v: 4

50v ==

Septiembre 2003. Cuestión 2. La expresión matemática de una onda armónica es

( ) ( )π+−π= 5xt200sen 3t,xy , estando todas las magnitudes en unidades SI. Determine:

a) la frecuencia y la longitud de onda.

b) La amplitud y la velocidad de programación de la onda.

Solución.

} })x5t200( sen3)t,x(y

k

π+⋅−⋅π⋅=

ω

a. Identificando los términos de la expresión dada, con la ecuación general:

( )oφxktωsen A)t,x(y +⋅−⋅=

se obtiene:

segrad200π=ω

Puesto que π

ω=ν

2 , sustituyendo:

100Hz 2

200=ν

π

π=ν

De la identificación, también se obtiene:

k = 5

Y puesto que: λ

π=

2k

m5

2π=λ

b. Identificando en la ecuación de la onda: A = 3m.

sm π40v

5

π200

k

ω

ωπ2

kπ2

T

λv =====

Junio 2003. Cuestión 2. El periodo de una onda trasversal que se proponga en una cuerda tensa es de

2×10−3

s. Sabiendo, además, que dos puntos consecutivos cuya diferencia de fase vale π/2 rad están

separados una distancia de 10 cm, calcule:

a) La longitud de onda

b) La velocidad de propagación.

Solución.

a. m 1,0x rad2πφ s102T 3 =∆=∆×= −

La diferencia de fase entre dos puntos en un mismo instante es:

38

( ) ( ) ( ) xkxxkkxtωkxtωφφφ 211212 ∆⋅=−=−−−=−=∆

1m π51,0

2π

x

φk −==

∆

∆=

m4,0π5

π2

k

π2λ ===

b. s

m200s102

m 4,0

T

λv

3P =×

==−

Septiembre 2002. Cuestión 1.- Se tiene una onda armónica trasversal que se propaga en una cuerda

tensa. Si se reduce a la mitad su frecuencia, razone que ocurre con:

a) el periodo

b) la velocidad de propagación

c) la longitud de onda

d) la amplitud.

Solución. Se tiene una onda transversal que se propaga en una cuerda tensa. Si reducimos a la mitad la

frecuencia:

2

f'f =

a. El periodo se relaciona con la frecuencia mediante: f

1T =

Sí la frecuencia se reduce a la mitad su nuevo periodo será 'f

1'T = , sustituyendo el valor de f´:

T2f

12

f

2

2f

1

'f

1'T =⋅====

El periodo se duplica

b. La velocidad de fase o velocidad de propagación por la cuerda, no depende de la frecuencia,

únicamente de las propiedades del medio por el que se propaga la onda (elasticidad y rigidez), en el caso

de la cuerda: m

Fv = , donde F representa la tensión de la cuerda. Por tanto, v’ = v, la velocidad no

cambian.

c. La longitud de onda se relaciona con la frecuencia mediante la expresión:

f

vvTλ ==

teniendo en cuenta que:

λ2f

v2

2f

v'λ:

2

f'f

v'v:

'f

'v'λ ⋅=⋅==

=

==

la longitud de onda también se duplica

d. La relación entre la amplitud y la frecuencia la hallamos a partir de:

2A·k

2

1E =

despejando la amplitud

f

1

π4·m

E2

fπ4·m

E2A

fπ2ω

ωmK:que cuentaen y teniendo

K

E2A

222

22 ⋅==⇒

=

==

suponiendo constante la energía y la masa,

= cte

π4·m

E22

, la amplitud se relaciona con la frecuencia

según

39

f

1cteA =

teniendo en cuenta 2

f'f =

A2f

1cte2

2f

1cte

f

1cteA ⋅=⋅==

′=′

la amplitud también se duplica.

Septiembre 2002. Cuestión 4.- Una bolita de 0’1 g de masa cae desde una altura de 1 m, con

velocidad inicial nula. Al legar al suelo el 0’05 por ciento de su energía cinética se convierte en un sonido

de duración 0’1 s.

a) Halle la potencia sonora general.

b) Admitiendo que la onda sonora generada puede aproximarse a una onda esférica, estime la

distancia máxima a la que puede oírse la caída de la bolita si el ruido de fondo sólo permite oír

intensidades mayores que 10−8

W/m2.

Datos: Aceleración de la gravedad g = 9’8 m s−2

Solución.

a. La potencia del sonido es: .t

EP = La energía, es el 0’05% de la energía cinética de la bolita al

caer al suelo, con lo cual, y por la conservación de la energía mecánica:

( ) ( )0hEm1hE cp ===

ya que la velocidad inicial la consideramos nula (no tiene energía cinética inicial) por tanto:

Ec = m· g· h

sustituyendo por los datos, se calcula su valor

Ec (suelo) = 9’8 · 10-4

J.

El 0’05% de esta cantidad, se transforma en energía sonora:

E (sonido) = J10·8'9x100

05'0 4− E(sonido) = J10·9'4 7−

Y la potencia es entonces:

seg 1'0

J4'9·10P

t

)sonido(EP

7−

==

P = 4’9×10−6

W

b. La intensidad de una onda esférica se amortigua con la distancia al foco r, de la forma:

2r4

PI

π=

Si despejamos r, para el valor de la intensidad limite audible, :m

W10I 28−=

m 6'24r I4

Pr 2 =

π=

A partir de este radio, ya no es audible el sonido generado por la bolita.

Junio 2002. Cuestión 2. Escriba la expresión matemática de una onda armónica unidimensional como

un función de x (distancia) y t (tiempo) y que contenga las magnitudes indicadas en cada uno de los

siguientes apartados:

a) frecuencia angular ω y velocidad de propagación v.

b) periodo T y longitud de onda λ.

c) frecuencia angular ω y número de onda k.

d) Explique por qué es una función doblemente periódica.

Solución. La ecuación de una onda armónica unidimensional puede escribirse en función de varias

variables, la forma más habitual es la pedida en el apartado (c)

40

c. ( ) ( )oφx kt ωsenAt,xy +±⋅=

b. Si utilizamos las expresiones que relacionan ω con T, y K con λ:

λ

π=

π=ω

2K

T

2

y las sustituimos en la expresión anterior:

( )

ϕ+

λ

π±

π⋅= ox

2t

T

2senAt,xy

sacando factor común 2π:

( )

ϕ+

λ±π⋅= o

x

T

t2 senAt,xy

a. Por ultimo, de la expresión obtenida en el apartado b), y utilizando la relación entre λ y la

velocidad de propagación de la onda:

Tv ⋅=λ

sustituyendo:

( )

+

⋅±⋅= oφ

Tv

x

T

tπ2 senAt,xy

sacando factor común del periodo( T ):

( )

+±= oφ

v

xt

T

π2Asent,xy

y sabiendo que T

2π=ω :

queda:

( )

+±⋅= oφ

v

xtω senAt,xy

d. Se trata de una función doblemente periódica porque es una función trigonométrica, que es

periódica con periodo 2π en la que la fase depende tanto de t como de x, por lo que:

• Si fijamos un valor de x, es periódica respecto a t, con periodo temporal T.

• Si fijamos un valor de t, es periódica respecto a x, con “periodo espacial” λ.

Cualitativamente se puede ver que tanto la representación y-t para un valor fijo de x, como la

representación y-x para un valor fijo de t, son funciones trigonométricas periódicas.

Para comprobar que es doblemente periódica en x y t, se representa la onda y (y , to) para un instante

determinado de tiempo ( “si se hace una foto de la onda”) de manera que la elongación “y” sea sólo

función de x.

Para t = to

( )}

′+±⋅

+−⋅= oo

cte

oo φxλ

π2senAφkxt·ωsenAt,xy , función

seno periódica en λ.

Si en cambio, elegimos un punto concreto x = xo, la función elongación “y” es una función

periódica del tiempo.

Para x = xo:

( )}

′+⋅

+−⋅= ooo

cte

ooo φt·T

π2senAφkxt·ωsenAt,xy , función

seno periódica en T.

41

Por está duplicidad a la hora de expresar la elongación, se puede decir que la función es

doblemente periódica.

Modelo 2002. Cuestión 2.- Una fuente sonora puntual emite con una potencia de l0−6

W. Determine el

nivel de intensidad expresado en decibelios a 1 m de la fuente sonora.

¿A qué distancia de la fuente sonora el nivel de intensidad se ha reducido a la mitad del valor anterior?

Dato: La intensidad umbral de audición es I0=10−12

W m−2

Solución

El nivel de intensidad sonora es oI

Ilog10β =

La intensidad se calcula a partir de la potencia 8

2

6

21096,7

1π4

10

rπ4

PI −

−

×⋅

==

4910

1096,7log10β

12

8

=×

=−

−

Para que la intensidad sonora se reduzca a la mitad, la intensidad deberá ser:

1010249

12102β

o 1082,2101010II −− ×=⋅=⋅=

2rπ4

PI = m8,16

1082,2π4

10

Iπ4

Pr

10

6

=×⋅

==−

−

Septiembre 2001. Problema 1A.- La expresión matemática de una onda armónica transversal que se

propaga por una cuerda tensa orientada según el eje X es:

y = 0,5 sen (6π t − 2πx) ( x, y en metros; t en segundos)

Determine:

a) Los valores de la longitud de onda y de la velocidad de propagación de la onda.

b) Las expresiones que representan la elongación y la velocidad de vibración en función del tiempo,

para un punto de la cuerda situado a una distancia x=1,5 m del origen.

c) Los valores máximos de la velocidad y de la aceleración de vibración de los puntos de la cuerda.

d) La distancia mínima que separa dos puntos de la cuerda que, en un mismo instante, vibran

desfasados 2π radianes.

Solución.

} }( ) π⋅π−π==

⋅π−⋅π=

ω

6x2t6cos 0'5dt

dy v x2t6sen 5'0y

k

a. La longitud de onda, puesto que k = 2π será:

1mk

2=

π=λ

Teniendo en cuenta que π=ω 6

sm3v

kv =ω=

b. Para un punto x = 1’5 m.

( ) ( ) ( )π−π⋅=π−π⋅= 3t6sen5'0·1'52t6sen 5'0t,5'1y

( ) ( ) ( )π−π⋅π=π−π⋅π= 3t6cos35'12t6cos3t,5'1v

c. Según la expresión anterior para la velocidad:

( ) ( )x2t6cos3t,xv π−π⋅π=

tiene el valor máximo: s

m3vmáx π= ( cuando el coseno vale 1)

La aceleración de un punto de la cuerda:

ya 2 ⋅ω−=

42

tiene un valor máximo(en valor absoluto) en ( ) At,xy = , y en y(x,t) = - A

( ) ( )2

22

sm6'177a 18a 5'0·6a =π=±π−=

d. Si fijamos el tiempo en la ecuación de la onda: to

( ) ( )( ) ( ) 21

2oo2

1oo1 xy xcuerda la de puntos dos para

x2t6sen5'0t,xy

x2t6sen5'0t,xy

π−⋅π⋅=

π−⋅π⋅=

La diferencia de fase: ( ) ( ) ϕ∆=π−π−π−π 2o1o X2t6X2t6

Si se sabe que π=ϕ∆ 2 , entonces:

( ) π=−π 2XX2 12

Así que, la distancia mínima entre los dos puntos tiene que ser:

( ) m1XXX 12 =−=∆

que equivalente a la longitud de onda de la onda armónica:

1m k

2 2k =λ

π=λπ=

Septiembre 2000. Cuestión 2. Uno de los extremos de una cuerda tensa, de 6 m de longitud, oscila

transversalmente con un movimiento armónico simple de frecuencia 60 Hz. Las ondas generadas

alcanzan el otro extremo de la cuerda en 0,5 s. Determine:

a) La longitud de onda y el número de onda de las ondas de la cuerda.

b) La diferencia de fase de oscilación existente entre dos puntos de la cuerda separados 10 cm.

Solución.

a.

La velocidad de programación de la onda:

sm12 v

seg 5'0

m 6

t

L v

Tv ===

λ=

si la seg 60

11T Hz60 =

ν==ν

teniendo en cuenta que

0'2m seg60

1

sm12 Tv =λ⋅=λ⋅=λ

conocida la longitud de onda, el número de ondas es:

31'42k 100'2

2k

2k =π=

π=

λ

π=

b. Si se considera la ecuación de la onda que genera el M.A.S. para un punto x y otro punto situado

a 10 cm, x + 0’1:

( ) ( )( ) [ ]( )

ϕ+ω−+=+

ϕ+ω−=

0

o

t1'0xkAsent,1'0xy

tkxAsent,xy

donde las fases son, respectivamente, ( ) [ ]( )00 t0'1xky tkx ϕ+ω−+ϕ+ω− , la diferencia de fase entre

esos dos puntos se halla restando sus fases:

[ ][ ] [ ] k1'0tkxt1'0xk 00 =ϕ+ω−−ϕ+ω−+=ϕ∆

π=ϕ∆π⋅=ϕ∆ 101'0

43

Junio 2000. Cuestión 2. Una onda transversal que se propaga en una cuerda, coincidente con el eje X,

tiene por expresión matemática: y(x, t) = 2·sen (7t − 4x), en unidades SI. Determine: a) La velocidad de propagación de la onda y la velocidad máxima de vibración de cualquier punto

de la cuerda. b) El tiempo que tarda la onda en recorrer una distancia igual a la longitud de onda.

Solución.

( ) ( )4x-7tsen 2t,xy =

a. Para hallar la velocidad de la onda y la velocidad máxima de vibración de un punto de la onda se

tiene en cuenta:

T v: Tv

λ=⋅=λ

conocidos λ y T, se determina la velocidad de propagación.

De la ecuación de la onda, se determina la velocidad angular

srad7=ω

con la velocidad angular se determina el periodo

T

2π=ω

de modo que:

seg7

22T

π=

ω

π=

Del valor de k, se obtiene la longitud de onda

m2

4

2

k

2 m4k

1 π=λπ

=λπ

=λ= −

y con los valores de λ y T, la velocidad de propagación:

sm

47 v

72

2 v

Tv =

π

π=

λ=

La velocidad máxima de un punto de la cuerda, se halla derivando la expresión de la elongación,

y calculando el valor máximo.

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )4x-7tcos 14x4t7·cos7·2x4t7sen2dt

dt,xy

dt

d t,xv ⋅=−=−⋅==

el máximo de la expresión se obtiene cuando la función trigonométrica vale 1

( )s

m 14114v1x4t7cos máx =⋅=⇒=−

b. Se pide calcular el periodo, que es el tiempo que tarda una onda en recorrer una distancia igual a

su longitud de onda.

Del apartado anterior:

seg 0'898T seg7

2T =π=