Coordenadas Polares

01/06/20091 Ing. Nuñez

Sistema Polar o plano PolarEs un plano que tiene como referencia

ángulos y magnitudesConsiste de circunferencias concéntricas al

origen y rectas concurrentes al origen con diferentes ángulos de inclinación

El eje horizontal es Eje PolarEl eje vertical Eje /2El punto de intersección entre estos ejes es

el Polo

01/06/20092 Ing. Nuñez

Plano Polar

01/06/20093 Ing. Nuñez

Relación entre coordenadas polares & cartesianasDe Polar a Cartesiana

De Cartesiana a Polar

x

y

yxr

ry

rx

tan

sin

cos

222

01/06/2009 4Ing. Nuñez

Gráficas de Ecuaciones Polar

RectasCircunferenciaCónicasCaracolesRosasEspirales

01/06/20095 Ing. Nuñez

RectasCaso General

Caso Particular

Caso Particular

)cos(

dr

)cos(d

r

)(sen

dr

0

2

01/06/20096 Ing. Nuñez

CircunferenciaCircunferencia con centro el polo

222 ayx

01/06/20097 Ing. Nuñez

CircunferenciaCircunferencia que contiene al Polo y

tienen centro el punto ,a

01/06/20098 Ing. Nuñez

CircunferenciaCircunferencia que contiene al Polo y

tienen centro el punto ,a

)cos(2 ar

01/06/20099 Ing. Nuñez

0

)cos(2 ar

)cos(2

)0cos(2

ar

ar

)cos(2

)cos(2

ar

ar

2

2

3

)(2

)2

cos(2

asenr

ar

)(2

)2

3cos(2

asenr

ar

)0,(aP

)0,( aP

),0( aP

),0( aP

01/06/200910 Ing. Nuñez

Trazado de curvas en coordenadas polares:Para la construcción de curvas en coordenadas polares, se siguen los siguientes pasos:1.Determinación de las intersecciones con el eje polar (eje X) y con el eje a 90º (eje Y).2.Determinación de la simetría de la curva con respecto al eje polar, al eje a 90º y al polo.3.Determinación de la extensión del lugar geométrico.4.Calculo de las coordenadas de un número suficiente de puntos para obtener la grafica.5.Trazado de la grafica.6.Transformación de la ecuación polar a rectangular.

01/06/200911 Ing. Nuñez

1. Intersecciones:Las intersecciones con el eje polar, cuando

existen, se obtienen asignando a θ valores sucesivos 0, ± π, ± 2π, ± 3π,…, ± nπ; donde n es un entero cualquiera.

Para las intersecciones con el eje a 90º, pueden obtenerse asignando a θ los valores de , en donde n es un numero impar cualquiera.

Nota: Si existe un valor de θ para el cual sea r = 0, la grafica pasa por el polo.

01/06/200912 Ing. Nuñez

2. Simetría respecto al eje polar

La grafica de una ecuación polar es simétrica respecto al

eje X( eje polar), si al remplaza ( r, ) por (r , - ), o se obtiene una ecuación equivalente

),( r

01/06/200913 Ing. Nuñez

Simetría con respecto al poloLa grafica de una ecuación polar es simétrica respecto al

eje origen ( el polo), si al remplaza ( r, ) por (- r , ), o por se obtiene una ecuación equivalente

),( r

01/06/200914 Ing. Nuñez

Simetría con respecto a = La grafica de una ecuación polar es simétrica respecto al

eje y ( =pi/2), si al remplaza ( r, ) por (- r , - ), o por

se obtiene una ecuación equivalente

),( r

2

01/06/200915 Ing. Nuñez

01/06/200916 Ing. Nuñez

Las pruebas para averiguar la simetría del lugar geométrico de una ecuación polar están dadas en la siguiente tabla.

Al eje Polar

a) se sustituye θ por – θ, a) Se sustituye r por – rb) Se sustituye θ por

π - θ

Al Polo a) Se sustituye r por – r a) Se sustituye θ por π + θ

Θ = pi/2 a)Se sustituye θ por – θ y r por – r a) Se sustituye θ por

π - θ

01/06/200917 Ing. Nuñez

3. Extensión del lugar geométrico:Primeramente se despeja r en función de θ,

de la siguiente forma:r = f (θ)

- Si r es finita para todo valor de θ, se trata de una curva cerrada

- Si r se vuelve infinita para ciertos valores de θ, la grafica no puede ser una curva cerrada.

- Para valores de θ que hacen a r compleja no hay curva.

01/06/200918 Ing. Nuñez

4. Calculo de las coordenadas de algunos puntos: Se asigna un valor particular a θ, y así se

obtienen valores reales correspondientes a r. Se pueden tomar valores de θ a intervalos de 30º.

01/06/200919 Ing. Nuñez

6.Construcción de la gráfica

La forma rectangular se usa para comprobar

Se construye la gráfica

5.Transformación de la ecuación polar a rectangular:

01/06/200920 Ing. Nuñez

Caracoles: Limacons & Cardiodes

Si a=b, cardiodeSi a<b, Limacon o

Caracol con rizoSi a>b , Limacon o

Caracol sin rizo

sin,cos barbar

01/06/2009 21Ing. Nuñez

Caracoles

01/06/200922 Ing. Nuñez

01/06/200923 Ing. Nuñez

LemniscatasFigure-8 shaped curves

2sin4:

2sin,2cos2

22

rEjemplo

arar

01/06/2009 24Ing. Nuñez

RosasPolar equations of the

form:

n petalos (n impar)2n petalos (n par)

)3cos(6:

)sin(),cos(

rexample

narnar

01/06/2009 25Ing. Nuñez

01/06/200926 Ing. Nuñez

Espiral de Archimedes y Espiral Logaritmica

5:

:log

:

rejemplo

aer

aritmicaEspiral

ar

ArquimedesdeEspiral

b

01/06/200927 Ing. Nuñez

Cónicas

01/06/200928 Ing. Nuñez

ConicasSi una cónica tiene el foco en el polo y la

directriz a una distancia “d” del polo, tenemos:

dadexcentricie

e

edr

o

)cos(1

01/06/2009 29Ing. Nuñez

Casos Especiales

01/06/2009 30Ing. Nuñez

01/06/200931 Ing. Nuñez