COORDENADAS POLARESI.DEFINICIN. Sea O un punto fijo, llamado polo (u origen), y a partir de O, se traza un rayo inicial llamado eje polar, como se muestra en la figura No. 01. A continuacin, a cada punto P en el plano se le asignan coordenadas polares (r, ), como sigue.

Donde:

r : distancia dirigida de O a P, radio vector.

: ngulo dirigido, en sentido contrario al de las manecillas del reloj desde eleje polar hasta

el segmento OP.

Figura No. 01Las coordenadas polares de un punto se indican dentro de un parntesis, escribindose primero el radio vector. As, las coordenadas de P se escriben (r,).El ngulo polar se mide como en trigonometra considerando el eje polar como lado inicial y el radio vector como lado final del ngulo, es decir, partiendo del eje polar hacia el radio vector; se considera positivo o negativo segn que el sentido seguido sea opuesto al de las manecillas de un reloj o el mismo. Algunos autores, siguiendo los convenios hechos en trigonometra, consideran que el radio vector nunca debe ser considerado como negativo; otros autores, en cambio, admiten que el radio vector puede tomar todos los vectores reales. Nosotros seguiremos este ltimo convenio. Segn esto, si un punto tiene un radio vector negativo, se mide primero el ngulo polar de la manera ordinaria, y despus se toma el radio vector en la prolongacin del lado final. As pues el punto P tendra como coordenadas (-r, ).

Ejemplo. Como se muestra en la figura No. 02, muestra tres puntos en el sistema de coordenadas polares. Obsrvese que en este sistema es conveniente localizar los puntos con respecto a una retcula de circunferencias concntricas intersecadas por rectas radiales que pasan por el polo. Figura No. 02En coordenadas rectangulares, cada punto tiene una representacin nica. Esto no sucede con las coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, ) y (r, 2+ ) representan el mismo punto [ver los apartados b) y c) de la figura No. 02].Tambin, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, ) y (-r, +) representan el mismo punto. En general, el punto (r, ) puede expresarse como:

(r, ) = (r, 2+ )

(r, ) = (-r, + (2n+1)),

Donde n es cualquier entero. Adems, el polo est representado por (0, ) donde es cualquier ngulo.

El trazo de puntos en el sistema polar se facilita considerablemente usando papel coordenado polar, que consiste en una serie de circunferencias concntricas y rectas concurrentes. La circunferencia tiene su centro comn en el polo y sus radios son mltiplos enteros del radio ms pequeo, tomados como unidad de medidas. Todas las rectas pasan por el polo, y los ngulos formados por cada par de rectas consecutivas son iguales.

Un ejemplo de este papel est representado en la siguiente figura donde se han trazado los puntos: P1= (4, 2/3), P2 = (4, /6), P3 = (2, -/12), P = (-3, /3)

P1P2P3P4Figura No. 03II.TRANSFORMACIN DE COORDENADAS POLARES A CARTESIANAS Y VICEVERSA.Para establecer una relacin entre coordenadas polares y rectangulares, se hace coincidir el eje polar con el eje x positivo y el polo con el origen, como se ilustra en

La figura No.04. Puesto que (x, y) se encuentra en uncrculo de radio r, se sigue que:

r2 = x2+ y2.

Para r > 0, la definicin de las funciones trigonomtricas implica que:

tan= y/x , cos=x/r ,sen=y/r.

Si r < 0, estas relaciones tambin son vlidas, como se puede verificar.

Figura No. 04

TEOREMA 01: Si el polo y eje polar del sistema de coordenadas polares coinciden, respectivamente, con el origen y parte positiva del eje x de un sistema de coordenadas o cartesianas el paso de uno a otro de estos dos sistemas puede efectuarse por medio de las siguientes frmulas de transformacin: X = r cos, y = r sen, x2+ y2 = r2, = arctg(y/x), r = Ejemplos:

1.Encuentre las coordenadas polares del punto P= (1, 1).

ResolucinDe la grfica:

Usando las transformaciones

Grfica No. 01A dems se podra utilizar otras equivalencias polares:

2. Encontrar una ecuacin cartesiana de la grfica cuya ecuacin polar es: r2 = 2 senResolucin

III. ECUACIONES CANNICAS DE LAS SECCIONES CNICAS EN COORDENADAS POLARES. La ecuacin polar de una cnica toma una forma particularmente sencilla y til cuando uno de los dos focos (Fig. No. 05) est en el polo y el eje focal coincide con el eje polar. Sea la recta l la directriz correspondiente del foco O; esta recta es perpendicular al

eje polar, sea D el punto de interseccin.

lDesignemos la distancia , entre el

foco y la directriz, por la cantidad

CP(r, )

D

OBdFigura No. 05

positiva d. Sea P(r, ) un punto cualquiera de la cnica. Desde P tracemos las perpendiculares PO y PCal eje polar y a la directriz,respectivamente.Segn ella el punto P debe satisfacer la condicin

en donde e es la excentricidad. Ahora bien,

PO= ry PC = DB=DO=OB = d + r cos.Sustituyendo estos valores en (1), obtenemos:

de donde,

Podemos demostrar, recprocamente, que cualquier punto cuyas coordenadas satisface la ecuacin (2) satisface la condicin geomtrica (1) y, por tanto, est sobre el lugar geomtrico. Segn esto, la ecuacin (2) es la ecuacin buscada de la cnica.

TEOREMA02:CLASIFICACINDELASCNICASDEACUERDO

CONLA EXCENTRICIDAD. Sean F un punto fijo (foco) y l una recta fija (directriz) en el plano. Sean P otro punto en el plano y e (excentricidad) el cociente obtenido al dividir la distancia de P a F entre la distancia de P a D. El conjunto de todos los puntos P con unadeterminada excentricidad es una cnica.1. La cnica es una elipse si 0 < e < 1.2. La cnica es una parbola si e = 1.3. La cnica es una hiprbola si e > 1.CIRCUNFERENCIAS

Circunferencias con centro el polo.

La ecuacin cartesiana de una circunferencia es:

x2 + y 2 = a 2Aplicando transformaciones tenemos:

x 2 + y 2 = a 2(r cos )2 + (r sen )2 = a 2r 2 cos 2 +r 2 sen 2 = a 2r 2 (cos 2 + sen 2 ) = a 2r 2 = a 2Resultando, finamente: r = a

Ejemplo:

Graficar r = 2

SOLUCIN:

Por inspeccin de la ecuacin dada concluimos que el lugar geomtrico es una circunferencia con centro el polo y que tiene radio 2.

Circunferencias tales que contienen al polo y tienen centro el punto (a, )

Observemos el grfico:

De all obtenemos el tringulo:

De all obtenemos el tringulo:

Aplicando la ley del coseno y despejando, tenemos:

a 2 = r 2 + a 2 2ar cos( )r 2 = 2ar cos( )Resultando, finalmente:

r = 2a cos( )CNICAS tales que el foco es el polo y su recta directriz est a una distancia "d" del poloObserve la figura.

Se define a la parbola ( e = 1), a la elipse ( 0 < e < 1 ) y a la hiprbola( e > 1) como el conjunto de puntos del plano tales que:

d (P, F ) = e d (P, l )Entonces:

d (P, F ) = e d (P, l )

r = e[d r cos( )]

r = ed er cos( )

r + er cos( ) = ed r[1 + e cos( )] = edr =

ed

1 + e cos( )

Casos especiales son:

Figura No. 06En la figura No. 06, obsrvese que en todos los tipos de cnicas el polo coincide con el

punto fijo (foco) que se da en la definicin.

Los cuatro tipos de ecuaciones que se indican en el Teorema, se pueden clasificar como sigue, siendo d>o.

La figura No 07. Ilustra estas cuatro posibilidades en el caso de una parbola.

07

Figura No. 07Ejemplos:

61. Graficar: r =

1+cos Resolucin

En este caso e = 1(coeficiente del coseno), por lo tanto tenemos una parbola con el foco en el polo (el origen) y directriz con una ecuacin cartesiana x=6 (a la derecha y paralela al eje /2). Parbola cncava a la izquierda.Ld08Q

Grfica No. 02* Si comparamos la ecuacin del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar que la distancia entre el foco y la directriz es 6.

O sea: FQ= 6

ResolucinEn este caso e = (coeficiente del coseno) por tanto tenemos una elipse con un foco en el polo y el otro foco a la izquierda del eje polar.

Si comparamos la ecuacin del ejercicio con una de las ecuaciones deducidas, se puede notar que la distancia entre el foco y la directriz es 12.

O sea:FQ= 12

IV.TRAZADO DE CURVAS EN COORDENADAS POLARES. La grfica o lugar geomtrico de una ecuacin expresada en coordenadas polares es:

G={(r,) RxR/ r= f()}

DISCUSIN DE UNA ECUACIN POLAR. Para facilitar el trazado de grficas en las ecuaciones en coordenadas polares es conveniente establecer el siguientes anlisis.

1ero INTERSECCIONES:a) CON EL EJE POLAR: se hace = n, nZ.b) CON EL EJE A 90: se hace = /2 + n, nZ.2do SIMETRAS:

a) CON EL EJE POLAR: se reemplaza

(r,) = (r, - ) (r,) = (-r, -)

b) CON EL EJE A 90: se reemplaza

(r,) = (r, -) (r,) = (-r, - )c) CON EL POLO: se reemplaza

(r,) = (-r, ) (r,) = (r, +)

*Si la ecuacin no cambia, entonces la curva presenta simetra.

*Slo basta que cumpla con una condicin para que sea simtrica.

3ero EXTENSIN. Son los puntos mximo y mnimo de la grfica.

Para determinar la extensin de la grfica de un lugar geomtrico dado en coordenadas polares, primero se despeja el radio en funcin de , de modo que tenemos:

r= f()

Si r es finito para todos los valores de , se trata de una curva cerrada. Si, en cambio, r se vuelve infinita para ciertos valores de la grfica no puede ser una curva cerrada. Para los valores de que hacen a r compleja no hay curva. Tales valores de constituyen intervalos excluidos del lugar geomtrico. Si la grfica es una curva cerrada, es til, frecuentemente, determinar los valores mximo y mnimo de r.

4to TABULACIN. Se determina los valores de r correspondientes a los valores asignados a en el dominio y se ordena los pares.

5to TRAZADO DE LA GRFICA. En el sistema coordenado se localizan los puntos hallados y se traza la curva.

r