4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES.

4.1.- Ecuaciones Generales en Coordenadas Polares: En el anlisis de esfuerzos en geometras como anillos y discos, barras curvas de seccin rectangular con un eje circular, cilindros sometidos a presin interna y externa, placas con orificio, etc., resulta ventajoso el uso de coordenadas polares.

Esfuerzos normales r y Esfuerzos cortantes r y r , donde para el equilibrio r = r

P se encuentra en el plano medio, P(r, ). El elemento delimitado por lados 1, 2, 3 y 4, es formado por el corte de secciones normales a la placa 02 y 04, y por dos superficies cilndricas 1 y 3, normales a la placa.

Consideremos el equilibrio del pequeo elemento y tomando en cuenta la variacin del esfuerzo en cada una de las caras del elemento. Para la direccin radial Esfuerzos normales: Lado 1: ( ) ( ) drdr rr 111 = Lado 3: ( ) ( ) drdr rr 333 = Lado 2: ( ) ( )

22 22 drdddrsen

Lado 4: ( ) ( )22 44 drdddrsen

Esfuerzos cortantes: ( ) ( )[ ]drrr 42 Adems considerando: R Fuerza de cuerpo por unidad de volumen en la direccin radial. S Fuerza de cuerpo por unidad de volumen en la direccin tangencial. Realizando sumatoria de fuerzas e igualando a cero (ya que esta en equilibrio): = 0rF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0

22 424231=++ drrdRdrdrddrddrdr rrrr

Arreglando y dividiendo drd : ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0

21 42

4231 =+++ Rr

ddrrr rrrr

Haciendo: ( ) ( ) ( )

rr

drrr rrr

dr =

310

lim ( ) ( )[ ] ( )

=

rrr

d dlm42

0

( ) ( )[ ] + 4221

por lo tanto: ( ) ( ) 0=+

+ Rr

rr rr

es decir: ( ) ( ) 01 =+

+ R

rrrrrr

Ec. (4.1)

si hacemos de igual manera suma de fuerzas en la direccin tangencial, resulta:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022 24423311

=++++ drrdSddrddrdrdrdrdr rrrr Dividiendo ( )drrd : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

02

243142 =++++ Srrdr

rrrd

rrrr

Haciendo ( ) ( ) ( )

=

dlmd42

0

( ) ( ) ( )rr

rdrrr rrr

drlm

=

310

( ) ( )[ ] rrr = 4221 Se obtiene: ( ) 011 =++

+ S

rrrrrr

Simplificando se tiene que:

0211 =+++

Srrrrrr

Ec. (4.2)

Cuando las fuerzas de cuerpo son cero y utilizando un procedimiento idntico al realizado en coordenadas rectangulares, se puede obtener la funcin de esfuerzos

),( r cuya relacin con las componentes de esfuerzos es:

2

2

211

+

=rrrr

2

2

r= Ec. (4.3)

=

= rrrrrr

111 22

Las ecuaciones 4.3 deben satisfacer la siguiente ecuacin de compatibilidad:

0= conociendo que ( ),r= donde el operador en coordenadas polares:

2

2

22

2 11drrrr+

+=

por lo tanto la ecuacin de compatibilidad resulta:

01111 22

22

2

2

2

22

2

=

+

+

+

+

drrrrdrrrr Ec. (4.4)

4.5 Componentes de Deformacin en Coordenadas Polares

Considerando los desplazamientos en Coordenadas Polares, u en la direccin radial y v en la direccin tangencial.

Considerando que la deformacin total del punto genrico P a su posicin final P' se compone de dos deformaciones distintas: 1. Una deformacin en la cual las componentes u y v tienen en todo lugar el mismo valor (u y v son constantes). 2. Una deformacin en la cual solo se considera la variacin de las componentes u y v. Caso 1. u y v son constantes

PP1 y P' P1' son paralelas PP2, y P'P2; son paralelas PP1= PP1 PP2= rd ; PP2=(r+u) d Entonces:

( ) ( )ru

rdrddur

PPPPPP =+==

2

221

( ) 01 =r ( ) rr =1

Para el caso 2:

( )ru

dr

drru

PPPPPP

r =

==

1

112

( )

=

==rrd

d

PPPPPP 1

2

222

=

= urrd

du 1tan 1

rrdr

drr

=

=

2tan

( )r

urr

++=

1212

Sumando los casos 1 y 2, se obtiene:

ru

r =

+=

rru 1 Ec. (4.5)

rru

rr

+

= 1 Sustituyendo (4.5) en las ecuaciones de la Ley de Hooke para esfuerzo plano, se obtiene:

( ) == rr Eru 1

( )rErru

=+= 11 Ec. (4.6)

Grru

rr

r

=+

= 1 Sustituyendo (4.5) en las ecuaciones de Hooke para deformacin plana:

( ) ( )[ ] += 111 2 rr E ( ) ( )[ ]rE += 111 2 Ec. (4.7)

;Gr

r

= ( ) += rz

4.3. Distribucin Simtrica de Esfuerzos Alrededor de un Eje Cuando la distribucin de esfuerzos (o la funcin de esfuerzos) depende solo de r, es decir, es independiente de la variable , la ecuacin de compatibilidad (4.4), se transforma:

011211 322

23

3

4

4

2

2

2

2

=++=

+

+

drd

rdrd

rdrd

rdrd

drd

rdrd

drd

rdrd Ec. (4.8), Ec. de

Euler Esta es una ecuacin diferencial ordinaria, la cual puede ser reducida a una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes introduciendo una variable t tal que r = et. De esta forma, la solucin es fcilmente obtenida:

DCrrBrrA +++= 22 loglog Ec. (4.9)

Sustituyendo (4.9) en (4.3), se encuentran las componentes de esfuerzo:

( ) CrBrA

rrr2log211 2 +++=

=

( ) CrBrA

r2log2322

2

+++== Ec. (4.10)

0= r

( ) += rz r 4.4.- Desplazamientos para Distribuciones Simtricas de Esfuerzos: De las ecuaciones (4.6) para esfuerzo plano, se obtiene para las componentes de desplazamiento: ( ) ( ) ( ) ( )

++++=

CBrBr

AEr

u 1231log1211 2 de donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) frCrBrBr

rA

Eu +

++++= 121log1211 Ec. (4.11)

y ahora de la segunda ecuacin de (4.6), se tiene que:

( ) ( )

fEBru

Er

r == 4 de donde

( ) ( )rfdfEBr

10

4 += Ec. (4.12) Notando que si 0= r , entonces ,0= r y sustituyendo en (4.5), se encuentra: ( ) ( ) ( ) ( ) 0111 11 =+

+ rfrdfrrrffr

Donde se obtiene que: ( ) Hrrf =1 y ( ) cosJDsenf += Sustituyendo en (4.11) y (4.12) resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) cos121log1211 JDsenrCrBrBr

rA

Eu ++

++++=

HrJsenDEBr ++= cos4

Donde A, B, C, D, H y J, son constantes. 4.5.- Flexin pura en Barras Curvas (Problema de Golovin - Ribiere) Se considera una barra curva con una seccin transversal rectangular delgada constante y con un eje circular en el plano de curvatura debido a dos pares iguales y opuestos aplicados en los extremos. El momento flexionante en este caso es constante a lo largo de la longitud de la barra y por lo tanto la distribucin de esfuerzos es el mismo en todas las secciones transversales radiales.

Condiciones de frontera -Las fronteras cilndricas estn libres de esfuerzos normales:

0=r para r = a y r = b

0= drba

Mrdrb

a

= en la frontera Sustituyendo las condiciones de frontera en (4.1):

( ) 02log212 =+++ CaBaA para r = a

( ) 02log212 =+++ CbBbA para r = b

De la condicin

Mrdrr

rdrb

a

b

a

== 22

Al resolver la integral, se tiene:

b

a

b

a

b

a

b

a

b

a

rr

drr

rr

rdrr

=

=

22 De la primera condicin de frontera, tenemos que:

0= b

a

rr

Por lo tanto, resulta que:

Mba=

De la expresin (4.9), se obtiene:

( ) ( ) ( ) ( ) MabCaabbBabAab =++= 2222 logloglog

Resolviendo el sistema para A, B y C, se obtiene:

abba

NMA log4 22=

( )222 abNMB = Ec. (4.14)

( )[ ]aabbabNMC loglog2 2222 +=

Donde:

( )

=

222222 log4

abbaabN

Sustituyendo (4.14) en (4.10), se tiene que:

++=

raa

brb

ab

rba

NM

r logloglog4 22

2

22

+++= 22222

22

logloglog4 abraa

brb

ab

rba

NM

Ec. (4.15) 0= r

Las fuerzas que generan los esfuerzos tangenciales producen fuerzas en la direccin radial tendiendo a separar longitudinalmente las fibras y produciendo esfuerzo normal en la direccin radial. Este esfuerzo se incrementa hacia la superficie neutra y se convierte en un mximo cerca de esta superficie. Este mximo siempre es mucho menor que ( )max . Por ejemplo, para: ( ) ( ) ;060.0,3.1 maxmax == rab ( ) ( ) ;138.0,2 maxmax == rab

( ) ( ) ;193.0,3 maxmax == rab Solucin de:

0112 322

23

3

4

4

=++drd

rdrd

rdrd

rdrd

Haciendo r = et: ( )

dtde

dtdrdtd

dtdt

drd

drd t ===

==

=

= dtd

dtde

dtde

dtde

dtde

dtde

dtdt

dtde

drd

drd tttttt

2

222

2

22

2

2

=

=

=

dtd

dtde

dtd

dtde

dtd

dtde

dtde

dtdt

dtd

dtde

drd

drd ttttt

2

23

2

2

3

33

2

22

2

22

3

3

2

+=

dtd

dtd

dtde t 23 2

2

3

33

+=

+=

+= 2

2

3

3

4

44

2

2

3

33

2

2

3

33

3

3

232323dtd

dtd

dtde

dtd

dtd

dtde

dtde

dtdt

dtd

dtd

dtde

drd

drd tttt

+=

+

dtd

dtd

dtd

dtde

dtd

dtd

dtde tt 6116233 2

2

3

3

4

44

2

2

3

34

Sustituyendo en la ecuacin diferencial adems de arreglar los coeficientes:

02326116 422

42

2

3

34

2

2

3

3

4

44 =

+

++

+

dtde

dtd

dtde

dtd

dtd

dtde

dtd

dtd

dtd

dtde tttt

Reduciendo,

044 22

3

3

4

4

=+dtd

dtd

dtd

La ecuacin caracterstica,

;04 234 =+ Resolviendo: ;021 == ;243 == [ ] [ ]43221 CtCetCC t +++= Realizando un cambio de variable,

rCCrrCrC lnln 432

22

1 +++=

Arreglando:

DCrrBrrA +++= 22 lnln

Demostracin de que ( ) ( )

fEBru

Er

r == 4

( ) ( )

++++++= CrBrACrB

rA

Er 2log212log23 22

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) frCrBrBrArE

++++ 121log1211

[ ] ( ) ( ) f

EBrfBr

E=++= 4131

Problema 1. Muestre que para un cilindro largo de pared delgada uniforme de radio interno R0, radio externo R y una pared de grosor T, el esfuerzo radial r en algn grosor t esta dado por: ( )

( )tRtT

TRpr +

=0

0 Donde p es la presin interna, con una presin externa igual a cero. Encuentre la expresin equivalente para el esfuerzo tangencial. Nota: Para cilindros de pared delgada, el esfuerzo tangencial puede ser considerado como independiente del radio. De la ecuacin de equilibrio: ( ) ( ) 01 =+

++ R

rrrrrr

Por simetra:

0= r

En ausencia de fuerzas de cuerpo R=0 ( ) 0=+

rrrr

Arreglando:

( ) =+

r

r

rr

( ) ; =

rr r Como es independiente de r

;Crr r += Ahora, aplicando condiciones de frontera: Cuando r = R entonces 0=r

;0 CR += RC = )( Rrr r = Ec. (1)

Cuando r = R0 entonces pr = ( ) ;00 RRpR =

( )RRpR= 00 T

pR0= la cual es una constante De (1) sustituyendo

=TpR

rRr

r0

Sustituyendo r = R0 + t

( )tRtRR

TRpr +

=0

00

( )tRtT

TRpr +

=0

0 Problema 2: Encuentre el estado de esfuerzo y deformacin en los planos A y B de la barra curva delgada, hecha de aleacin de aluminio (E = 72 Gpa, 33.0= ), la cual est sujeta a flexin pura con un momento M = 24kNm. De la geometra a = 0.1 m, b = 0.25 m Tenemos que

+++= 22222

22

logloglog4 abraa

brb

ab

rba

NM

Donde:

( )

=

222222 log4

abbaabN

Para A; r = 0.1 Ya que A esta en la frontera 0= r De (1) MPa0608.9= Para las deformaciones, ya que es una placa delgada, se toma como EEP:

0= r

Para B; r = 0.25 Ya que B esta en la frontera 0= r De (1) MPa9914.4= Para las deformaciones, se considera EEP debido a que es una placa delgada:

0= r

4.7. TUBOS DE PARED GRUESA SUJETOS A PRESIN INTERNA Y EXTERNA DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE. (PROBLEMA DE LAME)

Esta completamente restringido en las bases x = 0 y z = L, de (4.5)

rU

r =

rU= Ec. (4.19)

Sustituyendo la Ley de Hooke para ( ),, rr f = (4.9), y sustituyendo (4.10)

( ) ( ) ( ) ( ) ++++ +++= CrBrACrBrAErU 2log2312log2111 222 Ec. (4.20)

De la segunda ecuacin de (4.7) EDP:

rU = ( ) ( ) ( ) ( ) ++++ +++= CrBrACrBrAErU 2log2112log231 222 Derivando:

( ) ( ) ( ) ( ) ++++ +++= CrBrACrBrAEdrdU 2log2112log2311 222 ( ) ( ) ++ ++ rBrArBrAEr 221221 332 Ec. (4.21) Igualando (4.20) y (4.21), arreglando y comparando: ( ) 014 = B B = 0 De (4.10)

CrA

r 22 +=

P1

P2

CrA 22 += Ec. (4.22)

Las condiciones de frontera son:

( ) 121 2 PCrA

rrr =+== ( ) 222 2 PCr

Arrr =+== (-), el signo menos indica que las fuerzas van hacia

el cuerpo

( ) ;21

22

122

22

1

rrPPrrA

= ;2 21

22

22

212

1

rrPrPrC

= Sustituyendo en (4.22)

( )2

12

2

22

212

122

12

2

122

22

1 1rrPrPr

rrrPPrr

r +

= ( )

21

22

22

212

122

12

2

122

22

1 1rrPrPr

rrrPPrr

+

= Ec. (4.23) Para deformacin plana: ( ) += rz ( ) tecons

rrPrPr

z tan2

21

22

22

212

1 == Ec. (4.24)

si 01 P y P2 = 0

( )

= 2

22

21

22

12

1 1rr

rrPr

r Ec. (4.25) ( )

+= 2

22

21

22

12

1 1rr

rrPr

Ec. (4.26)

0 Tensin

En los valores extremos

r = r1 ( ) ( ) 11 Pmnrrrr ===

( ) ( )mxrr rrrrP =

+== 2

12

2

22

21

11

Un cilindro de pared delgada de 3in de dimetro interior esta sujeto a una presin externa de 6000 lb/in2. No hay presin interna. El esfuerzo de trabajo del material es de 18000lb/in2 determine el dimetro exterior del cilindro.

22

.

6000

18000

1.5?

W

W

i

ext

Esfuerzo permisible detrabajolbPin

lbin

r ind

==

===

2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 1

2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1

( ) 1 1

( ) 1 1

rr r P r P r P rr r r r r r r r

r r P r P r P rr r r r r r r r

= = = = +

El esfuerzo crtico se representa en el borde interior (r=1.5in)

2 22 2 1

2 2 22 1

1 0rr P rr r r

= =

( )( )

( )2222 22

2

6000 1.51 18000

1.51.5rr

= + =

( )2

222

2

2

321.5

1.5 3

rr

r

==

2 22 3 35.20ext

d rd in

= ==

Se tiene una flecha de acero slida de 6 in de dimetro dentro de un cilindro. El dimetro que tiene el cilindro de acero es 16 in, la reduccin ser 0.0005 in/in.

a) Calcule la presin externa Po sobre el lado exterior del cilindro la cual se requiere para reducir a cero la tensin tangencial en el lado interior del cilindro.

b) Calcular la presin radial resultante en la superficie de la flecha. ( )( )

( )2 2 2 2

1 1

2 2 21 12

i oens

o i

r r r rP E

r r r r =

1

6

380

30 100.0005 / 0.0005(6) / 2 0.0015

o

i

r inr inrE x

in in

===== =

r o

o

PP

= =

( )630 10 0.0005 3 9*55 2148.44*33 2*9*64

6445.3125

ens

ens

xP

P

= = =

( )( )

2 2

2 2

9 64 9 641 164 9 55

9 64 9 641 164 9 55

ensr ens

ensens

PP

r rP

Pr r

= = = + = +

Tubo hueco:

3

9 64 155 9rr ens ens

P P = = =

89 64 1 055 64rr ens

P = = =

3

9 64 73155 9 55r ens ens

P P = = + =

8

9 64 18155 64 55r ens ens

P P = = + = a)

0cilindro composite + =

[ ]00

73 6445.3125 055

8554.6875

P

P

+ ==

b)

0

8554.6875 6445.313515000

15000

r ens

r

r

P P

P psi

= = =

=

APLICACIN A ENSAMBLES FORZADOS. Al realizar el ensamble (por contraccin, o por interferencia) se construye un tubo compuesto PRE-ESTRESADO, y por lo tanto es posible deducir los esfuerzos dentro del tubo cuando acta la presin interna.

De ;U U rr

= =

( ) ( )21 1 rrU E = + Sea 1 ir r= y 2 0r r= ;en las ecuaciones para y r :

( )2 2 2 22 0 1 02 12 2 2 20 0

1 1 1i ii i

P r Pr r rU r P PE r r E r r r += +

Si 1 0P y 2 0P = Ui dentro del tubo (r=ri), es:

2 2 21 0

2 20

i ii

i

Pr r rUE r r

+= + Si 1 0P = y 2 0P en el exterior del tubo (r=r0)

2 2 22 0

2 20

o io

i

P r r rUE r r

+=

Sea la interferencia y P la presin de un tubo sobre otro, entonces:

i oU U + =

2 2 2 21 11 1

2 2 2 21 1

Pr Pro oo o

r r r rE r r E r r

+ ++ + =

De donde 2 2 2 2

1 0 12 2 2

1 1 0

( )( )2 ( )

i

i

r r r rP Er r r r = (pre-forzado)

Los esfuesos en el tubo interior son:

22

12 2 2

1

Pr 1 iri

rr r r

=

22

012 2 2

0 1

Pr 1 rr r r

= + 22

12 2 2

1

Pr 1 ii

rr r r

= + Compresin. Los esfuerzos en el tubo exterior son:

2201

2 2 20 1

Pr 1 rr r r

= + (Tensin)

2201

2 2 20 1

Pr 1rr

r r r = Si ahora existe una presin interna P1 para el tubo compuesto, los esfuerzos son los mismos para r1 y r0 a esto se debe sumar los esfuerzos de ensamble. r1= 8 r2= 16 P1= 15000 psi

max64 256(15000)256 64

+ =

1

m a x 2 5 0 0 01 5 0 0 0r r

p s ip s i

=

==

[ ]2

2 21

2 22 1

2 2(8) 15000256 64

100004084

13894

r

r rr p

r rpsi

psiy

psi

== = ==

=

Teora clsica (calculo del espesor en recipientes a presin) (pared delgada)

max

15000(12) 225008

22500

oprt

psi

psi

=

= ==

Una flecha de acero de 5 in de dimetro tiene ensamblado un disco de acero de 25 in de dimetro. La deformacin en la flecha es 0.0008 in/in.

a) Encuentre los esfuerzos radial y tangencial del ensamble b) Encontrar w

c) Si ?2 r = =

6

3

1

0.0008 / 0.0008(5 / 2)0.00230 100.30.28 /

7.2464 1032.2(12).

u in in

E x

lb in

x

pens

= ====== =

2 2 2 21 0 1

2 2 21 1 0

1

0

( )( )2 ( )

2.512.50

i

i

i

r r r rP Er r r r

r inr inr

= ===

Esfuerzos en el ensamble

2201

2 2 20 1

2201

2 20 1

Pr 1

Pr 1

rr

r r r

rr r r

= = +

Esfuerzo radial y tangencial en el ensamble:

630 10 (0.002) 86.25)(150) 115202.5 2(6.25)(156.25)

xpens psi = =

Esfuerzos de ensamble:

2201

2 2 20 1

Pr 1rr

r r r = =

2 2

2 2

(2.5) (12.5) 1(12.5) (2.5)pens

r =

(6.25) 156.25 1150r

pensr

= ; (6.25) 156.25 1

1.50pens

r = +

2.5

2.5

(6.25) 156.25 1150 6.25

(6.25) 156.25 1 1.08333150 6.25

1152012480

r

r

r

r

pens pens

pens pens

psipsi

=

=

= = = + =

= =

b).-

2 2 2

3 2

2

2

3 ( )8

3 0.3 (8.69565 10 ) (156.25 6.25)8

0.5380411520 3012 506.8835

0.538044840.381

r

r

r

R r

x

x

rpm

+= +=

= = =

=

c).-

Si

211520

41152011520 3/ 4(11520)

48840

r

r

r psi

=

=

= + ==

4.8 DISCOS Y CILINDROS ROTATORIOS.

2Fr w= ; mV

= Espesor constante girando a altas velocidades. diseo de turbinas Fuerza centrifuga por unidad de volumen. (Fuerza de cuerpo (inercial)) Condicin de equilibrio parta las fuerzas radiales

(78) se satisface con:

2 2

r rd w rdr

=

= + (79)

Debido a la Simetra:

rdudr

= ; ur

= ; 0r = (80)

Eliminando u, de (80), se tiene:

(81)

Combinado(79) con la ley de hooke (82) y luego en (81) se obtiene:

1 ( )r rE =

(82) 1 ( )rE

= 2

22 2

1 (3 ) 0d d w rdr r dr r + + + =

(83)

2

2 2

( ) ( ) 2 02

0

( ) 0

rr

r

rr

r

ddr r dr d Fr rd dr drsen

d w rdr rd r w rdr

+ + + = + + =

+ =

( ) 0 0r rdd r r

dr dr

= + =

21 ( ) (3 )d d r w rdr r dr

= +

Integrado (83)

(84)

2 2 1 22

38 2r

c cw rr

+= + +

2 2 1 22

1 38 2

c cw rr

+= + + (85)

a).- Caso de un disco solido delgado de radio R C2= 0 ya que r y son finitos; r=0 ( ) 0r r R = = en la superficie libre

2 21

34

C w R +=

( )2 2 238r

w R r +=

( ) ( )2 2 23 1 38w R r

= + + (86) El mximo ocurre en el centro

Esfuerzo Mximo 0

2 20

3( ) ( )8rr r

w R == += =

b).-Disco delgado con barreno

1

2

2 2 1 21 2

1

2 2 1 22 2

2

3( ) 08 2

3( ) 08 2

r r R

r r R

c cw rR

c cw RR

=

=

+= + + =+= + + =

Resolviendo:

2 31 2

3 1( )8 2

rr w r c cr

+= + +

2 2 211 2)

3 (2 8c w R R += + ; 2 2 22 1 23 ( )8c w R R

+= +

2 2

2 2 2 21 21 2 2

38r

R Rw R R rr

++= + +

2 22 2 2 21 2

1 2 2

3 1 38 3

R Rw R R rr

++ += + + +

(88) El valor mximo de ocurre en r= R 1

22 2 1

max 2 22

3 118 3

Rw RR

+ = = + +

(89) Si 1 0R

2 2max 2

3( )4

w R +=

(90) Que representa el doble de (87), por lo tanto con un barreno se incrementa al doble los esfuerzos en el radio interior del disco. c).- Cilindro slido El problema ahora es de deformar plana:

[ ][ ]

1 (1 )

1 (1 )

r r

r

E

E

+= +=

(91)

Ahora

2 3 1 21 3 28 1 2

c r cw rr

= + +

2 3 1 22

1 3 28 1 2r

c cw rr

= + +

2 3 1 22

1 1 28 1 2

c cw rr

= +

Tambin 2 0C = y 2 21 1 34 1C w R

=

2 2 21 3 28 1r

w R r =

( ) ( )2 2 21 3 2 1 1 28 1

w R r

= +

Esfuerzos mximos.

0 0

2 21 3 28 1r rr

w R = =

= =

d) Cilindro con agujero.

2 22 2 2 21 2

2 1 2

1 3 28 1r

R Rw R R rr

= +

2 2

2 2 2 21 22 1 2

1 3 2 1 28 1 3 2

R Rw R R rr

+ = + + +

Si 1 2/R R es despreciable 1 0R :

( )max 2 223 2

4 1w R

=

Dos veces mayor que para el caso anterior.

4.9. CONCENTRACIN DE ESFUERZOS DEBIDO A UN BARRENO CIRCULAR EN UNA PLACA ESFORZADA (PROBLEMA DE KIRSCH).

Placa infinita sujeta a un esfuerzo uniforme de tensin, de intensidad S en la direccin X.

Condicin 1: No existe barreno: ( )1x S = ( )1 0y = ( )1 0xy = Este estado de esfuerzos puede ser derivado:

21

12 yS =

Introduciendo las coordenadas r y :

( )2 2 21 1 1 cos 22 4rSS sen r = =

Y los correspondientes esfuerzos son:

( ) 2 1 12 21 1 1 1 (1 cos 2 )2r Sr r r

= + =

( ) 2 121 1 (1 cos 2 )2 Sr = =

( ) 11 1 1 ( 2 )2r S senr r r = =

Para un barreno de radio a se plantean las siguientes condiciones de frontera: En r=a; 0r = ; 0r = En r = ; ( )1r r = ; ( )1r r = ; ( )1 = La funcin de esfuerzo , debe satisfacer la ecuacin de compatibilidad.

2 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 0r r r r r r r r

+ + + + =

( ) 1 2, ( ) ( ) cos 2r f r f r = + Sustituyendo en la ecuacin de compatibilidad:

2 22 21 1 2 2 2

2 2 2 2 2 2

41 1 1 4 1 cos 2 0d f df d f df fd d d ddr r dr dr r dr dr r dr r dr r dr r

+ + + + + =

Las soluciones generales para esta ecuacin son:

( ) 21 1 2 3 4log log logf r C r r C r C r C= + + +

( ) 2 4 72 5 6 82Cf r C r C r Cr= + + +

( )2 2 4 71 2 3 4 5 6 82( , ) log log log cos 2Cr C r r C r C r C C r C r Cr = + + + + + + +

( ) 3 7 81 2 52 4 26 41 2log 2 2 cos 2r C C CC r C Cr r r = + + + + +

( ) 23 71 2 5 62 463 2 log 2 2 12 cos 2C CC r C C C rr r = + + + + +

2 7 85 6 4 2

6 22 6 cos 2rC CC C rr r

= + Ahora debemos encontrar el valor de las constantes: 1 8...C C , y los valores mximos de los esfuerzos en la placa debidos al barreno. Ya que y , r , y r deben ser finitos: 1 6 0C C= = Las cinco constantes son determinadas de las condiciones de frontera (94)

2 4 2

2 4 2

3 41 1 cos 22 2rS a S a a

r r r = + +

2 4

2 4

31 1 cos 22 2S a S a

r r = + + (97)

4 2

4 2

3 21 22rS a a sen

r r = + + En r=a

( )max 3S = para ( )/ 2

3 / 2punto A

punto B

=

( )3,

2 2

2 4

2 4

322S a a

r r

=

= + +

Para r>10

S

Problema de la placa con barreno sujeta a cortante de intensidad S.

De la ecuacin (97):

2 4 2

2 4 2

3 41 1 cos 22 2 2rS a S a a

r r r = +

2 4

2 4

31 1 cos 22 2 2S a S a

r r = + + + (98)

4 2

4 2

3 21 22 2rS a a sen

r r = +

Superponiendo (97) y (98):

4 2

4 2

3 41 cos 2ra aSr r

= +

El estado de esfuerzos 1 puede ser determinado como:

21 1

1 1122x

C y

C S C S

== = =

21

12Sy =

Los esfuerzos alrededor de la placa sin el agujero son:

PARA EL CASO 1 APLICAMOS EL TEOREMA DE SUPERPOSICIN.

x S = 0y xy = = Introduciendo coordenadas polares, r y :

( )2 2 21 1 1 1 cos 22 4Sr sen sr = =

( )( ) ( )2 21 2 2 21 1 1 1 12 1 cos 2 4cos 24r S r Srr r r r r = + = +

( ) ( )1 1 11 cos 2 cos 2 1 cos 22 2r S S S = + = + ( )21 2 1 1 cos 22 Sr

= =

Donde: R=a; 0r r = = Las condiciones de esfuerzos asociadas al barreno son:

( )1 1 1 cos 22r S en r a = + = 2

1 22rSsen en r a = =

2r ren r a = = =

Utilizando la funcin de Airy en coordenadas polares, la funcin que satisface las condiciones establecidas es:

2 2 2 4 72 1 2 3 4 5 6 82log log cos 2

CC r r C r C r C C r C r Cr

= + + + + + + + Los esfuerzos son:

1

21 1 1 2 24rSr sen

r r r r

= =

1

1 22rSsen =

( )2

7 81 2 3 52 4 2

6 411 2log 2 2 cos 2rC CC r C C C

r r r = + + + + +

( )2

2 71 2 3 5 62 4

613 2log 2 2 12 cos 2CC r C C C C rr r

= + + + + +

2

2 7 85 6 4 2

6 22 6 2rC CC C r senr r

= + Aplicando las condiciones de frontera en r = .

( )1 2 51 2 log 2 2 cos 2 0C C C + + = ( )1 2 53 2 log 2 2 cos 2 0C C C + + + = 52 2 0C sen =

Entonces se tiene: 6 0C = ; 5 0C = ; 1 0C = ; 2 0C =

Los esfuerzos son:

2 3 7 82 4 2

1 1 16 4 cos 2r C C Cr r r = +

2 3 72 4

1 1 6 cos 2C Cr r

= +

2 7 84 2

1 16 2 2r C C senr r = + Aplicando condiciones de frontera para r=a.

( ) 3 7 83 4 21 1 6 41 cos 2 cos 22 S C C Ca a a + = +

7 84 2

1 1 262Ssen C C sen

a a = +

4

7 82

1 22 6

aC S Ca

= +

( ) 43 8 82 4 2 21 6 1 2 41 cos 2 cos 2 cos 22 2 6C aS S C Ca a a a

+ = +

( ) 3 82 21 1 21 cos 2 cos 2 cos 22 2CS S Ca a

+ =

( ) 3 82 21 21 cos 2 cos 22CS Ca a

+ = 2

312

C a S= ; 28 12C a S=

Sustituyendo 2812

C a S= :

4

7 82

1 22 6

aC S Ca

= + 4

714

C a S= Para el caso uno los esfuerzos totales son:

( ) 321 11 cos 22Ir S a Sr = +

4

4

31 cos 2aSr

= +

4 2

4 2

31 2 2ra aS senr r

= + Para r=a: ( ) ( )min 4S = = 0,Para =

( ) ( )max 4S = = 3,2 2Para =

En los puntos A,B,C y D la concentracin de esfuerzos es cuatro veces el esfuerzo promedio en la placa. 4.10. (PROBLEMA DE HERTZ). DISCO SUJETO A DOS FUERZAS CONCENTRADAS OPUESTAS.

En y=0:

22 2

2 2

2 44x

P D xD D x

= +

22

2 2

2 4 14y

P DD D x

= +

0xy =

El valor mximo de y es aproximadamente dos veces el valor promedio local.