4. PROBLEMAS BIDIMENSIONALES EN COORDENADAS POLARES.
4.1.- Ecuaciones Generales en Coordenadas Polares: En el anlisis de esfuerzos en geometras como anillos y discos, barras curvas de seccin rectangular con un eje circular, cilindros sometidos a presin interna y externa, placas con orificio, etc., resulta ventajoso el uso de coordenadas polares.
Esfuerzos normales r y Esfuerzos cortantes r y r , donde para el equilibrio r = r
P se encuentra en el plano medio, P(r, ). El elemento delimitado por lados 1, 2, 3 y 4, es formado por el corte de secciones normales a la placa 02 y 04, y por dos superficies cilndricas 1 y 3, normales a la placa.
Consideremos el equilibrio del pequeo elemento y tomando en cuenta la variacin del esfuerzo en cada una de las caras del elemento. Para la direccin radial Esfuerzos normales: Lado 1: ( ) ( ) drdr rr 111 = Lado 3: ( ) ( ) drdr rr 333 = Lado 2: ( ) ( )
22 22 drdddrsen
Lado 4: ( ) ( )22 44 drdddrsen
Esfuerzos cortantes: ( ) ( )[ ]drrr 42 Adems considerando: R Fuerza de cuerpo por unidad de volumen en la direccin radial. S Fuerza de cuerpo por unidad de volumen en la direccin tangencial. Realizando sumatoria de fuerzas e igualando a cero (ya que esta en equilibrio): = 0rF ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) 0
22 424231=++ drrdRdrdrddrddrdr rrrr
Arreglando y dividiendo drd : ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 0
21 42
4231 =+++ Rr
ddrrr rrrr
Haciendo: ( ) ( ) ( )
rr
drrr rrr
dr =
310
lim ( ) ( )[ ] ( )
=
rrr
d dlm42
0
( ) ( )[ ] + 4221
por lo tanto: ( ) ( ) 0=+
+ Rr
rr rr
es decir: ( ) ( ) 01 =+
+ R
rrrrrr
Ec. (4.1)
si hacemos de igual manera suma de fuerzas en la direccin tangencial, resulta:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 022 24423311
=++++ drrdSddrddrdrdrdrdr rrrr Dividiendo ( )drrd : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
02
243142 =++++ Srrdr
rrrd
rrrr
Haciendo ( ) ( ) ( )
=
dlmd42
0
( ) ( ) ( )rr
rdrrr rrr
drlm
=
310
( ) ( )[ ] rrr = 4221 Se obtiene: ( ) 011 =++
+ S
rrrrrr
Simplificando se tiene que:
0211 =+++
Srrrrrr
Ec. (4.2)
Cuando las fuerzas de cuerpo son cero y utilizando un procedimiento idntico al realizado en coordenadas rectangulares, se puede obtener la funcin de esfuerzos
),( r cuya relacin con las componentes de esfuerzos es:
2
2
211
+
=rrrr
2
2
r= Ec. (4.3)
=
= rrrrrr
111 22
Las ecuaciones 4.3 deben satisfacer la siguiente ecuacin de compatibilidad:
0= conociendo que ( ),r= donde el operador en coordenadas polares:
2
2
22
2 11drrrr+
+=
por lo tanto la ecuacin de compatibilidad resulta:
01111 22
22
2
2
2
22
2
=
+
+
+
+
drrrrdrrrr Ec. (4.4)
4.5 Componentes de Deformacin en Coordenadas Polares
Considerando los desplazamientos en Coordenadas Polares, u en la direccin radial y v en la direccin tangencial.
Considerando que la deformacin total del punto genrico P a su posicin final P' se compone de dos deformaciones distintas: 1. Una deformacin en la cual las componentes u y v tienen en todo lugar el mismo valor (u y v son constantes). 2. Una deformacin en la cual solo se considera la variacin de las componentes u y v. Caso 1. u y v son constantes
PP1 y P' P1' son paralelas PP2, y P'P2; son paralelas PP1= PP1 PP2= rd ; PP2=(r+u) d Entonces:
( ) ( )ru
rdrddur
PPPPPP =+==
2
221
( ) 01 =r ( ) rr =1
Para el caso 2:
( )ru
dr
drru
PPPPPP
r =
==
1
112
( )
=
==rrd
d
PPPPPP 1
2
222
=
= urrd
du 1tan 1
rrdr
drr
=
=
2tan
( )r
urr
++=
1212
Sumando los casos 1 y 2, se obtiene:
ru
r =
+=
rru 1 Ec. (4.5)
rru
rr
+
= 1 Sustituyendo (4.5) en las ecuaciones de la Ley de Hooke para esfuerzo plano, se obtiene:
( ) == rr Eru 1
( )rErru
=+= 11 Ec. (4.6)
Grru
rr
r
=+
= 1 Sustituyendo (4.5) en las ecuaciones de Hooke para deformacin plana:
( ) ( )[ ] += 111 2 rr E ( ) ( )[ ]rE += 111 2 Ec. (4.7)
;Gr
r
= ( ) += rz
4.3. Distribucin Simtrica de Esfuerzos Alrededor de un Eje Cuando la distribucin de esfuerzos (o la funcin de esfuerzos) depende solo de r, es decir, es independiente de la variable , la ecuacin de compatibilidad (4.4), se transforma:
011211 322
23
3
4
4
2
2
2
2
=++=
+
+
drd
rdrd
rdrd
rdrd
drd
rdrd
drd
rdrd Ec. (4.8), Ec. de
Euler Esta es una ecuacin diferencial ordinaria, la cual puede ser reducida a una ecuacin diferencial lineal con coeficientes constantes introduciendo una variable t tal que r = et. De esta forma, la solucin es fcilmente obtenida:
DCrrBrrA +++= 22 loglog Ec. (4.9)
Sustituyendo (4.9) en (4.3), se encuentran las componentes de esfuerzo:
( ) CrBrA
rrr2log211 2 +++=
=
( ) CrBrA
r2log2322
2
+++== Ec. (4.10)
0= r
( ) += rz r 4.4.- Desplazamientos para Distribuciones Simtricas de Esfuerzos: De las ecuaciones (4.6) para esfuerzo plano, se obtiene para las componentes de desplazamiento: ( ) ( ) ( ) ( )
++++=
CBrBr
AEr
u 1231log1211 2 de donde ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) frCrBrBr
rA
Eu +
++++= 121log1211 Ec. (4.11)
y ahora de la segunda ecuacin de (4.6), se tiene que:
( ) ( )
fEBru
Er
r == 4 de donde
( ) ( )rfdfEBr
10
4 += Ec. (4.12) Notando que si 0= r , entonces ,0= r y sustituyendo en (4.5), se encuentra: ( ) ( ) ( ) ( ) 0111 11 =+
+ rfrdfrrrffr
Donde se obtiene que: ( ) Hrrf =1 y ( ) cosJDsenf += Sustituyendo en (4.11) y (4.12) resulta: ( ) ( ) ( ) ( ) cos121log1211 JDsenrCrBrBr
rA
Eu ++
++++=
HrJsenDEBr ++= cos4
Donde A, B, C, D, H y J, son constantes. 4.5.- Flexin pura en Barras Curvas (Problema de Golovin - Ribiere) Se considera una barra curva con una seccin transversal rectangular delgada constante y con un eje circular en el plano de curvatura debido a dos pares iguales y opuestos aplicados en los extremos. El momento flexionante en este caso es constante a lo largo de la longitud de la barra y por lo tanto la distribucin de esfuerzos es el mismo en todas las secciones transversales radiales.
Condiciones de frontera -Las fronteras cilndricas estn libres de esfuerzos normales:
0=r para r = a y r = b
0= drba
Mrdrb
a
= en la frontera Sustituyendo las condiciones de frontera en (4.1):
( ) 02log212 =+++ CaBaA para r = a
( ) 02log212 =+++ CbBbA para r = b
De la condicin
Mrdrr
rdrb
a
b
a
== 22
Al resolver la integral, se tiene:
b
a
b
a
b
a
b
a
b
a
rr
drr
rr
rdrr
=
=
22 De la primera condicin de frontera, tenemos que:
0= b
a
rr
Por lo tanto, resulta que:
Mba=
De la expresin (4.9), se obtiene:
( ) ( ) ( ) ( ) MabCaabbBabAab =++= 2222 logloglog
Resolviendo el sistema para A, B y C, se obtiene:
abba
NMA log4 22=
( )222 abNMB = Ec. (4.14)
( )[ ]aabbabNMC loglog2 2222 +=
Donde:
( )
=
222222 log4
abbaabN
Sustituyendo (4.14) en (4.10), se tiene que:
++=
raa
brb
ab
rba
NM
r logloglog4 22
2
22
+++= 22222
22
logloglog4 abraa
brb
ab
rba
NM
Ec. (4.15) 0= r
Las fuerzas que generan los esfuerzos tangenciales producen fuerzas en la direccin radial tendiendo a separar longitudinalmente las fibras y produciendo esfuerzo normal en la direccin radial. Este esfuerzo se incrementa hacia la superficie neutra y se convierte en un mximo cerca de esta superficie. Este mximo siempre es mucho menor que ( )max . Por ejemplo, para: ( ) ( ) ;060.0,3.1 maxmax == rab ( ) ( ) ;138.0,2 maxmax == rab
( ) ( ) ;193.0,3 maxmax == rab Solucin de:
0112 322
23
3
4
4
=++drd
rdrd
rdrd
rdrd
Haciendo r = et: ( )
dtde
dtdrdtd
dtdt
drd
drd t ===
==
=
= dtd
dtde
dtde
dtde
dtde
dtde
dtdt
dtde
drd
drd tttttt
2
222
2
22
2
2
=
=
=
dtd
dtde
dtd
dtde
dtd
dtde
dtde
dtdt
dtd
dtde
drd
drd ttttt
2
23
2
2
3
33
2
22
2
22
3
3
2
+=
dtd
dtd
dtde t 23 2
2
3
33
+=
+=
+= 2
2
3
3
4
44
2
2
3
33
2
2
3
33
3
3
232323dtd
dtd
dtde
dtd
dtd
dtde
dtde
dtdt
dtd
dtd
dtde
drd
drd tttt
+=
+
dtd
dtd
dtd
dtde
dtd
dtd
dtde tt 6116233 2
2
3
3
4
44
2
2
3
34
Sustituyendo en la ecuacin diferencial adems de arreglar los coeficientes:
02326116 422
42
2
3
34
2
2
3
3
4
44 =
+
++
+
dtde
dtd
dtde
dtd
dtd
dtde
dtd
dtd
dtd
dtde tttt
Reduciendo,
044 22
3
3
4
4
=+dtd
dtd
dtd
La ecuacin caracterstica,
;04 234 =+ Resolviendo: ;021 == ;243 == [ ] [ ]43221 CtCetCC t +++= Realizando un cambio de variable,
rCCrrCrC lnln 432
22
1 +++=
Arreglando:
DCrrBrrA +++= 22 lnln
Demostracin de que ( ) ( )
fEBru
Er
r == 4
( ) ( )
++++++= CrBrACrB
rA
Er 2log212log23 22
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) frCrBrBrArE
++++ 121log1211
[ ] ( ) ( ) f
EBrfBr
E=++= 4131
Problema 1. Muestre que para un cilindro largo de pared delgada uniforme de radio interno R0, radio externo R y una pared de grosor T, el esfuerzo radial r en algn grosor t esta dado por: ( )
( )tRtT
TRpr +
=0
0 Donde p es la presin interna, con una presin externa igual a cero. Encuentre la expresin equivalente para el esfuerzo tangencial. Nota: Para cilindros de pared delgada, el esfuerzo tangencial puede ser considerado como independiente del radio. De la ecuacin de equilibrio: ( ) ( ) 01 =+
++ R
rrrrrr
Por simetra:
0= r
En ausencia de fuerzas de cuerpo R=0 ( ) 0=+
rrrr
Arreglando:
( ) =+
r
r
rr
( ) ; =
rr r Como es independiente de r
;Crr r += Ahora, aplicando condiciones de frontera: Cuando r = R entonces 0=r
;0 CR += RC = )( Rrr r = Ec. (1)
Cuando r = R0 entonces pr = ( ) ;00 RRpR =
( )RRpR= 00 T
pR0= la cual es una constante De (1) sustituyendo
=TpR
rRr
r0
Sustituyendo r = R0 + t
( )tRtRR
TRpr +
=0
00
( )tRtT
TRpr +
=0
0 Problema 2: Encuentre el estado de esfuerzo y deformacin en los planos A y B de la barra curva delgada, hecha de aleacin de aluminio (E = 72 Gpa, 33.0= ), la cual est sujeta a flexin pura con un momento M = 24kNm. De la geometra a = 0.1 m, b = 0.25 m Tenemos que
+++= 22222
22
logloglog4 abraa
brb
ab
rba
NM
Donde:
( )
=
222222 log4
abbaabN
Para A; r = 0.1 Ya que A esta en la frontera 0= r De (1) MPa0608.9= Para las deformaciones, ya que es una placa delgada, se toma como EEP:
0= r
Para B; r = 0.25 Ya que B esta en la frontera 0= r De (1) MPa9914.4= Para las deformaciones, se considera EEP debido a que es una placa delgada:
0= r
4.7. TUBOS DE PARED GRUESA SUJETOS A PRESIN INTERNA Y EXTERNA DISTRIBUIDA UNIFORMEMENTE. (PROBLEMA DE LAME)
Esta completamente restringido en las bases x = 0 y z = L, de (4.5)
rU
r =
rU= Ec. (4.19)
Sustituyendo la Ley de Hooke para ( ),, rr f = (4.9), y sustituyendo (4.10)
( ) ( ) ( ) ( ) ++++ +++= CrBrACrBrAErU 2log2312log2111 222 Ec. (4.20)
De la segunda ecuacin de (4.7) EDP:
rU = ( ) ( ) ( ) ( ) ++++ +++= CrBrACrBrAErU 2log2112log231 222 Derivando:
( ) ( ) ( ) ( ) ++++ +++= CrBrACrBrAEdrdU 2log2112log2311 222 ( ) ( ) ++ ++ rBrArBrAEr 221221 332 Ec. (4.21) Igualando (4.20) y (4.21), arreglando y comparando: ( ) 014 = B B = 0 De (4.10)
CrA
r 22 +=
P1
P2
CrA 22 += Ec. (4.22)
Las condiciones de frontera son:
( ) 121 2 PCrA
rrr =+== ( ) 222 2 PCr
Arrr =+== (-), el signo menos indica que las fuerzas van hacia
el cuerpo
( ) ;21
22
122
22
1
rrPPrrA
= ;2 21
22
22
212
1
rrPrPrC
= Sustituyendo en (4.22)
( )2
12
2
22
212
122
12
2
122
22
1 1rrPrPr
rrrPPrr
r +
= ( )
21
22
22
212
122
12
2
122
22
1 1rrPrPr
rrrPPrr
+
= Ec. (4.23) Para deformacin plana: ( ) += rz ( ) tecons
rrPrPr
z tan2
21
22
22
212
1 == Ec. (4.24)
si 01 P y P2 = 0
( )
= 2
22
21
22
12
1 1rr
rrPr
r Ec. (4.25) ( )
+= 2
22
21
22
12
1 1rr
rrPr
Ec. (4.26)
0 Tensin
En los valores extremos
r = r1 ( ) ( ) 11 Pmnrrrr ===
( ) ( )mxrr rrrrP =
+== 2
12
2
22
21
11
Un cilindro de pared delgada de 3in de dimetro interior esta sujeto a una presin externa de 6000 lb/in2. No hay presin interna. El esfuerzo de trabajo del material es de 18000lb/in2 determine el dimetro exterior del cilindro.
22
.
6000
18000
1.5?
W
W
i
ext
Esfuerzo permisible detrabajolbPin
lbin
r ind
==
===
2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1
2 2 2 2 21 2 2 2 2 2 2 1
2 2 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1
( ) 1 1
( ) 1 1
rr r P r P r P rr r r r r r r r
r r P r P r P rr r r r r r r r
= = = = +
El esfuerzo crtico se representa en el borde interior (r=1.5in)
2 22 2 1
2 2 22 1
1 0rr P rr r r
= =
( )( )
( )2222 22
2
6000 1.51 18000
1.51.5rr
= + =
( )2
222
2
2
321.5
1.5 3
rr
r
==
2 22 3 35.20ext
d rd in
= ==
Se tiene una flecha de acero slida de 6 in de dimetro dentro de un cilindro. El dimetro que tiene el cilindro de acero es 16 in, la reduccin ser 0.0005 in/in.
a) Calcule la presin externa Po sobre el lado exterior del cilindro la cual se requiere para reducir a cero la tensin tangencial en el lado interior del cilindro.
b) Calcular la presin radial resultante en la superficie de la flecha. ( )( )
( )2 2 2 2
1 1
2 2 21 12
i oens
o i
r r r rP E
r r r r =
1
6
380
30 100.0005 / 0.0005(6) / 2 0.0015
o
i
r inr inrE x
in in
===== =
r o
o
PP
= =
( )630 10 0.0005 3 9*55 2148.44*33 2*9*64
6445.3125
ens
ens
xP
P
= = =
( )( )
2 2
2 2
9 64 9 641 164 9 55
9 64 9 641 164 9 55
ensr ens
ensens
PP
r rP
Pr r
= = = + = +
Tubo hueco:
3
9 64 155 9rr ens ens
P P = = =
89 64 1 055 64rr ens
P = = =
3
9 64 73155 9 55r ens ens
P P = = + =
8
9 64 18155 64 55r ens ens
P P = = + = a)
0cilindro composite + =
[ ]00
73 6445.3125 055
8554.6875
P
P
+ ==
b)
0
8554.6875 6445.313515000
15000
r ens
r
r
P P
P psi
= = =
=
APLICACIN A ENSAMBLES FORZADOS. Al realizar el ensamble (por contraccin, o por interferencia) se construye un tubo compuesto PRE-ESTRESADO, y por lo tanto es posible deducir los esfuerzos dentro del tubo cuando acta la presin interna.
De ;U U rr
= =
( ) ( )21 1 rrU E = + Sea 1 ir r= y 2 0r r= ;en las ecuaciones para y r :
( )2 2 2 22 0 1 02 12 2 2 20 0
1 1 1i ii i
P r Pr r rU r P PE r r E r r r += +
Si 1 0P y 2 0P = Ui dentro del tubo (r=ri), es:
2 2 21 0
2 20
i ii
i
Pr r rUE r r
+= + Si 1 0P = y 2 0P en el exterior del tubo (r=r0)
2 2 22 0
2 20
o io
i
P r r rUE r r
+=
Sea la interferencia y P la presin de un tubo sobre otro, entonces:
i oU U + =
2 2 2 21 11 1
2 2 2 21 1
Pr Pro oo o
r r r rE r r E r r
+ ++ + =
De donde 2 2 2 2
1 0 12 2 2
1 1 0
( )( )2 ( )
i
i
r r r rP Er r r r = (pre-forzado)
Los esfuesos en el tubo interior son:
22
12 2 2
1
Pr 1 iri
rr r r
=
22
012 2 2
0 1
Pr 1 rr r r
= + 22
12 2 2
1
Pr 1 ii
rr r r
= + Compresin. Los esfuerzos en el tubo exterior son:
2201
2 2 20 1
Pr 1 rr r r
= + (Tensin)
2201
2 2 20 1
Pr 1rr
r r r = Si ahora existe una presin interna P1 para el tubo compuesto, los esfuerzos son los mismos para r1 y r0 a esto se debe sumar los esfuerzos de ensamble. r1= 8 r2= 16 P1= 15000 psi
max64 256(15000)256 64
+ =
1
m a x 2 5 0 0 01 5 0 0 0r r
p s ip s i
=
==
[ ]2
2 21
2 22 1
2 2(8) 15000256 64
100004084
13894
r
r rr p
r rpsi
psiy
psi
== = ==
=
Teora clsica (calculo del espesor en recipientes a presin) (pared delgada)
max
15000(12) 225008
22500
oprt
psi
psi
=
= ==
Una flecha de acero de 5 in de dimetro tiene ensamblado un disco de acero de 25 in de dimetro. La deformacin en la flecha es 0.0008 in/in.
a) Encuentre los esfuerzos radial y tangencial del ensamble b) Encontrar w
c) Si ?2 r = =
6
3
1
0.0008 / 0.0008(5 / 2)0.00230 100.30.28 /
7.2464 1032.2(12).
u in in
E x
lb in
x
pens
= ====== =
2 2 2 21 0 1
2 2 21 1 0
1
0
( )( )2 ( )
2.512.50
i
i
i
r r r rP Er r r r
r inr inr
= ===
Esfuerzos en el ensamble
2201
2 2 20 1
2201
2 20 1
Pr 1
Pr 1
rr
r r r
rr r r
= = +
Esfuerzo radial y tangencial en el ensamble:
630 10 (0.002) 86.25)(150) 115202.5 2(6.25)(156.25)
xpens psi = =
Esfuerzos de ensamble:
2201
2 2 20 1
Pr 1rr
r r r = =
2 2
2 2
(2.5) (12.5) 1(12.5) (2.5)pens
r =
(6.25) 156.25 1150r
pensr
= ; (6.25) 156.25 1
1.50pens
r = +
2.5
2.5
(6.25) 156.25 1150 6.25
(6.25) 156.25 1 1.08333150 6.25
1152012480
r
r
r
r
pens pens
pens pens
psipsi
=
=
= = = + =
= =
b).-
2 2 2
3 2
2
2
3 ( )8
3 0.3 (8.69565 10 ) (156.25 6.25)8
0.5380411520 3012 506.8835
0.538044840.381
r
r
r
R r
x
x
rpm
+= +=
= = =
=
c).-
Si
211520
41152011520 3/ 4(11520)
48840
r
r
r psi
=
=
= + ==
4.8 DISCOS Y CILINDROS ROTATORIOS.
2Fr w= ; mV
= Espesor constante girando a altas velocidades. diseo de turbinas Fuerza centrifuga por unidad de volumen. (Fuerza de cuerpo (inercial)) Condicin de equilibrio parta las fuerzas radiales
(78) se satisface con:
2 2
r rd w rdr
=
= + (79)
Debido a la Simetra:
rdudr
= ; ur
= ; 0r = (80)
Eliminando u, de (80), se tiene:
(81)
Combinado(79) con la ley de hooke (82) y luego en (81) se obtiene:
1 ( )r rE =
(82) 1 ( )rE
= 2
22 2
1 (3 ) 0d d w rdr r dr r + + + =
(83)
2
2 2
( ) ( ) 2 02
0
( ) 0
rr
r
rr
r
ddr r dr d Fr rd dr drsen
d w rdr rd r w rdr
+ + + = + + =
+ =
( ) 0 0r rdd r r
dr dr
= + =
21 ( ) (3 )d d r w rdr r dr
= +
Integrado (83)
(84)
2 2 1 22
38 2r
c cw rr
+= + +
2 2 1 22
1 38 2
c cw rr
+= + + (85)
a).- Caso de un disco solido delgado de radio R C2= 0 ya que r y son finitos; r=0 ( ) 0r r R = = en la superficie libre
2 21
34
C w R +=
( )2 2 238r
w R r +=
( ) ( )2 2 23 1 38w R r
= + + (86) El mximo ocurre en el centro
Esfuerzo Mximo 0
2 20
3( ) ( )8rr r
w R == += =
b).-Disco delgado con barreno
1
2
2 2 1 21 2
1
2 2 1 22 2
2
3( ) 08 2
3( ) 08 2
r r R
r r R
c cw rR
c cw RR
=
=
+= + + =+= + + =
Resolviendo:
2 31 2
3 1( )8 2
rr w r c cr
+= + +
2 2 211 2)
3 (2 8c w R R += + ; 2 2 22 1 23 ( )8c w R R
+= +
2 2
2 2 2 21 21 2 2
38r
R Rw R R rr
++= + +
2 22 2 2 21 2
1 2 2
3 1 38 3
R Rw R R rr
++ += + + +
(88) El valor mximo de ocurre en r= R 1
22 2 1
max 2 22
3 118 3
Rw RR
+ = = + +
(89) Si 1 0R
2 2max 2
3( )4
w R +=
(90) Que representa el doble de (87), por lo tanto con un barreno se incrementa al doble los esfuerzos en el radio interior del disco. c).- Cilindro slido El problema ahora es de deformar plana:
[ ][ ]
1 (1 )
1 (1 )
r r
r
E
E
+= +=
(91)
Ahora
2 3 1 21 3 28 1 2
c r cw rr
= + +
2 3 1 22
1 3 28 1 2r
c cw rr
= + +
2 3 1 22
1 1 28 1 2
c cw rr
= +
Tambin 2 0C = y 2 21 1 34 1C w R
=
2 2 21 3 28 1r
w R r =
( ) ( )2 2 21 3 2 1 1 28 1
w R r
= +
Esfuerzos mximos.
0 0
2 21 3 28 1r rr
w R = =
= =
d) Cilindro con agujero.
2 22 2 2 21 2
2 1 2
1 3 28 1r
R Rw R R rr
= +
2 2
2 2 2 21 22 1 2
1 3 2 1 28 1 3 2
R Rw R R rr
+ = + + +
Si 1 2/R R es despreciable 1 0R :
( )max 2 223 2
4 1w R
=
Dos veces mayor que para el caso anterior.
4.9. CONCENTRACIN DE ESFUERZOS DEBIDO A UN BARRENO CIRCULAR EN UNA PLACA ESFORZADA (PROBLEMA DE KIRSCH).
Placa infinita sujeta a un esfuerzo uniforme de tensin, de intensidad S en la direccin X.
Condicin 1: No existe barreno: ( )1x S = ( )1 0y = ( )1 0xy = Este estado de esfuerzos puede ser derivado:
21
12 yS =
Introduciendo las coordenadas r y :
( )2 2 21 1 1 cos 22 4rSS sen r = =
Y los correspondientes esfuerzos son:
( ) 2 1 12 21 1 1 1 (1 cos 2 )2r Sr r r
= + =
( ) 2 121 1 (1 cos 2 )2 Sr = =
( ) 11 1 1 ( 2 )2r S senr r r = =
Para un barreno de radio a se plantean las siguientes condiciones de frontera: En r=a; 0r = ; 0r = En r = ; ( )1r r = ; ( )1r r = ; ( )1 = La funcin de esfuerzo , debe satisfacer la ecuacin de compatibilidad.
2 2
2 2 2 2 2 2
1 1 1 1 0r r r r r r r r
+ + + + =
( ) 1 2, ( ) ( ) cos 2r f r f r = + Sustituyendo en la ecuacin de compatibilidad:
2 22 21 1 2 2 2
2 2 2 2 2 2
41 1 1 4 1 cos 2 0d f df d f df fd d d ddr r dr dr r dr dr r dr r dr r dr r
+ + + + + =
Las soluciones generales para esta ecuacin son:
( ) 21 1 2 3 4log log logf r C r r C r C r C= + + +
( ) 2 4 72 5 6 82Cf r C r C r Cr= + + +
( )2 2 4 71 2 3 4 5 6 82( , ) log log log cos 2Cr C r r C r C r C C r C r Cr = + + + + + + +
( ) 3 7 81 2 52 4 26 41 2log 2 2 cos 2r C C CC r C Cr r r = + + + + +
( ) 23 71 2 5 62 463 2 log 2 2 12 cos 2C CC r C C C rr r = + + + + +
2 7 85 6 4 2
6 22 6 cos 2rC CC C rr r
= + Ahora debemos encontrar el valor de las constantes: 1 8...C C , y los valores mximos de los esfuerzos en la placa debidos al barreno. Ya que y , r , y r deben ser finitos: 1 6 0C C= = Las cinco constantes son determinadas de las condiciones de frontera (94)
2 4 2
2 4 2
3 41 1 cos 22 2rS a S a a
r r r = + +
2 4
2 4
31 1 cos 22 2S a S a
r r = + + (97)
4 2
4 2
3 21 22rS a a sen
r r = + + En r=a
( )max 3S = para ( )/ 2
3 / 2punto A
punto B
=
( )3,
2 2
2 4
2 4
322S a a
r r
=
= + +
Para r>10
S
Problema de la placa con barreno sujeta a cortante de intensidad S.
De la ecuacin (97):
2 4 2
2 4 2
3 41 1 cos 22 2 2rS a S a a
r r r = +
2 4
2 4
31 1 cos 22 2 2S a S a
r r = + + + (98)
4 2
4 2
3 21 22 2rS a a sen
r r = +
Superponiendo (97) y (98):
4 2
4 2
3 41 cos 2ra aSr r
= +
El estado de esfuerzos 1 puede ser determinado como:
21 1
1 1122x
C y
C S C S
== = =
21
12Sy =
Los esfuerzos alrededor de la placa sin el agujero son:
PARA EL CASO 1 APLICAMOS EL TEOREMA DE SUPERPOSICIN.
x S = 0y xy = = Introduciendo coordenadas polares, r y :
( )2 2 21 1 1 1 cos 22 4Sr sen sr = =
( )( ) ( )2 21 2 2 21 1 1 1 12 1 cos 2 4cos 24r S r Srr r r r r = + = +
( ) ( )1 1 11 cos 2 cos 2 1 cos 22 2r S S S = + = + ( )21 2 1 1 cos 22 Sr
= =
Donde: R=a; 0r r = = Las condiciones de esfuerzos asociadas al barreno son:
( )1 1 1 cos 22r S en r a = + = 2
1 22rSsen en r a = =
2r ren r a = = =
Utilizando la funcin de Airy en coordenadas polares, la funcin que satisface las condiciones establecidas es:
2 2 2 4 72 1 2 3 4 5 6 82log log cos 2
CC r r C r C r C C r C r Cr
= + + + + + + + Los esfuerzos son:
1
21 1 1 2 24rSr sen
r r r r
= =
1
1 22rSsen =
( )2
7 81 2 3 52 4 2
6 411 2log 2 2 cos 2rC CC r C C C
r r r = + + + + +
( )2
2 71 2 3 5 62 4
613 2log 2 2 12 cos 2CC r C C C C rr r
= + + + + +
2
2 7 85 6 4 2
6 22 6 2rC CC C r senr r
= + Aplicando las condiciones de frontera en r = .
( )1 2 51 2 log 2 2 cos 2 0C C C + + = ( )1 2 53 2 log 2 2 cos 2 0C C C + + + = 52 2 0C sen =
Entonces se tiene: 6 0C = ; 5 0C = ; 1 0C = ; 2 0C =
Los esfuerzos son:
2 3 7 82 4 2
1 1 16 4 cos 2r C C Cr r r = +
2 3 72 4
1 1 6 cos 2C Cr r
= +
2 7 84 2
1 16 2 2r C C senr r = + Aplicando condiciones de frontera para r=a.
( ) 3 7 83 4 21 1 6 41 cos 2 cos 22 S C C Ca a a + = +
7 84 2
1 1 262Ssen C C sen
a a = +
4
7 82
1 22 6
aC S Ca
= +
( ) 43 8 82 4 2 21 6 1 2 41 cos 2 cos 2 cos 22 2 6C aS S C Ca a a a
+ = +
( ) 3 82 21 1 21 cos 2 cos 2 cos 22 2CS S Ca a
+ =
( ) 3 82 21 21 cos 2 cos 22CS Ca a
+ = 2
312
C a S= ; 28 12C a S=
Sustituyendo 2812
C a S= :
4
7 82
1 22 6
aC S Ca
= + 4
714
C a S= Para el caso uno los esfuerzos totales son:
( ) 321 11 cos 22Ir S a Sr = +
4
4
31 cos 2aSr
= +
4 2
4 2
31 2 2ra aS senr r
= + Para r=a: ( ) ( )min 4S = = 0,Para =
( ) ( )max 4S = = 3,2 2Para =
En los puntos A,B,C y D la concentracin de esfuerzos es cuatro veces el esfuerzo promedio en la placa. 4.10. (PROBLEMA DE HERTZ). DISCO SUJETO A DOS FUERZAS CONCENTRADAS OPUESTAS.
En y=0:
22 2
2 2
2 44x
P D xD D x
= +
22
2 2
2 4 14y
P DD D x
= +
0xy =
El valor mximo de y es aproximadamente dos veces el valor promedio local.
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