Ejercicios de optimización matemática

Ejercicios de optimización matemáticaEjercicios de optimización - Enunciado 1

Encontrar el máximo de la función:

f(x)=x(5π−x) en [0,20]Con error inferior a 1, empleando búsqueda de Fibonacci.

Solución Con este ejemplo se trata de ver la capacidad operativa del método basado en los números de Fibonacci, para encontrar numéricamente el valor extremo de una función. Resolviendo analíticamente, el máximo de la función resulta en: f(x) = 5.π .x – x2 ? → f '(x) = 5.π - 2.x = 0 → x = 5.π /2Y tenemos : f(x) = f(5.π /2) = 61,685La búsqueda de Fibonacci está basada en la sucesión de números enteros del mismo nombre:

Cuyos primeros términos son : 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21 , 34 , 55 , 89 , 144 , … Para resolver el problema, el primer paso es establecer el número de iteraciones a realizar:

Por lo tanto, siguiendo la serie de los números de Fibonacci, deberemos realizar seis iteraciones para las que tenemos:

Si tomamos ahora:

y tenemos en cuenta que:

1

podemos formar el siguiente cuadro:

i ua ub uc ud f(uc) f(ud)

1 0 20 7,618 12,380 61,629 41,2002 0 12,380 4,761 7,618 52,118 61,6293 4,761 12,380 7,618 9,522 61,629 58,9034 4,761 9,522 6,665 7,618 60,271 61,6295 6,665 9,522 7,618 8,570 61,629 61,6726 6,665 8,570 7,618 7,618 61,629 61,629

Vemos entonces que podemos tomar como máximo el valor: u = 7,618 → f(u) = 61,629Y este valor se diferencia del máximo teórico en: 61,685 – 61,629 = 0,056 << 1

Tal como habíamos considerado.

Ejercicios de optimización - Enunciado 2

Resolver el siguiente problema de programación lineal:

−10x1−20x2−3x3 sujeto a:

x1+x2≤6;x2+x3≤6;x1+x3≤26;xi≥0

Solución. En primer lugar, añadimos a todas las inecuaciones una variable de holgura:

De este sistema podemos tomar como solución básica : x1 = x2 = x3 ; x4 = 6 ; x5 = 6 ; x6 = 2 → Fb = 0En estas condiciones podemos construir la tabla del algoritmo simples, teniendo en cuenta las siguientes consideraciones:

2

1ª) Se construye una primera fila con una celda menos que las restantes y se coloca en ella, a partir de la tercera celda, los coeficientes de las variables de la función a minimizar, en orden creciente de los subíndices y haciendo nulos los coeficientes de las variables de holgura.2ª) Se construye una segunda fila colocando debajo de cada uno de los números anteriores la variable correspondiente y a continuación tantas filas como condiciones restrictivas se tengan, anotando sus coeficientes en la columna correspondiente a cada variable.

3ª) Si hay n condiciones restrictivas, en las dos segundas columnas de la tabla y desde la tercera hasta la n+1 fila se colocan los coeficientes de las variables no nulas en la solución básica y los valores de dichas variables.

4ª) En la fila n+1 y a partir de la tercera columna, se colocan los valores Cq - Fq obtenidos de restar al elemento m-ésimo de la primera fila el producto ai.vmi.

5ª) En la celda correspondiente a la segunda fila, tercera columna, se coloca la suma de todos los productos de todos los pares de la tercera consideración (este valor corresponde al que toma la función a minimizar en la situación presente). Mas detalles a lo largo del texto.

A partir de las consideraciones anteriores podemos construir la tabla que viene a continuación. En ella buscaremos el llamado elemento pivote, que estará en la intersección de la columna cuya última fila sea más negativa y la fila que haga mínimo al cociente del elemento de la tercera columna con el de la considerada. Si hay varios elementos que cumplen dicha condición, se escoge uno.

Observamos que el valor C2 - F2 es el valor mas pequeño de todos los Cq - Fq y además negativo, por lo que no estamos en el punto óptimo y el vector a introducir en la base es el a2.En este caso no podemos aplicar los criterios de salida para sacar un vector de la base pero elegimos el a4. De ese modo, el pivote es v12 = 1. Todos los elementos de la fila del pivote quedan divididos por él y todos los de su columna se anulan excepto él. Para los demás elementos vij tomamos :

Para facilitar estas transformaciones se puede proceder por filas ya que en este caso se

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tendría, por ejemplo para la segunda:

En este caso v22 = 1 y no se anula el factor correspondiente (salvo que sea nulo v1j) pero podría ocurrir que v22 fuera nulo y ello simplificaría las operaciones.Para los elementos de la tercera columna que deban transformarse tomamos:

Esto salvo para el elemento que nos da el valor de la función (el primero de la columna) en la situación presente, que se calcula del mismo modo que para la tabla anterior. Para ello se cambian antes los elementos de la segunda columna escribiendo en su lugar el coeficiente según la función a minimizar, de cada una de las variables de la base. Finalmente, los elementos Cq - Fq se toman como en el caso de la primera tabla.

Vemos que el valor C3 - F3 es negativo por lo que estamos en el punto óptimo y el vector a introducir en la base es el a3. Para determinar el vector que debe salir consideramos el criterio:

De ese modo el pivote para la nueva tabla es v32 = 1 y con los pasos ya explicados se tendrá:

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Tenemos que todos los Cq - Fq son positivos por lo que hemos llegado a la solución óptima para la que se tiene: a1 = 0 (no está en la base) ; a3 = 0 ; a2 = 6 → Fmin(x 1, x 2, x 3) = - 120


Resolver el siguiente problema de programación cuadrática: Mínimo de la función:

z=(x1−2)2+(x2−2)2 Sujeto a:

x1 + 2x2 ≤ 3; 8x1 + 5x2 ≥ 10; xi ≥ 0

Solución

Para desarrollar el problema hacemos: (x 1 - 2)² + (x 2 - 2)² = a²

Y tenemos una circunferencia de radio a y centro en (2, 2). Por lo tanto, para obtener el mínimo de z necesitamos calcular el mínimo valor de a que cumple las restricciones. Gráficamente tenemos la situación de la figura y en ella vemos que el valor mínimo de a que verifica las restricciones es el de la perpendicular desde el punto (2, 2) a la recta dada por:

pues en dicho punto se tiene:

y de ese modo se cumplen todas las restricciones.

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Para obtener la perpendicular hacemos:

y puesto que pasa por el punto (2, 2):

con lo que tendremos:


Resolver el siguiente problema de programación cuadrática. Minimizar la función:

2x21 + 2x22 − 6x1 − 2x1x2 sujeto a

x1 + x2 ≤ 2; xi ≥ 0

Solución

Podemos escribir la función objetivo en la forma:

y el problema consiste en minimizar el valor de K.

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La expresión representa la ecuación de una cónica y para ver a que tipo de cónica se refiere, calculamos el discriminante:

y, por lo tanto, tenemos una elipse (cuando el discriminante vale 0 la ecuación se refiere a una parábola y cuando es menor que cero a una hipérbola. Para que la

elipse sea real debe cumplirse Δ < 0 y tenemos:

Esto nos da para la función objetivo sin restricciones un valor mínimo de K = -6. El centro de esta elipse se encuentra como sigue:

Por otro lado, el campo de control corresponde a la zona rallada de la figura adjunta.

Según eso, vemos que el valor mínimo de z resultará cuando la recta x1 + x2 = 2 sea tangente a la elipse. La ecuación de la tangente a la elipse en un punto (x'1, x'2

viene dada por:

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con lo que tendremos: x'1(4.x1 - 2.x2 - 6) + x'2(4.x2 - 2.x'1) + (- 6.x1 - K) = 0

Y operando: (4.x'1 - 2.x'2 - 6).x1 + (4.x'2 - 2.x'1).x2 - ( 6.x'1 + K) = 0

Esta recta tiene que tener la misma pendiente que x1 + x2 = 2, por lo que tendremos:

Como el punto ha de pertenecer a la recta x1 + x2 = 2, resultará : x'1 + x'2 = 2 ? x'1 + x'1 - 1 = 2 ? x'1 = 3/2 ; x'2 = 1/2

y el valor mínimo de z será: zmin = -11/2


Resolver el siguiente problema de programación cuadrática. Minimizar la función:

−10x1 −20x2 − x1x2 − 2x21 − 2x22 sujeto a:

x2 + x3 = 8; x1 + x2 + x4 = 10; xi ≥ 0

Solución

En este problema vemos que las variables x3 y x4 no afectan a la función objetivo por lo que nos interesa que sean nulas. De ese modo, si planteamos el problema

con las restricciones

es fácil ver que tomando los valores x2 = 8 ; x1 = 2, se cumplen en grado óptimo y obtenemos el valor mínimo de la función objetivo:

x2 = 8 ; x1 = 2 ; x3 = 0 ; x4 = 0 → Fmin = - 332.

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Resolver el siguiente problema de programación cuadrática. Obtener el mínimo de la función:

−2x1−x2+x21 sujeto a :

2x1+3x2≤6;2x1+x2≤4;xi≥0

Solución

Para desarrollar el problema podemos hacer:

De ese modo tenemos una parábola con un mínimo en

y corta al eje x1 en:

Y puede comprobarse que se desplaza hacia arriba al disminuir el valor de C.El campo de control viene dado por el recinto rayado ABDE, que está definido por

las condiciones dadas en el enunciado del problema.

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Por lo tanto, dada la posición del mínimo de (*) y dado que el punto buscado ha de pertenecer a la frontera de ABDE, la posición mas elevada (mínimo de C) de la parábola será la que sea tangente a la recta AB .- 2x1 + 3x2 = 6. Esta recta tiene

una pendiente de –2/3, con lo cual :

y sustituyendo este valor de x1 en la ecuación de la recta AB:

por lo que, finalmente:


Resolver el siguiente problema de programación cuadrática. Mínimo de la función

−x1 −x2 + 12(x21+x22) sujeto a :

x1 + x2 ≤ 1; 4x1 + 2x2 ≤ 7/3; xi ≥ 0

Solución

Vamos a resolver el problema gráficamente. La función a minimizar puede escribirse en la forma:

que es una circunferencia de radio y centro (1, 1). Por lo tanto, para obtener el mínimo de F necesitamos calcular el mínimo valor de r (ó a) que

permita cumplir las restricciones.

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Según el esquema adjunto, el valor mínimo de r que hace cumplir las restricciones es el de la intersección de la perpendicular desde el punto (1, 1) a la recta da por la ecuación :

pues en dicho punto se tiene, tal como se aprecia en el esquema:

y de ese modo se cumplen todas las restricciones. La ecuación de la perpendicular será aquella que cumpla:

y puesto que pasa por el punto (1, 1) :

De ese modo tendremos :

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y el valor mínimo de la función será :


Obtener el mínimo de la función:

3x1 + x2 + 32x3 sujeto a :

x1 + x2 + x3 = 1; 15x1 + 32x2 ≤ 35; 36x1 + 24x2 + 48x3 ≥ 32

SoluciónConsiderando la primera de las restricciones podemos escribir :

y de ese modo el problema se transforma en obtener el mínimo de:

sujeto a

que resolvemos gráficamente.

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Haciendo x1 = 0 y x2 = 0, respectivamente, en cada una de las rectas que señalan restricciones, se tiene: Para la recta límite de la primera restricción los puntos de corte con los ejes (0, 0,4) y (3, 0) y para la recta límite de la segunda restricción los puntos de corte con los ejes (0, 0,66) y (1,33, 0). En la figura hemos rayado el campo de control y en ella vemos que el mínimo valor de la recta objetivo que cumple todas las restricciones es el punto (x1 = 0 ; x2 = 0,4); por lo tanto :

y el valor de las variables para el problema original es : x1 = 0 ; x2 = 0,4 ; x3 = 0,6.

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Maximizar la función

x1+x2 sujeto a :

x1+x2≥1;x1−x2≤1;−x1+x2≤1;xi≥0 Solución

Consideramos el problema gráficamente. El campo de control está rayado en la figura.

En ella podemos ver que la solución óptima no es finita.

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Maximizar la función

z=3x1−x2 sujeto a :

2x1+x2≥2;x1+3x2≤3;x2≤4;xi≥0 Ver Solución


Resolver el siguiente problema de programación lineal. Minimizar la función:

2y1 + 4y2 + 3y3 Sujeto a:

y1 − y2 − y3 ≤ −2; −2y1 − y2 ≤ −1; yi ≥ 0

SOLUCIÓNLas condiciones restrictivas son equivalentes a:

E introduciendo las variables de holgura y4 e y5 junto a la variable prefijada, y6, nos queda minimizar la función:2•y1 + 4•y2 + 3•y3 + M•y6

Sujeto a:

Podemos tomar la solución básica:

De ese modo, la primera tabla para el desarrollo del algoritmo del método el simplex nos queda como sigue:

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De todos los Cq-Fq el menor de ellos corresponde a C1-F1 ; por lo tanto, el criterio de entrada nos permite colocar en la base el vector y1. El criterio de salida nos da para sacar el vector y6. De ese modo, operando tenemos:

Para la siguiente tabla ya no necesitamos considerar la variable prefijada y6, pues su término C6 – F6 puede hacerse tan positivo como queramos. Aplicando el criterio de entrada, la nueva base acoge al vector y2 y saca al vector y1. El pivote será, por tanto v22:

Puesto que todos los Cq-Fq son positivos, hemos alcanzado el punto óptimo y la solución del problema es:


Resolver el siguiente problema de programación lineal. Mínimo de la función:

−6x1−8x2−2x3 Sujeto a:

x1 + x2 ≤ 4; x2 + x3 ≤ 3; x1 + x3 ≤ 2; xi ≥ 0

SOLUCIÓNPasamos a la forma regular mediante la introducción de variables de holgura:

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Una solución básica para este sistema es:

Y aplicando el método de simplex, la primera tabla del algoritmo queda:

Según el criterio de entrada, introducimos en la base el vector a2 y según el criterio de salida sacamos el vector a5. De ese modo, el pivote de la transformación será v22 y, aplicando las expresiones:

Tenemos para la segunda tabla:

En este caso vemos que el pivote de la transformación es v11 y la tercera tabla resulta ser:

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Puesto que todos los Cq – Fq son positivos, podemos decir que hemos encontrado la solución óptima del problema:



F(u)=−3u1−u2 Sujeto a:

y1≤7;u2≤9;u1+2u2≤22;4u1+u2≤32;ui≥0 Solución

En primer lugar pasamos a la forma regular mediante la introducción de variables de holgura. Con ello la función objetivo queda igual y las restricciones toman la forma:

En esas condiciones podemos tomar como solución básica:

Y la primera tabla para desarrollar el algoritmo simplex será:

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Por el criterio de entrada introducimos en la base el vector u1 y por el criterio de salida sacamos el vector u3. Por lo tanto, el pivote de la transformación es v11 y, teniendo en cuenta la expresiones:

La segunda tabla del algoritmo será:

Es necesario aplicar otra vez el algoritmo, siendo en este caso el pivote v42:

Para este caso el criterio de entrada nos permite introducir en la base el vector u3 y el criterio de salida (vector estrictamente positivo) sacar u5. Así:

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Así, hemos llegado a la solución óptima que es:


Minimizar la función:

F=x1+x2+x3 Sujeta a:

x1+x2≥5;x2+x3≤3;x1+x3≤5;xi≥0

SoluciónA cada una de las inecuaciones le añadimos una variable de holgura:

Para obtener una solución básica consideramos el método de las penalizaciones añadiendo una variable prefijada, x7, con un coste M en la función objetivo.

F = x1 + x2 + x3 + M•x7

De ese modo, una solución básica para el problema ampliado es:

Y la primera tabla para el algoritmo simplex es:

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Tenemos dos elementos negativos en la fila Cq-Fq y ello significa que no estamos en la solución óptima. Para pasar a la segunda tabla del algoritmo tenemos dos posiciones a elegir. Tomaremos C2 – F2 ya que ello nos permite aplicar mejor el criterio de salida. Así pues, el pivote de la transformación es v22 y la segunda tabla quedará:

El elemento C1 – F1 es negativo por lo que tenemos que aplicar de nuevo el algoritmo. Como vector de entrada tomamos a1 y como vector de salida a7; por lo tanto, el pivote de la transformación es v11 y la siguiente tabla será:

Puesto que todos los Cq – Fq son positivos, podemos decir que la solución óptima del problema es:

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Resolver el siguiente problema de programación lineal. Máximo de la función

z=−8x1+3x2−6x3 Sujeto a:

x1−3x2+5x3=4;5x1+3x2−4x3≥6;xi≥0

SoluciónEl problema es idéntico al de minimizar la función:

Z' = 8x1 -3x2 + 6x3

Aplicaremos el método simplex y para ello buscamos una solución básica por el método de las dos fases:

Min : G(x) = x5 + x6

Sujeto a:

Para el problema ampliado una solución básica es:

La primera tabla del algoritmo para el método de las dos fases es:

El pivote de la transformación es v21 y la segunda tabla queda:

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El pivote para este caso es v13 y la tercera tabla es:

Hemos llegado a una solución óptima en la que la función objetivo, G(x) es nula; por lo tanto, el problema original tiene solución finita que podemos obtener aplicando nuevamente el algoritmo. Para la tabla siguiente hemos de cambiar la función objetivo y, por tanto, los Cq – Fq:

Para la siguiente tabla el pivote es v22 y tenemos:

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Puesto que todos los Cq – Fq son positivos hemos llegado a la solución óptima que es:

Este problema puede también resolverse de otro modo. Si consideramos la restricción que es igualdad, podemos despejar de ella una de las variables en función de las otras y rebajar el problema en una dimensión. En principio podemos suponer que la variable despejada no será nula al final por lo que nos interesa separar aquella que favorezca la optimización. En este caso tomaremos x2. De ese modo:

3•x2 = x1 + 5•x3 – 4

Y llevando este resultado a las otras expresiones:

En la expresión a maximizar vemos que cuanto más pequeño sea el valor de las variables sin llegar a ser negativo, mas se optimiza esta. Puesto que tiene que cumplirse la inecuación, es trivial que tomemos x1 = 0. De ahí x3 = 10.

Considerando de nuevo la restricción igualdad se deduce inmediatamente x2 = 46/3 y, en consecuencia, F máx = - 14.



x1−2x2+3x3 Sujeto a:

−2x1+x2+3x3=2;2x1+3x2+4x3=1;xi≥0

SoluciónPara encontrar una solución básica aplicamos el método de las dos fases. Para ello tenemos:

Sujeto a:

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Y una solución básica inicial para este problema es:

Por lo que la primera tabla del algoritmo queda:

El pivote de la transformación es v23 y las ecuaciones que nos permiten el cambio quedan:

Por lo que la segunda tabla es:

Puesto que todos los Cq – Fq son positivos, podemos decir que hemos encontrado la solución óptima no nula del problema auxiliar, por lo tanto, el problema inicial no tiene solución.

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Resolver el siguiente problema de programación lineal. Maximizar la función:

x1+9x2+x3 Sujeto a:

x1+2x2+3x3≤9;3x1+2x2+2x3≤15;xi≥0Solución



−5u1−2u2 Sujeto a:

u1+u2≥2;3u1+u2≤4;ui≥0 Ver Solución



z=80x1+60x2 Sujeto a:

0,2x1+0,32x2≤0,25;x1+x2=1;xi≥0 Ver Solución


Resolver el siguiente problema de programación lineal. Maximizar la función:

95x1+x2−4x3 Sujeto a:

x1+x2+x3≤1;x1+4x2≤2;−x3≥−34;xi≥0Ejercicios de optimización - Enunciado 21

Encontrar el valor mínimo del funcional:

∫101+x˙2(t)−−−−−−−−√dt Con las ligaduras x(0) = 0 ; x(1) = 1. Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 22

Hallar el extremal del funcional:

∫10(tx˙+x˙2)dt Siendo x(0) = 1 ; x(1) = ¼ Ver Solución

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∫21(y˙2−tx˙y)dt Siendo x(1) = y(1) = 1 ; x(2) = 1/6 ; y(2) = 1/2 Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 24


∫21x˙(1+t2x˙)dt Siendo x(1) = 1 ; x(2) = 1/2Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 25

Encontrar el valor mínimo del funcional:

∫10x¨2dt

Siendo x(0)=x˙(0)=1;x(1)=x˙(1)=0 Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 26

Hallar la línea de longitud más corta entre el punto (0, 1) y la parábola de ecuación x=t2.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 27

Encontrar el control óptimo del sistema:

x˙=−2x+u Con la función de coste:

J=∫10u2dt Que transfiera el sistema desde el estado x(0) = 1 al estado x(1) = 0. Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 28

Aplicando el método basado en la función H de Pontryagin, obtener el control óptimo del sistema presentado en el ejercicio anterior, sujeto a la misma función de coste.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 29

Sea el sistema:

x˙=(001−1)x+(01)U Con las condiciones iniciales:

x(0)=(11);x(1)=(00);E(u)=∫10(u−x2)2dt Obtener el control optimo, u*(t).Ver Solución

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Sea el sistema:

x˙=(0010)x+(01)u Con la función de coste:

J=∫∞0(4x21+u2)dt Determinar el sistema de realimentación óptimo.Ver Solución


Determinar un punto de la curva dada por la ecuación:

y=2x⋅e−3x2 En el que la pendiente de la recta tangente sea máxima.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 32

Queremos diseñar una tabla en forma de trapecio isósceles, cuya altura sea de 50 cm y cuyo perímetro menos la longitud de su base mayor mida 275 y que cumpla la condición de que su área sea máxima. ¿Cuál es la longitud de cada uno de los lados?Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 33

Calcular las dimensiones más económicamente convenientes que deberá tener un marco de una ventana de 1 m² de superficie sabiendo que el coste del metro lineal de los lados verticales es de 10 euros y el de los lados horizontales es de 15 euros.

Determinar también el coste aproximado del marco más económico.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 34

El consumo de un avión volando a una velocidad de x km/h viene dado por la expresión:

C=x250+5000x Calcular la velocidad más económica y el coste equivalenteVer SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 35

Construir un triángulo rectángulo de área máxima y perímetro igual a 5 Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 36

Sea la parábola de ecuación:

y2−8x=0

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Determinar las coordenadas de los puntos cuya distancia al punto P(6,0) sea mínima.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 37

Calcular las proporciones más económicas de una lata cilíndrica de V cm3 de volumen.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 38

Hallar un número tal que el exceso sobre su cuadrado sea máximo.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 39

Un rectángulo tiene A m² de superficie. Calcular sus dimensiones para que, siendo constante su superficie, el perímetro sea mínimo.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 40

Con una cartulina cuadrada de 18 cm² de lado, se desea construir una caja y para ello se corta un pequeño cuadrado en cada esquina de la cartulina, doblando las solapas resultantes. Calcular el lado de cada cuadrado para que la caja tenga el mayor volumen posible.Ver Solución


Si se tiene la ecuación:

y3=6xy−x3−1

Demuéstrese que se verifica:

dydx=2y−x2y2−2x

Y que el máximo y mínimo de y se encuentran, respectivamente en:

x3=8±214−−√ Ver Solución


Una pequeña editorial pretende poner en marcha una campaña de promoción de la última novela de uno de sus escritores y para ello va a lanzar al mercado dos formatos de presentación de la misma, libro de bolsillo y libro de tapa dura. En el departamento de impresión disponen de 140 horas para su tarea sobre el proyecto y en el departamento de encuadernación de 250. Los ingresos obtenidos por cada libro de bolsillo son de 10 euros y para su elaboración se requiere 1 hora en el departamento de impresión y 2 horas en el de encuadernación y los ingresos obtenidos por cada libro de tapa dura, son de 17 euros,

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siendo 2 las horas necesarias para su elaboración en el departamento de impresión y 3 las necesarias en el de encuadernación.

¿Cuantos libros de cada uno de los formatos ha de publicar la editorial para obtener beneficio máximo y a cuanto ascienden los ingresos correspondientes.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 43

Dibujar la región definida por el siguiente sistema de inecuaciones:

3x+5y≤30;x−2y≤6;2x+12≥3y;x≥0;y≥0

y calcular sus vértices.

Determinar los puntos de dicha región en los que la función F(x,y)=3x+2y alcanza los valores máximo y mínimo y calcular dichos valores.

Ver Solución


Determinar los extremos relativos de las funciones que se anotan a continuación, precisando si se trata de mínimos o máximos:

y=x3−3x2+3x;y=−3x2+x+1;y=x3−2x2+x+1 Ver Solución


Un cono circular, recto tiene una superficie lateral dada, A. Demostrar que cuando su

volumen es máximo, la razón entre la altura y el radio de la base es 2√:1.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 46

Aprovechando un largo muro de altura adecuada, queremos construir un corral rectangular de 200 metros cuadrados y para ello hemos pensado cerrar con tela metálica los tres lados restantes de una superficie rectangular para la que el muro será una de las paredes. Calcular las dimensiones de dicha superfcie rectangular para que el coste del corral sea mínimo.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 47

De todos los rectángulos de igual perímetro 2p determinar las dimensiones del de área máxima.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 48

Hallar la altura del cilindro circular recto de volumen máximo que puede inscribirse en un cono circular recto de altura h.

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Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 49

¿Que dimensiones debe tener un depósito abierto con fondo cuadrado y con capacidad para V litros de tal modo que en su fabricación se utilice la menor cantidad posible de chapa.Ver SoluciónEjercicios de optimización - Enunciado 50

Dóblese un alambre metálico de longitud m de tal modo que forme un rectángulo cuya área sea máxima.Ver Solución

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