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APOSTILA DE MATEMÁTICA DISCRETA PROFESSOR DANIEL VIAIS NETO

1. LÓGICA FORMAL Proposição (ou declaração) é uma sentença que é verdadeira ou falsa. Exemplos:

a) Paris fica na França. b) 5≤π . c) Dante escreveu os Lusíadas. d) 2=x é solução de 42 =x . Proposição composta é aquela formada pela combinação de duas ou mais proposições. Conectivos são palavras que se usam para formar novas proposições a partir de outras. Exemplos: a) O número 6 é par e o número 8 é um cubo perfeito. b) O sorvete é gelado ou a pizza é quente. c) Se Jorge é engenheiro, então sabe matemática. d) O triângulo é equilátero se, e somente se, é retângulo. e) Não irei à igreja hoje. Operações lógicas básicas.

Expressão Conjunção Disjunção

Condicional (implicação)

Bicondicional (equivalência)

Negação

Expressão Lógica BA∧ BA∨ BA → BA ↔ 'A , A¬ ou A~ Representação A e B A ou B A implica B A se, e só se B Não A

Observações: 1. K,, BA são usadas para representar proposições e, por isso, são chamadas letras de proposição.

2. ↔→∨∧ ,,, são conectivos binários e ' (ou ¬ ) é um conectivo unário.

Tabela-verdade.

A B BA∧ BA∨ BA → BA ↔ 'A V V V V V V F V F F V F F F V F V V F V F F F F V V

Outros conectivos.

A B BA∨ BA ↓ BA ↑ V V F F F V F V F V F V V F V F F F V V

A tabela-verdade de uma proposição composta com n proposições simples contém n2 linhas.

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Expressões comuns em português associadas a diversos conectivos lógicos.

Expressão em Português Conectivo Lógico Expressão Lógica e; mas; também; além disso Conjunção BA∧ Ou Disjunção BA∨ Se A, então B. A implica B. A, logo B. A só se B; A somente se B. B segue de A. A é uma condição suficiente para B; basta A para B. B é uma condição necessária para A.

Condicional BA →

A se e somente se B. A é uma condição necessária e suficiente para B.

Bicondicional (equivalência)

BA ↔

Não A É falso que A... Não é verdade que A...

Negação 'A

Negação de proposições compostas.

Proposição Negação Correta Negação Incorreta

Vai chover amanhã. É falso que vá chover amanhã. Não vai chover amanhã.

Pedro é alto e magro. É falso que Pedro seja alto e magro. Pedro não é alto ou não é magro. Pedro é baixo ou gordo.

Pedro é baixo e gordo. Esta proposição é muito forte. Pedro não tem ambas as propriedades (ser alto e ser magro) mas ainda pode ter uma delas.

O rio é raso ou está poluído. É falso que o rio seja raso ou esteja poluído. O rio não é raso nem está poluído. O rio é fundo e não está poluído.

O rio não é raso ou não está poluído. Esta é uma proposição muita fraca. O rio não ter nenhuma das duas propriedades, não deixa de ter apenas uma delas.

Uma cadeia que forma uma expressão válida é denominada uma fórmula bem formulada ou fbf. Ordem de precedência dos conectivos lógicos. 1º. Para conectivos dentro de parênteses, efetua-se as expressões dentro dos parênteses mais internos. 2º. ~ 3º. ∨∧, 4º. → 5º. ↔ . Em uma fbf com diversos conectivos, o último a ser aplicado é o conectivo principal. Exemplo: Fazer a tabela-verdade para a fbf )'(' BABA ∨→∨ . Tabela – Verdade:

A B 'B 'BA∨ BA∨ )'( BA∨ )'(' BABA ∨→∨ V V F V V F F V F V V V F F F V F F V F V F F V V F V V

Conectivo principal

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Tabela-verdade para 3 letras de proposição.

Definição. Uma fbf que assume apenas o valor V é denominada uma tautologia. Uma tautologia é “intrinsecamente verdadeira” pela sua própria estrutura; ela é verdadeira independentemente dos valores lógicos atribuídos às suas letras de proposição. Exemplo: “Hoje vai ter sol ou hoje não vai ter sol”. Definição. Uma fbf cujo valor lógico é sempre F é denominada uma contradição. Uma contradição é “intrinsecamente falsa” pela sua própria estrutura. Exemplo: “Hoje é terça-feira e hoje não é terça-feira”. Sejam P e Q duas fbfs e suponha que a fbf QP ↔ seja uma tautologia. Se fizermos uma tabela-verdade usando as letras de proposição P e Q, então os valores lógicos de P e de Q seriam sempre iguais em todas as linhas da tabela. Neste caso, dizemos que P e Q são fbfs equivalentes; denotamos essa propriedade por QP ⇔ . Assim, QP ⇔ enuncia um fato, a saber, que a fbf particular

QP ↔ é uma tautologia. Algumas equivalências tautológicas.

1a. ABBA ∨⇔∨ 1b. ABBA ∧⇔∧ (comutatividade) 2a. )()( CBACBA ∨∨⇔∨∨ 2b. )()( CBACBA ∧∧⇔∧∧ (associatividade)

3a. )()()( CABACBA ∨∧∨⇔∧∨ 3b. )()()( CABACBA ∧∨∧⇔∨∧ (distributividade)

4a. AA ⇔∨ )0( 4b. AA ⇔∧ )1( (elementos neutros)

5a. 1'⇔∨ AA 5b. 0'⇔∧ AA (complementares) Observação: representamos qualquer contradição por 0 e qualquer tautologia por 1. As equivalências na lista estão agrupadas em cinco pares, em cada par, uma equivalência pode ser obtida da outra substituindo ∧ por ∨ , ∨ por ∧ , 0 por 1 e 1 por 0 . Cada equivalência em um dos pares é a dual da outra. Leis de De Morgan. '')'( BABA ∧⇔∨ e '')'( BABA ∨⇔∧ . Exercícios: 1. Quais das frases a seguir são proposições? a) A lua é feita de queijo verde. b) Ele é, certamente, um homem alto. c) Dois é um número primo. d) O jogo vai acabar logo? e) Os juros vão subir ano que vem. f) Os juros vão descer ano que vem.

g) 042 =−x . h) Existem formas de vida em outros planetas do universo.

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2. Determine o valor lógico (V ou F) em cada uma das seguintes proposições:

a) O número 17 é primo. b) Fortaleza é capital do Maranhão. c) 222 53)53( +=+

d) Se 10 < então 2 é irracional. e) Roma é capital da França ou 145 =otg . f) 2021 2 <↔−>− π .

g) É falso que 532 =+ e 311 =+ . h) O produto de dois números ímpares é um número ímpar. 3. Sejam CBA ,, e D as seguintes proposições: A : O bandido é francês; B : O herói é americano; C : A heroína é inglesa e D : O filme é bom. Escreva as proposições compostas a seguir em notação simbólica. a) O herói é americano e o filme é bom. b) Se o filme é bom, então o herói é americano ou a heroína é inglesa. c) Embora o bandido seja francês, o filme é bom. d) Uma heroína inglesa é uma condição necessária para o filme ser bom. e) O herói não é americano, mas o bandido é francês. 4. Construa a tabela-verdade para as fbfs a seguir: a) )()( ABBA →↔→ b) )'()'( BBAA ∧→∨ c) )''()( ABBA →↔→

d) ]'')'[( CBA →∧ e) )]()[()( CBCABA ∨→∨→→ 5. Sabendo que os valores lógicos das proposições CBA ,, e D são respectivamente V, V, F e F, determinar o valor lógico de cada uma das seguintes proposições: a) )''()( CACA →→→ b) '')'( BABA ∨→∧ c) '')'( DADA ∧→∧ d) ))'()(( CDDA ∨∧∨ 6. Qual o valor lógico de cada uma das proposições a seguir? a) 8 é par ou 6 é ímpar. b) 8 é par e 6 é ímpar. c) 8 é ímpar ou 6 é ímpar. d) 8 é ímpar e 6 é ímpar. e) Se 8 for ímpar, então 6 é ímpar. f) Se 8 for par, então 6 é ímpar g) Se 8 for ímpar, então 6 é par. h) Se 8 for ímpar e 6 for par, então 8 < 6. 7. Escreva a negação de cada fbf a seguir: a) Se a comida é boa, então o serviço é excelente. b) Ou a comida é boa, ou o serviço é excelente. c) Ou a comida é boa e o serviço excelente, ou então está caro. d) Nem a comida é boa, nem o serviço é excelente. e) Se é caro, então a comida é boa e o serviço é excelente. 8. (TRT) Considere que as letras RQP ,, e S representem proposições e que os símbolos ∧¬, e ∨ são operadores lógicos que constroem novas proposições e significam ‘não’, ‘e’ e ‘ou’ respectivamente. Na lógica proposicional, cada proposição assume um único valor (valor-verdade) que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos. Consideremos que RQP ,, e S são proposições verdadeiras, julgue os itens seguintes. a) QP ∨¬ é verdadeira. b) )]()[( SRQP ∨¬∨∨¬¬ é verdadeira.

c) )])()[(()]([ SPQRSQP ∧∨∧¬∧∨∧ é verdadeira. d) ))(())(( RQSP ¬∨∧¬∨ é verdadeira. Respostas: 1. a), c), e), f) e h) 2. a) V b) F c) F d) V e) V f) V g) V h) V 3. a) DB ∧ b) DA∧ c) )( CBD ∨→ d) AB ∧' e) BD → 4. a) V,F,F,V (contingência) b) F,F,F,F (contradição) c) V,V,V,V (tautologia) d) F,F,V,F,F,F,F,F (contingência) e) V,V,V,V,V,V,V,V (tautologia) 5. a) V b) V c) F d) V 6. a) V b) F c) F d) F e) V f) F g) V h) V 7. a) A comida é boa, mas o serviço é ruim. b) A comida é ruim e o serviço também. c) A comida é ruim ou o serviço é ruim, e está barato. d) Ou a comida é boa ou o serviço é excelente. e) É caro, mas a comida é ruim ou o serviço é ruim. 8. a) V b) F c) F d) V

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Quantificadores lógicos. Existem sentenças onde o valor lógico não está bem definido e varia para cada sujeito. Assim, estas afirmações não são proposições e sim funções proposicionais (ou sentenças abertas). Os quantificadores servem para especificar informações sobre variáveis em funções proposições, transformando-as assim em proposições.

Exemplos: 0<x ; 96 =+x ; 02 ≥x ; 1028 ≠+x . Quantificador universal. O quantificador universal traduz a idéia de abrangência de uma proposição a todo um conjunto. O quantificador universal é denotado pelo símbolo ∀ e lido como “para todo”, “todo”, “para qualquer”, “qualquer”, “qualquer que seja”. Considerando uma função proposicional qualquer )(xp e um conjunto qualquer A , temos a proposição ))()(( xpAx∈∀ .

Exemplos: 0, <∈∀ xZx ; 96, =+∈∀ xNx ; 0, 2 ≥∈∀ xRx ; 1028, ≠+∈∀ xNx . Quantificador existencial. O quantificador existencial traduz a idéia de existência de condições para a validade de uma proposição em um conjunto. O quantificador existencial é denotado pelo símbolo ∃ e lido como “existe”, “existe pelo menos um”. Considerando uma função proposicional qualquer )(xp e um conjunto qualquer A , temos a proposição ))()(( xpAx∈∃ .

Exemplos: 0, <∈∃ xZx ; 96, =+∈∃ xNx ; 0, 2 <∈∃ xRx ; 1028, ≠+∈∃ xNx . Quantificador existencial estrito. O quantificador existencial estrito é uma variação do quantificador existencial. Indica a existência de apenas um elemento capaz de tornar a proposição verdadeira. O quantificador existencial estrito é denotado pelo símbolo !∃ e tem o significado de “existe apenas um”, “existe somente um”, “existe um só”, “existe um único”. Considerando uma

função proposicional qualquer )(xp e um conjunto qualquer A , temos a proposição ))()(!( xpAx∈∃ .

Exemplos: 0,! <∈∃ xZx ; 96,! =+∈∃ xNx ; 0,! 2 ≥∈∃ xRx ; 1028,! ≠+∈∃ xNx . Observação: O conjunto A é dito o domínio de )(xp , e o conjunto de todos os elementos de A para os quais )(ap é verdadeira é

chamado conjunto verdade de )(xp . Exemplos:

*}0,:{ −=<∈ ZxZxx ; }3{}96,:{ ==+∈ xNxx ; RxRxx =≥∈ }0,:{ 2 ; }1{}1028,:{ −=≠+∈ NxNxx . Negação de declarações com quantificadores. Teorema (De Morgan) a) )()()()( xpAxxpAx ¬∈∃⇔∈∀¬ .

b) )()()()( xpAxxpAx ¬∈∀⇔∈∃¬ . Resumo de negações das proposições.

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Exercícios:

1. Seja { }5,4,3,2,1=A . Determine o valor lógico de cada uma das declarações seguintes:

a) ( )( )103 =+∈∃ xAx b) ( )( )103 <+∈∀ xAx c) ( )( )53 <+∈∃ xAx d) ( )( )73 ≤+∈∀ xAx 2. Negue cada uma das declarações no exercício anterior.

3. Determine o valor lógico de cada uma das declarações seguintes, onde { }3,2,1=U é o conjunto universo:

a) ;1, 2 +<∀∃ yxyx b) ;12, 22 <+∃∀ yxyx c) .12, 22 <+∀∀ yxyx

4. Seja { }10,9,...,2,1=A . Considere cada uma das sentenças seguintes. Se for uma declaração, determine seu valor lógico. Se for uma função proposicional, determine seu conjunto verdade.

a) ( )( )( )14<+∈∃∈∀ yxAyAx b) ( )( )14<+∈∀ yxAy

c) ( )( )( )14<+∈∀∈∀ yxAyAx d) ( )( )14<+∈∃ yxAy 5. Sabendo que o domínio consiste em inteiros, )(xO é “ x é ímpar”, )(xL é “ 10<x ” e )(xG é “ 9>x ”, qual o valor-verdade de cada uma das proposições abaixo?

a) ( ) )(xOx∃ b) ( )( ))()( xOxLx →∀ c) ( )( ))()( xGxLx ∧∃ d) ( )( ))()( xGxLx ∨∀ 6. Sabendo que o domínio consiste nos números inteiros, qual o valor-verdade de cada uma das proposições abaixo?

a) ( )( )( )xyxyx =+∃∀ b) ( )( )( )xyxxy =+∀∃ c) ( )( )( )0=+∃∀ yxyx

d) ( )( )( )0=+∀∃ yxxy e) ( )( )( )xyyxyx <∨<∀∀ f) ( )( )( )yxyx =∃∃ 2 7. Considere o conjunto dos números reais. Determine o valor-verdade de cada uma das seguintes proposições:

a) ))(( xxx =∀ b) )()( 2 xxx =∃ c) )0)(( =∃ xx d) )2()( xxx =+∃ e) ( )xxx >+∀ 1)(

f) )()( 2 xxx =∀ g) )2()( xxx =∃ h) )23()( 2 −=+∃ xxx i) )25()( 2 xxx =+∃ j) ( )xxxx 532)( =+∀

8. Sabendo que as proposições 0=x e yx = são verdadeiras e que as proposições zy = e ty = são falsas, determine o valor-verdade de cada uma das seguintes proposições:

a) zyyxx ≠→=∧= 0 b) zytyx =→=∨≠ 0 c) tyzyyx =→≠∨≠

d) zyyxx ≠→≠∨≠ 0 e) )(0 tyyxx ≠∨≠→= 9. Dizer que a afirmação “todos os economistas são médicos” é falsa, do ponto de vista lógico, equivale a dizer que a seguinte afirmação é verdadeira: a) pelo menos um economista não é médico. b) nenhum economista é médico. c) nenhum médico é economista. d) pelo menos um médico não é economista. e) todos os não médicos são não economistas. Respostas: 1. a) F b) V c) V d) F 3. a) V b) V c) F 4. a) V b) {1, 2, 3} c) F d) A 5. a) V b) F c) F d) V 6. a) V b) V c) V d) F e) F f) V 7. a) F b) V c) V d) F e) V f) F g) V h) V i) F j) V 8. a) V b) V c) F d) V e) V 9. a

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2. TÉCNICAS DE DEMONSTRAÇÃO Com frequência, precisamos mostrar que determinadas afirmações são verdadeiras em um contexto. Até que se prove, a afirmação é uma conjectura. Se provada, a afirmação é um teorema. A saber:

• Um teorema é uma proposição que é garantida por uma prova. • Um axioma é uma proposição que se assume como verdadeira e que não precisa de prova. • Uma conjectura é uma proposição que ainda não foi provada e nem refutada.

Resumo das principais técnicas de demonstração.

Técnica de demonstração Abordagem para provar QP → Observações

Demonstração por Exaustão Demonstre QP → para todos os casos possíveis.

Usada apenas para demonstrar um número finito de casos.

Demonstração Direta Suponha P , deduza Q . Abordagem padrão, o que se deve tentar, em geral.

Demonstração por Contraposição Suponha 'Q , deduza 'P . Use esta técnica quando 'Q parecer

dar mais munição que P . Demonstração por Absurdo Suponha 'QP ∧ , deduza uma contradição. Use esta técnica quando Q disser

alguma coisa que não é verdade. Exercícios: 1. Prove que se 100,25=n ou 169, então n é um quadrado perfeito e é a soma de dois quadrados perfeitos.

2. Prove que se n é um inteiro par, 124 ≤≤ n , então n é a soma de dois números primos. 3. Forneça uma demonstração direta de que a soma de inteiros pares é par. 4. Prove por contradição que a soma de inteiros pares é par. 5. Prove que a soma de dois inteiros ímpares é par. 6. Prove que o produto de quaisquer dois inteiros consecutivos é par.

7. Prove que para qualquer inteiro n , o número 22 2)32(3 nnn −++ é um quadrado perfeito.

8. Prove que se 0322 =−+ xx , então x é diferente de 2 . 9. Prove que se dois inteiros são ambos divisíveis por um inteiro n , então a sua soma é divisível por n .

10. Prove que o quadrado de um inteiro ímpar pode ser escrito como 18 +k para algum inteiro k . 11. Prove que a diferença de dois cubos consecutivos é ímpar. 12. Prove que a soma de quadrados de dois inteiros ímpares não pode ser um quadrado perfeito (use o exercício 9). 13. Prove que o produto dos quadrados de dois inteiros é um quadrado perfeito. 14. Verifique se as sentenças abaixo são verdadeiras ou falsas. a) O produto de quaisquer três inteiros consecutivos é par. b) A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par. c) O produto de um inteiro pelo seu quadrado é par. d) A soma de um inteiro com o seu cubo é par. e) O produto de dois números irracionais é irracional. f) A soma de dois números racionais é racional. 3. INDUÇÃO MATEMÁTICA Primeiro princípio da indução matemática.

1 1. )1(P é verdade. (passo básico)

2. ] verdade)1( verdade)([)( +→∀ kPkPk (passo indutivo)

)(nP é verdadeiro para todo inteiro. positivo .

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Exemplos:

1. Prove que 2)12(531 nn =−++++ L .

a) )1(P é verdadeira, pois 211= .

b) Suponha que )(kP seja verdadeira, ou seja, 2)12(531 kk =−++++ L . Mostraremos que )1( +kP é verdadeira.

)]1)1(2[31 −++++ kL = ]1)1(2[)12(31 −++−+++ kkL = ]1)1[(22 −++ kk = 122 ++ kk = 2)1( +k .

Portanto, )]1)1(2[531 −+++++ kL = 2)1( +k , o que mostra a validade de )1( +kP , provando assim que

2)12(531 nn =−++++ L é verdadeira 1≥∀n .

2. Prove que 1,2

)1(321 ≥∀+=++++ n

nnnL (verifique!).

3. Prove que 1,0,1,1

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12 ≠≠≥

−−=++++

+aan

a

aaaa

nn

L (verifique!).

Contraexemplos: Verifique que as proposições abaixo são falsas.

1. 1,2

)2)(1(321 ≥∀+−=++++ n

nnnL . 2. 0,41)( 2 ≥++= nnnnP é um número primo.

Exercícios: Nos exercícios de 1 a 12, use indução matemática para provar que as proposições dadas abaixo são verdadeiras 1≥∀n .

1. 22)24(1062 nn =−++++ L 2. )1(2642 +=++++ nnnL

3. )12()34(951 −=−++++ nnnL 4. 6

)2)(1(

2

)1(631

++=+++++ nnnnnL

5. )13()26(16104 +=−++++ nnnL 6. 2

)1(5515105

+=++++ nnnL

7. 6

)12)(1(21 222 ++=+++ nnn

nL 8. 4

)1(21

22333 +=+++ nn

nL

9. 3

)12)(12()12(31 222 +−=−+++ nnn

nL 10. 133.21862 1 −=++++ − nnL

11. 13)13)(23(

1

107

1

74

1

41

1

+=

+−++

⋅+

⋅+

⋅ n

n

nnL 12. 1)!1(!!33!22!11 −+=⋅++⋅+⋅+⋅ nnnL

14. Prove que nn 23 + é divisível por 3 , 1≥∀n . 15. Prove que 732 +n é divisível por 1,8 ≥∀n .

16. Prove que 123 −n é divisível por 1,7 ≥∀n . 17. Prove que nn −3 é divisível por 3 , 1≥∀n .

18. Prove que 54.310 2 ++ +nn é divisível por 1,9 ≥∀n . 19. Prove que 19 −n é divisível por 1,8 ≥∀n .

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Exercícios Complementares: 1. Se for verdade que "Alguns A são R" e que "Nenhum G é R", então é necessariamente verdadeiro que: a) algum G é A. b) algum A é G. c) nenhum A é G. d) algum A não é G. e) nenhum G é A. 2. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, portanto, necessariamente que: a) todo C é B. b) todo C é A. c) algum A é C. d) nada que não seja C é A. e) algum A não é C. 3. Se "Alguns profissionais são administradores" e "Todos os administradores são pessoas competentes", então, necessariamente, com as proposições apresentadas, pode-se inferir: a) Nenhum profissional não é competente. b) Toda pessoa competente é administradora. c) Todo administrador é profissional. d) Nenhuma pessoa competente é profissional. e) Algum profissional é uma pessoa competente. 4. Todos os alunos de matemática são, também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de inglês é aluno de história. Todos os alunos de português são também alunos de informática, e alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é aluno de inglês, e como nenhum aluno de português é aluno de história, então: a) pelo menos um aluno de português é aluno de inglês. b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de história. c) nenhum aluno de português é aluno de matemática. d) todos os alunos de informática são alunos de matemática. e) todos os alunos de informática são alunos de português. 5. Em uma comunidade, todo trabalhador é responsável. Todo artista, se não for filósofo, ou é trabalhador ou é poeta. Ora, não há filósofo e não há poeta que não seja responsável. Portanto, tem-se que, necessariamente: a) todo responsável é artista. b) todo artista é responsável. c) todo responsável é filósofo ou poeta. d) algum filósofo é poeta. e) algum trabalhador é filósofo. 6. (ESAF) Maria é magra ou Bernardo é barrigudo. Se Lúcia é linda, então César não é careca. Se Bernardo é barrigudo, então César é careca. Ora, Lúcia é linda. Logo: a) Maria é magra e Bernardo não é barrigudo b) Bernardo é barrigudo ou César é careca c) César é careca e Maria é magra d) Maria não é magra e Bernardo é barrigudo e) Lúcia é linda e César é careca 7. (ESAF) As seguintes afirmações, todas elas verdadeiras, foram feitas sobre a ordem de chegada dos convidados a uma festa: 1. Gustavo chegou antes de Alberto e depois de Danilo. 2. Gustavo chegou antes de Beto e Beto chegou antes de Alberto se e somente se Alberto chegou depois de Danilo. 3. Carlos não chegou junto com Beto se e somente se Alberto chegou junto com Gustavo. Logo, a) Carlos chegou antes de Alberto e depois de Danilo b) Gustavo chegou junto com Carlos c) Alberto chegou junto com Carlos e depois de Beto d) Alberto chegou depois de Beto e junto com Gustavo e) Beto chegou antes de Alberto e junto com Danilo 8. Use o método de indução matemática para provar que a sucessão dos números triangulares cuja definição por recorrência é dada

por

>+==

− 1npara,

1

1

1

ntt

t

nn tem o seguinte termo geral

2

2 nntn

+= .

Respostas: 1. d 2. c 3. e 4. c 5. b 6. a 7. a

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4. TEORIA DOS CONJUNTOS Conjunto é uma lista, coleção ou classe de objetos bem definidos. Exemplos:

a) Os números 1, 3, 7 e 10. b) As soluções reais da equação 0532 =+− xx . c) As vogais do alfabeto. d) Os números ímpares 1, 3, 5, 7,... Notações: • Conjuntos são em geral designados por letras maiúsculas: K,,, CBA

• O conjunto vazio é representado das seguintes formas }{ ou φ .

• Se x é um elemento de A , dizemos que x pertence a A e escrevemos Ax∈ , caso contrário, escrevemos Ax∉ . Exemplos anteriores reescritos:

a) { }10,7,3,1=A b) { } φ==+−∈= 053/ 2 xxRxB c) { }uoieaC ,,,,= d) { }ímpar é / xRxD ∈= Princípio da extensão. Dois conjuntos, A e B , são iguais se e somente se possuem os mesmos elementos. Subconjunto. Se todo elemento de um conjunto A é também um elemento de um conjunto B , diz-se que A é subconjunto de B . Também dizemos que A está contido em B ou que B contém A . Notação: BA ⊆ ou BA ⊂ (subconjunto próprio, ou seja, BA ⊆ e BA ≠ ). Teorema. Sejam BA, e C conjuntos quaisquer. São válidas as seguintes afirmações: (i) Para todo conjunto A , temos UA ⊆⊆φ (conjunto universo).

(ii) Para todo conjunto A , AA ⊆ .

(iii) Se BA ⊆ e CB ⊆ , então CA ⊆ .

(iv) BA = se, e somente se, BA ⊆ e AB ⊆ . Conjuntos de conjuntos. Para um conjunto S , podemos formar um novo conjunto cujos elementos são os subconjuntos de S . Esse novo conjunto é chamado o conjunto das partes de S e denotado por )(S℘ . Exemplos:

a) }1,0{=S e { }}1,0{},1{},0{,)( φ=℘ S ;

b) },,{ cbaS = e { }ScbcabacbaS },,{},,{},,{},{},{},{,)( φ=℘ .

Observação: Se S tem n elementos, então )(S℘ tem n2 elementos. Vale para 0=n ?

Operação binária )(o é uma operação binária em um conjunto S se, para todo par ordenado ),( yx de elementos de S , yx o

existe, é único e pertence a S .

Operação unária )(∗ é uma operação unária em um conjunto S se, para todo Sx∈ , ∗x existe, é único e pertence a S . Diagrama de Venn é uma representação pictórica na qual os conjuntos são representados por áreas delimitadas por uma curva no plano.

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Operações entre conjuntos. Dado um conjunto arbitrário S , podemos definir algumas operações binárias e unárias no conjunto )(S℘ . O conjunto S , neste caso, é chamado de conjunto universo. O conjunto universo define o contexto dos objetos em discussão.

• União de conjuntos

Sejam )(, SBA ∈℘ . A união de A e B , denotada por BA∪ , é dada por { }BxAxx ∈∈ ou / . • Interseção de conjuntos

Sejam )(, SBA ∈℘ . A interseção de A e B , denotada por BA∩ , é dada por { }BxAxx ∈∈ e / . • Complemento de um conjunto

Seja )(SA∈℘ . O complemento de A , 'A é dado por { }AxSxx ∉∈ e / . • Diferença de conjuntos

Sejam )(, SBA ∈℘ . A diferença de A e B , denotada por BA− , é dada por { }BxAxx ∉∈ e / . • Produto cartesiano

Seja )(, SBA ∈℘ . O produto cartesiano de A e B , denotado por BA× , é dado por { }BAxyx ∈∈ y e /),( .

Exemplo: Sejam { }3,2,1=A , { }dcbaB ,,,= , { }eaC ,,3,2= e { }edcbaU ,,,,,3,2,1= . Então:

o { }eaCA ,,3,2,1=∪

o { }aCB =∩

o { }dcbC ,,,1'=

o { }eaAC ,=−

o { }),3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,(),3,(),2,(),1,( dddcccbbbaaaAB =× Identidades básicas envolvendo conjuntos.

1a. ABBA ∪=∪ 1b. ABBA ∩=∩ (comutatividade) 2a. )()( CBACBA ∪∪=∪∪ 2b. )()( CBACBA ∩∩=∩∩ (associatividade)

3a. )()()( CABACBA ∪∩∪=∩∪ 3b. )()()( CABACBA ∩∪∩=∪∩ (distributividade)

4a. AA =∪φ 4b. ASA =∩ (elementos neutros)

5a. SAA =∪ ' 5b. φ=∩ 'AA (complementares)

Propriedade de De Morgan. Sejam A e B dois conjuntos quaisquer. Então '')'( BABA ∩=∪ e '')'( BABA ∪=∩ . Partições. Seja S um conjunto não vazio. Uma partição de S é uma subdivisão de S em conjuntos não vazios disjuntos.

12

Exemplo: Seja { }9,8,7,6,5,4,3,2,1=S .

a) [ ]}9,8,4{},6,2{},5,3,1{1 =P não é partição de S .

b) [ ]}9,7,5{},8,6,4,2{},5,3,1{2 =P não é partição de S .

c) [ ]}9,7{},8,6,4,2{},5,3,1{3 =P é uma partição de S .

Conjuntos contáveis e não contáveis. Exemplos de conjuntos contáveis (ou enumeráveis):

a) { } 10,5,3,2,1 b) { } ,...5,4,3,2,1,0=N c) }0 e ,, com ,;{ ≠∈== nnmn

mxxQ Z

Exemplos de conjuntos não contáveis (ou não enumeráveis): a) R b) ]1,0[ c) conjunto dos números irracionais Exercícios:

1. Seja { } }20,16,12,10{,5 e / =≥∈= BxNxxA , )}2 e )(/({ yxNyyxC =∈∃= e RD = . Quais proposições são verdadeiras?

a) CB ⊆ b) DAB ⊂⊂ c) CA ⊆ d) C∈26 e) { } A⊆13,12,11

f) { } C⊂13,12,11 g) B∈}12{ h) B⊂}12{ i) DA ⊂⊆5 j) B⊆}{φ

k) A∉φ l) D∈}}2{{ m) { } De ∈π log,,2 n) { } BxNxx ⊄<∈ 20 e /

2. Dada uma descrição do conjunto A como { } ,8,4,2 K=A , você acha que A∈16 ?

3. Seja { }},{,},{ 312A φ= , encontre )(A℘ .

4. Encontre )(S℘ , sendo { }}{,,1 φφ=S . 5. Quais das seguintes operações não são binárias nem unárias nos conjuntos dados? Por que não?

a) *; NSyxyx =÷=o b) *; +=÷= QSyxyx o c) RSxyx y == ;o

d) RSyxmáxyx == );,(o e) +∗ == RSxx ; f) ZSxx =−=∗ ;

g) ZSyxyx =÷= ;o h) NSyxyx =−= ;o i) NSx

xx =

≤≥

= ;5,0

5,1*

j) RSxx ==∗ ;ln k) NSxyx =+= ;1o l) NSyxyx =−+= ;1o 6. Trace o diagrama de Venn para os conjuntos não vazios CBA ,, de tal maneira que CBA ,, tenham as seguintes propriedades: a) φ=∩⊂⊂ CABCBA ,, b) φ≠∩⊄⊂ CABCBA ,,

c) φ≠∩≠φ≠∩⊂ CBCBBACA ,,, d) BCCBCBA ⊄⊄∩⊂ ,),(

13

7. Sejam { } 10,5,3,2,1=A , { }9,8,7,4,2=B , { }10,8,5=C e { }2,1=D subconjuntos de

{ } 10,9,8,7,6,5,4,3,2,1=S . Encontre: a) BA∪ b) CA− c) )'( BA∩ d) )(' CAB ∪∩ e) DC ×

f) CD × g) 2D h) 'S i) SDCBA ∪∪∪∪ 8. Determine os conjuntos A, B e C que satisfazem as seguintes condições:

{ }pqrstuvxzCBA ,,,,,,,,=∪∪ , { }srBA ,=∩ , { }xsCB ,=∩ ,

{ }xvutsrqpCA ,,,,,,,=∪ , { }zxtsrqpBA ,,,,,,=∪ , { }tsAC ,=∩ .

9. Sendo a e b números reais quaisquer, os números possíveis de elementos do conjunto { }},{},{},{,, bababaA = são: a) 2 ou 5 b) 3 ou 6 c) 1 ou 5 d) 2 ou 6 e) 4 ou 5 10. Considere os seguintes dados sobre 120 estudantes universitários no que diz respeito aos idiomas francês, alemão e russo: 65 estudam francês, 45 estudam alemão, 42 estudam russo, 20 estudam francês e alemão, 25 estudam francês e russo, 15 estudam alemão e russo e 8 estudam os três idiomas. Faça um diagrama de Venn com o número correto de estudantes em cada região. 11. Depois de uma campanha publicitária para melhorar o nível de conhecimento e de informação das pessoas, os 31 empregados de uma empresa passaram a assinar os jornais CT, FT e JT, da seguinte forma:

• 2 empregados assinaram os 3 jornais; • 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e JT; • 8 empregados assinaram apenas o jornal JT; • 4 empregados assinaram os jornais CT e FT; • 13 empregados assinaram o jornal JT; • 16 empregados assinaram o jornal CT.

Com base nessas informações, julgue os itens abaixo: a) Nenhum empregado assinou apenas os jornais FT e JT. b) 6 empregados assinaram os jornais CT e JT. c) 3 empregados assinaram apenas os jornais CT e FT. d) 7 empregados assinaram apenas o jornal FT. e) 10 empregados assinaram apenas o jornal CT.

12. Seja { } }}}{{{}},{{},{, φφφφ=X . Determine quais itens abaixo uma partição de X .

a) [ ]}}}}{{{},{{}},{{},{ φφφφ b) [ ]}}}}{{{{},},{{}}},{{{ φφφφ

c) [ ]}}}{{,{}}}},{{{},{{ φφφφ d) [ ]}}}{{,{}}}},{{{{},{ φφφφ Respostas: 1. a) V b) V c) F d) V e) V f) F g) F h) V i) F j) F k) V l) F m) V n) V 5. São operações binárias e unárias os itens b, d, e, f, k.

7. a) { } 9,8,7,5,4,3,2,1 b) { } 3,2,1 c) { } 10,9,8,7,6,5,4,3,1 d) { } 10,5,3,1

e) { })2,10(),2,8(),2,5(),1,10(),1,8(),1,5( f) { })10,2(),8,2(),5,2(),10,1(),8,1(),5,1( g) { } )2,2(),1,2(),2,1(),1,1(

h) φ i) S 9. a 11. a) certo b) errado c) errado d) certo e) errado 12. b, c

14

5. ANÁLISE COMBINATÓRIA A análise combinatória é o ramo da matemática que trata de contagem. Problemas de contagem são importantes sempre que temos recursos finitos (Quanto espaço de armazenamento um determinado banco de dados usa? Quantos usuários uma determinada configuração de computador pode suportar?) ou quando estamos interessados em eficiência (Quantos cálculos são efetuados por um determinado algoritmo?).

Princípio da multiplicação. Se existem 1n resultados possíveis para um primeiro evento e 2n para um segundo, então existem

21 nn ⋅ resultados possíveis para a sequência dos dois eventos. Exemplos: 1. De quantas maneiras podemos escolher três funcionários de um grupo de 25 pessoas? 2. Se um homem tem quatro ternos, oito camisas e cinco gravatas, quantas combinações ele pode compor? 3. Quantos números de 4 algarismos podemos formar utilizando, uma única vez, os algarismos 3, 4, 5 e 7? 4. Quantos números de 4 algarismos podemos formar com 3, 4, 5 e 7? 5. Quantos números de 3 algarismos podemos formar com 0, 1, 2, 3, 4 e 5? Princípio da adição. Se A e B são eventos disjuntos com 1n e 2n resultados possíveis, respectivamente, então o número total de

possibilidades para o evento “ A ou B ” é 21 nn + . Exemplos: 1. Para passar um final de semana na praia um paulistano dispõe de 3 empresas de ônibus e 2 companhias de aviões. De quantos modos o paulistano poderá fazer sua viagem? 2. Se uma mulher tem sete blusas, cinco saias e nove vestidos, com quantas combinações diferentes ela pode se vestir? 3. Quantos inteiros de três dígitos (números entre 100 e 999) são pares? 4. Suponha que os quatro últimos dígitos de um número de telefone precisam incluir, pelo menos, um dígito repetido. Quantos números deste tipo existem? Em alguns casos os princípios da multiplicação e da adição não se aplicam. Nestes casos utilizamos as chamadas árvores de decisão como as mostrada no exemplo abaixo. Exemplo: Tony está jogando "cara ou coroa". Cada lançamento resulta em cara (C) ou coroa (K). De quantas formas ele pode lançar a moeda cinco vezes sem obter duas caras consecutivas?

A figura acima mostra a árvore de decisão para este problema. Cada lançamento de moeda tem duas possibilidades. O ramo à esquerda está marcado com um C para cara, e o ramo da direita com um K para coroa. Sempre que um C aparecer em um ramo, o próximo nível pode conter apenas um ramo para a direita (K). Existem 13 possibilidades.

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Exemplo: Desenhe a árvore de decisões para o número de cadeias de caracteres com sYsX ',' e sZ' com tamanho 3 que não

contenham um Z imediatamente após um Y . Exercícios: 1. Uma loja de iogurte congelado permite escolher um sabor (baunilha, morango, limão, cereja ou pêssego), um acompanhamento (raspas de chocolate, jujuba ou castanha de caju) e uma calda (creme batido ou coco ralado). Quantas sobremesas diferentes são possíveis? 2. Começa-se um jogo de computador fazendo uma seleção em cada um dos três menus. O primeiro menu (número de jogadores) tem quatro opções, o segundo menu (nível de dificuldade do jogo) tem oito, e o terceiro menu (velocidade) tem seis. Quantas configurações possíveis têm o jogo? 3. Um exame de múltipla escolha tem 20 perguntas, cada uma com quatro respostas possíveis, e 10 perguntas adicionais, cada uma com cinco respostas possíveis. Quantas formas diferentes de respostas são possíveis? 4. Uma senha de usuário para acessar um sistema computacional consiste em três letras seguidas de dois dígitos. Quantas senhas diferentes existem (considere o alfabeto com 26 letras)? Caso fosse possível distinguir entre letras maiúsculas e minúsculas, quantas senhas diferentes existiriam? 5. A, B, C e D são nós em uma rede de computadores. Existem dois caminhos entre A e C, dois entre B e D, três entre A e B e quatro entre C e D. Por quantas rotas diferentes é possível mandar uma mensagem de A para D? 6. Um palíndromo é uma cadeia de caracteres que é lida da mesma forma normalmente ou de trás para frente. Quantos palíndromos de cinco letras são possíveis na língua portuguesa? 7. Quantos números de três dígitos menores que 600 podem ser formados usando-se os algarismos 8, 6, 4 e 2? 8. Um conectivo lógico binário pode ser definido através da sua tabela-verdade. Quantos conectivos lógicos binários existem? 9. Na linguagem de programação BASIC original, um identificador tem que ser uma única letra simples ou uma letra seguida de um único dígito. Quantos identificadores é possível formar? 10. Um cliente de uma lanchonete pode pedir um hambúrguer com ou sem mostarda, ketchup, picles ou cebola; pode pedir um sanduíche de atum com ou sem alface, tomate ou molho tártaro; e pode escolher entre três tipos de refrigerantes ou dois tipos de milk-shakes. Quantos pedidos diferentes podem ser feitos supondo que um cliente possa pedir, no máximo, um hambúrguer, um sanduíche de atum e uma bebida, mas possa pedir menos coisas? 11. Qual o valor da variável Contagem após a execução do pseudocódigo a seguir? Contagem = 0 para i = 1 até 5 faça para Letra = 'A' até 'C' faça Contagem := Contagem + 1 fim do para fim do para 12. Qual o valor da variável Resultado após a execução do pseudocódigo a seguir? Resultado = 0; para Índice = 20 diminuindo até 10 faça para Interno = 5 até 10 faça Resultado = Resultado + 2 fim do para fim do para 13. Com algarismos ímpares, quantos números de 4 algarismos distintos, maiores que 5319 podemos escrever?

16

14. Uma determinada votação é feita com cada pessoa colocando um pedaço de papel verde, amarelo ou preto em um chapéu. Os papéis são retirados um a um, e a primeira cor que recebe dois votos ganha. Desenhe uma árvore de decisão para encontrar o número de maneiras em que se pode desenvolver essa votação. 15. Desenhe uma árvore de decisão (use os times A e B) para encontrar o número de maneiras em que as partidas da NBA podem ocorrer, onde o vencedor é o primeiro time a vencer 4 entre 7 partidas. Respostas: 1. 30 2. 192 3. 420510 4. 1.757.600; 14.060.800 5. 14 6. 17.576 7. 32 8. 16 9. 286 10. 917 11. 15 12. 132 13. 64 14. Fatorial. Definimos fatorial de )( Nnn ∈ pela relação: 1.2)...2)(1(! −−= nnnn , para 2≥n ; 1!1 = ; 1!0 = . Exemplo: Resolva as equações abaixo.

a) 30

)!1(!)1(

+=− nn b) 21

)!2(!2

! =−n

n c) n

n

nn7

)!1(

!)1( =−

−+ d) )!2(12! −= nn

Permutação. É o tipo de agrupamento sem repetição em que entram todos os elementos em cada grupo. Um agrupamento será diferente do outro em função da ordem dos seus elementos.

!),( nnnP = Arranjo simples. É o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente do outro pela ordem ou pela natureza dos elementos componentes.

rnrn

nrnP ≥

−= ,

)!(

!),(

Exemplos: 1. Com relação à palavra TEORIA: a) Quantos anagramas existem? b) Quantos anagramas começam com a letra T? c) Quantos anagramas começam com T e terminam com A? d) Quantos anagramas começam por vogal? e) Quantos anagramas têm as vogais juntas? 2. Quantos anagramas de três letras podem ser formados a partir das letras da palavra COMPILAR se nenhuma letra pode ser repetida? 3. Dez atletas competem em um evento olímpico. São dadas medalhas de ouro, prata e bronze. De quantas maneiras podem ser dadas as medalhas? 4. De quantas maneiras pode-se selecionar um presidente e um vice-presidente dentre um grupo de 20 pessoas? 5. De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em uma fileira de seis cadeiras? 6. Um professor de Matemática comprou dois livros para premiar dois alunos de uma classe de 42 alunos. Como são dois livros diferentes, de quantos modos distintos pode ocorrer à premiação? a) 861 b) 1722 c) 1764 d) 3444 e) 242

17

Permutação com repetição.

!...!!

!

21

...,,, 21

k

nnnn nnn

nP k =

Exemplos: 1. Quantas permutações distintas podem ser feitas com os caracteres que formam a palavra RADAR? 2. Quantas permutações distintas podem ser feitas com os caracteres que formam a palavra MISSISSIPI? 3. Quantas permutações distintas existem dos caracteres na palavra INCONSTITUCIONALISMO? 4. Quantos anagramas da palavra RICARDO apresentam: a) as vogais juntas, na ordem alfabética? b) as vogais juntas, em qualquer ordem? 5. Um fundo de investimento disponibiliza números inteiros de cotas aos interessados nessa aplicação financeira. No primeiro dia de negociação desse fundo, verifica-se que 5 investidores compraram cotas, e que foi vendido um total de 9 cotas. Em tais condições, o número de maneiras diferentes de alocação das 9 cotas entre os 5 investidores é igual a: a) 56. b) 70. c) 86. d) 120. e) 126. 6. (ITA) O número de soluções inteiras, maiores ou iguais a zero, da equação 5=+++ wzyx é: a) 36 b) 48 c) 52 d) 54 e) 56 Combinação simples. É o tipo de agrupamento sem repetição em que um grupo é diferente de outro apenas pela natureza dos elementos componentes.

rnrnr

nrnC ≥

−= ,

)!(!

!),(

Outras notações: nrC e

r

n.

Exemplos: 1. De quantas maneiras é possível escolher uma comissão de 3 pessoas em um grupo de 12? 2. Quantos comitês de 5 pessoas com um determinado chefe pode ser selecionado entre 12 pessoas? 3. Uma comissão de 8 alunos deve ser escolhida em um grupo contendo 19 alunos do primeiro ano e 34 alunos do segundo ano. a) De quantas maneiras é possível selecionar 3 alunos do primeiro ano e 5 do segundo? b) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão contendo exatamente 1 aluno do primeiro ano? c) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão contendo no máximo 1 aluno do primeiro ano? d) De quantas maneiras é possível selecionar uma comissão contendo pelo menos 1 aluno do primeiro ano? 4. São dados seis pontos distintos em uma circunferência. Quantos polígonos convexos (triângulos, quadriláteros, pentágonos, hexágonos) existem com vértices nestes pontos? 5. Na loteria de números (loto) são sorteados 5 números entre os naturais 0, 1, 2, 3, ..., 99. a) Quantos são os resultados possíveis para cada sorteio? b) Quantos são os resultados possíveis formados por três números pares e dois ímpares? c) Quantos são os resultados possíveis com pelo menos quatro números pares? Combinação com repetição.

)!1(!

!)1(),1(

−−+=−+

nr

rnrrnC

Exemplos: 1. Uma pastelaria vende pastéis de carne, queijo e palmito. De quantas formas uma pessoa pode comer 5 pastéis? 2. No dia de Cosme e Damião são distribuídas 10 maçãs idênticas para 7 crianças. a) De quantas maneiras isto pode ser feito? b) De quantas maneiras isto pode ser feito se cada criança recebe pelo menos uma maçã?

18

Exercícios: 1. Os 14 times locais de futebol júnior estão listados no jornal. Quantas listas são possíveis? 2. Quantas permutações das letras na palavra COMPUTAR existem? Quantas delas terminam com uma vogal? 3. Quantas permutações diferentes dos caracteres na palavra ERRO existem? 4. De quantas maneiras seis pessoas podem se sentar em um círculo formado por seis cadeiras? (Podem-se distinguir apenas posições relativas no círculo) 5. De quantas maneiras diferentes você pode sentar 11 homens e 8 mulheres em uma fila? 6. De quantas maneiras diferentes você pode sentar 11 homens e 8 mulheres em uma fila se os homens sentam todos juntos e as mulheres também? 7. O controle de qualidade quer verificar 25 processadores dos 300 produzidos por dia. De quantas maneiras isto pode ser feito? 8. De quantas maneiras pode-se selecionar um júri de 5 homens e 7 mulheres em um conjunto de 17 homens e 23 mulheres? Nos Exercícios 9 a 12, uma anfitriã deseja convidar 6 pessoas para jantar de uma lista de 14 amigos. 9. De quantas maneiras ela pode escolher seus convidados? 10. De quantas maneiras ela pode escolher seus convidados se seis de seus amigos são maçantes, seis são interessantes e ela quer convidar pelo menos um de cada tipo? 11. De quantas maneiras ela pode escolher seus convidados se dois de seus amigos não gostam um do outro e, se um deles vier o outro não vem? 12. De quantas maneiras ela pode escolher seus convidados, se dois de seus amigos gostam muito um do outro e um deles não vem sem o outro? 13. Quantas permutações distintas podem ser formadas com as letras da palavra HAVAIANO? Quantas delas começam com H? 14. Uma livraria tem uma prateleira onde estão expostos cinco, três e quatro exemplares, respectivamente, dos três livros mais vendidos. Quantos arranjos diferentes desses livros podem ser feitos se livros com mesmo título não são distinguíveis? 15. O Grupo X usa palavras de código secretas que são permutações de cinco caracteres. Você descobre que existem apenas 10 palavras de código. O que você pode dizer sobre caracteres repetidos nas palavras código? 16. Em um jantar para cinco pessoas prepara-se uma bandeja com cinco pratos contendo as entradas. As entradas podem ser mariscos, bolinhos de bacalhau ou bolinhas de queijo. Quantas bandejas diferentes podem ser produzidas? 17. Um florista tem rosas, cravos, lírios e margaridas em estoque. Quantos buquês diferentes de uma dúzia de flores podem ser feitos? 18. De quantos modos podemos formar uma sucessão de três números naturais ),,( cba não necessariamente distintos, cuja soma é igual a 10. Respostas: 1. !14 2. !7.3,!8 3.12 4. !5 5. !19

6. !2!8!11 7. )25,300(C 8. )7,23().5,17( CC 9. )6,14(C

10. )6,8(.2)6,14( CC − 11. )6,12()5,12(.2 CC + 12. )6,12()4,12( CC +

13. a) !3

!8 b)

!3

!7 14.

!3!4!5

!12 15. 10 16. )5,7(C

17. )12,15(C 18.66

19

6. RELAÇÕES E FUNÇÕES Definição. Dado o conjunto S , uma relação binária em S , é um subconjunto de SS× . Exemplo: Seja }2,1{=S . Então )}2,2(),1,2(),2,1(),1,1{(=× SS . Seja ρ a relação em S definida por yxρ se, e somente se, yx + é ímpar. Encontre a relação ρ . Definição. Dados os conjuntos S e T , uma relação binária de S para T é um subconjunto de TS× . Exemplos: 1. Sejam }2,1{=S e }4,3,2{=T . Uma relação ρ em )}4,2(),3,2(),2,2(),4,1(),3,1(),2,1{(=×TS pode ser definida por

yxρ se, e somente se, yx2

1= . Encontre a relação ρ .

2. Sejam }2,1{=S e }4,3,2{=T . Seja ρ uma relação em TS× definida por yxyx +↔ρ for par. Encontre a relação ρ .

3. Se }5,3,2,1,0,1,2{ −−=S e }4,3,2,1,2

1,

3

1{=T , quais pares abaixo pertencem à relação ρ em TS× definida por

xyyx ↔ρ é um número inteiro?

)2/1,5(),1,1(),2,1(),2/1,2(),4,0(),0,0(),3/1,1(),1,5(),4,2(),3,3(),3,2(),2,0(),2,1( −−−−− Se ρ é uma relação binária em TS× , então ρ consiste em um conjunto de pares ordenados da forma ),( ts . Dada uma primeira

componente s ou uma segunda componente t , podem ser formados diversos pares pertencentes à relação. A relação é um para um se cada primeira componente e cada segunda componente aparece apenas uma vez na relação. A relação é um para muitos se alguma primeira componente aparece mais de uma vez, isto é, se um s pode aparecer em mais de um par. Ela é dita muitos para um se alguma segunda componente t aparece em mais de um par. Finalmente, ela é dita muitos para muitos se pelo menos um s aparece em mais de um par e pelo menos um t aparece em mais de um par. A Figura a seguir ilustra essas quatro possibilidades. Note que nem todos os valores de S e T precisam ser componentes de algum par ordenado de ρ .

20

Exemplos: 1. As relações binárias ρ abaixo são definidas em N . Quais entre os pares ordenados pertencem a ρ ? a) )2,3(),3,3(),3,2(),2,2(;1+=↔ yxyxρ b) )6,2(),5,2(),4,2(; divide yxyx ↔ρ

c) )6,5(),5,4(),4,3(),3,2(;ímpar é xyx ↔ρ d) )3,4(),4,6(),2,5(),1,2(),2,1(;2yxyx >↔ρ

e) )4,4(),3,3(),5,2(),3,1(;7<+↔ yxyxρ f) )3,5(),3,6(),2,4(),2,0(;2+=↔ yxyxρ

g) )3,1(),1,3(),2,2(),0,5(;1032 =+↔ yxyxρ h) )9,3(),2,4(),1,1(;perfeito quadrado um é yyx ↔ρ 2. Identifique cada uma das relações em }9,7,5,2{=S como sendo um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos. a) )}2,9(),5,7(),2,5{( b) )}2,7(),7,5(),5,2{( c) )}7,2(),9,9(),5,2(),9,7{( d) )}9,2(),7,2(),5,2(),2,2{( Definição. Seja ρ uma relação binária em um conjunto S . Então:

• ρ será reflexiva se )),()(( ρ∈→∈∀ xxSxx ;

• ρ será simétrica se )),(),(,)()(( ρρ ∈→∈∧∈∀∀ xyyxSyxyx ;

• ρ será transitiva se )),(),(),(,,)()()(( ρρρ ∈→∈∧∈∧∈∀∀∀ zxzyyxSzyxzyx ;

• ρ será antissimétrica se )),(),(,)()(( yxxyyxSyxyx =→∈∧∈∧∈∀∀ ρρ . Definição. Uma relação binária em S reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência em S . Definição. Uma relação binária em S reflexiva, antissimétrica e transitiva é chamada de uma ordem parcial em S . Exemplos:

1. Seja { }3,2,1=S .

a) Se uma relação ρ em S é reflexiva, quais pares ordenados devem pertencer a ρ ?

b) Se uma relação ρ em S é simétrica, quais pares ordenados devem pertencer a ρ ?

c) Se uma relação ρ em S é simétrica e se ρ∈),( ba , então que outro par ordenado tem que pertencer a ρ ?

d) Se uma relação ρ em S é antissimétrica e se ),( ba e ),( ab pertencem a ρ , o que tem que ser verdade?

e) A relação )}2,1{(=ρ em S é transitiva? 2. Classifique as relações binárias definidas conjuntos abaixo em reflexivas, simétricas, antissimétricas e/ou transitivas se possível. Alguma relação abaixo é relação de equivalência ou ordem parcial? a) par é , yxyxNS +↔ρ= ;

b) yxyxNS divide , ↔ρ= ;

c) yxyxyxS com coincide ou a paralela é ,plano do retas as todasde conjunto ↔= ρ ;

d) 2, yxyxNS =↔ρ= ;

e) 2},1,0{ yxyxS =↔ρ= ;

f) yxyxxxS que velhomais é ,Bahia} na mora que pessoa uma é /{ ↔ρ= ;

g) yxyxxxS que fileira mesma na senta ,sala} sua da aluno um é /{ ↔= ρ ;

h) )}1,2(),2,1(),3,3(),2,2(),1,1{(,1,2,3}{ =ρ=S .

21

3. Verifique se as relações binárias nos conjuntos abaixo são reflexivas, simétricas, antissimétricas e transitivas: a) NSyxyx =≤↔ ,ρ b) )(, NSBABA ℘=⊆↔ρ

Definição. Uma relação binária ∗ρ em um conjunto S é o fecho de uma relação ρ em S em relação à propriedade P se:

• ∗ρ tem a propriedade P ;

• ∗⊆ ρρ ;

• ∗ρ é um subconjunto de qualquer outra relação em S que inclui ρ e tem a propriedade P . Exemplo: Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo da relação em },,,{ dcbaS = dada por

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( adacdbdacaccbbaa=ρ . Definição. Sejam S e T conjuntos. Uma função (aplicação) f de S em T , TSf →: , é um subconjunto de TS× tal que

cada elemento de S aparece exatamente uma vez como a primeira componente de um par ordenado. S é o domínio e T é o

contradomínio da função. Se ),( ts pertence à função, então denotamos t por )(sf ; t é a imagem de s por f . Para

)(, AfSA ⊆ denota });({ Aaaf ∈ .

Definição. Uma função TSf →: é dita sobrejetora se sua imagem é igual o seu contradomínio. Definição. Uma função TSf →: é injetora se nenhum elemento de T é imagem, por f , de dois elementos distintos de S . Definição. Uma função TSf →: é bijetora se é, ao mesmo tempo, injetora e sobrejetora. Definição. Sejam TSf →: e UTg →: . A função composta fg o é a função de S em U definida por

))(())(( sfgsfg =o .

Definição. Seja f uma função TSf →: . Se existir uma função STg →: tal que Sifg =o e Tigf =o , então g é

chamada a função inversa de f , denotada por 1−f .

Teorema sobre bijeções e funções inversas. Seja TSf →: . Então f é uma bijeção, se, e somente se, 1−f existe. Exercícios: 1. Diga se cada uma das relações em S a seguir é um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos. a) 1, +=↔= yxyxNS ρ ; b) yxyxS de filha é Xarópolis, em mulheres as Todas ↔ρ= ;

c) )()(}),3,2,1({ BnAnBAS =↔℘= ρ ; d) 5, =↔= xyxRS ρ .

22

2. Sejam ρ e σ duas relações binárias em N definidas por yxyx divide ↔ρ e yxyx ≤↔ 5σ . Quais dos pares ordenados satisfazem as relações correspondentes? a) σρ ∪ ; )0,0(),1,2(),17,3(),6,2( b) σρ ∩ ; )12,2(),2,1(),6,3( c) 'ρ ; )15,3(),8,2(),5,1( c) 'σ ; )8,4(),10,2(),1,1( 3. Sejam }6,4,2,1,0{=S . Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, antissimétricas ou transitivas. a) )}6,4(),4,2(),2,1(),1,0(),6,6(),4,4(),2,2(),1,1(),0,0{(=ρ

b) )}4,6(),6,4(),2,4(),4,2(),0,1(),1,0{(=ρ

c) )}2,2(),1,1(),0,0(),0,1(),1,2(),0,2(),2,0(),2,1(),1,0{(=ρ

d) )}4,6(),6,4(),6,6(),4,4(),2,2(),1,1(),0,0{(=ρ

e) φρ = 4. Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de cada uma das relações do exercício anterior. 5. Teste se as relações binárias em S dadas a seguir são reflexivas, simétricas, antissimétricas ou transitivas. a) ímpar é , xyxNS ↔= ρ ;

b) Sé o conjunto de todas as cadeias de caracteres com comprimento finito, ↔yxρ número de caracteres em é igual ao número de caracteres em y ;

c) 5},5,4,3,2,1,0{ =+↔= yxyxS ρ ;

d) 21212211 e ),(),(, yyxxyxyxNNS ≤≤↔×= ρ . 6. Sejam }6,4,2,0{=S e }7,5,3,1{=T . Determine se cada um dos conjuntos de pares ordenados a seguir é uma função com

domínio S e contradomínio T . Se for o caso, a função é injetora? É sobrejetora? a) )}0,6(),6,4(),4,2(),2,0{( b) )}5,4(),3,0(),1,2(),3,6{( c) )}5,6(),1,0(),7,4(),3,2{( d) )}3,6(),5,4(),1,2{( e) )}5,2(),7,0(),1,4(),3,0(),1,6{( f) φ 7. Sejam os conjuntos:

},,,,,,{ 395202S π−= , },,,,,{ fedcbaT = e ℜ=U . Sejam as funções:

TSf →: , )},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{( e3df9c5a2e0b2f π−= e

)},(),,(),,(),,(),,(),,(),,{(,: 4309352124012gUSg ππ−−=→ .

a) Encontre a função UTh →: tal que fhg o= .

b) Classifique as funções f , g e h em injetora e sobrejetora se possível. 8. Sejam }4,3,2,1{=S , }6,5,4,3,2,1{=T e }10,9,8,7,6{=U . Sejam também a função f de S em T dada por

)}6,4(),3,3(),4,2(),2,1{( e uma função g de T em U dada por )}9,6(),8,5(),7,4(),9,3(),6,2(),7,1{( . Escreva os pares

ordenados da função fg o .

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9. Seja f uma função que leva cadeias de caracteres alfabéticos e espaços em branco em cadeias de consoantes, f remove todas as vogais e espaços em branco de cada cadeia. Suponha que g leva uma cadeia no número de caracteres que ela contém. Qual é o valor

de )lincoln abranham)(( fg o ? 10. Seja P o conjunto das partes de },{ ba e seja S o conjunto de todas as cadeias binárias de comprimento 2 . Vamos definir uma

função SPf →: da seguinte maneira: para A em P , )(Af tem 1 na posição do bit de maior ordem (extremidade esquerda da

cadeia) se, e somente se, a pertence a A ; )(Af tem 1 na posição do bit de menor ordem (extremidade direita da cadeia) se, e

somente se, b pertence a A . f é injetora? f é sobrejetora? 11. Sejam os conjuntos:

}20,5,2,0,1,2,{ −−= πS , }6,5,4,3,2,1{=T , },,,,{ 142121U −= .

Sejam as relações:

)}2,2(),5,5(),6,2(),4,1(),1,0(),2,{(,: −−=→ πρρ TS ,

)},(),,(),,(),,(),,(),,{(,: 4312152161421UT −−=σ→σ ,

)}5,2(),0,1(),20,5(),1,1(),1,0(),20,2(),2,0(),2,2(),,{(,: −−−−−−=→ ππµµ SS . Sejam as funções:

)}4,20(),3,5(),2,2(),6,0(),5,1(),4,2(),1,{(,: −−=→ πfTSf ,

)}2,5(),2

1,3(),1,6(),1,4(),

2

1,2(),1,1{(,: −=→ gUTg .

a) Classifique as relações acima em um para um, um para muitos, muitos para um ou muitos para muitos. b) Quais relações acima é função? Se for o caso, a função é injetora? É sobrejetora? c) Encontre o fecho reflexivo, o fecho simétrico e o fecho transitivo da relação µ .

d) Encontre fg o . Respostas: 1. a) um para um b) um para um ou muitos para um c) muitos para muitos d) um para muitos 2. a) )0,0(),17,3(),6,2( b) )12,2( c) Nenhum d) )8,4(),1,1( 3. a) R, A b) S c) S, T d) R, S, T e) S, A, T 5. a) T b) R, S, T c) S d) R, A, T 6. a) Não b) Sim, não injetora/não sobrejetora c) Sim, injetora/sobrejetora d) Não e) Não f) Não 8. )}9,4(),9,3(),7,2(),6,1{( 9. 9 10. Injetora e sobrejetora 7. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS GERSTING, J. L. Fundamentos Matemáticos para a Ciência da Computação. 5ª ed. LTC, São Paulo, 2004. LIPSCHUTZ, S.; LIPSON, M. Matemática Discreta. 2ª ed. Bookman, São Paulo, 2004. LIPSCHUTZ, S. Teoria dos Conjuntos. McGraw-Hill Ltda. São Paulo, 1972.

“A melhor maneira de nos prepararmos para o futuro é concentrar toda a imaginação e entusiasmo na execução perfeita do trabalho de hoje”. Dale Carnegie.