Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuaci£³n de ... Ecuaciones Diferenciales...

download Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuaci£³n de ... Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuaci£³n

of 72

  • date post

    12-Jul-2020
  • Category

    Documents

  • view

    7
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuaci£³n de ... Ecuaciones Diferenciales...

  • Ecuaciones Diferenciales Ordinarias La ecuación de Bernoulli

    v2ρ 2 + P + ρgz = C

    Daniel Bernoulli, matemático suizo (Groninga, 1700 - Basilea, 1782)

    May 18, 2020

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli

    Una ecuación de Bernoulli es aquella ecuación no lineal que es de la forma

    y ′ + p(x)y = q(x)yn, con n número real

    Observamos que si n = 0 o n = 1 dicha ecuación es una ecuación lineal, por lo que para su resolución supondremos n , 0 y n , 1. Dividiendo toda la ecuación entre yn resulta:

    y−ny ′ + p(x)y−n+1 = q(x) (1)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 y calculando la derivada de esta nueva variable, en términos de la derivada de y , resulta z′ = (−n + 1)y−ny ′, es decir:

    y−ny ′ = z′

    −n + 1 Y al sustituir en (1) la expresión anterior y la definición z = y−n+1, tenemos

    z′

    −n + 1 + p(x)z = q(x),

    es decir, obtenemos la ecuación lineal en z:

    z′ + (−n + 1)p(x)z = (−n + 1)q(x)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

    Ejemplo 1

    Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

    Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

    y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada: z′ = −2y−3y ′, de donde

    y−3y ′ = z′

    −2 Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

    z′

    −2 + xz = x 3

    Normalizando esta ecuación lineal:

    z′ − 2xz = −2x3 (3)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

    Ejemplo 1

    Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

    Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

    y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada: z′ = −2y−3y ′, de donde

    y−3y ′ = z′

    −2 Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

    z′

    −2 + xz = x 3

    Normalizando esta ecuación lineal:

    z′ − 2xz = −2x3 (3)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

    Ejemplo 1

    Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

    Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

    y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada: z′ = −2y−3y ′, de donde

    y−3y ′ = z′

    −2 Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

    z′

    −2 + xz = x 3

    Normalizando esta ecuación lineal:

    z′ − 2xz = −2x3 (3)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

    Ejemplo 1

    Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

    Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

    y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada: z′ = −2y−3y ′, de donde

    y−3y ′ = z′

    −2 Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

    z′

    −2 + xz = x 3

    Normalizando esta ecuación lineal:

    z′ − 2xz = −2x3 (3)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

    Ejemplo 1

    Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

    Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

    y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

    Haciendo el cambio de variable z = y−n+1 = y−2, calculamos la derivada: z′ = −2y−3y ′, de donde

    y−3y ′ = z′

    −2 Sustituyendo lo anterior en (2) resulta:

    z′

    −2 + xz = x 3

    Normalizando esta ecuación lineal:

    z′ − 2xz = −2x3 (3)

    Lecciones de Ecuaciones Diferenciales Ordinarias

  • La Ecuación de Bernoulli. Ejemplos

    Ejemplo 1

    Resolver la ecuación y ′ + xy = x3y3

    Notamos que n = 3. Dividiendo entre y3 tendremos:

    y−3y ′ + xy−2 = x3 (2)

    Haciendo el cambio de variable z = y