Ecuaciones Diferenciales Formulario -...
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ED/GIC/UC/12-13 Ecuaciones Diferenciales Formulario -M´ etodo de variaci´on de par´ ametros: c´ alculo de soluciones particulares • E.D.O. de primer orden: k(x)= R q(x) exp( R p(x)dx) dx • E.D.O. de segundo orden: K 1 (x)= Z -r(x)y 2 (x) W [y 1 ,y 2 ](x) dx , K 2 (x)= Z r(x)y 1 (x) W [y 1 ,y 2 ](x) dx. • Sistemas de E.D.O.: ¯ k(x)= R Φ(x) -1 . ¯ b(x)dx) -Reducci´on de orden para E.D.O. de segundo orden: c(x)= Z exp(- R p(x)dx) y 1 (x) 2 dx - M´ etodo de coeficientes indeterminados c´ alculo de soluciones particulares: • Si r(x)= p k (x)e αx , se busca y p (x)= x s P k (x)e αx • Si r(x)= p k (x)e αx cos βx ´ o r(x)= p k (x)e αx sin βx, se busca y p (x)= x s P k (x)e αx cos βx + x s Q k (x)e αx sin βx . donde p k ,P k ,Q k son polinomios de grado k, s = 0 si α + iβ no es ra´ ız del polinomio caracter´ ıstico, s = n i si α + iβ es ra´ ız del polinomio caracter´ ıstico de multiplicidad n i . -M´ etodo de Euler para el problema ¯ y 0 = ¯ F (t, ¯ y), ¯ y(t 0 )=¯ y 0 : t i+1 = t i + h, ¯ y i+1 =¯ y i + h ¯ F (t i , ¯ y i ) - Funciones “escal´on” (“ Heaviside”) y “Delta de Dirac” u(t - a)= 0 si t<a 1 si t ≥ a. δ (t - a)= ∞ si t = a 0 si t 6= a. , Z +∞ -∞ δ (t - a)dt =1 - Algunas relaciones trigonom´ etricas: 2 sin a sin b = cos(a - b) - cos(a + b) 2 sin a cos b = sin(a - b) + sin(a + b) 2 cos a cos b = cos(a - b) + cos(a + b) - Angulo α de corte de dos rectas de pendientes m 1 y m 2 : tan α = m 2 -m 1 1+m 1 m 2
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ED/GIC/UC/12-13
Ecuaciones DiferencialesFormulario
-Metodo de variacion de parametros: calculo de soluciones particulares
• E.D.O. de primer orden: k(x) =∫q(x) exp(
∫p(x)dx) dx
• E.D.O. de segundo orden:
K1(x) =
∫−r(x)y2(x)
W [y1, y2](x)dx , K2(x) =
∫r(x)y1(x)
W [y1, y2](x)dx.
• Sistemas de E.D.O.: k(x) =∫
Φ(x)−1.b(x)dx)
-Reduccion de orden para E.D.O. de segundo orden:
c(x) =
∫exp(−
∫p(x)dx)
y1(x)2dx
- Metodo de coeficientes indeterminados calculo de soluciones particulares:
• Si r(x) = pk(x)eαx, se busca yp(x) = xsPk(x)eαx
• Si r(x) = pk(x)eαx cos βx o r(x) = pk(x)eαx sin βx,se busca yp(x) = xsPk(x)eαx cos βx+ xsQk(x)eαx sin βx .
donde pk, Pk, Qk son polinomios de grado k,s = 0 si α + iβ no es raız del polinomio caracterıstico, s = ni si α + iβ es raız delpolinomio caracterıstico de multiplicidad ni.-Metodo de Euler para el problema y′ = F (t, y), y(t0) = y0 :
ti+1 = ti + h , yi+1 = yi + hF (ti, yi)
- Funciones “escalon” (“ Heaviside”) y “Delta de Dirac”
u(t− a) =
{0 si t < a1 si t ≥ a.
δ(t− a) =
{∞ si t = a0 si t 6= a.
,
∫ +∞
−∞δ(t− a)dt = 1
- Algunas relaciones trigonometricas:
2 sin a sin b = cos(a− b)− cos(a+ b)
2 sin a cos b = sin(a− b) + sin(a+ b)
2 cos a cos b = cos(a− b) + cos(a+ b)
- Angulo α de corte de dos rectas de pendientes m1 y m2: tanα = m2−m1
1+m1m2
