Econometría y Estadística para Economistas. - β ( ) ( )γ ( )γ · 2013. 9. 2. · Se comple que...

Estimación con parámetros dependientes del tiempo

Francisco Parra Rodríguez

Doctor Economía

Coeficiente de regresión.

El coeficiente de regresión mínimo-cuadrático de la estimación: ttt ebxy += es

el siguiente:

∑∑ ⋅

=2

ˆt

ttMVCO x

yxb

La relación de Plancharel muestra que se verifica la siguiente correspondencia

de productos escalares:

( ) ( )γβ ,1

,N

xy =

donde )(yDFT=β y )(xDFT=γ .

Por su parte, la igualdad de Parserval que constituye el caso particular de

xy = .

( ) ( )γγ ,1

,N

xx =

En consecuencia:

( )( )γγ

γβ,

,ˆ =MVCOb

Utilizando la notación de los coeficientes de Fourier, la covarianza de x e y se

obtendría a partir de:

( )

++= ∑

−

= 2

2

2

1

1

**

2

11TT

q

pppppyx aabbaa

Tttσ

La varianza del proceso tx quedaría definida a partir de:

( )

++= ∑

−

=

2

2

1

1

222

2

11T

q

pppx aba

Ttσ

Entonces:

( )

( )∑

∑−

−

+

⋅+≅

1

1

2

2

22

*

22

1

1

**

2

2ˆ

k

=pTpp

TT

k

=ppppp

MCO

ab+a

aab+baa

b

Regresión Band Spectrum

Hannan (1963) fue quien propuso la regresión en dominio de la frecuencia

(regresión band spectrum). Engle (1974), demostró que dicha regresión no

alteraba los supuestos básicos de la regresión clásica, cuyos estimadores eran

Estimadores Lineales Insesgados y Optimos (ELIO).

En Engrel (1974) el periodograma de la explicativas x es definido como

( ) 2ˆ xwf kkx =θ

siendo kw el vector fila:

( )kkk iTiik eeew θθθ )1(2 ,...,,,1 −=

donde Tk

kπθ 2= ; y t=0;1;…;T-1;

Txwk sería el elemento k-ésimo de la

transformada finita de Fourier del vector columna de tx

y el cross-periodograma entre las series tx e ty

( ) ( ) ( )ywxwf kkkxy∗=θˆ

Donde * es la compleja conjugada de la transpuesta.

El periodograma es un estimador insesgado del espectro, sin embargo es

asintóticamente insesgado e inconsistente con la varianza de cada estimador

espectral a medida que la muestra tiende a infinito. Esta inconsistencia que

obligaría al uso de ventanas en el periodograma con el fin de obtener

estimaciones del espectro, no anula las propiedades de la regresión realizada

con el periodograma.

Haciendo

=

−1

2

1

0

.

tw

w

w

w

W

Se comple que WWIWW '' == debido a las ortogonalidad de los productos de

senos y cosenos.

Y obtendiendo el vector x~ como la transformada de Fourier de

x en T periodos, podemos transformar el modelo de regresión múltiple:

uxy += β (1)

En

uxy ~~~ += β

Se trata de una regresión con variables aleatorias complejas pero que no

afecta a los supuestos básicos del modelo de regresión clásico. Las

propiedades del error u~ :

'

')'(

)''(

)'~~()~var(

2 WW

WuuWE

WWuuE

uuEu

u Ω===

=

σ

Si I=Ω , entonces Iu u2)~var( σ= .

Asumiendo que x es independiente de u , el teorema de Gauss-Markov

implicaría que

( ) yxxx ~'~~'~ˆ 1−=β

es un estimador ELIO con la siguiente matriz de varianza y covarianzas:

12 )~'~()ˆvar( −= xxuσβ

El estimador mínimo-cuadrático β en términos del periodograma se formularía:

( ) ( )∑∑−

=

−−

=

=1

0

11

0

ˆˆˆT

kkxy

T

kkxx ff θθβ

donde ( )kxxf θˆ es la matriz de cross-periodogramas de cada frecuencia e

( )kxyf θˆ es el vector del cross-periodograma de tx e ty .

A efectos de transformar los datos originales del dominio del tiempo al dominio

de la frecuencia utilizando series finitas de senos y cosenos en la regresión

band spectrium, Harvey (1978) sugiere utilizar una matriz ortogonal A, con el

elemento (j,t)th :

( )

( )( )

=∀−

−=∀

−−

−−=∀

−

=∀

=

+ TjT

TTjT

tj

T

TTjT

tj

T

jT

a

t

tj

12

1

2

1

2

1

2

1

,

)1(1

/)1(,...,7,5,311

sin2

)1/()2(,...,6,4,21

cos2

11

π

π

De esta forma los problemas derivados del uso de la transformada compleja de

Fourier pueden ser eludidos. Asimismo afirma que el vector de residuos

definido en (1) da lugar a un vector de residuos del modelo transformado a

través de A

( ) uAXyAv ˆˆ =−= β

De manera que :

=

==

−=+=

−=+=

= +

+

21

22

212

22

212

22

ˆ22

,ˆ2

2

1,...,1,ˆˆ

12

,...,1,ˆˆ

vp

imparTyT

jvp

imparTsiT

jvvp

parTsiT

jvvp

p

o

jj

jjj

jjj

j

Puede ser utilizado de forma consistente como estimador del periodograma

de u .Al ser β un estimador MCO de β , puede utilizarse el test del

periodograma acumulado de Durbin (Durbin, 1969) (ver anexo nº1).

Regresión con coeficientes Beta dependientes del ti empo.

El objetivo es estimar un modelo de tipo

ttt XY β=

Donde tX es un vector de T x 1 observaciones de la variable independiente,

tβ , is un vector de T x 1 parámetros , e tY es un vector de T x 1 observaciones

de la variable independiente, asumiendo que las series tX , tβ e tY son transformadas en series de Fourier:

( )[ ] [ ]

⋅+⋅+×

⋅+⋅+= ∑∑

==

R

jj

Xjj

Xj

xR

jjjjjot twbtwaatwbtwaaY

00

0

)sin()cos()sin(cos βββ (2)

Utilizando la matriz A:

( )

( )( )

=∀−

−=∀

−−

−−=∀

−=∀

=

+ Tj

TTjT

tj

TTjT

tj

j

a

t

tj

1

,

)1(

/)1(,...,7,5,311

sin

)1/()2(,...,6,4,21

cos

11

π

π

Pre-multiplicado cada observación de (2) por 1)'( −A se obtiene:

β&&& XY = (3)

Donde tYAY 1)'( −=& , tXAX 1)'( −=& , y tA ββ 1)'( −=& , y asumiendo que β& incluye

ciclos que dan lugar a oscilaciones regulares e irregulares o aleatorias:

tR

tt e+= ββ

Donde te es un vector de T x 1 observaciones de media e y varianza TI2σ .

Pre-multiplicado cada observación de (4) por 1)'( −A se obtiene:

eR&&& += ββ

Donde tRR A ββ 1)'( −=& y teAe 1)'( −=& , el vector transformado e&mantiene las

mismas propiedades estadísticas que te .

Operando en (3):

eXXY R&&&&& += β (5)

La expresión eX && es una transformación lineal de e& construida a partir de los

coeficientes de Fourier de tX (ver anexo). De igual manera RXβ&& es una

transformación lineal de de Rβ& construida a partir de los coeficientes de Fourier

de tX . En forma matricial la expresamos

eY XXRXX&&&

&&&& θβθ +=

Utilizando 'A para pasar al dominio del tiempo:

eAAYA XXRXX&&&

&&&&

''' θβθ +=

tttt eXY ˆˆ += β

Siendo, Rt A ββ &'ˆ = y eAe XX

t &&&

'ˆ θ=

La distribución de te es:

eXa eo && '=

( ) ( )2

0

''

2

1ˆvar eXXXX

t aeee −= &&&&&& θθ

Para operar la transformación hay que tener presente que :

t

t

t

tt X

eX

Y ˆˆ −=β

que en el dominio de la frecuencia se expresaría:

( ) ( ) eY XXXXR&&& &&&& 11 −−

+= θθβ

El periodograma ( ) YXX &&& 1−

θ tendrá un componente aleatorio y otro no aleatorio,

que puede diferenciarse utilizando el test del periodograma acumulado de

Durbin.

En primer lugar habría que calcular:

∑

∑

=

==m

rr

j

rr

j

p

ps

1

1

Donde nm2

1= para n pares y ( )12

1 −= nm para n impares, siendo 01 == vpo .

Entonces:

+−<<+

aleatorionop

aletoriopmjcsm

jcs

j

jojoj

,

Se recuperan los valores de las frecuencias no aleatorias asignando 212vpo = a

al primer término, y se obtendrían las frecuencias esperadas del componente

aleatorio a partir de:

( ) Ye RXX &&&&& −= βθ

Aplicación a la regresión entre el consumo de energ ía eléctrica y el PIB en

España, periodo 2000-2012.

En la tabla nº 1 figuran las cifras de Consumo de energía final eléctrica (TEP) y

del PIB en Millones de euros de España en el periodo 1992 y 2007.

Tabla nº1 Consumo de Energía Final Eléctrica (TEP) y PIB (Mill de euros

constantes) de España correspondientes al periodo 1992-2008

España

Consumo de Energia Final Electrica (TEP) PIB (Mill euros año 2000)

1993 11237 479583,3

1994 11777 491011,6

1995 12116 515405

1996 12655 527862,4

1997 13672 548283,8

1998 14202 572782

1999 15241 599965,8

2000 16205 630263

2001 17279 653255

2002 17759 670920,4

2003 18916 691694,7

2004 19834 714291,2

2005 20827 740108

2006 22052 769850,2

2007 22548 797366,8

2008 22817 804223,1

Tabla nº2. Regresión mínimo cuadrada de las diferencias en logaritmos del

Consumo de energía (Y) y el PIB (X)

Resumen

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,65228764 Coeficiente de determinación R^2 0,42547917

R^2 ajustado 0,38444196

Error típico 0,01678338

Observaciones 16

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de

libertad Suma de

cuadrados Promedio de los

cuadrados F Valor crítico

de F

Regresión 1 4061520070 4061520070 0,01162349 0,00617066

Residuos 15 708135763 47209050,89

Total 16 4769655833

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%

Intercepción -6648,76729 0,00457706 0,349931458 0,73159859 -0,00821516 0,01141847

X 0,03679065 0,30724937 3,219958511 0,00617066 0,33034586 1,64831456

La transformación de los datos del dominio del tiempo al dominio de la

frecuencia se realiza premultiplicando los datos originales por la siguiente

matriz:

Tabla nº3. Matriz A

aj,t 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000 1,000

2 1,000 0,924 0,707 0,383 0,000 -0,383 -0,707 -0,924 -1,000 -0,924 -0,707 -0,383 0,000 0,383 0,707 0,924

3 0,000 0,383 0,707 0,924 1,000 0,924 0,707 0,383 0,000 -0,383 -0,707 -0,924 -1,000 -0,924 -0,707 -0,383

4 1,000 0,707 0,000 -0,707 -1,000 -0,707 0,000 0,707 1,000 0,707 0,000 -0,707 -1,000 -0,707 0,000 0,707

5 0,000 0,707 1,000 0,707 0,000 -0,707 -1,000 -0,707 0,000 0,707 1,000 0,707 0,000 -0,707 -1,000 -0,707

6 1,000 0,383 -0,707 -0,924 0,000 0,924 0,707 -0,383 -1,000 -0,383 0,707 0,924 0,000 -0,924 -0,707 0,383

7 0,000 0,924 0,707 -0,383 -1,000 -0,383 0,707 0,924 0,000 -0,924 -0,707 0,383 1,000 0,383 -0,707 -0,924

8 1,000 0,000 -1,000 0,000 1,000 0,000 -1,000 0,000 1,000 0,000 -1,000 0,000 1,000 0,000 -1,000 0,000

9 0,000 1,000 0,000 -1,000 0,000 1,000 0,000 -1,000 0,000 1,000 0,000 -1,000 0,000 1,000 0,000 -1,000

10 1,000 -0,383 -0,707 0,924 0,000 -0,924 0,707 0,383 -1,000 0,383 0,707 -0,924 0,000 0,924 -0,707 -0,383

11 0,000 0,924 -0,707 -0,383 1,000 -0,383 -0,707 0,924 0,000 -0,924 0,707 0,383 -1,000 0,383 0,707 -0,924

12 1,000 -0,707 0,000 0,707 -1,000 0,707 0,000 -0,707 1,000 -0,707 0,000 0,707 -1,000 0,707 0,000 -0,707

13 0,000 0,707 -1,000 0,707 0,000 -0,707 1,000 -0,707 0,000 0,707 -1,000 0,707 0,000 -0,707 1,000 -0,707

14 1,000 -0,924 0,707 -0,383 0,000 0,383 -0,707 0,924 -1,000 0,924 -0,707 0,383 0,000 -0,383 0,707 -0,924

15 0,000 0,383 -0,707 0,924 -1,000 0,924 -0,707 0,383 0,000 -0,383 0,707 -0,924 1,000 -0,924 0,707 -0,383

16 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000 1,000 -1,000

Las variables transformadas aparecen en la Tabla nº4:

Tabla nº4 Consumo de Energía Final Eléctrica y PIB de España

correspondientes al periodo 1992-2008. Transformados en el dominio de la

frecuencia .

i Y X

Y ajustado dominio frecuencia

Y ajustado dominio tiempo Y Estimado MCO

1 16821,0625 637929,144 16997,263 10694,25575 10995,4155

2 -605,584022 -20021,0146 -794,035308 12007,00373 11415,8701

3 -4479,332 -118223,528 -3449,47993 13684,14948 12313,3192

4 -764,226844 -18416,0277 -750,635668 13895,53275 12771,6351

5 -2015,85899 -56750,8565 -1787,22844 14573,20853 13522,9518

6 -847,416968 -25088,2045 -931,054635 15319,48904 14424,2565

7 -1088,01811 -31573,6642 -1106,42468 15970,71542 15424,3663

8 -725,75 -22900,275 -871,891936 16992,36724 16539,0201

9 -715,125 -21509,4375 -834,283001 17411,6818 17384,9108

10 -752,708817 -22061,7063 -849,216624 18192,27675 18034,8324

11 -382,979271 -13469,9072 -616,890117 18451,11034 18799,1324

12 -731,523156 -20472,3473 -806,239567 19483,60816 19630,4724

13 -326,608995 -9192,63147 -501,230462 19760,22996 20580,2893

14 -815,290194 -19664,9246 -784,406457 21195,25909 21674,5243

15 -196,79316 -4207,67079 -366,434654 21308,53629 22686,878

16 -341,5625 -9721,34375 -515,527104 23016,78447 22939,1257

Los resultados de la regresión en frecuencia aparecen en la tabla nº5 y en la

figura nº1, se han representado los datos centrados de las diferencias

logarítmicas del consumo de energía eléctrica centradas, y los resultados de la

regresión en el domino de frecuencias transformados al dominio del tiempo.

Tabla nº5. Regresión mínimo cuadrada en el dominio de frecuencias.

Estadísticas de la regresión Coeficiente de correlación múltiple 0,99778811 Coeficiente de determinación R^2 0,99558111

R^2 ajustado 0,99526547

Error típico 314,256671

Observaciones 16

ANÁLISIS DE VARIANZA

Grados de

libertad Suma de

cuadrados Promedio de los

cuadrados F Valor crítico

de F

Regresión 2 311501433 311501432,7 3154,21314 6,905E-18

Residuos 13 1382601,57 98757,25532

Total 15 312884034

Coeficientes Error típico Estadístico t Probabilidad Inferior 95% Superior 95%

Intercepción -252,657151 78,8544875 -3,204093501 0,00636848 -421,783206 -83,5310964

X 0,0270405 0,00048147 56,16238192 6,905E-18 0,02600785 0,02807315

La matriz XX &&θ figura en la tabla nº6:

Tabla nº6. Matriz XX &&θ

Xjjθ

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

1 637929 -10011 -59112 -9208 -28375 -12544 -15787 -11450 -10755 -11031 -6735 -10236 -4596 -9832 -2104 -9721

2 -20021 628721 -28375 -22555 -74899 -20658 -39130 -23575 -22522 -21686 -15351 -20863 -8839 -19958 -4596 -19665

3 -

118224 -28375 647137 43325 2534 17621 2242 9052 -1513 6158 -1214 4631 -1198 4596 -515 4208

4 -18416 -22555 43325 626479 -10755 -21041 -65847 -19444 -32972 -22377 -17891 -21171 -10755 -20863 -4631 -20472

5 -56751 -74899 2534 -10755 649379 52377 1020 23779 1028 13683 -2712 10755 -1729 8839 -1198 9193

6 -25088 -20658 17621 -21041 52377 627693 -4596 -19843 -61216 -18929 -28375 -22377 -13683 -21686 -6158 -22062

7 -31574 -39130 2242 -65847 1020 -4596 648165 57008 -178 28375 513 17891 -2712 15351 -1214 13470

8 -22900 -23575 9052 -19444 23779 -19843 57008 628208 0 -19843 -57008 -19444 -23779 -23575 -9052 -22900

9 -21509 -22522 -1513 -32972 1028 -61216 -178 0 647650 61216 -178 32972 1028 22522 -1513 21509

10 -22062 -21686 6158 -22377 13683 -18929 28375 -19843 61216 627693 4596 -21041 -52377 -20658 -17621 -25088

11 -13470 -15351 -1214 -17891 -2712 -28375 513 -57008 -178 4596 648165 65847 1020 39130 2242 31574

12 -20472 -20863 4631 -21171 10755 -22377 17891 -19444 32972 -21041 65847 626479 10755 -22555 -43325 -18416

13 -9193 -8839 -1198 -10755 -1729 -13683 -2712 -23779 1028 -52377 1020 10755 649379 74899 2534 56751

14 -19665 -19958 4596 -20863 8839 -21686 15351 -23575 22522 -20658 39130 -22555 74899 628721 28375 -20021

15 -4208 -4596 -515 -4631 -1198 -6158 -1214 -9052 -1513 -17621 2242 -43325 2534 28375 647137 118224

16 -9721 -9832 2104 -10236 4596 -11031 6735 -11450 10755 -12544 15787 -9208 28375 -10011 59112 637929

En la tabla nº7 se recogen los valores de ( ) YXX &&& 1−

θ y la división realizada entre

frecuencias aleatorias y no aleatorias :

Tabla nº7

j/t ( ) YXX &&& 1−

θ Rβ& ( )eXX

&&&θ

1 0,026075787 0,026075787 29,08993026

2 -0,000439772 -0,000439772 60,72969409

3 -0,002122799 -0,002122799 -13,44340972

4 -0,000456221 -0,000456221 74,98721354

5 -0,000824029 -0,000824029 -33,39512833

6 -0,000290338 0 -131,3414332

7 -0,00042142 0 -306,3585378

8 -0,000197298 0 -109,0357438

9 -0,000241289 0 -181,5614012

10 -0,000294102 0 -172,8298929

11 -3,55657E-05 0 -51,46534444

12 -0,000342555 0 -197,8314102

13 -0,000117494 0 -99,66598181

14 -0,000485719 0 -303,7663548

15 -0,000134697 0 -93,28936043

16 -0,000139025 0 -88,81128234

El periodograma Rt A ββ &'ˆ = y eAe XX

t &&&

'ˆ θ= y su representación gráfica figura a

continuación:

Tabla nº8 Periodograma Rβ&

Frecuencia Periodo ap bp Periodograma sj c0+j/m -c0+j/m

1 16 -0,000439772 -0,002122799 5,9838E-06 0,8412052 0,5583700 -0,3083700 2 8 -0,000456221 -0,000824029 1,1296E-06 1,0000000 0,6833700 -0,1833700 3 5 0 0 0 1,0000000 0,8083700 -0,0583700 4 4 0 0 0 1,0000000 0,9333700 0,0666300 5 3 0 0 0 1,0000000 1,0583700 0,1916300 6 3 0 0 0 1,0000000 1,1833700 0,3166300 7 2 0 0 0 1,0000000 1,3083700 0,4416300 8 2 0 0 0

Figura nº1 . Periodograma de tβ

0

0,000001

0,000002

0,000003

0,000004

0,000005

0,000006

0,000007

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura nº2 . Test Durbin del periodograma de tβ

-0,4000000

-0,2000000

0,0000000

0,2000000

0,4000000

0,6000000

0,8000000

1,0000000

1,2000000

1,4000000

1 2 3 4 5 6 7

sj

c0+j/m

-c0+j/m

Tabla nº9.- Periodograma de te

Frecuencia Periodo ap bp Periodograma sj c0+j/m -c0+j/m

1 16 60,72969409 -13,44340972 4925,9359 0,0108364 0,6833700 -0,1833700 2 8 74,98721354 -33,39512833 8579,4914 0,0297102 0,8083700 -0,0583700 3 5 -131,3414332 -306,3585378 141464,713 0,3409141 0,9333700 0,0666300 4 4 -109,0357438 -181,5614012 57109,0409 0,4665465 1,0583700 0,1916300 5 3 -172,8298929 -51,46534444 41404,2903 0,5576305 1,1833700 0,3166300 6 3 -197,8314102 -99,66598181 62478,5963 0,69507525 1,30837 0,44163 7 2 -303,7663548 -93,28936043 128567,786 0,9779076 1,4333700 0,5666300 8 2 -88,81128234 0 10042,6054

Figura nº3 . Periodograma de te

0

20000

40000

60000

80000

100000

120000

140000

160000

1 2 3 4 5 6 7 8

Figura nº4 . Test de Durbin del periodograma de te

-0,4000000

-0,2000000

0,0000000

0,2000000

0,4000000

0,6000000

0,8000000

1,0000000

1,2000000

1,4000000

1,6000000

1 2 3 4 5 6 7

sj

c0+j/m

-c0+j/m

En la tabla nº10 aparece tβ , y en la figura nº5 aparecen los resultados de las

diferentes estimaciones.

Tabla nº10. Estimación modelo tttt eXY ˆˆ += β

B(t) X(t) B(t)X(t) e(t)

1993 0,025179795 479583,3 12075,80928 -

838,8092793 1994 0,023951858 491011,6 11760,64034 16,35965848 1995 0,023439748 515405 12080,96311 35,03688928 1996 0,023686204 527862,4 12503,05639 151,9436117 1997 0,024409209 548283,8 13383,17376 288,8262449

1998 0,025188143 572782 14427,31488 -

225,3148849

1999 0,025709736 599965,8 15424,96229 -

183,9622906

2000 0,025929803 630263 16342,59548 -

137,5954834 2001 0,026059339 653255 17023,39331 255,6066943 2002 0,026389171 670920,4 17705,03306 53,96693545 2003 0,02706377 691694,7 18719,8664 196,1336011

2004 0,027945212 714291,2 19961,01901 -

127,0190084

2005 0,028654807 740108 21207,65204 -

380,6520434

2006 0,028773978 769850,2 22151,65246 -

99,65246348 2007 0,028089896 797366,8 22397,95063 150,049367 2008 0,026741931 804223,1 21506,47866 1310,521335

Figura nº5. Estimaciones del Consumo de consumo de energía final eléctrica.

10000

12000

14000

16000

18000

20000

22000

24000

1993 1994 1995 1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008

Y Estimado RBS Y Y Estimado MCO B(t)X(t)

Anexo nº1. Test de Durbin

Una prueba para estudiar la dependencia serial (Durbin; 1969) en series de

observaciones estacionarias Tyy ,...,1 se realiza sobre la grafica del

periodograma acumulado:

∑∑=

=

=j

rm

rr

rj

p

ps1

1

donde mr ,...,1= es el periodograma ordinario:

( )2

1

22∑

=

=T

t

Tirttr ey

Tp π

El periodograma jp calculado para series Tyy ,...,1 de variables independientes

),( 2σµN ; se calcula:

∑=

=T

tij T

jty

Ta

1

2cos

2 π; ∑

=

=T

tij T

jty

Tb

1

2sin

2 π; ,

2

1,...,1,22

=+= Tjbap jjj

donde TT2

1

2

1 =

para T y 2

1

2

1 −T para el extremo de T; por simplicidad

asumimos que el extremo de T es 12 += mT .

Y su representación gráfica de jp contra j presenta una alta apariencia de

irregularidad en su inspección visual. Por ello; una mejor manera de presentar

la información de los sp j ' es hacerlo a través del gráfico del periodograma

acumulado; js .

Se presupone que cuando Tyy ,...,1 esta independientemente y normalmente

distribuida; 11,..., −mss se distribuye igual que el orden estadístico de 1−m

muestras independientes de la distribución uniforme (0;1). Bartlett’s

(1954;1966; p 361) sugiere para probar la independencia serial; probar la

máxima discrepancia entre js y su expectativa; ie. mj / . Para una probar un

exceso de bajas frecuencias relativas frente a altas frecuencias; que

equivaldría a la expectativa de presencia de correlación serial positiva este

enfoque conduce al estadístico:

−=+

m

jsc j

jmax

Por el contrario un test contra excesos de variaciones de alta frecuencia el

estadístico apropiado es:

−=−j

js

m

jc max

El estadístico que corresponde a las dos partes de la prueba sería:

( )−+=−= ccm

jsc j

j,maxmax

Este estadístico esta estrechamente relacionado con el de Kolmogoroiv-

Smirnov nnn DDD ,, −+ y su forma modificada nnn CCC ,, −+ considerado por Pyke

(1959) y Brunk (1962). Por ejemplo; )1()1(max −−−=− mjsD jj

n y +− = cCn .

Los valores críticos para estos estadísticos están dado en la Tabla nº1; y el

procedimiento para utilizar estos valores es como sigue. Si deseamos probar el

test de un exceso de bajas frecuencias frente a las altas frecuencias; entonces

el valor obtenido en la tabla 0c es el valor crítico apropiado al valor de +c ;se

dibujaría en el gráfico la línea; mjcy o += y la trayectoria que muestra js ;

obteniendo los valores que sobrepasan la línea ( )jsmj , . Si js cruza la línea;

se rechaza la hipótesis de independencia serial. De igual manera; un test

sobre al exceso de altas frecuencias frente a las bajas frecuencias se rechaza

si el trayectoria de js cruza la línea mjcy o +−= .

Anexo nº 2: Multiplicación de series por coeficient es de Fourier

La multiplicación de dos armónicos de diferente frecuencia,

[ ] [ ]t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa mk

mk

nq

nq ⋅⋅×⋅⋅ sincossincos

da lugar a la siguiente suma:

)sin()sin()cos()sin(

)sin()cos()cos()cos(

ttbbttab

ttbattaa

mnkq

mnkq

mnkq

mnkq

⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+

+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅

ωωωωωωωω

que utilizando la identidad del producto1:

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]

( ) ( )[ ]ttttbb

ttttab

ttttba

ttttaa

mnmn

kj

mnmn

kj

mnmn

kj

mnmn

kj

⋅+⋅−⋅−⋅+

+⋅−⋅+⋅+⋅+

+⋅−⋅−⋅+⋅+

+⋅−⋅+⋅+⋅

ωωωω

ωωωω

ωωωω

ωωωω

coscos2

sinsin2

sinsin2

coscos2

da como resultado:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )t)(ωt)(ωbaab

t)(ωt)(ωbbaa

t)(ωt)(ωbaab

t)(ωt)(ωbbaa

mn

kjkj

mn

kjkj

mn

kjkj

mn

kjkj

⋅+⋅⋅++⋅+⋅⋅−+

+⋅−⋅⋅−+⋅−⋅⋅+

sin2

cos2

sin2

cos2

1

2

)cos()cos(coscos

βαβαβα −++=⋅

2

)cos()cos(sinsin

βαβαβα +−−=⋅

2

)sin()sin(cossin

βαβαβα −++=⋅

2

)sin()sin(sincos

βαβαβα −−+=⋅

El resultado de multiplicar dos funciones periódicas con dos o más armónicos,

da lugar a una nueva serie cuyos coeficientes de Fourier son transformaciones

lineales de los coeficientes de Fourier de las series multiplos.

Por ejemplo, el producto de dos series obtenidas a partir de dos armónicos:

t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf ⋅⋅+⋅⋅= 1111

110

100

10 sincossincos)(

t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg ⋅⋅+⋅⋅= 1211

210

200

20 sincossincos)(

Se obtendría la siguiente secuencia de funciones de seno y coseno y

coeficientes de Fourier:

Coeficientes de Fourier

Funciones coseno

Coeficientes de Fourier

Funciones seno

( )2

20

10

20

10 bbaa +

1)cos( =⋅−⋅ tt oo ωω ( )

2

20

10

20

10 baab −

0)sin( =⋅−⋅ tt oo ωω

( )2

20

10

20

10 bbaa −

)2cos(

)cos(

t

tt

o

oo

⋅==⋅+⋅

ωωω ( )

2

20

10

20

10 baab +

)2sin(

)sin(

t

tt

o

oo

⋅==⋅+⋅

ωωω

( )2

20

11

20

11 bbaa +

)cos( 1 tt o ⋅−⋅ ωω ( )

2

20

11

20

11 baab −

)sin( 1 tt o ⋅−⋅ ωω

( )2

20

11

20

11 aaaa −

)cos( 1 tt o ⋅+⋅ ωω ( )

2

20

11

20

11 baab +

)sin( 1 tt o ⋅+⋅ ωω

( )2

21

10

21

10 bbaa +

)cos(

)cos(

01

10

tt

tt

⋅−⋅==⋅−⋅

ωωωω ( )

2

21

10

21

10 baab −

)sin(

)sin(

01

10

tt

tt

⋅−⋅−==⋅−⋅

ωωωω

( )2

21

10

21

10 bbaa −

)cos( 10 tt ⋅+⋅ ωω ( )

2

21

10

21

10 baab +

)sin( 10 tt ⋅+⋅ ωω

( )2

21

11

21

11 bbaa +

1)cos( 11 =⋅−⋅ tt ωω ( )

2

21

11

21

11 baab −

0)sin( 11 =⋅−⋅ tt ωω

( )2

21

11

21

11 bbaa −

)2cos(

)cos(

1

11

t

tt

⋅==⋅+⋅

ωωω ( )

2

21

11

21

11 baab +

)2sin(

)sin(

1

11

t

tt

⋅==⋅+⋅

ωωω

Que daría lugar a la siguiente serie de Fourier:

t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(a

t)t(ωb+t)t(ωat)ω(b+t)ω(atgtf

⋅−⋅⋅−⋅+⋅⋅+

+⋅+⋅⋅+⋅+⋅⋅+=×

0120131212

1011010000

sincos2sin2cos

sincos2sin2cos)()(

ωωωωα

Donde:

( ) ( )2

21

11

21

11

20

10

20

10 bbaabbaa +++

=α

( )2

20

10

20

10

0

bbaaa

−=

( )2

20

10

20

10 baab

bo

+=

( ) ( )2

20

11

20

11

21

10

21

10

1

bbaabbaaa

−+−=

( ) ( )2

20

11

20

11

21

10

21

10

1

baabbaabb

+++=

( )2

21

11

21

11

2

bbaaa

−=

( )2

21

11

21

11

2

baabb

+=

( ) ( )2

21

10

21

10

20

11

20

11

3

bbaabbaaa

+++=

( ) ( )2

21

10

21

10

20

11

20

11

3

baabbaabb

−−−=

La multiplicación de dos series de longitud T obtenidas como sumas de

k armónicos, cuyas frecuencias angulares son obtenidas a partir de

T

ii

⋅= πω 2

es decir

( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k

=iii T

tb+Tta=tg

0

11 2πisin2πicos)(

e

( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅k

=iii T

tb+Tta=tf

0

22 2πisin2πicos)(

da como resultado una nueva serie armónica de T/2 periodos

( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+⋅=k

=iii T

tib+Ttia=tgtfth

0

2πsin2πcos)()()( η

En donde2

∑−

+=1

0

2121

22

k

=ik

iiii ab+baaη

Partiendo de dos series armónicas de T=8:

t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa

t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatf

⋅⋅+⋅⋅+

+⋅⋅+⋅⋅=

3133

132

122

12

1111

110

100

10

sincossincos

sincossincos)(

2 Notese queη es la covarianza poblacional entre )(tf y )(tg .

t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωa

t)(ωb+t)(ωat)(ωb+t)(ωatg

⋅⋅+⋅⋅

+⋅⋅+⋅⋅=

3233

232

222

22

1211

210

200

20

sincossincos

sincossincos)(

Donde

141,38

24

356,28

23

571,18

22

785,08

21

3

2

1

=⋅=

=⋅=

=⋅=

=⋅=

πω

πω

πω

πωo

La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el primer

armónico de )(tg daría lugar a las siguientes frecuencias angulares:

230

12

010

0

8

23

8

24

8

218

22

8

23

8

218

21

8

22

8

21

08

21

8

21

ωπππωω

ωπππωω

ωπππωω

ππωω

−=⋅−=⋅−⋅=−

−=⋅−=⋅−⋅=−

−=⋅−=⋅−⋅=−

=⋅−⋅=−

o

o

πππωω

ωππππωω

ωπππωω

ωπππωω

+=⋅+⋅=+

==⋅=⋅+⋅=+

=⋅=⋅+⋅=+

=⋅=⋅+⋅=+

785,08

24

8

218

24

8

23

8

218

23

8

22

8

218

22

8

21

8

21

30

320

210

100

de forma que3

3

)cos()cos( 00 ωπω −−=+

)sin()sin( 00 ωπω −=+

La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el segundo


131

021

11

001

8

22

8

24

8

228

21

8

23

8

22

08

22

8

228

21

8

21

8

22

ωπππωω

ωπππωω

ππωω

ωπππωω

−=⋅−=⋅−⋅=−

−==⋅−=⋅−⋅=−

=⋅−⋅=−

=⋅=⋅−⋅=−

πωππωω

πωππππωω

ωππππωω

ωπππωω

+=⋅+⋅=+

+=⋅+⋅=⋅+⋅=+

==⋅=⋅+⋅=+

=⋅=⋅+⋅=+

131

021

311

201

8

24

8

228

24

8

21

8

23

8

228

24

8

22

8

228

23

8

21

8

22

de forma que



La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el tercer


)sin()sin(

)cos()cos(

ππ

+=−+−=−

xx

xx

132

22

012

102

8

21

8

24

8

23

08

23

8

238

21

8

22

8

238

22

8

21

8

23

ωπππωω

ππωω

ωπππωω

ωπππωω

−=⋅−=⋅−⋅=−

=⋅−⋅=−

=⋅=⋅−⋅=−

=⋅=⋅−⋅=−

πωππωω

πωππππωω

πωππππωω

ωππππωω

+=⋅+⋅=+

+=⋅+⋅=⋅+⋅=+

+=⋅+⋅=⋅+⋅=+

==⋅=⋅+⋅=+

232

122

012

302

8

24

8

238

24

8

22

8

23

8

238

24

8

21

8

22

8

238

24

8

21

8

23

de forma que



La multiplicación sucesiva de los cuatro armónicos de )(tf por el cuarto


08

24

8

248

21

8

23

8

248

22

8

22

8

248

23

8

21

8

24

33

023

113

203

=⋅−⋅=−

=⋅=⋅−⋅=−

=⋅=⋅−⋅=−

=⋅=⋅−⋅=−

ππωω

ωπππωω

ωπππωω

ωπππωω

πππωω

ωπππωω

ωπππωω

ωπππωω

28

24

8

248

23

8

248

22

8

248

21

8

24

33

223

113

003

=⋅+⋅=+

+=⋅+⋅=+

+=⋅+⋅=+

+=⋅+⋅=+

Teniendo presente que:

1)2cos(

0)2sin(

1)cos(

0)sin(

1)0cos(

0)0sin(

==−=

===

ππ

ππ

se obtienen los coeficientes de fourier de la serie resultante de la multiplicación

de )()( tgtf ⋅ a partir del siguiente sistema matricial:

−−−−−−−−−

−−−+−+−−−−−−−+

−++−+−−−−+−−

+++

=+

0

22

22

220

202

22

22

2

2221

21

22

22

221

21

22

222

223

21

21

221

21

22

222

221

23

21

21

22

222

223

22

222

2

21

22

222

223

22

222

2

22

32

21

21

22

222

221

21

22

21

23

21

22

222

221

21

23

22

22

21

21

22

,1

oo

ooo

ooo

oooo

oooo

oo

oo

oo

ggii

bababa

babaabbaab

ababbaabaa

baabbaabba

abbaaabbaa

baabaabbab

abaabbaaba

abababa

&&θ

=

13

12

12

11

11

10

10

a

b

a

b

a

b

a

f&

f

a

b

a

b

a

b

a

h ggii

o

o

&& && ×=

= + ,1

3

2

2

1

1

2

1θ

η

Prescindiendo de la primera fila de ggii

&&

,1+θ se obtiene una matriz ii × ( ggii&&θ ) que da

lugar a la parte armónica de )(th , en consecuencia, cabría obtenerse

f& operando con los coeficientes de Fourier:

( ) hi

ggiif θθ 1

2−= &&&

En caso de que ( ) ( )∑ ⋅⋅⋅⋅+=k

=iiit T

tb+Tta=tgX

0

111 2πisin2πicos)( η , y T=8,

definimos:

−−−−−−−−−

−−−+−+−−−−−−−+

−++−+−−−−+−−

+++

+=

0

22

22

220

202

2

22

2

2

2

2

2

2

2

2

0

2

1

20

20

21

21

22

22

20

21

21

22

20

22

20

23

21

21

20

21

21

22

20

22

20

21

23

21

21

22

20

22

20

23

22

20

22

20

21

22

20

22

20

23

22

20

22

20

22

23

21

21

22

20

22

221

21

22

21

23

21

22

20

22

20

21

21

23

22

22

21

21

20

20

23

22

22

21

21

2

20

81

bababa

babaabbaab

ababbaabaa

baabbaabba

abbaaabbaa

baabaabbab

abaabbaaba

abababa

a

b

a

b

a

b

a

I

oo

XX ηθ &&

Demostrandose que:

YZ XX && &&θ=

Siendo tZAZ 1)'( −=& , tXAX 1)'( −=& y tYAY 1)'( −=& , y A una matriz TxT cuyo

elemento genérico es:

( )

( )( )

=∀−

−=∀

−−

−−=∀

−=∀

=

+ Tj

TTjT

tj

TTjT

tj

j

a

t

tj

1

,

)1(

/)1(,...,7,5,311

sin

)1/()2(,...,6,4,21

cos

11

π

π

Operando

( ) ( ) ( ) ( ) YAIXYAXAAYAXAYXZ Tttttt&&&& 11111 )'(')'(''' −−−−− ====

Es decir

YAIXZA Tt&& 11 )'()'( −− =

Operando

YYAIXAZ XXTt

&&& &&θ== −1)'()'(

Siendo

YAIXA TtXX &&& 1)'()'( −=θ

Y

( ) ZY XX &&&& 1−

= θ

Bibliografia:

Engle, Robert F. (1974), “Band Spectrum Regression,” International Economic Review 15,1-11.

Hannan, E.J. (1963), ‘Regression for Time Series’, in Rosenblatt, M. (ed.), Time Series Analysis, New York, John Wiley. Harvey, A.C. (1978), ‘Linear Regression in the Frequency Domain’, International Economic Review, 19, 507-512.

Econometría y Estadística para Economistas. - β ( ) ( )γ ( )γ · 2013. 9. 2. · Se comple que...

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