Distribusi Geometrik

Definisi 6.3 Peubah acak Y disebut berdistribusi geometrik jika dan hanya jika

f(x) = qx-1p, x = 1,2,3, μ dan 0 ≤ p ≤ 1. É

Distribusi geometrik merupakan bentuk khusus dari binomial negatif dengan n

kali percobaan dan berakhir ketika pertama kali ditemukan sukses.

Contoh 6.3 Buktikan Distribusi Geometrik merupakan suatu PDF!

Jawab :

Akan ditunjukkan bahwa distribusi geometrik memenuhi kedua syarat PDF

1. Dari definisi di atas diketahui f(x) = p(1-p)x-1 untuk x = 1,2,3, μ dan 0 ≤ p ≤ 1

maka dapat dikatakan f(x) positif.

2. ∑x

f(x) = ∑∞

=

−−1

1)1(x

xpp = 1

Jumlah deret tak hingga suatu deret geometrik dengan a merupakan suku pertama

dan r merupakan beda antara suku adalah :

S∞ = r

a−1

………………2)

dengan menggunakan deret geometrik (persamaan 2)) diperoleh a = p dan r = 1-p

sehingga

∑x

f(x) = )1(1 p

p−−

= 1

Pembuktian kedua syarat diatas menunjukkan bahwa distribusi geometrik memang suatu

pdf.

Teorema 6.2:

Jika Y peubah acak yang berdistribusi geometrik μ = 1/p dan σ2 = (1- p)/p2 É

Bukti :

Menurut rumus ekspektasi bahwa E(X)= ∑x

xf(x) untuk distribusi yang bertype diskrit

maka

∑∞

=

−=1x

x pxqμ = ∑∞

=1x

x pqdqd = ∑

∞

=1x

xqdqdp

Karena ∑∞

=1x

xq merupakan deret geometrik maka :

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=q

qdqdp

1μ = ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−−−2)1(

)1()1(qqqp =

ppp 11

2 = (terbukti)