AnalisaAnalisaTerapan Terapan:: MetodeMetode Numerik · PDF fileGambar2 Ilustrasi geometri...

AnalisaAnalisa TerapanTerapan: : MetodeMetodeNumerikNumerikPertemuan ke-4

Persamaan Non-Linier: Metode Secant

4 Oktober 20124 Oktober 2012

Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil Engineering 1

MetodeMetode Secant Secant –– DasarDasar

)(xf

)f(x - = xx

i

iii

′+1

Dalam Metode Newton

Turunan f’(xi) didekati dengan

(1)

f(x)

f(xi) [xi, f(xi)]


1

1 )()()(

−

−

−

−=′

ii

ii

ixx

xfxfxf

)()(

))((

1

11

−

−+

−

−−=

ii

iii

iixfxf

xxxfxx

Substitusi Persamaan (2) kedalam Persamaan (1) menghasilkan metodeSecant:

(2)

Gambar 1 Ilustrasi geomentri metodeNewton-Raphson.

f(xi -1)

xixi-1 x

α

MetodeMetode Secant Secant –– DasarDasar

Segitiga sebangun pada Gambar 2

DE

DC

AE

AB=

Metode secant juga dapat diturunkan secara geometrik:

f(x)

f(xi)

[xi, f(xi)]B


)()(

))((

1

1

1

−

−

+−

−−=

ii

iii

iixfxf

xxxfxx

11

1

1

)()(

+−

−

+ −=

− ii

i

ii

i

xx

xf

xx

xf

Gambar 2 Ilustrasi geometri metodeSecant

Dapat dituliskan menjadi:

Atau dapat dituliskan kembalimenjadi :

f(xi -1)

xixi-1xi+1 x

C

DE A

ALGORITMAALGORITMA METODEMETODESECANTSECANT

Persamaan Non-Linier: Metode Secant

SECANTSECANT

Dr.Eng. Agus S. Muntohar -Department of Civil

Engineering4

LangkahLangkah 11

� Pilih dua nilai perkiraan awal untukmenghitung nilai perkiraan xi+1:

)()(

))((

1

1

1

−

−

+−

−−=

ii

iii

iixfxf

xxxfxx

� Hitung nilai absolut dari kesalahanperkiraan relatif:


0101

1 x

- xx =

i

iia ×∈

+

+

)()( 1−− ii xfxf

Langkah 2Langkah 2

� Cek jika nilai |εa| lebih besar dari nilaitoleransi εs.

◦ Jika benar, maka kembali ke Langkah 1

◦ Jika tidak, maka hentikan hitungan. ◦ Jika tidak, maka hentikan hitungan.

� Cek pula jika jumlah iterasi melebihi batasmaksimum iterasi yang ditetapkan.


ContohContoh 11 Suatu papan kayu sepanjang 29 in menerima beban berupa susunanbuku-buku yang memiliki tinggibervariasi dari 8 ½ hingga 11 in. Ukuran papan adalah 3/8 in tebal danlebar 12 in. Modulus Elastisitas papankayu terebut adalah 3.667 Msi (mega square inch). Tentukan defleksivertikal maksimum papan kayutersebut, bila defleksi vertikalmengikuti persamaan berikut:

Buku

Papan

Gambar 2 Papan yang dibebani buku.


ν(x) = -0.13533x10-8 x5 – 0.66722x10-6 x4 + 0.42493x10-4 x3 –0.018507x

x adalah jarak dimana terjadi defleksi maksimum. Defleksimaksimum diperoleh dari

0)( ==dx

dvxf

Gambar 2 Papan yang dibebani buku.

ContohContoh 1 (Cont.)1 (Cont.)

Letak x yang memberikan defleksi maksimum diberikandengan persamaan

f’(x) = -0.67665x10-8 x4 – 0.26689x10-5 x3 + 0.12748x10-3 x2 –0.018509 = 0


Catatan:Akar-akar persamaan dicari dengan 3 kali iterasi. Diperlukan turunan kedua dari v(x) untuk menghitung akarpersamaan menggunakan metode Newton - RaphsonNilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif dihitung padasetiap akhir iterasi.Jumlah digit penting ditentukan pada iterasi terakhir.

Contoh1 (Cont.) Contoh1 (Cont.)

0

0.005

0.01

0.015

0.02

0 5 10 15 20 25 30

Fu

ng

si f

(x)


0018507.010x 12748.010 x 26689.010x 67665.0)f( 2-33-54-8 =−+−−= x xx x

Gambar 3 Grafik fungsi f(x).

-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

Fu

ng

si f

(x)

x (m)

f(x)

Contoh1 (Cont.) Contoh1 (Cont.) -- SolusiSolusi

� Diambil nilai perkiraan awal untuk fungsif(x) = 0, x-1 = 10 dan x0 = 15.

� Iterasi 1: ( )( )( ) ( )10

10001

−

−

−

−−=

xfxf

xxxfxx


( )

( ) ( ) ( )4

233548

2

0

33

0

54

0

8

0

102591.8

018507.0151012748.015106689.2151067665.0

018507.01012748.0106689.21067665.0

−

−−−

−−−

×=

−×+×−×−=

−×+×−×−= xxxxf

( )

( ) ( ) ( )3

233548

2

1

33

1

54

1

8

1

104956.8

018507.0101012748.010106689.2101067665.0

018507.01012748.0106689.21067665.0

−

−−−

−

−

−

−

−

−

−

×−=

−×+×−×−=

−×+×−×−= xxxxf

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Fu

ng

si f

(x)


-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 5 10 15 20 25 30

Fu

ng

si f

(x)

x (m)

f(x) X-1 x0 x1 Slope


Gambar 4 Grafik hasil iterasi 1

( )( )( ) ( )

557.14

104956.8102591.8

1015102591.815

34

4

1

=

×−−×

−×−=

−−

−

x


� Nilai absolut dari kesalahan perkiraanrelatif |εa| dari hasil Iterasi 1 adalah :

1001

01 ×−

=∈x

xxa

� Jumlah digit penring adalah 1, karena |εa| < 5%


% 0433.3

100557.14

15557.14

=

×−

=


� Iterasi 2: Perkiraan akar persamaanberikutnya menggunakan nilai x0 = 15 danx1 = 14.557( )( )

( ) ( )01

01112

xfxf

xxxfxx

−

−−=


( )

( ) ( ) ( )5

233548

2

1

33

1

54

1

8

1

109870.2

018507.0557.141012748.0557.14106689.2557.141067665.0

018507.01012748.0106689.21067665.0

−

−−−

−−−

×−=

−×+×−×−=

−×+×−×−= xxxxf

( )( )( ) ( )

572.14

102591.8109870.2

15557.14109870.215

45

5

2

=

×−×−

−×−−=

−−

−

x


0

0.005

0.01

0.015

0.02

Fu

ng

si f

(x)



-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 5 10 15 20 25 30

Fu

ng

si f

(x)

x (m)

f(x) x0 x1 X2 Slope


� Nilai absolut dari kesalahan perkiraan relatif |εa| dari hasil Iterasi 2 adalah :

100572.14

557.14572.14

1002

12

×−

=

×−

=∈x

xxa

� Jumlah digit penring adalah 2, karena |εa| < 0.5%


% 10611.0

100572.14

=

×=


� Iterasi 3: Perkiraan akar persamaanberikutnya menggunakan nilai x1 = 14.557 dan x2 = 14.572 ( )( )

( ) ( )12

12223

xfxf

xxxfxx

−

−−=


( )

( ) ( ) ( )9

233548

2

2

33

2

54

2

8

2

100676.6

018507.0572.141012748.0572.14106689.2572.141067665.0

018507.01012748.0106689.21067665.0

−

−−−

−−−

×−=

−×+×−×−=

−×+×−×−= xxxxf

( )( )

( ) ( )

9

3 9 5

6.0676 10 14.572 14.55714.572

6.0676 10 2.9870 10

14.572

x

−

− −

− × −= −

− × − − ×

=

Example 1 Cont.Example 1 Cont.

0

0.005

0.01

0.015

0.02

Fu

ng

si f

(x)



-0.02

-0.015

-0.01

-0.005

0

0 5 10 15 20 25 30

Fu

ng

si f

(x)

x (m)

f(x) x1 X2 x3 Slope


The absolute relative approximate error at the end of Iteration 3 isa∈

10012 ×−

=∈x

xxa


%102.1559

100572.14

572.14572.14

5

2

−×=

×−

=

x

The number of significant digits at least correct is 6, because the absolute relative approximate error is less than 0.00005%.

Resume Resume IterasiIterasi ContohContoh 11

Ite-rasi

xi-1 xi xi+1 f(xi-1) f(xi) f(xi+1) |εεεεa| %

1 10 15 14.557 -8.4956x10-3 8.2591x10-4 -2.987x10-5 3.0433

2 15 14.557 14.572 8.2591x10-4 -2.987x10-5 -6.0676x10-9 0.10611


2 15 14.557 14.572 8.2591x10 -2.987x10 -6.0676x10 0.10611

3 14.557 14.572 14.572 -2.987x10-5 -6.0676x10-9 -6.0676x10-9 2.1559x10-5

KelebihanKelebihan

� Konvergensi yang diraih lebih cepat, jika diperoleh nilaiyang konvergenyang konvergen

� Memakai dua nilai perkiraan yang tidak memerlukan akaryang disimpan


KekuranganKekurangan: : PembagianPembagian nolnol

1

22

0

f x( )


10 5 0 5 102

1

0

f(x)

prev. guess

new guess

2−

0f x( )

f x( )

1010− x x guess1, x guess2,

( ) ( ) 0== xSinxf

KekuranganKekurangan: : LompatanLompatan AkarAkar

Root Jumping

0

1

22

0

f x( )

f x( )

f x( )


10 5 0 5 102

1

0

f(x)

x'1, (first guess)

x0, (previous guess)

Secant line

x1, (new guess)

2−

f x( )

secant x( )

f x( )

1010− x x 0, x 1', x, x 1,

( ) 0== Sinxxf

Contoh 2Contoh 2

� Suatu bola terapung seperti Gambar 6 memiliki berat jenis 0.6 dan jari-jari 5.5 cm. Tentukan kedalaman bola yang terendam dalam air!terendam dalam air!


Gambar 7 Diagram bola terapung


� Kedalaman bola yang terendam air x dinyatakan dengan persamaan berikut

�

a) Gunakan metode Secant untuk menentukan010993.3165.0 423 =×+− −

xx

a) Gunakan metode Secant untuk menentukanakar-akar persamaan kedalaman bola yang terendam air x. Lakukan tiga kali iterasiuntuk memperkirakan akar-akar persamaanterebut.

b) Tentukan nilai absolut dari kesalahanperkiraan relatif pada masing-masing iterasi, dan jumlah digit pentingnya.



Secara fisik, bagian bola yang terendam air memiliki kedalamanantara x = 0 dan x = 2R,

dengan R = jari-jari bola,

yaituyaitu


( )

11.00

055.020

20

≤≤

≤≤

≤≤

x

x

Rx

Gambar 7 Diagram bola terapung

0.0001

0.0002

0.0003

0.0004

0.0005

Fun

gsi

f(x

)

Untuk membantupemahaman tentangbagaimana metode ini

ContohContoh 2 (Cont. ) 2 (Cont. ) –– SolusiSolusi

Penyelesaian:

-0.0003

-0.0002

-0.0001

0

0.0001

-0.02 0 0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12

Fun

gsi

f(x

)

x (m)

f(x)

bagaimana metode inidigunakan untuk mencariakar-akar persamaan, ditampilkan grafik fungsif(x), dimana


( ) 423 1099331650 -.x.xxf ×+−= Gambar 8 Grafik dari fungsi f(x)


� Asumsikan nilai perkiraan awal dari f(x) = 0 pada x-1 = 0.02 dan x0 = 0.05

� Iterasi 1: Akar persamaan dihitung dengan

( )( )

http://numericalmethods.eng.usf.edu 27

( )( )

( ) ( )

( )( )( )

( )( ) ( )( )

0 0 1

1 0

0 1

23 4

2 23 4 3 4

0.05 0.165 0.05 3.993 10 0.05 0.020.05

0.05 0.165 0.05 3.993 10 0.02 0.165 0.02 3.993 10

0.06461

f x x xx x

f x f x

−

−

−

− −

−= −

−

− + × −= −

− + × − − + ×

=


The absolute relative approximate error at the end of Iteration 1 is

10001 ×−

=∈x

xxa

a∈


%62.22

10006461.0

05.006461.0

1

=

×−

=

xa

The number of significant digits at least correct is 0, as you need an absolute relative approximate error of 5% or less for one significant digits to be correct in your result.



Gambar 9 Graph of results of Iteration 1.


Iteration 2The estimate of the root is

( )( )− xxxf


( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( ) ( )( )

06241.0

10993.305.0165.005.010993.306461.0165.006461.0

05.006461.010993.306461.0165.006461.006461.0

423423

423

01

01112

=

×+−−×+−

−×+−−=

−

−−=

−−

−

xfxf

xxxfxx



10012 ×−

=∈x

xxa

a∈


%525.3

10006241.0

06461.006241.0

2

=

×−

=

xa

The number of significant digits at least correct is 1, as you need an absolute relative approximate error of 5% or less.



Figure 6 Graph of results of Iteration 2.


Iteration 3The estimate of the root is

( )( )− xxxf


( )( )( ) ( )

( )( )( )( )( ) ( )( )

06238.0

10993.306461.0165.005.010993.306241.0165.006241.0

06461.006241.010993.306241.0165.006241.006241.0

423423

423

12

12223

=

×+−−×+−

−×+−−=

−

−−=

−−

−

xfxf

xxxfxx



10023 ×−

=∈x

xxa

a∈


%0595.0

10006238.0

06241.006238.0

3

=

×−

=

xa

The number of significant digits at least correct is 5, as you need an absolute relative approximate error of 0.5% or less.

Iteration #3Iteration #3


Figure 7 Graph of results of Iteration 3.

AnalisaAnalisaTerapan Terapan:: MetodeMetode Numerik · PDF fileGambar2 Ilustrasi geometri...

Documents

Transcript of AnalisaAnalisaTerapan Terapan:: MetodeMetode Numerik · PDF fileGambar2 Ilustrasi geometri...