intégrales sur des surfaces ou des volumes; calculs de circulations et de flux 1 intégrales de surface 1.1 définition : soit une surface gauche (S) dans l'espace, et un élément d²S de cette surface, centré sur le point M où est définie une fonction à valeur réelle f(M) ; l'intégrale

I = ∫∫)S(

2Sd)M(f est la limite de la somme Σ =∑ δi

i2

i S)M(f lorsque δ²Si -> 0

lorsqu'un point de la surface est repéré par deux coordonnées u et v,

l'élément de surface s'écrit d²S = g(M) du dv et ∫∫=)S(

dudv)M(g)M(fI

exemple : pour la surface latérale d'un cylindre g(M) = r, u = θ et v = z

ce qui donne d²S = r dθ dz et ∫∫ θθ=)S(

dzrd)z,,r(fI

quelques applications : lorsque f(M) = 1, I représente l'aire A de la surface; si f(M) est la masse surfacique σ(M), I représente la masse de l'objet;

si f(M) est la distance à un axe au carré, c'est un moment quadratique ∫∫=)S(

22 SdrI etc...

on s'intéressera en général aux surfaces simples telles que rectangles, cercles, ellipses, cylindres, sphères... remarque : d²S repésente une surface doublement élémentaire (produit de deux différentielles) 1.2 paramétrage et indépendance des variables sur l'exemple du calcul de l'aire d'un disque, on voit que suivant le paramétrage choisi, il faut tenir compte du fait que les variables ne sont pas en général indépendantes : dθ r en coordonnées polaires, r et θ varient indépendamment et on peut écrire dr

22

0

a

0

2 adrdrdrrdSdA π=θ=θ== ∫∫∫∫∫∫π

, résultat connu

mais en coordonnées cartésiennes, le même calcul donnerait

2a

a

a

a

2 a4dydxdxdySdA ==== ∫∫∫∫∫∫−−

ce qui est faux, car cette fois, les bornes de y dépendent de la valeur de x :

en x donné, l'équation du cercle qui définit le domaine d'intégration est : x² + y² = a² soit 22 xay −±=

et cette fois ∫∫∫−

−

−−−

−=

=a

a

22xa

xa

a

a

dxxa2dydxA

22

22

∫−

−=a

a2

2

dxa

x1a2

posons ϕ= sina

x il vient dx = a cosϕ dϕ et les bornes sont -π/2 et π/2

22/

2/

22/

2/

ad)2

2cos1(a2)dcosa(cosa2A π=ϕϕ+=ϕϕϕ= ∫∫

π

π−

π

π−

cela revient à calculer d'abord l'aire élémentaire d'une bande verticale, assimilée à un

rectangle de largeur dx et de hauteur 22 xa2 − en négligeant des termes d'ordre supérieur, puis à intégrer sur x variant de -a à +a ;

on peut évidemment commencer par calculer l'aire d'une bande horizontale de hauteur dy et de longueur 22 ya2 −

pour simplifier, on sautera souvent cette étape du calcul en prenant directement dS = 22 xa2 − dx ce qui nous ramène au calcul d'une intégrale simple.

-a O dx a

y a -a

dy

d²S

du

dv

dz

dθ

r

1.3 quelques exemples -calcul en coordonnées cartésiennes de l'aire d'une surface délimitée par un contour elliptique:

l'équation cartésienne de l'ellipse est 1b

y

a

x2

2

2

2

=+ et en x fixé, y varie de 2

2

a

x1b −− à

2

2

a

x1b −

l'aire d'un rectangle élémentaire de largeur dx est dxa

x1b2dxdy

2

2a

x1b

a

x1b

2

2

2

2

−=

∫

−

−−

d'où

A= ∫∫ ∫−−

−

−−

−=

a

a2

2a

a

a

x1b

a

x1b

dxa

x1b2dxdy

2

2

2

2

en posant ϕ= sina

x, dx = a cosϕ dϕ

et on obtient : A = abd2

2cos1ba2dcosba2

2/

2/

2/

2/

2 π=ϕϕ+=ϕϕ ∫∫π

π−

π

π−

-moment d'inertie d'un disque homogène en coordonnées cartésiennes :

IOy = ∫∫∫ σ= sdxdmx 222 si dm = σ d²s avec σ masse surfacique du disque

les éléments de surface situés à la même distance x de l'axe de trouvent répartis sur un

rectangle élémentaire de hauteur 22 xa2 − , on peut donc choisir comme surface

élémentaire ds = dxxa2 22 − et l'intégrale devient :

dxxa2xdxdyxI 22a

a

2xa

xa

a

a

2Oy

22

22

−σ=

σ= ∫∫∫−

−

−−−

on pose encore ϕ= sina

x,

dx = a cosϕ dϕ et on obtient 4

ma

4

aI

24

Oy =πσ= (avec m = σπa² la masse du disque)

-utilisation des symétries: relation entre IOx , IOy , et IO dans le cas d'un disque homogène : remarquons que pour un disque, la symétrie de révolution permet d'écrire:

∫∫∫∫∫∫ σ===σ== sdydmyIsdxdmxI 222Ox

222Oy

on en déduit que le moment d'inertie par rapport à un axe perpendiculaire au plan du disque et passant par O est :

2

maI2I2IIdm)yx(dmrI

2

OxOyOxOy222

O ===+=+== ∫∫

-calcul des coordonnées du centre de masse d'un solide plan ("plaque") :

elles s'obtiennent par ∫∫∫ σ== sdxm

1xdm

m

1x 2

G

avec toujours dm = σ d²s , σ masse surfacique et m masse totale, et même calcul pour yG ; on découpera donc la surface en bandes élémentaires, parallèles respectivement à Oy et Ox. exemple : calculer l'abscisse du centre de masse pour un triangle isocèle homogène (voir figure ci-contre)

-calcul de la résultante des forces de pression sur une paroi cela conduit également à des calculs d'intégrales sur des surfaces; si la pression dépend de z seulement, on choisit une surface élémentaire telle que s = cte, en général une bande élémentaire horizontale, voir le chapître hydrostatique.

-a O dx a x

y b -b

dy

-a O dx a

y a -a

dy

y dx x

2. intégrales de volume

il s'agit d'une intégrale du type ∫∫∫ τ=)V(

3d)M(fI où τ3d est un élément de volume triplement élémentaire (dxdydz par

exemple en coordonnées cartésiennes); comme pour les intégrales sur une surface, suivant le domaine d'intégration et le paramétrage choisi, les bornes d'une variable peuvent être fonction des autres variables. On cherchera encore à prendre un élément de volume le plus "intégré" possible, en tenant compte des invariances et des symétries du problème; voyons quelques exemples: 2.1 calcul du volume d'un ellipsoïde de révolution autour de Oz (ballon de rugby)

l'équation de l'ellipsoïde est 1a

z

b

y

b

x2

2

2

2

2

2

=++ ou 1a

z

b 2

2

2

2

=+ρ

car en z fixé, le rayon ρ vérifie 222 yx +=ρ donc 2

2

a

z1b −=ρ

en coordonnées cylindriques dzrdrdd3 θ=τ mais compte tenu des symétries, on peut

intégrer directement sur r et sur θ et écrire dzdrdrdzrdrdVa

a

2

0

)z(

0)V(

∫ ∫∫∫∫∫−

πρ

θ=θ=

cela revient à écrire ∫= dVV avec dzdV 2πρ= volume d'un cylindre de hauteur dz

poursuivons l'intégration : 2a

a2

22

a

a

2 ab3

4dz

a

z1bdzV π=

−π=πρ= ∫∫

−−

2ab

3

4V π=

2.2 moment d'inertie d'une boule homogène de rayon a découpée en "tubes" élémentaires de rayon ρρρρ :

il s'agit de l'intégrale ∫∫∫ρ=)V(

32Oz mdI où ρ est la distance de l'élément dm à l'axe Oz et d3m = k d3τ ; on prendra donc un

élément de volume dont tous les points sont situés à la même distance ρ de l'axe Oz, soit un tube d'épaisseur dρ et

de hauteur 22a2 ρ− puisque l'équation de la sphère est 222 az =+ρ , et sur la sphère 22az ρ−±=

( ) ρρ−πρ=ρ

ρ−πρ= da4da22dV 2222

∫∫∫∫ ρρ−πρρ=ρ=a

0

222

)V(

32Oz da4kmdkI

en posant ϕ=ρsin

a et dρ = a cosϕ dϕ avec ϕ ∈ [0,π/2] on obtient :

∫∫∫ ϕϕϕπ=ϕϕϕ−ϕπ=ρρ−πρρ=a

0

235a

0

235a

0

222Oz dcossinak4dcossin1sinak4da4kI

15

2ka4

5

cos

3

coska4dsincos)cos1(ak4 5

2/

0

535

2/

0

225 π=

ϕ+ϕ−π=ϕϕϕϕ−π=ππ

∫

soit avec 3

a4km

3

totaleπ= :

2totale

23

z0 am5

2a

3

a4k

5

2I =π=

remarque : retrouver par des considérations de symétrie que y0x0z0 III == et en déduire que

2totale

)V(

320 am

5

3mdI =ρ= ∫∫∫ où ρ est cette fois la distance au point O

z a dz ρ b y b x

z dρ ρ a y x

3 circulation d'un champ de vecteurs sur une courbe orientée :

par définition la circulation élémentaire dC A M d=r r

l( ). et C A dM MM

M

1 2

1

2

= ∫r r

l.

3.1 travail d'une force, travail d'un poids le travail d'une force est la circulation du champ de force sur un contour donné; lorsque la force est conservative, le travail ne dépend pas du chemin suivi pour le calculer. On dit que le champ de forces est à circulation conservative.

( ) AB

B

A

B

A

zxz

B

A

BA mgzmgzmgdzudzudx).ug(md.gmW +−=−=+−== ∫∫∫

rrrlrr

= -EPB + EPA = -∆EP 3.2 circulation d'un champ électrique entre deux points et différence de potentiel on rappelle ci-après les expressions du champ et du potentiel créés, par une charge ponctuelle :

ru²r4

qE

o

rr

πε=

r4

qV

oπε= calculons la circulation deE

rentre A et B :

( ) ABABo

B

Ao

B

A

ro

B

A

VVr

1

r

1

4

qdr

²r4

qurdudr.ru

²r4

qd.E +−=

+−

πε=

πε=θ+

πε= ∫∫∫ θ

rrrlrr

on retrouve Vd.EB

A

∆−=∫ lrr

le champ électrique est encore un champ à circulation conservative

4 flux d'un champ de vecteurs à travers une surface orientée

par définition d A M dsΦ =r r( ). et Φ = ∫∫

r rA M ds

S

( ).( )

4.1 flux de la vitesse d'un fluide à travers une section d'écoulement; débit volumique entre t et t+dt, la masse dm traversant une section donnée est contenue dans le volume lSdSvdtd ==τ d'où vSdtSdddm ρ=ρ=τρ= l

on en déduit vSdt

dmDm ρ== expression qui se généralise sous la form ∫∫ρ==

Section

m S²d.vdt

dmD

rr

le débit massique est donc le flux de la "densité de courant de fluide vrρ

4.2 flux du champ électrostatique à travers une surface fermée

revoir les exemples de calculs abordés à propos de l'utilisation du théorême de Gauss ∫∫ ε=

)s( 0

intQs²d.Err

4.3 flux du champ magnétique à travers un rectangle calcul du flux du champ créé par un conducteur rectiligne infini, à travers un rectangle :

θπµ

= ur2

IB 0 rr

θ= uhdrsdrr

πµ

=π

µ=Φ ∫

=

=θθ a

bLn

2

Ihuhdr.u

r2

I 0br

ar

0 rr

______________________________

z A zA

lrr

d gm

zB B x

B

lrr

d E A

I

Br

vr

lr

d

S