RESISTENCIARESISTENCIADEDEMATERIALESMATERIALES

DEFORMACIONESDEL SÓLIDO ELÁSTICO

ESTADO DE DEFORMACIÓN

DEFORMACIONES LONGITUDINALES Y DISTORSION EFECTO POISSON - “μ” : COEFICIENTE DE POISSON

RELACION TENSION-DEFORMACION

)1.(2.

.

E

G

G

E

xyxy

xx

E – μ – G: CONSTANTES ELASTICAS DEL MATERIAL

AC

CC

AC

ACCA

AB

BB

AB

ABBA

y

x

´´´´

)(´´´´

221xy

DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTOPARA EL ESTADO ELÁSTICO PLANO

VARIACION LONGITUDINAL ESPECIFICA

DISTORSION = VARIACION ANGULO RECTO

ESTADO PLANO DE DEFORMACIÓN

ESTADO PLANO DE DEFORMACIONAPLICACIÓN DEL PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

DEFORMACIONES DEBIDAS AL ALARGAMIENTO EN LA DIRECCION “x”

cos...."

,1,1 sends

sendx

ds

DDtg x

xxx

2

, cos.cos.cos.cos..´´´

xxx

s ds

dx

ds

DDx

cos..cos.."

,1,1 sends

dy

ds

DDtg y

y

yy

2

, .....´´´

sensensends

sendy

ds

DDyy

ys y

DEFORMACIONES DEBIDAS AL ALARGAMIENTO EN LA DIRECCION “y”

DEFORMACIONES DEBIDAS A LA DISTORSION

""

2

,1,1 ..."

sends

sendy

ds

DDtg xy

xy

xyxy

2..2

1.cos.

cos..´´´, sensen

ds

dy

ds

DDxyxy

xys xy

2..2

1

.

cos.

,

2,

2,

sen

sen

xys

ys

xs

xy

y

x

2..2

1.cos. 22

,,, sensen xyyxssss xyyx

SUMA DE LOS EFECTOS DEBIDOS A LAS TRES CAUSAS

21 .cos.)..( sensen xyyx

)2

(.)2

cos().2

()..( 22

sensen xyyx

).(coscos.)...(2 2221 sensen xyyxsr

2cos.2

2.2

).(

2xyyxsr sen

GIROS DE LOS EJES “S” Y “R” Y CALCULO DE LA DISTORSIÓN ASOCIADA A ELLOS

RESUMIENDO:ECUACIONES DE TRANSFORMACION

PARA EL ESTADO PLANO

2..2

1.cos. 22 sensen xyyxs

2cos.2

2.2

).(

2xyyxsr sen

)2

(2..2

1)

2(.)

2(cos. 22 sensen xyyxr

DEFORMACIONES ASOCIADAS A UN PAR DE EJES ORTOGONALES “s” y “r”EN FUNCION DE LAS DEFORMACIONES SEGÚN LOS EJES “x” e “y”

STRAIN GAGE = ELEMENTO PARA MEDIR DEFORMACIONES

ROSETAS FORMADAS POR TRES STRAIN GAGE

2..2

1.cos. 22 sensen xyyxa

yb

2cos.2

2.2

).(

2xyyxsr sen

212

1

2,1

)(2cos

22

02cos.2

2.2

).(

pp

p

yx

xyp

xyyx

sentg

sen

DEFORMACIONES PRINCIPALESEN EL ESTADO PLANO

REEMPLAZANDO EN LA ECUACION ANTERIOR SE OBTIENE EL VALOR DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES:

2,12,12

2,12

2,1 2..2

1.cos. ppxyppyppx sensen

QUE ADEMAS SATISFACEN EL INVARIANTE DE DEFORMACION:

rsyx 21

TAMBIEN LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES SE PUEDEN CALCULAR ASI:

22

2,1 222

xyyxyx

Y LAS DISTORSIONES o DEFORMACIONES ANGULARES MAXIMAS:

22

max

222

xyyx

DEFORMACIONES PRINCIPALESEN EL ESTADO PLANO

[ D ] =

zyzxz

zyy

xy

zxyxx

22

22

22

EL TENSOR DE DEFORMACIONES

AL IGUAL QUE EL TENSOR DE TENSIONES EL TENSOR DE DEFORMACIONESRESULTA SIMETRICO RESPECTO DE LA DIAGONAL PRINCIPAL

EL TENSOR DE DEFORMACIONES DEFINE EL ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO

[ D ] =

3

2

1

00

00

00

TENSOR DE DEFORMACIONESREFERIDO A LA TERNA PRINCIPAL

ESTADO TRIPLE

321

DEFORMACIONES TRANSVERSALES REFERIDAS A LA TERNA PRINCIPAL

EFECTO POISSON - “μ” : COEFICIENTE DE POISSON

ε1 = 1/E ε2 = ε3 = -μ.1/E por POISSON ε2 = ε3 = -μ.ε1 pero luego

ECUACIONES CONSTITUTIVASDE LOS MATERIALES

RELACIONES TENSIONES-DEFORMACIONES

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

aaaaaa

*

666564636261

565554535251

464544434241

363534333231

262524232221

161514131211

Como la influencia de σy sobre εx es la misma que la de σx sobre εx , etc...los coeficientes a12 = a21, a13 = a31, a23 = a32 son iguales. Las tensiones tangenciales no causan deformaciones longitudinales y las tensiones normales no causan deformaciones angulares (coeficientes nulos) Las deformaciones angulares sólo son causadas por las tensiones tangenciales que actúan en el mismo plano que la deformación

MATERIAL CON COMPORTAMIENTO ISÓTROPO

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

a

a

a

aaa

aaa

aaa

*

00000

00000

00000

000

000

000

36

29

22

1593

982

321

MATERIAL CON COMPORTAMIENTO ISÓTROPO

E

μ).(.τ

G

τγ

E

μ).(.τ

G

τγ

E

μ).(.τ

G

τγ

)σμ.(σσ.EE

σ

E

μ.σ

E

μ.σε

)σμ.(σσ.EE

μ.σ

E

σ

E

μ.σε

)σμ.(σσ.EE

μ.σ

E

μ.σ

E

σε

zxzx

zx

yzyz

yz

xyxy

xy

yxzzyx

z

zxyzyx

y

zyxzyx

x

12

12

12

1

1

1

RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONESECUACIONES CONSTITUTIVAS

LEY DE HOOKE GENERALIZADA

EXPRESION MATRICIAL DE LA LEY DE HOOKE GENERALIZADA

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

G

G

G

EEE

EEE

EEE

*

1

1

1

1

1

1

zx

yz

xy

z

y

x

zx

yz

xy

z

y

x

E

*

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

*1

REEMPLAZANDO:EG

)1(21 PODEMOS ESCRIBIR LA LEY DE HOOKE:

EXPRESION MATRICIAL DE LA LEY DE HOOKE GENERALIZADAREFERIDA A LA TERNA PRINCIPAL

0

*

1

1

1

.1

2

1

3

2

1

E

3

2

1

3

2

1

*

1

1

1

.1

E

ESTADO DOBLE DE TENSION Y TRIPLE DE DEFORMACION(ESTADO PLANO)

ESTADO TRIPLE DE TENSION Y DE DEFORMACION

CALCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES CONOCIDAS LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES

ECUACIONES DE LAMÉ

iiii MM ** 1

3

2

1

1

3

2

1

*

1

1

1

.

E

33

22

11

..2.

..2.

..2.

Ge

Ge

Ge

v

v

v

Ee

E

v

)).(21.(3

)21).(1(

.

321

Donde:

FIN

ESTADO DE DEFORMACIÓN

RESISTENCIARESISTENCIADEDEMATERIALESMATERIALES

ENERGÍA INTERNA DE

DEFORMACIÓN

ENERGÍA ESPECÍFICA DE DEFORMACIÓN

E

σ.

2

1.ε.σ

2

1u

2x

xx

LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN POR UNIDAD DE VOLUMEN ES LA ENERGIA ALMACENADA EN UN VOLUMEN UNITARIO DE MATERIAL Y VIENE EXPRESADA POR EL AREA ENCERRADA BAJO

LA CURVA “-ε” , DESDE EL INSTANTE EN QUE COMIENZA A ACTUAR LA CARGA. (Ver figura).

G

τ.

2

1.γ.τ

2

1u

2xy

xyxy

SI EL COMPORTAMIENTO DEL MATERIAL ES LINEAL EL AREA ES LA DEL TRIANGULO COMO SE VE EN LA SIGUIENTE EXPRESIÓN:

ANTES DE ESTUDIAR LA ENERGÍA DE

DEFORMACIÓN Y EN QUE SE UTILIZA

VEAMOS COMO SE PUEDE DESCOMPONER

UN ESTADO DE TENSIÓN

IMAGINEMOS PRIMERO DESCOMPUESTO EL ESTADO DE TENSIÓN EN DOS ESTADOS:

1) UN ESTADO HIDROSTÁTICO: QUE ORIGINA EL CAMBIO DE VOLUMEN

2. UN ESTADO DE DISTORSIÓN: QUE ORIGINA EL CAMBIO DE FORMA

DONDE:3

εεεε

3

σσσσ 321

m321

m

)ε(εε)ε(εε)ε(εε

)σ(σσ)σ(σσ)σ(σσ

m3*3m2

*2m1

*1

m3*3m3

*2m1

*1

m

m

m

e

σ00

0σ0

00σ

T

[Te] = TENSOR ESFÉRICO

Tm

m

m

m

m

m

1

2

3

1

2

3

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

0 0

[Td] = TENSOR DESVIADOR

REFERIDOS A LA TERNA PRINCIPAL

m3

m2

m1

d

σσ00

0σσ0

00σσ

T

mzyzxz

zymyxy

zxyxmx

d

σσττ

τσστ

ττσσ

T

[Td] = TENSOR DESVIADOR

m

m

m

e

σ00

0σ0

00σ

T

[Te] = TENSOR ESFÉRICO

REFERIDOS A LA TERNA “X - Y - Z”

3

)σσ(σ

3

)σσ(σσ 321zyx

m

de TTT

VARIACIÓN VOLUMÉTRICA ESPECÍFICA

TERNA “X - Y - Z”

VARIACIÓN VOLUMÉTRICA ESPECÍFICA

TERNA PRINCIPAL

LA ENERGÍA EN LOS DISTINTOS ESTADOS DE TENSIÓN

COMPONENTES DE LA ENERGÍA DE DEFORMACIÓN

Si el estado es HIDROSTÁTICO:

I.- ESTADO HIDROSTÁTICO: EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA

m321 εεεεε

μ)2.(1σ.E

1)σμ(σσ

E

1ε m321

pσσσσσ m321

μ)2.(1σ.E

3ε3.εεεe m321v

0τττ 0n0m0

2mm

mmv σ].

E

μ)2.3(1.[

2

1σ].

E

σμ).2.3(1.[

2

1σ.e.

2

1u

LA EXPRESIÓN DE LA ENERGÍA ESPECÍFICA EN EL ESTADO HIDROSTÁTICO UTILIZANDO LA LEY DE HOOKE RESULTA:

v2

v

2m

vv up.

E2.

1σ.

E2.

1u

μ)23(1

EE

EV : MÓDULO DE ELASTICIDAD VOLUMÉTRICO

ESTA ENERGIA LA VAMOS A LLAMAR “uv” POR SER LA QUE PRODUCE EL CAMBIO DE VOLUMEN

μ)2.(1σ.E

3e mv VIMOS QUE

OTRA PARTE DE LA ENERGÍA PRODUCE EL CAMBIO DE FORMA ó DISTORSIÓN Y LA

LLAMAMOS ENERGÍA DE DISTORSIÓN “ud”

dv uuu vd uuu

213

232

221d σσσσσσ.

E6.

μ)(1u

LUEGO:

]σσE

μ

E

σ[ε]σσ

E

μ

E

σ[ε]σσ

E

μ

E

σ[ε 21

3331

2232

11

II.-ESTADO TRIPLE: ENERGÍA EXPRESADA EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES

2

εσ

2

εσ

2

εσu 332211

REEMPLAZANDO CADA DEFORMACIÓN EN LA Ec. (1)

)]σμ(σ[σE2

σ)]σμ(σ[σ

E2

σ)]σμ(σ[σ

E2

σu 213

3312

2321

1

31322123

22

21 σσσσσσμ2σσσ

E2

1u

(1)

OBTENEMOS LA EXPRESIÓN GENERAL DE LA ENERGÍA TOTAL

E2.

σ

E2.

σ

E2.

σu

23

22

21 (NO)X

III.- ESTADO SIMPLE: SOLICITACION AXIL 0σσ0σσ 321

[1]σ.E2.

1σ.

E6.

3u

μ)22μ2.(1E6.

σσ.

E6.

μ)2(1σ.

E6.

μ)2(1uuu

σ.E3.

μ)(1uσ.

E6.

μ)2(1u[1]σ.

E2.

1u

22

222

dv

2d

2v

2

0σ0σσσ 321

221

22

21d

22221v

222

2122

21

σ.E3.

μ)(1)σσσ(σ

E3.

μ)(1u

σ.E3.

μ)22(1σ).(2

E6.

μ)2(1)σ.(σ

E6.

μ)2(1u

μ).(1E

σ)μσ.(σ

E

1)]σμ(σ2σσ.

E2.

1u

IV.- ESTADO DOBLE DE TENSIÓN: CHAPA CARGADA EN SU PLANO MEDIO

V.- ESTADO DE RESBALAMIENTO SIMPLE: TORSIÓN – CORTE PURO

0σστσσ 2máx31

[2]μ).(1E

τμ).(1

E

σσ.3

E3.

μ)(1)σσσ(σ

E3.

μ)(1u

0σ).(σE6.

μ)2(1)σ.(σ

E6.

μ)2(1u

[2]μ).(1E

τμ).(1

E

σ)μσ.(σ

E

1)]σμ(σ2σσ.

E2.

1u

2máx

22

3123

21d

2231v

2máx

222

3123

21

(1) DOS TENSIONES PRINCIPALES DEL MISMO VALOR Y SIGNO

(2) DOS TENSIONES PRINCIPALES DEL MISMO VALOR Y DISTINTO SIGNO

0σσσ0σσσ 3121

HAY CAMBIO DE DIMENSIONES DE LAS ARISTAS Y DE VOLUMEN DEL CUBO ELEMENTAL, PERO NO DE FORMA. EL CUBO SIGUE SIENDO UN CUBO Y SUS CARAS SIGUEN SIENDO CUADRADAS → CAMBIA EL VOLUMEN PERO NO LA FORMA

máx31 τσσσ NO HAY CAMBIO DE DIMENSIONES DE LAS ARISTAS NI DE VOLUMEN DEL CUBO ELEMENTAL, PERO LOS ANGULOS RECTOS DEJAN DE SER RECTOS Y CAMBIA LA FORMA DE LAS CARAS QUE SE DISTORSIONAN. LAS CARAS CUADRADAS SE TRANSFORMAN EN ROMBOS Y EL CUBO DEJA DE SER UN CUBO → NO HAY CAMBIO DE VOLUMEN PERO SI DE FORMA

FIN ENERGÍA DE DEFORMACIÓN