Ss clase 3

CAPITULO 3:ANÁLISIS FRECUENCIAL DE

SISTEMAS DISCRETOS

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Respuesta de un Sistema de Tiempo Continuo

CAP3: ANÁLISIS FRECUENCIAL DE SISTEMAS DISCRETOS

En Tiempo:

Laplace:

En Frecuencia:

h(t)h(t)x(t) y(t)

H(H(ω))X(ω) Y(ω)

H(s)H(s)X(s) Y(s)

h(t) : Respuesta al Impulso

y(t) = x(t)*h(t)

H(s) : Función de Transferencia

Y(s) = X(s).H(s)

H(ω) : Respuesta en Frecuencia

Y(ω) = X(ω).H(ω)


Respuesta de un Sistema de Tiempo Continuo


En un Sistema de Tiempo Continuo:

1. Si se reemplaza jω por s en la Función de Transferencia H(s) se obtiene la Respuesta en

Frecuencia del sistema H(jω).

2. La respuesta de estado estable de un Sistema de Tiempo Continuo Lineal es una

secuencia sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada, pero con amplitud y fase

diferentes. Además, la razón de amplitudes de salida y entrada (B/A) define la magnitud de

la Respuesta en Frecuencia del sistema, y el desfase entre la salida y la entrada (Ф) define

su fase.

H(ω) = H(s) s=jω

h(h(t) / H() / H(ω)x(t) y(t)

: Magnitud de H(ω)

: Fase de H(ω)

B = H(ω) A

A cos(nωT + θa) B cos(nωT + θb)

Ф = θb - θa

H(ω) = H(ω) . ejФ


Respuesta de un Sistema de Tiempo Discreto


En Tiempo:

Transformada z:

En Frecuencia:

h[n]h[n]x[n] y[n]

H(H(ω))X(ω) Y(ω)

H(z)H(z)X(z) Y(z)

h(t) : Respuesta a la Muestra Unitaria

y(t) = x[n]*h[n]

H(s) : Función de Transferencia

Y(z) = X(z). H(z)

H(ω) : Respuesta en Frecuencia

Y(ω) = X(ω).H(ω)


Respuesta de un Sistema de Tiempo Discreto


En un Sistema de Tiempo Discreto:

1. Si se reemplaza ejω por s en la Función de Transferencia H(z) se obtiene la Respuesta en

Frecuencia del sistema H(ejω).

2. La respuesta de estado estable de un Sistema de Tiempo Discreto Lineal es una secuencia

sinusoidal de la misma frecuencia que la entrada, pero con amplitud y fase diferentes.

Además, la razón de amplitudes de salida y entrada (B/A) define la magnitud de la Respuesta

en Frecuencia del sistema, y el desfase entre la salida y la entrada (θb - θa) define su fase.

H(ω) = H(z)

h[n] / H(h[n] / H(ω)x[n] y[n]

A cos(nωT + θa) B cos(nωT + θb)

Ф = θb - θa

: Magnitud de H(ω)H(ω) = H(ω) . ejФ

: Fase de H(ω)

A = H(ω) B

z = ejω


Respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo Discreto


Caso 1: Determinando la relación entre H(ω) y H(z)

Considerando como entrada una componente exponencial compleja única y representativa:

x[n] = w[n] = ejnωT

Como: y[n] = h[n] * x[n] = ∑ h[k].x[n-k] x[n-k] = w[n-k] = ejω(n-k)T = ejnωT .e-jkωT

Sustituyendo x[n-k] en la suma de convolución:

y[n] = ∑ h[k] .ejnωT .e-jkωT

Como la variable en la suma de convolución es k y puesto que ejnωT no varía con k:

y[n] = ejnωT ∑ h[k] e-jkωT

Para sistemas causales: h[n] = 0 para n<0 y[n]=0 para n<0, por lo que:

y[n] = ejnωT ∑ h[k] e-jkωT

∞

k= -∞

∞

k= -∞

∞

k= -∞

∞

k= 0





Por lo que, la salida y[n] estará dada por el producto x[n] y el resultado de la sumatoria de las respuestas a la muestra unitaria.:

y[n] = ejnωT ∑ h[k] .e-jkωT = x[n] ∑ h[k] .e-jkωT

Obsérvese que los términos de la suma dependen de k y de ω, pero no de n. Esto significa que:

A cualquier frecuencia dada ω = ω0 y periodo de muestreo T = T0, el resultado de la suma será un número complejo que actúa como multiplicador en todos los términos de la secuencia de entrada.

Podemos expresar la salida como: y[n] = ejnωT .H(ejωT )

Donde: H(ejωT ) = ∑ h[k] .e-jkωT

∞

k = 0

∞

k = 0

∞

k = 0





Finalmente, tenemos que:

H(ejωT ) = ∑ h[k] .e-jkωT = h[0] + h[1]. e-jωT + h[2]. e-j2ωT + h[3]. e-j3ωT + …

Para un sistema dado, el valor de H(ejωT) sólo depende del valor del producto ωT y los valores de las muestras de la respuesta a la muestra unitaria h[n].

H(ejωT ) es un número complejo que describe el efecto de un sistema de tiempo discreto en la secuencia obtenida al muestrear una componente exponencial compleja de frecuencia ω = ω0 en intervalos de T = T0.

H(ejωT ) se interpretará como la Respuesta en Frecuencia del sistema

Ahora se puede relacionar con facilidad la Respuesta en Frecuencia H(ω)= H(ejωT ) con la Función de Transferencia H(z).

∞

k = 0





Se sabe que H(z):

H(z) = ∑ h[k] .z-n = h[0] + h[1]. z-1 + h[2]. z-2 + h[3].z-3 + …

De manera que al reemplazar z por ejωT se tiene justamente la Respuesta en Frecuencia del sistema:

H(ejωT ) = ∑ h[k] .e-jkωT = h[0] + h[1]. e-jωT + h[2]. e-j2ωT + h[3]. e-j3ωT + …

Por lo que queda comprobado que:

∞

k = 0

H(ω) = H(z) z = ejω

∞

k = 0

La Respuesta en Frecuencia H(ω) de cualquier sistema de tiempo discreto se puede hallar a partir de la Función de Transferencia H(z), reemplazando z por ejωT.


Respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo Continuo


Si consideramos el siguiente sistema de tiempo discreto lineal y estable, al que sele introduce una señal sinusoidal muestreada de entrada: x[n] = Acos(nωT), cuyaamplitud es A y su frecuencia ω:

Se sabe que: Acos(nωT) = A.ejnωT + A.e-jnωT

2 2Por el principio de superposición se puede trabajar cada componente exponencial por separado:

La salida para A.ejnωT : A.ejnωT.H(ejωT) = A.ejnωT. H(ejωT) . ejФ = A. H(ejωT) .ej[nωT+ Ф ].2 2 2 2

La salida para A.e-jnωT : A.e-jnωT.H(e-jωT) = A.e-jnωT. H(ejωT) . E-jФ = A. H(ejωT) .e-j[nωT+ Ф ].2 2 2 2

Caso 2: Respuesta de un Sistema Discreto Lineal ante una secuencia sinusoidal

h[n] / H(h[n] / H(ω)x[n] y[n]

A cos(nωT) B cos(nωT + θ)

H(ω) = H(ω) . ejФ


Respuesta en frecuencia de un sistema de tiempo Continuo


Finalmente:

y[n] = A. H(ejωT) .{ ej[nωT+ Ф ] + e-j[nωT+ Ф ] }2

y[n] = A. H(ejωT) .cos(nωT+ Ф) = B cos(nωT + θ)

Por lo que queda comprobado que:

Caso 2: Respuesta de un Sistema Discreto Lineal ante una secuencia sinusoidal

Ф = θb - θa

: Magnitud de H(ω)

: Fase de H(ω)

B = H(ω) A

La Respuesta de estado estable de un sistema de tiempo discreto lineal a una secuencia deentrada sinusoidal es a su vez una secuencia sinusoidal.La Magnitud de H(ω) determina la razón de amplitudes de las secuencias de entrada y salida,mientras que su desfase Ф determina el desfase de la salida en relación con la entrada.


Ejercicio


Se tiene un sistema desconocido, el cual al recibir la siguiente secuencia de entrada:x[n] = (3,1,2,-1), devuelve como salida: y[n] = (3/2,2,3/2,1/2,-1/2)

Demuestre que dicho sistema resulta ser un filtro pasabajos.

Solución:

Para determinar el comportamiento del sistema y poder determinar si es un filtro pasabajos, hay que analizar su Respuesta en Frecuencia H(ω). Utilizando la transformada z:

i) Hallamos H(z):

x[n] = (3,1,2,-1) X(z) = 3 + Z-1 + 2Z-2 – Z-3

y[n] = (3/2,2,3/2,1/2,-1/2) Y(z) = (3/2) + 2Z-1 + (3/2)Z-2 + (1/2)Z-3 – (1/2)Z-4

Como H(Z) = Y(z) = 1 + Z-1

X(z) 2

ii) Hallamos H(ω):

Haciendo z = ejωT en H(z) H(ω) = 1 + e-jωT

2


Ejercicio


iii) Analizando H(ω):

H(ω) = 1 + e-jωT = (ejωT/2 + e-jωT/2) . e-jωT/2 = cos(ωT/2).e-jωT/2

2 2Expresando H(ω) en magnitud y fase:

|H(ω)| = |cos(ωT/2)| y Ф(ω) = - ωT/2

Gráficamente:

π/T 2π/T 3π/T 4π/T -4π/T -3π/T -2π/T -π/T 0

|H(ω)|

|Ф(ω)|

-π/2

π/2

1

ω

ω


Ejercicio


iii) Conclusiones:

Dentro del intervalo de frecuencias -π/T < ω < π/T, se observa que la respuesta tiene una magnitud de 1 a bajas frecuencias y se reduce a cero en ω = ± π/T.

La característica lineal de la fase muestra que cualquier componente de señal en el intervalo -π/T < ω < π/T experimentará un desfase proporcional a su frecuencia.

Las características de la Respuesta en Frecuencia del sistema muestran que cualquier componente de entrada con una frecuencia mucho menor que la frecuencia de muestreo parecerá en la salida relativamente sin cambio en magnitud y en fase

Los componentes de señal con frecuencias mayores que aproximadamente ωs/4 se reducirán de amplitud y presentarán un desfase.

Tener en cuenta que la frecuencia π/T es igual ωs/2, donde ωs es la frecuencia de muestro en radianes, ya que ωs=2πfs y fs =1/T es la frecuencia de muestreo en Hz.

Para una señal muestreada de acuerdo el teorema de muestreo, todas las componentes de frecuencia significativas de la señal original x[n] deben encontrarse dentro del intervalo |ω|<ωs/2. Por lo tanto, para una señal muestreada correctamente, el sistema actuará como un filtro pasabajos


Interpretación del Plano z en frecuencia


Se ha visto que cuanto z toma valores ejωT se puede calcular la Respuesta en Frecuencia H(ω)de un sistema de tiempo discreto.

Para diferentes valores de ω (suponiendo que T=1/fs=2π/ωs sea fijo) los valorescorrespondiente de z = ejωT se pueden expresar de una manera conveniente como númeroscomplejos de la forma general: z = |z|ejθ, donde |z|=1 y θ = ωT.

Esto quiere decir que si se dibujan los valores de z = ejωT en el plano z, cada número complejose encontrará sobre el círculo unitario.

Z=1 = ej0 ωT = 2πk ω = 0 ± kωs

Z=j = ejπ/2 ωT = 2πk + π/2 ω = ωs/4 ± kωs

Z=-1 = ejπ ωT = 2πk + π ω = ωs/2 ± kωs

Z=-j = ej3π/2 ωT = 2πk +3π/2 ω = 3ωs/4 ± kωs

ωTωT

Z=ejωT

Z=ejωT

1 Re z

Im z

ω = 0 ± kωs

ω = ωs/4 ± kωs

ω = ωs/2 ± kωs

ω = 3ωs/4 ± kωs




Al incrementar el valor de ω=0 (z=1) en adelante, se va recorriendo el círculo unitario en sentido contrario a las manecillas del reloj.

Cuando ω = ωs se regresa al punto de partida z =1

Cuando ω > ωs se comenzará un segundo recorrido al círculo unitario. La razón es que el número complejo z = ejωT es periódico con respecto a su frecuencia sus valores se repiten cada vez que ω aumenta o disminuye una canidad igual a ωs = 2π/T.

Es decir que se obtiene el mismo número complejo z0 para:

ejω0T, ej(ω0+ ωs)T, ej(ω0+ 2ωs)T, ej(ω0+ 3ωs)T, …

Relación con el diagrama de polos y ceros:

El diagrama de polos y ceros del plano z se puede considerar como un mapa simplificado a partir del cual se puede obtener información acerca de la Función de Transferencia H(ω) a partir de los diferentes valores de z en H(z).

Los polos y ceros representan las características más evidentes puesto que muestran los puntos en los que la función vale cero o infinito.




Relación con el diagrama de polos y ceros: Si se elige un valor de z que se encuentre cerca a un cero, entonces se esperaría que el valor correspondiente de H(z) fuera relativamente pequeño y que se aproximará a cero conforme z tomara valores cercanos al cero.

Si se elige un valor de z que se encuentre cerca a un polo, entonces se esperaría que el valor correspondiente de H(z) fuera relativamente grande.

El cero en el origen proviene del factor z del numerador de H(z). En términos de H(ω) esto corresponde a un factor ejωT en Respuesta en Frecuencia. Este factor tiene un magnitud de 1 a todas las frecuencias y una fase igual ωT que varía linealmente con la frecuencia. Dicho factor corresponde a un desplazamiento de T segundos en el tiempo, lo cual es consistente con el concepto de que z puede considerarse como un operador de desplazamiento.

Si hay un cero en el origen, esto indica que la salida se adelante un periodo de muestreo.

De igual forma, si hay un polo en el origen, esto indica que la salida se retarda un periodo de muestreo.

Muchos sistemas se caracterizan por uno o más polos o ceros en el origen asociados a factores de Z-m y Zm en la función de transferenca. Su inclusión o eliminación cambia el retardo entre la entrada y la salida de un sistema, pero su efecto puede ignorarse para propósitos del calculo de la respuesta en frecuencia H(ω).




Relación con el diagrama de polos y ceros:

ωT

1

Re z

Im z

-1

P1

P2

½

-½

½

Ejemplo:

Para la Función de Transferencia: H(z) = z(z+1) .z2 – z +0.5

Polos z = ½ ± ½j Ceros z = 0, -1

Si: z = P1 H(z = P1) debe ser relativamente pequeño

Ya que el punto P1 está en la vecindad de un cero.

Si: z = P2 H(z = P2) debe ser relativamente grande

Ya que el punto P2 está en la vecindad de un polo.

Con ello finalmente se puede determinar la gráfica de la magnitud de la Respuesta en Frecuencia H(ω) solo con su diagrama de polos y ceros.

Para z = 1: H(z=1) = 4


Ejercicio


Dado un sistema recursivo cuya Función de Transferencia es H(z), representar graficamente la magnitud de la respuesta en frecuencia H(ω)

H(z) = z .z – α

Im z

-1 1

Re z

Im z

-1 1

Re z

-1 <α < 0 0 < α < 1

Para z = 1 :

H(z=1) = 1 .< 21- α

Para z = 1 :

H(z=1) = 1 .> 21- α


Resumen


• La transformada z es una herramienta que permite comprender el comportamiento deseñales y sistemas en tiempo discreto.

• Las técnicas de transformada z proporcionan una manera de tratar secuencias de muestrasy sistemas discretos que es análoga al método de la transformada de Laplace para señales ysistemas continuos.

• La convolución de dos señales discretas se transforma en una multiplicación de las transformadas z asociadas, de modo que para un sistema discreto se tiene:

y[n] = x[n]*h[n] ↔ Y(z) = X(z).H(z)

Siendo h[n]: La respuesta a la muestra impulsiva y

H(z): La función de transferencia del sistema

→ La función de transferencia H(z) es idéntica a la transformada z de la respuesta a la muestra unitaria del sistema h[n].

• Los modelos de transformada z de muchos sistema lineales resultan ser funcionesracionales de la variable compleja z. De modo que si se identifica los valores de z para losque las funciones se hacen cero (ceros) o infinitamente grandes (polos), se puederepresentar un modelo en el plano z en términos de polos y ceros.


Resumen


• En el plano z, el círculo unitario tiene el mismo papel que el eje ω en el plano s.Representa la frontera entre la estabilidad e inestabilidad.

• Para que un sistema sea estable se requiere que todos los polos asociados con latransformada z de la función de transferencia del sistema se encuentren dentro del círculounitario.

• Si se evalúa una Función de Transferencia H(z) reemplazando z por ejωT, se obtiene laRespuesta en Frecuencia H(ω) = H(ejωT) del sistema.

• La Función de Transferencia H(z) contiene información completa sobre un sistema detiempo discreto. Con la práctica, el diagrama de polos y ceros de H(z) puede interpretarsepara obtener información sobre la repuesta a la muestra unitaria y la respuesta en frecuenciadel sistema sin necesitada de recurrir a cálculos extensos.


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