5 Control por realimentación del estado - OCW...

1

U.P.M.-DISAM P. Campoy Electrónica y Regulación 1

Control por realimentacióndel estado

• Introducción• Realimentación del estado• Control de sistemas monovariables• Control de sistemas multivariables


Introducción: ejemplo (1/2)

1Ts

k

+ s

1

ωαref

motor

)(sGC

+-

1Ts

k

+ s

1

control clásico

α αref αω1Ts

k

+

+s

1

+1K

2K

+

+

control por realimentación del estado

ω α

2


Introducción: ejemplo (2/2)

• Ventajas de la realimentación del estado:– se usa toda la información del sistema para

calcular la entrada manipulada– no se usan derivadores de difícil realización

física, sino elementos proporcionales

1Ts

k

+

+s

1

+1K

2K

+

+

+

+21KsK

1

+21KsK +

1Ts

k

+ s

1

=


Introducción: motivación

• Control por realimentación de la salida

u xPID-

+xref

3


Introducción: motivación

• Control por realimentación del esatdo

θu

xx’

θ’-

+v

K


Introducción:estructura genérica (2/5)

aB~

aaA~

∫u

bC~∫

abA~

bbA~

aC~

S1

S2

ax~&

ax~

y

bx~

K

+

r

Realimentación

subsistemacontrolable

sólo tiene sentidorealimentar la partecontrolable

4





Realimentación del estado (1/2)

∫ CB

A

+

+

K

+

+

x yur

Sistema

Realimentación

∫ CB

A+BK

+

+

x yr

Sistema realimentado

BKAAr

+=

la dinámica del sistemarealimentado cambia según:

5


Realimentación del estado(2/2)

• Objetivo:cálculo de K para conseguir la dinámica dada por Ar

• Características:– sistema con nxn ecuaciones y nxm incógnitas

BKAAr

+=

• Conclusiones:– no todas las matrices Ar son posibles– se debe usar una base del espacio de estado en la que

las ecuaciones sean compatibles y sencillas de resolver




6


Control de sistemasmonovariables: cálculo de K

dado el sistema monovariable:

01

1

1

01

1

1)(asasas

bsbsbsG

n

n

n

n

n

++++

+++=

!

!

!

!

L

L

!

˙ x (t) =

0 1 0 L 0

0 0 1 L 0

M M M O M

0 0 0 L 1

"a0

"a1

"a2

L "an"1

#

$

% % % % % %

&

'

( ( ( ( ( (

x(t) +

0

0

M

0

1

#

$

% % % % % %

&

'

( ( ( ( ( (

u(t)

[ ] )()( 1210 txbbbbty nn !! !!!!= L

cuando se realimenta el estado con la matriz:

• se modifican los polos según K• no se alteran los ceros• la ganancia se altera en función

de la situación de los polos

se obtiene el sistema:

[ ] )()( 1210 txbbbbty nn !! !!!!= L


Ejemplo realimentaciónmonovariable

Calcular la matriz de realimentación del estado del sistema:

para situar sus polos en -1±j y -10

!

G(s) =3s+ 6

s3

+ 3s2

+ 7s+1

!

Pcc(s) = (s

2+ 2s+ 2)(s+10) = s

3+12s

2+ 22s+ 20

luego:

!

20 =1" ˜ k 1

22 = 7 " ˜ k 2

12 = 3" ˜ k 3

#

$ %

& %

˜ K = "19 "15 "9[ ]

7


Problema realimentaciónmonovariable

U s+2s+1

1s+1

Y

Calcular la matriz de realimentación de las variablesde fase que consigan que el sistema en cadena cerradatenga todos sus polos en -2


Matriz de realimentación delas variables originales: K

Control de sistemasmonovariables: estructura

∫ CB

A

+

++

+

x yur

Sistema

!

˜ K

!

˜ x

Realimentación de lasvariables de fase

!

T"1

8


Control de sistemasmonovariables: calculo de T

• Cálculo de la matriz de cambio de base T tal que:

!

Q = B AB L An"1B[ ]

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

='

T

n

T

T

e

e

e

QM

2

1

1

!!!!!

"

#

$$$$$

%

&

=

'

'

1

1

nT

n

T

n

T

n

Ae

Ae

e

TM

!

x = T˜ x

donde x son las variables originales y son las variables de fase

!

˜ x


Problema realimentaciónmonovariable

U s+2s+1

1s+1

Y

•Calcular la matriz K de realimentación de las variablesde salida de cada bloque que consigan que el sistema encadena cerrada tenga todos sus polos en -2•Dibujar el esquema de control utilizado

9


Resolución

cálculo de matriz de realimentación variables de fase:

cálculo de la matriz de cambio de base:

cálculo de la matriz de realimentación de las variables originales:


Solución problemarealimentación monovariable

10



• Introducción• Realimentación del estado• Control de sistemas monovariables

– Control con error de posición nulo• Control de sistemas multivariables


Realimentación monovariable con errorde modelado y perturbación

11


Estructura controlrealimentación del estado y ep=0


Ecuaciones controlrealimentación del estado y ep=0

Haciendo el cambio :

!

x = T˜ x

12


Problema realimentaciónmonovariable con ep=0

U s+2s+1

1s+1

Y

•Calcular y dibujar la estructura de control porrealimentación del estado que consigue que el sistematenga sus dos polos más significativos en -2 y ademástenga error de posición nulo


Resolución

cálculo de matriz de realimentación variables de fase:

cálculo de matriz de realimentación variables originales:

13


Realimentación monovariable ep=0, conerror de modelado y perturbación




14


Control de sistemasmultivariables (1/7)

• Decisión de contrabilidad por entradas:

!

Q = B AB K An"1B[ ] = b

1L bm Ab

1L Abm L A

n"1b1

L An"1bm[ ]

!

L = b1

Ab1

L An1"1b1

b2

LAn2"1b2

L bm

L Anm"1bm[ ]

!

1! 2

!!

m!!

• ni es el nº de variables controladas por la entrada i-esima• las entradas se ordenan de manera que n1≥ n2 ≥… ≥ nm

!

Q = B AB K An"1B[ ] = b

1L bm Ab

1L Abm L A

n"1b1

L An"1bm[ ]



!

˜ A r

= ˜ A + ˜ B ˜ K

!

˜ A =

˜ A 11

˜ A 12

L ˜ A 1d

˜ A 21

˜ A 22

L ˜ A 2d

M M O M

˜ A d1

˜ A d 2

L ˜ A dd

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

!

˜ A ij =

0 L 0

M O M

0 L 0

" ˜ a # i # j "n j +1L " ˜ a # i # j

$

%

& & & &

'

(

) ) ) )

!

˜ A ii

=

0 1 L 0

0 0 L 0

M M O M

0 0 L 1

" ˜ a #i#

i-n

i+1

" ˜ a #i#

i-n

i+2

L " ˜ a #i#

i

$

%

& & & & & &

'

(

) ) ) ) ) )

siendo cada una de las cajas de forma:

•Cálculo de K tal que:

• m el nº de entradas utilizadas para controlar el sistema• ni el nº de v.e. controladas por la entrada i-esima• de dimension nixni• de dimensión nixnj

• Existe una matriz de cambio de base Tc tal que la matriz quedaexpresada en la segunda forma canónica controlable:

!

˜ A

!

˜ A ij

15



La matriz en la 2ª forma canónica controlable:

siendo cada una delas cajas de forma:

•Marices y

!

˜ B =

˜ B 1

˜ B 2

M

˜ B m

"

#

$ $ $ $

%

&

' ' ' '

!

˜ B i=

0 L 0 0 L 0

M M M M M M

0 L 0 0 L 0

0 L 1 ˜ b "i

i+1L ˜ b "

im

#

$

% % % %

&

'

( ( ( (

) L ) ) L )

1 i i+1 m

La matriz K tiene la forma:

!

˜ K =

˜ k 11

L ˜ k 1n

M O M

˜ k m1

L ˜ k mn

"

#

$ $ $

%

&

' ' '

!

˜ B

!

˜ K

!

˜ B



Efectuando la operación matriz se obtiene la expresión dela columna j-esima:

• CÁLCULO de

!

( ˜ A + ˜ B ˜ K ), j( ) =

0

" ˜ a # 1 j + ˜ k 1 j + ˜ b # 1 2

˜ k 2 j + ˜ b # 1 3

˜ k 3 j +L+ ˜ b # 1 m

˜ k mj

0

" ˜ a # 2 j + ˜ k 2 j + ˜ b # 2 3

˜ k 3 j +L+ ˜ b # 2 m

˜ k mj

M

0

" ˜ a # m"1 j + ˜ k m"1 j + ˜ b # m"1 m˜ k mj

0

" ˜ a # m j + ˜ k mj

$

%

& & & & & & & & & & & &

'

(

) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) )

* n1

=#1

* n1

+n2

=#2

* n1

+L+nm"1

=#m"1

* n1

+L+nm

=#m

= n

!

˜ A r

= ˜ A + ˜ B ˜ K

!

˜ A + ˜ B ˜ K

16



• DETERMINACIÓN de •la matriz tiene elementos distintos de 0 y 1 sólo en las filas σ1,... σn•los mxn elementos de las filas σ1,... σn de la matriz dependen de losmxn elementos de la matriz . Estos valores pueden ser elegidoslibremente, dando lugar a un sistema compatible y determinado para elcálculo de los elementos de .

!

˜ A r

=

0 1 0 L 0

0 0 1 L 0

M M M O M

0 0 0 L 1

" ˜ # 0

" ˜ # 1

" ˜ # 2

L " ˜ # n"1

$

%

& & & & & &

'

(

) ) ) ) ) )

!

˜ A r

!

˜ A r

!

˜ A r

!

˜ K

!

˜ K



• CÁLCULO de : A partir de , se obtienen las siguientesecuaciones para cada columna:

!

"#1

j = $ ˜ a #1

j + ˜ k 1 j + ˜ b #

12

˜ k 2 j + ˜ b #

13

˜ k 3 j +L+ ˜ b #

1m

˜ k mj

"#2

j = $ ˜ a #2

j + ˜ k #2

j + ˜ b #2

3

˜ k 3 j +L+ ˜ b #

2m

˜ k mj

M

"# m$1j = $ ˜ a # m$1

j + ˜ k # m$1j + ˜ b # m$1

m˜ k mj

$% j$1= $ ˜ a nj + ˜ k mj

donde:

!"#

+$+=

=1para0

1para1

i

ij j

ji %

%&%

!

˜ K

!

˜ A + ˜ B ˜ K

!

˜ A + ˜ B ˜ K

17



• CÁLCULO de T:

!

Q = B AB K An"1B[ ] = b

1L bm Ab

1L Abm L A

n"1b1

L An"1bm[ ]

[ ]m

n

m

nnbAbbAbbAbAbL m 1

2

1

21

1

11

21!!!= LLLL

!!!!!!!!

"

#

$$$$$$$$

%

&

='

m

e

e

e

e

L

(

(

(

M

M

M

2

1

1

1

!!!!!!!!!!!!!

"

#

$$$$$$$$$$$$$

%

&

=

'

'

'

'

1

1

1

1

2

2

2

1

1

1

1

m

m

m

n

n

n

Ae

e

Ae

e

Ae

Ae

e

T

(

(

(

(

(

(

(

M

M

M

M

!

1! 2

!!

m!!

nm=σ←

←1

m+σ← − 11

σ←2

+σ← 11

σ←1

σ←1

σ←2

nm=σ←


Ejemplo de controlmultivariable

u1 1s+1

1s+1

x3

++

u2 2s+2

x1

x2

u3+

• Elegir las distintas combinaciones de entradas que permiten lacontrolabilidad del sistema• Calcular la matriz de realimentación de las variables de estadode la figura que sitúan todos los polos del sistema en -3, paracada combinación posible de las entradas•Dibujar la respuesta del sistema en Simulink y justificarlamediante el cálculo de las f.d.t. X3(s)/U1(s) y X3(s)/U1(s)

dado el sistema:

18


Resolución controlmultivariable: elección entradas


Resolución controlmultivariable: elección entradas

modelo de estado:

matriz de controlabilidad:

elecciones de matrices L:

19


Solución control multivariable:solución 1

Cálculo T:

Matriz del sistema realimentado:

Modelo en la nueva base:



Especificaciones:

igualando:se obtiene la matriz de realimentación en la nueva base:

deshaciendo el cambio de base:

20



>> [num,den]=ss2tf(Ar,B,C,D,1)num = 1 9den = 1 9 27 27



Cálculo T:

Modelo en la nueva base:


21



Especificaciones:


igualando:se obtiene la matriz de realimentación en la nueva base:



>> [num,den]=ss2tf(Ar,B,C,D,1)num = 1 -54den = 1 9 27 27

22



Cálculo T:




se obtiene la matriz de realimentación en la nueva base:


23



>> [num,den]=ss2tf(Ar,B,C,D,1)num = -27 0den = 1 9 27 27


Solución control multivariable:comparativa de soluciones

24


¿por qué un nuevo control?

• Control por realimentación del esatdo

θ

u x

x’

θ’

-+v

K

x

observador

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