ANÁLISE DAS TENSÕES

ESTADO GERAL DE TENSÃO

Tensor de TensõesTensor de Tensões

Tensões Principais

σσσσσσσσijij==

σσσσσσσσijij==

Tensões Principais

Estado de tensão 3D

Estado plano de tensão

0322

13 =−+− III PpP σσσ

( ) 22

2,1 22 xyyxyx τ

σσσσσ +

−±

+=

I1, I2, I3 Invariantes das tensões

zyxI σσσ ++=1

2223 2 xyzzxyyzxzxyzxyzyxI τστστστττσσσ −−−+=

2222 zxyzxyxzzyyxI τττσσσσσσ −−−++=

Solução 3 raízes σσσσ1 ≥≥≥≥ σσσσ2 ≥σ≥σ≥σ≥σ3

Direções PrincipaisDireções Principais

( )( )

( )0

-

-

-

pz

py

px

=

n

m

l

zyzx

yzyx

xzxy

σστττσστττσσ

Desenvolvendo a equação para σ1 Obtém-se l1, m1 e n1

Para σ2 obtém-se l2, m2 e n2

Para σ3 obtém-se l3, m3 e n3

121

21

21 =++ nmlLembrando que

[ ]

=

n

m

l

S

S

S

ij

z

y

x

.σ

Resultante no plano ABC

Análise de Tensão 3D

222 τσ +=S

2222zyx SSSS ++=

ou

Para calcular Sx, Sy e Sz

nSmSlS zyx ++=σ

Tensão normal e de cisalhamento num plano qualquer

γβ

α

cos

cos

cos

==

=

n

m

l

Cossenos diretores

Condição de equilíbrio nlmnlmnml zxyzxyzyx τττσσσσ 22222 +++++=

Círculo de Círculo de MohrMohr 3D3D

Máximas tensões de cisalhamento no sistema 3D

CIRCULO DE MOHR PARA O ESTADO TRIPLO DAS TENSÕES

Determinação da tensão normal e de cisalhamento num plano qualquer

Critérios de Escoamentos que estudaremos:

� Materiais Dúcteis:

� Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou Critério de Escoamento de Tresca

� Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de von Mises.

� Materiais Frágeis:

� Teoria da Tensão Normal Máxima –W. Rankine

Kabs

≥maxτ

K= tensão de escoamento no cisalhamento

K=−2

minmax σσ

K2minmax =−σσ

Qual o valor de K?

No teste de tração: σmax= σ1; σmin=0

No escoamento: σ1= σe=2K

ee

e

K

K

σσσσσ

=−⇒=

=−

minmax2

20

Teoria da Tensão de Cisalhamento Máxima ou

Critério de Escoamento de Tresca

Fazendo σ2=0:

e

e

e

e

e

e

caso

caso

caso

caso

caso

caso

σσσσ

σσσσ

σσσσσσ

σσσσσσσσσσσσ

=−⇒

⟩⟩

=−⇒

⟩⟩⟩

=−⇒

⟩⟩

=−⇒

⟩⟩

=−⇒

⟩⟩

=−⇒

⟩⟩

1

13

3

31

3

13

1

31

13

13

31

31

0

0:6

0

0:5

0

0:4

0

0:3

0:2

0:1

Teoria da Energia de Distorção Máxima ou Critério de von Mises

Quando a energia de distorção no ponto crítico do componente atingir o mesmo valor da energia de distorção do corpo de prova no momento do seu escoamento, iniciará também o escoamento do componente naquele ponto”

332211 2

1

2

1

2

1 εσεσεσ ++=U

( )[ ]3122

1 σσνσε +−=E

( )[ ]2133

1 σσνσε +−=E

( )[ ]3211

1 σσνσε +−=E

( )[ ]2331212

32

22

1 22

1 σσσσσσνσσσ ++−++=E

U

( ) ( ) ( )[ ]213

232

2216

1 σσσσσσν −+−+−+=E

U d

Densidade de deformação (U) é a soma de duas componentes:Hidrostática e Distorção

Hidrostática: responsável somente por mudança de volume. É associada a tensãoprincipal média:σmed= (σ1+σ2+σ3)/3

Distorção: responsável pela energia necessária para distorcer o elemento. Subtraindo a parte hidrostática do estado de tensão, a parte restante da tensão, (σ1-σmed), (σ2-σmed) e (σ3-σmed), provoca a energia de distorção como mostra a fig. C.

= +

Substituindo-se σ1, σ2 e σ3 por (σ1-σmed), (σ2-σmed) e (σ3-σmed), na equação de U obtém-se Ud:

( ) 2

3

1eed E

U σν+=

( ) ( ) ( )[ ] 21

213

232

221

2

1 σσσσσσσ −+−+−=e

22221

21 eσσσσσ =+−

No ensaio de tração uniaxial, σ1=σe, σ2 = σ3 = 0 e temos:

Como a teoria de distorção máxima requer que Ud = (Ud)e temos que:

No Caso do estado plano de tensões, σ3 = 0

2 3-σ σ

1 3-σ σ

Representação dos critérios de Tresca e von Mises acrescentando ainda diversos processos de conformação mecânica

Teoria da tensão normal máxima – W. Rankine - 1800

Teoria válida para materiais frágeis

A teoria da tensão normal máxima estabelece que um material frágil falha quando a tensão principal máxima atinge um valor limite igual ao limite de resistência que o material suporta quando submetido à tração simples.

Caso o material esteja submetido ao estado plano de tensões tem-se que:

rσσ =2rσσ =1

Planos Planos OctaedraisOctaedrais

( ) ( ) ( )[ ] 21

213

232

2213

1 σσσσσστ −+−+−=oct

3321 σσσσ ++=oct

Interpretação Física do critério de escoamento de Interpretação Física do critério de escoamento de vonvon MisesMises utilizando utilizando o valor crítico da tensão de cisalhamento o valor crítico da tensão de cisalhamento octedraloctedral

( ) ( ) ( )[ ] 21

213

232

2213

1 σσσσσστ −+−+−=oct

Em tração uniaxial eoct στ3

2=

Igualando as equações acima:

( ) ( ) ( )[ ] 21

213

232

221

2

2

1 σσσσσσσ −+−+−=e

Comparação dos três critériosComparação dos três critérios

ExemplosExemplos

� Exemplo 1– O estado de tensão em torno de um ponto é dado pelo tensor das tensões mostrado abaixo. Determine as tensões principais.

=1 12- 0

12- 6- 0

0 0 5-

ijσ MPa

ExemplosExemplos

� Exemplo 2– O eixo maciço da figura abaixo tem raio 0,5 in e é feito de aço com limite de escoamento σe = 36 ksi. Determinar se o carregamento provocará falha sua falha de acordo com os critérios de Tresca e de Von Mises.

ExemplosExemplos� Exemplo 3 - Um vaso de pressão cilíndrico usado em motor de

foguete, de parede fina, é construído de material cujo escoamento é σe = 200 MPa, raio do cilindro = 1,25 m, pressão interna p = 0,7 MPa. Usando um fator de segurança igual a 2, determine a espessura do vaso, para que não ocorra falha (explosão). Obtenha a solução através dos critérios de escoamento de Tresca e de von Mises.

� Verifique, pelos critérios de Tresca e de von Mises, se o estado de tensões representado na figura abaixo é estável. Considere σe = 200 MPa.

� Exemplo 3 - Um vaso de pressão cilíndrico usado em motor de foguete, de parede fina, é construído de material cujo escoamento é σe = 200 MPa, raio do cilindro = 1,25 m, pressão interna p = 0,7 MPa. Usando um fator de segurança igual a 2, determine a espessura do vaso, para que não ocorra falha (explosão). Obtenha a solução através dos critérios de escoamento de Tresca e de von Mises.

� Exemplo 4 - Prove que a diferença máxima entre os critérios de escoamento de Tresca e de von Mises é da ordem de 15,4%.

� Exemplo 5 - Mostre que a superposição de um estado hidrostático de tensões a um estado de tensões não altera as previsões dos critérios

de escoamento de Tresca e de von Mises.