Tensor tens£o e vetor tens£o - damec.ct.utfpr.edu. Estado de tens£o num ponto...

download Tensor tens£o e vetor tens£o - damec.ct.utfpr.edu. Estado de tens£o num ponto • Tens£o ©

of 24

  • date post

    08-Nov-2018
  • Category

    Documents

  • view

    225
  • download

    1

Embed Size (px)

Transcript of Tensor tens£o e vetor tens£o - damec.ct.utfpr.edu. Estado de tens£o num ponto...

  • Tensor tenso e vetor tensoTensor tenso e vetor tenso

  • Tensor tenso e vetor tensoTensor tenso e vetor tenso

    vetor tenso:

    xxz

    xy

    y

    yzyx

    z

    zxzySz

    Sx

    Syn

    x

    y

    z

    x

    dAdA

    x

    xz

    y

    n

    A

    C

    B

    nSrr

    =

    n = vetor unitrio pertencente ao plano ABCS (Sx, Sy, Sz) = vetor tenso no plano ABCx, y, z = componentes escalares de tenso normal

  • Estado de tenso num pontoEstado de tenso num ponto- designando por dA a rea onde atua a tenso desconhecida S (de componentes Sx, Sy, e Sz) e por l, me n os cossenos diretores do vetor unitrio n, pode-se demonstrar que:

    xzxxx S.n.ml. =++ y

    yzyyxy S.n.ml. =++

    zzyzxz S.n.ml. =++

  • Estado de tenso num pontoEstado de tenso num ponto- ou, na forma matricial:

    =

    z

    y

    x

    zyzxz

    zyyxy

    zxyxx

    SSS

    nml

  • Estado de tenso num pontoEstado de tenso num ponto

    Tenso uma grandeza tensorial: [] - chamado tensor de tenses;

    Uma vez conhecidas as nove componentes do tensor de tenses, pode-se determinar o vetor tenso atuando sobre qualquer plano que passa pelo ponto;

    Pode-se mostrar que o tensor de tenses simtrico, ou seja, xy = yx,xz = zx e yz = zy . Logo, [] possui apenas seis componentes independentes.

  • Estado uniaxial de tensoEstado uniaxial de tenso

    Ex. ensaio de trao

    [ ]

    =

    00000000x

  • Estado plano de tensesEstado plano de tenses

    Ex. peas de pequena espessura

    [ ]

    =

    000

    0

    0

    yxy

    yxx

  • Estado triplo de tensesEstado triplo de tenses

    [ ]

    =

    zyzxz

    zyyxy

    zxyxx

  • Tenses principais e planos Tenses principais e planos principaisprincipais

    ( )( )

    ( )0=

    pzyzxz

    zypyxy

    zxyxpx

    Dado o estado de tenso num ponto, os planos principais so definidos como aqueles planos onde a componente tangencial (cisalhante) do vetor tenso nula.

    Nestes planos, atuam as tenses principais (p), as quais correspondem s mximas tenses normais existentes.

    Matematicamente, a soluo do sistema a seguir permite identificar tais tenses:

  • Tenses principais e planos Tenses principais e planos principaisprincipais

    o que leva a uma equao do 3 grau em p, cujas razes correspondem s tenses principais - p1 > p2 > p3:

    032213 =+ III ppp ..

    yzxzxyxyxzyz

    yzxzxy

    I

    I

    I

    ........

    ...

    zyxzyx

    yzzxyx

    zyx

    22223

    2222

    1

    +=

    ++=

    ++=onde:

  • ExerciciosExercicios Tenses principaisTenses principais

    Determine as tenses principais e os planos principais correspondentes:

  • ExerciciosExercicios Tenses principaisTenses principais

  • ExerciciosExercicios Tenses principaisTenses principaisNo ponto P do plano de uma dada seo transversal de uma viga atuam as tenses: 40MPa (trao) e 48MPa (no sentido oposto ao do eixo y).

    Para tal ponto, pede-se determinar:a) as tenses normal e tangencial em um plano perpendicular ao plano xy, e cuja normal n forme com o eixo x um ngulo de 30 como indicado;b) as mximas tenses normais de trao e de compresso, indicando a orientao dos planos onde ocorrem.

  • ExerciciosExercicios Tenses principaisTenses principais

  • Circulo de Circulo de MohrMohr

    Embora no seja mais usado como era at algumas dcadas atrs, o Crculo de Mohr constitui uma maneira rpida e verstil de se analisar o estado de tenses em um ponto.

  • Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

  • Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

  • Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

  • Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

  • Circulo de Circulo de MohrMohr -- ExemplosExemplos

  • ExerciciosExercicios Circulo de Circulo de MohrMohrNum certo ponto de uma viga so conhecidas as seguintes

    tenses: x = + 50MPa; y = -10MPa; xy = yx = -40MPa.Utilizando o Crculo de Mohr, pede-se determinar:

    - as tenses principais;- a mxima tenso tangencial- a orientao dos planos principais.

  • ExerciciosExercicios Circulo de Circulo de MohrMohr

  • ExerciciosExercicios Circulo de Circulo de MohrMohrSo conhecidas as tenses atuantes no ponto K da viga

    esquematizada. Utilizando o crculo de Mohr, determine as tenses e as direes principais.

  • ExerciciosExercicios Circulo de Circulo de MohrMohr