2.2.- Estado Espacial de Tensiones - Monografias.com · El estado espacial de tensiones en un...

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2.2.- Estado Espacial de Tensiones El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una matriz (tensor) de tensiones. Sea N , el vector normal a un plano ubicado en el espacio. L,M,N : cosenos directores del vector N Sea ρ n , el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N . Tensiones de Tensor : z zy zx yz y yx xz xy x donde ) , , ( ˆ N M L N 1 L y cos cos cos 2 2 2 N M N M L Tensiones de ector ) , , ( V z y x n ) 1 , 0 , 0 ( ˆ donde ˆ * ˆ * ) 0 , 1 , 0 ( ˆ donde ˆ * ˆ * ) 0 , 0 , 1 ( ˆ donde ˆ * ˆ * z N z A A y N y A A x N x A A z y x

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2.2.- Estado Espacial de Tensiones El estado espacial de tensiones en un punto, puede ser representado a través de una

matriz (tensor) de tensiones.

Sea N , el vector normal a un plano ubicado en el espacio.

L,M,N : cosenos directores del vector N

Sea ρn , el vector de tensiones que actúa sobre el plano orientado por N.

Tensiones deTensor :

zzyzx

yzyyx

xzxyx

donde ),,(ˆ NMLN 1Ly

cos

cos

cos222 NM

N

M

L

Tensiones deector ),,( Vzyxn

)1,0,0(ˆ donde ˆ*ˆ*

)0,1,0(ˆ donde ˆ*ˆ*

)0,0,1(ˆ donde ˆ*ˆ*

zNzAA

yNyAA

xNxAA

z

y

x

Realizando equilibrio de Fuerzas en cada una de las direcciones, se obtiene:

Escribiendo las ecuaciones de equilibrio en forma matricial: Calculemos la tensión Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido por

el vector Normal N.

La tensión Tangencial puede ser calculada a partir del vector de tensiones o calculada a partir de σn.

2.2.1.- Esfuerzos Principales en el Estado Espacial de Tensiones

2.2.1.1.- Esfuerzos Principales

En el plano Principal τ = 0

Por definición el vector de tensiones es:

PROBLEMA DE VALORES PROPIOS

Sistema de ecuaciones de la forma ⇒ A X = 0

cos ; cos ; cos AAAAAA zyx

coscoscos 0 ) AAAAFi zxyxxxx

coscoscos 0 ) AAAAFii zyyxyyy

coscoscos 0 ) AAAAFiii zyzxzzz

N

M

L

N

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

n ˆ

N es normal cuya Plano

Nnnˆ

Tnnˆ

222

nnn

TN nnnˆˆ

Nnˆ

Nnˆ

NN ˆˆ

3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI

Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que:

El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre de

“PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.

De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como “Vectores

Propios” y son:

Tensiones Principales

Direcciones Principales, Vectores Unitarios Normales a los planos que actúan

las tensiones σ1, σ2 y σ3, respectivamente.

Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene:

Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:

Donde los términos I1 , I2 e I3 se denominan “INVARIANTES DE TENSIONES”

2.2.1.2.- Direcciones Principales

El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de:

Resolviendo para cada tensión principal, encontramos sus direcciones principales

decir es , 0ADet 0IDet

)n,(y )n,( ; )n,( 332211

y , 321

ˆy ˆ,ˆ321 nnn

0

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Det

0)(zyzx

yyx

xz

zzx

yzyx

xy

zzy

yzy

x

3

2

1

32

2

1

3 0III

zyI x1

222

xx2 yzxzxyzyzyI

222

xx3 2 xyzxzyyzyzxzxyzyI

3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2

1

2

1

2

1111111 NMLnnI

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2

2

2

2

2

2222222 NMLnnI

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2

3

2

3

2

3333333 NMLnnI

Resumiendo, tenemos un sistema Espacial de tensiones en un punto de un cuerpo sólido

cualquiera:

Calculamos las Tensiones y Direcciones Principales:

Calculamos el Esfuerzo de Corte Máximo que se desarrolla:

Giro de Coordenadas en el Espacio

Cualquier vector de componentes (x,y,z), se puede

transformar a un sistema de coordenadas (x’,y’,z’)

mediante una Matriz de Rotación ( R )

Son los ángulos que forma el eje x’ con los ejes x, y ,z,

respectivamente.

rRr

z

y

x

z

y

x

zzyzxz

zyyyxy

zxyxxx

'''

'''

'''

coscoscos

coscoscos

coscoscos

'

'

'

'

, , ''' zxyxxx

Representan a las componentes del vector unitario en la

dirección de x’

Por lo tanto se debe cumplir que:

Análogamente:

Ello significa que:

Por otra parte los vectores x’, y’, z’ son ortogonales entre sí, por lo tanto:

Ejemplo:

Apliquemos lo anteriormente visto, al caso plano

Sea π la matriz de tensiones en un sistema X,Y,Z y π’ la matriz de tensiones en un sistema

X’,Y’,Z’.

Sea un plano Ω cuya normal en el sistema X,Y,Z es N y en el sistema X’,Y’,Z’ es N’.

zxyxxx ''' cos,cos,cos

1'ˆ'ˆ xx 1coscoscos '

2

'

2

'

2

zxyxxx

1'ˆ'ˆ yy 1coscoscos '

2

'

2

'

2

zyyyxy

1'ˆ'ˆ zz 1coscoscos '

2

'

2

'

2

zzyzxz

* IRRT 1

RRT

0'ˆ'ˆ zx 0coscoscoscoscoscos '''''' zzzxyzyxxzxx

0'ˆ'ˆ zy 0coscoscoscoscoscos '''''' zzzyyzyyxzxy

0'ˆ'ˆ yx 0coscoscoscoscoscos '''''' zyzxyyyxxyxx

r

Rr

y

x

y

x

cos)

2cos(

)2

cos(cos

'

'

'

cos

cos1

sen

senRR

T

nRnRP nnˆ 'ˆy ' ero

'ˆ ˆ pero ˆ ' nRnnRRT

nn

'ˆ''ˆ ' nnRRT

n

Luego, se tiene que:

Aplicado al caso Plano, se tiene que:

Tensor de Tensiones Estado Plano de Tensiones

Matriz de Rotación Estado Plano

Se comprueba que:

Reemplazando por las siguientes Identidades Trigonométricas:

Las direcciones Principales se obtienen haciendo τ = 0

TRR '

yyx

xyx

cos

cos

sen

senR

coscos

coscos

yyxxyx

yyxxyx

sensen

sensenR

'''

''''

yxy

yxxTRR

cos)(coscos

coscos2

cos2cos

queen 22

''

22

'

22

'

sensensen

sensen

sensen

yxyxyx

yxyxy

yxyxx

yxyx ''

)2cos1(2

1cos2 )2cos1(

2

12sen

cos22 sensen

(4) )2()2cos(22

' senxy

yxyx

x

(6) )2()2cos(22

' senxy

yxyx

y

(5) )2cos()2(2

'' xy

yx

yx sen

(7) )(

2)2(

yx

xy

ptg

Ejemplo:

Un punto de un sólido cualquiera, se encuentra solicitado por el estado tensional mostrado en la figura adjunta.

Se pide determinar:

i) Las Tensiones Principales y las Direcciones Principales

ii) La Tensión de Corte Máxima

iii) La Tensión Normal y Tangencial al plano cuya normal corresponde a (0,9623 ; 0,1925 ;

0,1925).

Solución:

1. Determinamos el Tensor de Tensiones c/r al Sistema de Orientación OXYZ :

2. Resolvemos el Problema de Valores Propios:

Desarrollando el Determinante Obtenemos:

Calculamos los Invariantes de Tensiones

Tensiones Principales

en Ton/m2

2Ton/m 9

1 a donde

a

zzyzx

yzyyx

xzxyx

51017

103420

172061

0

9

5

9

10

9

179

10

9

34

9

209

17

9

20

9

61

Det

0IDet

0 32

2

1

3 III

10x1 zyI

10222

xx2 yzxzxyzyzyI

242222

xx3 xyzxzyyzyzxzxyzyI

0241010 23

088,1

599,2

489,8

3

2

1

3. Direcciones Principales

Tensión Principal Mayor

Tensión Principal Intermedia

Tensión Principal Menor

Se debe verificar que:

4. Tensión de Corte Máxima

5. Tensión Normal y Tangencial al Plano cuya normal es N

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) 489,8 ( 2

1

2

1

2

111111 NMLnnI

0

0

0

9,0446-10/917/9

10/94,7112-20/9

17/920/91,7122-

1

1

1

N

M

L

2748,0

5365,0

0,1

1

1

1

N

M

L

)0,2353 ; ,45950 ; 8565,0(ˆ1n

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) 599,2 ( 2

2

2

2

2

222222 NMLnnI

0

0

0

3,1546-10/917/9

10/91,178820/9

17/920/94,1788

2

2

2

N

M

L

04896,0

8390,1

0,1

2

2

2

N

M

L

)0,2337- ; ,87270- ; 4776,0(ˆ2n

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) 088,1 ( 2

3

2

3

2

333333 NMLnnI

0

0

0

0,532410/917/9

10/94,865820/9

17/920/97,8658

3

3

3

N

M

L

9572,4

6753,0

0,1

3

3

3

N

M

L

)0,9716- ; ,13240 ; 1960,0(ˆ3n

321ˆˆˆ nnn

)9716,0(ˆ)1324,0(ˆ)1959,0(ˆ

0234,08783,04776,0

2353,04595,08564,0

ˆˆˆ

ˆ3 kji

kji

n

)9716,0;1324,0 ; 1959,0(ˆ3n OK

23113 Ton/m 789,4

2máx

0,1925) ; 0,1925 ; 9623,0(N

Calcularemos el Vector de Tensiones en el Plano definido por la Normal N

Calcularemos la Tensión Normal al Plano definido por la Normal N

Calcularemos la Tensión Tangencial al Plano definido por la Normal N

2.3.- Tensiones en Cáscaras de Pared Delgada

2.3.1.- Cáscara Cilíndrica (tubo) de Pared Delgada sometida a una Presión Interna

(cte.)

Cilindro de radio “r” y espesor “t” (t<<r)

N

M

L

N

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

n ˆ

1925,0

1925,0

9623,0

9/59/109/17

9/109/349/20

9/179/209/61

z

y

x

9245,1

0792,3

3131,7

z

y

x

Ton/m 2

1925,0

1925,0

9623,0

4641,37735,56188,4Nnn

2Ton/m 00,8n

222

nnn

2222 Ton/m 8,1654641,37735,56188,4n

667,28667,66 22

n

2Ton/m 633,1n

alLongitudinTensión

TangencialTensión ct

I. Calculemos la Tensión Longitudinal, para lo cual tenemos que:

Realizar un corte transversalmente al cilindro (perpendicular al eje x y planteamos el

equilibrio en dirección “X”.

II. Calculemos la tensión tangencial , para lo cual debemos :

Realizar un corte longitudinalmente al cilindro (paralelo al eje x y planteamos el

equilibrio en dirección transversal.

0 0 ) px FFFi

2**

2**

rpApF

rtaF

p

alLongitudinTensión : 2t

pr

02 0 ) pz FFFit

rpApF

taF

p

t

2**

**

Círculo de Mohr de Tensiones en un Cilindro de Pared delgada

2.3.2.- Recipiente (estanque) Esférico de Pared Delgada sometida a una Presión

Interna (cte.)

Esfera de radio “r” y espesor “t” (t<<r)

Calculemos la tensión Normal que se desarrolla en el recipiente.

Realizar un corte transversal en el estanque esférico

TangencialTensión : t

prt

t2

1

0 0 ) px FFFi

2**

2**

rpApF

rtaF

p

NormalTensión : 2t

pr

2.4.- Estructuras de Superficie Curva y Pared Delgada

2.4.1.- Caso General de Cáscaras con Presión Interna (p)

La Superficie Curva queda definida por 2 Radios de Curvatura “R1 y R2”

Planteando Equilibrio del Elemento diferencial de la Superficie Curva

Reemplazando en la ecuación de equilibrio

Ejemplos:

I. Cilindro:

II. Esfera:

Ejemplo:

Se tiene un estanque cilíndrico de pared delgada sometida a una presión interna “Pi”.

Si se tiene un elemento infinitesimal sobre el manto del cilindro girado un ángulo q con

respecto a la horizontal. Se pide determinar la presión interna del estanque, el ángulo

q en que se encuentra el elemento girado y el valor del respectivo esfuerzo de corte.

Datos: r = 2,50 m. , t = 10 cm., sx’ = 166 kg/cm2, sy’ = 209 kg/cm2

)2/(2)2/(2 112221 dsentdSdsentdSdSpdS

2/)2/(y ; pero 2211 ddsendRdSdRdS

2

11

2

22

2

21 dtRdtRdRpR

1

2

2

1 RRt

p

t

pRt

tR

RR

22

11

;

;

22

11

;

;

RR

RR

t

pR

2

Solución:

Del Invariante de tensiones (I1), se tiene:

Pero:

De las Ecuaciones de Transformación de Tensiones Planas, se tiene:

La tensión de corte del elemento girado en un ángulo θ = 34,94º será:

Dibujemos los Estados Tensionales que se obtienen en el punto en análisis

???

kg/cm 209

kg/cm 166

''

2

'

2

'

yx

y

x

tyxyx2

3'' kg/cm 375

2

3 2

t kg/cm 125

kg/cm 250

2

2

t

kg/cm 25010

250** 2Pi

t

rPit kg/cm 10 2

iP

θsenτθσσσσ

σ xy

yxyx

x' 22cos22

θσσσσ

σ ttx' 2cos

22

θσ

θσσ ttt 2cos3

42cos

4

1

4

3661

656,2664

2cos3 tσ

θ 344,02cos θ º94,34 θ

)º94,34*2(2

2501252

2' senθsen

σσ tx'y

2

' kg/cm 69,58x'y

2.5.- Ecuaciones de Equilibrio de Tensiones

Analicemos un paralelepípedo de dimensiones dx, dy, dz con fuerzas internas por unidad de

volumen fx, fy y fz:

Planteando Equilibrio en la dirección “X” del elemento infinitesimal

Análogamente para las otras direcciones:

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en Notación Tensorial:

Donde:

Por ejemplo:

0

VolumenVol. unid.por Fuerzaárea

z cara Fuerza

área

y cara Fuerza

área

xcara Fuerza

dxdydzfdxdydzz

dxdzdyy

dydzdxx

xzxyxx

y con xzzxxyyx 0 xxzxyx fzyx

0 y

yzyyxf

zyx

0 zzzyzx f

zyx

1,2,3 j

1,2,3i 0 jij, if

3

1

3

1

jij, i j

ji

x x j

xx

x

0 1,2,3j

1i

1

312111

321

x

xxxxxxf

xxx

0

x

x

x

3

2

1

xxzxyxx f

zyxz

y

x

2.6.- Deformaciones en el Estado Espacial de Tensiones

Analicemos un paralelepípedo de dimensiones a, b, L sometido a un estado triaxial de

tensiones.

a) Estado axial de Tensiones σ1≠ 0 y σ 2 = σ 3 = 0

Análogamente si:

a1) σ 2≠ 0 y σ 1 = σ 3 = 0

a2) σ 3≠ 0 y σ 1 = σ 2 = 0

b

b

a

a321 y ;

113

112

11

EE

EE

EE

x

x

x

223

221

22

EE

EE

EE

y

y

y

332

331

33

EE

EE

EE

z

z

z

b) Estado Plano de Tensiones σ 1, σ 2 ≠ 0 y σ 3 = 0

Las deformaciones unitarias normales se obtienen por superposición de los casos a) y

a1).

c) Estado Espacial de Tensiones σ 1 , σ 2 y σ 3 ≠ 0

Las deformaciones unitarias normales se obtienen por superposición de los casos b) y

a2).

2.7.- Deformaciones por Corte Puro

Analicemos un cuadrado de dimensiones L x L sometido a un estado biaxial de tensiones,

que me genera un estado de corte puro.

)(

)(1

)(1

213

122

211

yx

xy

yx

EEE

EEE

EEE

)(1

)(1

)(1

2133

3122

3211

yxz

zxy

zyx

EEEE

EEEE

EEEE

0001

)1()(

1

EE

1

1

1

1

1

1

22

22

24g

t

De la expresión anterior, se define la Ley de Hooke para el Cizallamiento (Corte)

como:

En que G se denomina Módulo de Elasticidad al Corte o Módulo de Cizalle.

Sólo dos constantes definen un material homogéneo e isótropo, la tercera constante

es dependiente. Por ejemplo para el acero E=2,1x105 N/mm2 y m=0,30, entonces G ≈

8,1x104 N/mm2.

2.8.- Resumen de Relaciones Deformación vs Tensión

Deformaciones Normales:

Distorsiones Angulares:

21

21

24g

tg

tg

t

1

1

1

1

21

21

24g t

EE

)1(2)1(22 01

)2(1

EG donde

G

)(1

)

)(1

)

)(1

)

z

y

x

TE

iii

TE

ii

TE

i

tyxz

tzxy

tzyx

)1(2 )

)1(2 )

)1(2 )

yz

xz

xy

yz

xz

xy

Evi

Ev

Eiv

Relaciones expresadas en forma Matricial:

2.9.- Resumen de Relaciones Tensión vs Deformación

Tensiones Normales:

Distorsiones Angulares:

Relaciones expresadas en forma Matricial:

2.10.- Cambio de Volumen

tempmec

temp

t

mec

yz

xz

xy

z

y

x

x

x

yz

xz

xy

z

y

x

T

ED

E

0

0

0

1

1

1

)1(200

0)1(200

00)1(2

1

01

1

1

1

33

33

21)()1(

)21)(1( )

21)()1(

)21)(1( )

21)()1(

)21)(1( )

z

y

x

TEEiii

TEEii

TEEi

tyxz

tzxy

tzyx

)1(2 )

)1(2 )

)1(2 )

yz

xz

xy

Evi

Ev

Eiv

yz

xz

xy

tempmec

temp

t

mec

yz

xz

xy

z

y

x

x

x

yz

xz

xy

z

y

x

TE

DE

E

0

0

0

1

1

1

21

2

2100

02

2100

002

21

1

01

1

)21)(1(

1

33

33

Volumen Inicial elemento Infinitesimal (Vo):

Las tensiones Normales son Tensiones Principales

Volumen final elemento Infinitesimal (Vf):

Despreciando los productos de segundo orden y superiores de ε, se tiene:

El término “e” se denomina Cambio Específico de Volumen o Extensión Cúbica.

Usando las Fórmulas para el estado espacial de tensiones:

2.11.- Relaciones Deformación vs Desplazamiento

Def. en el Plano XY :

Análogamente:

Las ecuaciones anteriores se pueden escribir en Notación Tensorial:

Donde:

dxdydzVo

))()(()( zdzydyxdxVVV of

))()(( dzdzdydydxdxV zyxf

dxdydzV zyxf )1)(1)(1(

)1)(1)(1()( zyxof VVVV

zyx

oV

Ve

))(21(1

321E

e

x

u

y

uiii

y

uii

x

ui

yx

y

x

xy

y

x

)

)

)

y

u

z

uvi

x

u

z

uv

z

uiv

zy

zx

z

yz

xz

z

)

)

)

1,2,3 j

1,2,3i

2

1 )u(uε j,ii,jij

j

x

x

uu i

ji,

Por ejemplo:

2.12.- Estado Espacial de Deformaciones

El estado espacial de Deformaciones en un punto, puede ser representado al igual

que las tensiones, a través de una matriz (tensor) de deformaciones

Donde:

Sea N, el vector normal a un plano ubicado en el espacio.

L, M, N: cosenos directores del vector N

Sea ρn ε, el vector de deformaciones que actúa sobre el plano orientado por N.

12

21

21 2

1

2j

1i

x

u

x

u xx

xx

22

1

x

x

x

3

2

1

xyyxxy

x

u

y

u

z

y

x

nesDeformacio deTensor :

zzyzx

yzyyx

xzxyx

1,2,3 j

1,2,3 i jicon

2

1ijij

donde ),,(ˆ NMLN1Ly

cos

cos

cos222 NM

N

M

L

Al igual que en las tensiones podemos obtener el Vector de Deformaciones como:

Calculemos la Deformación Normal y Tangencial que se genera en el Plano definido

por el vector Normal N.

Nota: Para realizar lo anterior, se hará de igual forma como para las tensiones.

La distorsión angular normal puede ser calculada a partir del vector de deformaciones

o calculada a partir de εn

2.12.1.- Deformaciones Principales en el Estado Espacial de Deformaciones

2.12.1.1.- Deformaciones Principales

En el plano Principal = 0, entonces γ = 0

Por definición el vector de deformaciones es:

Igualando expresiones, llegamos al siguiente sistema de ecuaciones:

Nota : Aprecie la similitud que existe con el análisis hecho para las tensiones

Sistema de ecuaciones de la forma ⇒ A X = 0

Dicho sistema para no tener la Solución Trivial (X = 0), debe cumplirse que:

nesDeformacio deector ),,( Vzyxn

)1,0,0(ˆ donde ˆ*ˆ*

)0,1,0(ˆ donde ˆ*ˆ*

)0,0,1(ˆ donde ˆ*ˆ*

zNzAA

yNyAA

xNxAA

z

y

x

cos ; cos ; cos AAAAAA zyx

N

M

L

N

zzyzx

yzyyx

xzxyx

z

y

x

n ˆ

Nnnˆ

Tnn ˆ

2

22

2

2nn

n

Nnˆ

Nnˆ

3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI

decir es , 0ADet 0IDet

El problema de la solución del sistema de ecuaciones mencionado, recibe el Nombre

de “PROBLEMA DE VALORES PROPIOS”.

De la Solución no Trivial se obtienen tres pares de vectores, conocidos como

“Vectores Propios” y son:

Deformaciones Unitarias Principales

Vectores Unitarios Normales a los planos que actúan las deformaciones ε

1, ε 2 y ε 3, respectivamente

Resolviendo el Problema de Valores Propios, se tiene:

Desarrollando la expresión anterior, llegamos a una ecuación cúbica, de la forma:

Donde los términos I1 ε , I2

ε e I3 ε se denominan “INVARIANTES DE

DEFORMACIONES”

Nota : Obtenga Ud. las expresiones de los términos I1 ε , I2

ε e I3 ε y compárelos con los

“INVARIANTES DE TENSIONES”

2.12.1.2.- Direcciones Principales

El Problema de Valores propios parte del sistema de ecuaciones de:

Resolviendo para cada deformación unitaria principal, encontramos sus direcciones

principales

)n,(y )n,( ; )n,( 332211

y , 321

ˆy ˆ,ˆ321 nnn

0

zzyzx

yzyyx

xzxyx

Det

0)(zyzx

yyx

xz

zzx

yzyx

xy

zzy

yzy

x

sPrincipale UnitariasnesDeformacio 0

3

2

1

32

2

1

3 III

3x3 de Identidad matrizI donde 0ˆ ) ( NI

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2

1

2

1

2

1111111 NMLnnI

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2

2

2

2

2

2222222 NMLnnI

1NML queen ),,(ˆ 0ˆ ) ( 2

3

2

3

2

3333333 NMLnnI

Ejemplo: Apliquemos lo anteriormente visto, al caso plano

Tensor de Deformaciones Estado Plano

Vector unitario de la direción x’

Luego, se tiene que:

Pero la deformación Normal es:

Utilizando las mismas Identidades Trigonométricas que usamos en las tensiones,

podemos obtener:

De igual forma, podemos determinar la distorsión angular quedando la siguiente

expresión:

Para determinar, la Deformación Unitaria Normal Máxima (Principal), debemos

derivar la ecuación (1) e igualarla a cero:

El subíndice “p” indica que el ángulo define la orientación de los planos principales.

Reemplazando por + 90° en la ecuación (1), se obtiene:

r

Rr

y

x

y

x

cos)

2cos(

)2

cos(cos

'

'

'

y

yx

xy

x

yyx

xyx

2

2

senn

cosˆ

nnˆ

sen

sen

yyx

xyx

n cos

cos

Nnnˆ

coscos 22 sensen xyyxn

(1) 22cos22

' senxy

yxyx

nx

(2) 2cos222

xy

yxn sen

0)2cos(2)2()('xyyx

x send

d

(3) )(

2)2(

yx

xy

ptg

(4) 22cos22

' senxy

yxyx

y

Se comprueba que:

Las Deformaciones Unitarias Principales son:

2.12.1.3.- Círculo de Mohr de Deformaciones

Ec. Paramétricas de un Círculo con

ángulo 2 como parámetro.

Elevamos ambas ecuaciones al cuadrado y al sumarlas se elimina el parámetro; la

ecuación resultantes es:

Si definimos los siguientes términos:

Ec. de un Círculo y centro en coordenadas εx’ = ε med y ε x’y’=0

Existen 2 formas de graficar el Círculo de Mohr de Deformaciones:

(5) '' yxyx

(6) 22

2

2

2,1 xy

yxyx

(2) )2cos()2(2

'' xy

yx

yx sen

(1) )2()2cos(22

' senxy

yxyx

x

(7) 22

2

2

2

''

2

' xy

yx

yx

yx

x

2

2

2y

2xy

yxyx

med R

(8) 22

''

2

' Ryxmedx

Círculo de Mohr de Deformaciones

2.13.- Roseta de Deformaciones

Se puede determinar el estado de deformación en un punto en forma experimental, empleando medidores de deformación lineal llamados deformímetros (strain-gauge).

Estos instrumentos nos dan directamente las deformaciones lineales en la dirección en que están instalados.

La Roseta de Deformaciones corresponde a tres deformímetros ubicados en

direcciones conocidas, tal como lo muestra la figura adjunta.

Usos de las Rosetas de Deformación

Determinación de los esfuerzos en un punto de un material a partir de la medición de

las deformaciones.

La orientación de los dispositivos puede ser arbitraria con respecto a un sistema XY.

Los deformímetros miden las deformaciones unitarias en un punto en cualquier

dirección tangente a la superficie del cuerpo.

conocidos y ,

y ,

cba

cba

Ejemplo de Aplicación:

En un punto de un sólido se encuentra solicitado por cierto nivel de esfuerzo. El material del sólido es del tipo “CHILE” (Continuo – Homogéneo-Isotrópico – Linealmente – Elástico) y se instala tres deformímetros tal como lo muestra la figura adjunta, midiendo su nivel de deformaciones. Se pide determinar las tensiones máximas a la cual está sometido dicho punto del material.

Indicación: Analice su problema como un estado plano de tensiones.

Solución:

Se pide determinar los esfuerzos principales y el esfuerzo de corte máximo.

Cálculo de Tensiones:

En un Estado Plano de Tensiones σ z = 0 y xz = yz =0

De i)

De ii)

25,0y kg/cm 101,2

002,0y 003,0 ; 004,0

:Datos

26

cba

xE

22cos22

' senxy

yxyx

x

cy

ax : Sea

902

90cos22

)45( ' senxycaca

xb

9022

senxyca

b

004,02 cabxy

)(1

)

1 )

1 )

z

y

x

yx

xy

yx

Eiii

Eii

Ei

0 )

0 )

)1(2 )

yz

xz

xy

vi

vE

iv xy

(*) xEyx

(**) yExy

Reemplazando los datos se obtiene que:

La Tensiones Principales se obtienen de:

El Esfuerzo de Corte Máximo se obtienen de:

)(1

)(1

2

2

xyy

yxx

E

E

)(

)1(2

yxz

xyxy

E

E

3360

2240

7840

2

2

2

kg/cm

kg/cm

kg/cm

xy

y

x

22

2

2

2,1 xy

yxyx

2

2

2

1

kg/cm

kg/cm

33,3257

33,8857

2

2

2

xy

yx

máx

2

máx kg/cm 6057,33