La Carta de SmithZ(z) → Impedancia en cualquier punto de una línea de transmisión

Phillip H. Smith en 1939, teniendo presente que la impedancia Z(z) está biunívocamente relacionada con el coeficiente de reflexión Γ(z), y éste tiene un módulo acotado a uno |Γ|≤1, concibió una representación gráfica de la impedancia Z(z) en términos del coeficiente de reflexión Γ(z), que tiene un uso prácticamente universal en la actualidad.

Re 0,

Im ,

Z z

Z z

P.H. SMITH

Nomogramas

Un nomograma o nomografo es un diagrama bidimensional que permite realizar cálculos aproximados gráficamente. La carta de Smith es un nomograma.

Nomograma de conversiónde temperaturas de Celsiusa Fahrenheit. Nomograma de resistencias

en paralelo.

Uso de la Carta de Smith

La carta de Smith permite, de una manera sencilla y evitando tediosas manipulaciones de números complejos

1) Calcular gráficamente la impedancia en un punto de una línea de transmisión a partir

del coeficiente de reflexión en ese punto y viceversa.

2) Calcular gráficamente la impedancia o el coeficiente de reflexión en un punto de una

línea a partir del conocimiento de la misma o el mismo en otro punto.

3) Realizar estos cálculos en términos de impedancias o admitancias indistintamente.

4) Calcular gráficamente la ROE y los valores máximo y mínimo de la impedancia.

5) Encontrar los valores de elementos reactivos (ya sean stubs o elementos

concentrados) necesarios para adaptar líneas de transmisión.

6) Representar el rendimiento de circuitos de microondas

Relación entre Z(z) y ρ(z)

Se define una impedancia normalizada respecto a la impedancia intrínseca de la línea

Matemáticamente corresponde una transformación entre la impedancia normalizada y el coeficiente de reflexión complejo que se caracteriza por ser conforme (=conserva los ángulos entre dos curvas).

0

1

1

ZZ r j x

Z

1

1j

r i

Ze j

Z

Γ r

Γi

| Γ |≤1

r

xr≥0

Z

Relación entre Z(z) y ρ(z)Sustituyendo Γ en la expresión de la impedancia normalizada se pueden obtener las curvas de r y x constantes en función de las componentes Γ r y Γ i, obteniendo un conjunto de circunferencias en el plano complejo de Γ :

2 2 2

222

1 1 1; 1

1 1r i r i

r

r r x x

r

x r=cte.

Γ r

Γ i

r

x

x=cte.

Γ r

Γ i

11,

x

1

xCircunferencias de reactancia constante: CENTRO RADIO

,01

r

r

1

1r Circunferencias de resistencia constante: CENTRO RADIO

El coeficiente de reflexión representado en el plano complejo

Γ r

Γ i

| Γ |=1

0º

90º

180º

270º

z=0 z= ℓ

ZL

Γ LΓ e

Ze

4( )2( 0)

Lj lj le L Lz e e

jL

| Γ L|

0 1| Γ L|

-2bℓ

Γ e

| Γ L|

+2bℓ

Γ L

4( )

2 ( )( )Lj z l

j z lL Lz e e

( ) LjL Lz l e

Hacia la carga

Hacia el generador

Metodología

ℓ= /2l 360º

ℓ= /4l 180º

ℓ= /8l 90º

ZLΓ L Ze

Γ e

Γ L Γ e

r = 0 r = 0.5 r = 1 r = 2 r = ∞

x = ∞

x = 0

x = 0.5

x = 2

x = 1

x = - 0.5

x = - 2

x = - 1

Circunferencias de

Resistencia

Constante

Circunferencias de

Reactancia

Constante

En un punto de la línea de Z0 = 50 Ω se mide una impedancia 100+j·150 Ω ¿Cuánto vale Γ en ese punto?

100 1502 3

50

jZ j

0.75 26º

| Γ | = 0.75

r = 2

x = +3

φ = 26º

Si ¿ Cuánto vale la impedancia ? ¿Cómo varía al movernos sobre la línea?

1 3 90º

ZZ

| Г | = 0.33

r = 0.8

x = +0.6

φ = 90º

20.33j

e

0.8 0.6Z j

La toma todos los valores contenidos en la circunfe-rencia de radio a medida que nos movemos a lo largo de la línea de transmisión.

0.33

Z

Paso de: Γ ↔ Z

SWR = S (ROE)

RET’N LOSS, dB =

REFL. COEFF. P =

REFL.COEFF, E OR I =

x| Γ |

φ

Z

26º

0.75

¯̄

0.75 26º

2 3Z j

20 log 2

7S

2.6 dBretL

72.6

Impedancia de Entrada

0.8 1.2LZ j

2 1.6eZ j

150 120eZ j

270máxmáxZ R

21mínmínZ R

ZL

Ze

0.45·λ

mín

máx

mín 0.28

V

I

Z

máx

mín

máx 3.6

V

I

Z x

x

S=3.6

ZLZe

ZL= 60 – j·90

l = 0.45·λ

Z0 = 75 Ω

S=3.61=0.28

S

max min max

1min max min

( ) , ,

( ) , ,

L

L

z V I Z Z S

z V I Z Z S

Admitancia

Z R j X

Y G j B

1

1

cL

cCX

BL

X

C

L

B C

0 500.2 0.5

10 25 LL

ZZ j

Z j

00

0.7 1.7

0.014 0.034

LL L L

L

L

YY Y Y Y

Y j

Y j

Z

ZL

x

YL

x

( 4)

11

1

1

1

1

1

LL

L L

jL

l λe jL

LL

L

YZ

eZ

e

Y

Admitancia de Entrada

Ye

ZL= 10 + j·15

Z0 = 50 Ω

l = 0.1·λ

ZL

0.2 0.3LZ j

0.3 0.7eY j

0.006 0.0145eY j

0

10.02

50Y

ZL

x

YL

x

Ye

x

Zex

0.1·λ

0.1·λ

0

10 15

50LZ j

Z

Línea en Cortocircuito

Línea en Circuito Abierto

0.73

1.4e

e

Z j

Y j

Ze, Ye

l = 0.1·λ

c.c.

Ze, Ye c.a.

l = 0.15·λ

0.73

1.4e

e

Z j

Y j

cortocircuito circuito abierto xx

0.1·λ

0.15·λ

Conexión de Líneas

1

1 1

750.5

1501 0.7

150 150 105

LZ

Z j

Z Z j

1'

2

2 2

150 1051.5

1001.8 0.9

100 180 90

jZ j

Z j

Z Z j

2'

3

3

180 903.6 1.8

500.28 0.52

50 14 26e

j

j

Z j

Z

j

Z

Z

11’2’ 2

ZL

x

Ze

Z1x

0.1·λ

0.15·λ

0.15·λ

Ze 50 Ω

0.15·λ

ZL 100 Ω 150 Ω

0.1·λ 0.15·λ

Z2

x

Z1’

x

xZ2’

x

Carta de Smith como medio de representación de rendimiento

La carta de Smith se usa a menudo como sistema de coordenadas para representar el comportamiento de un dispositivo de microondas a diferentes frecuencias.