PDV: F­sica Menci³n Gu­a N°1 [4° Medio] (2012)

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  • C u r s o: Fsica MencinMATERIAL: FM-01

    INTRODUCCIN A VECTORES Y MAGNITUDES

    La palabra Fsica tiene su origen en elgriego physis, que significanaturaleza. La Fsica se ocupa de lanaturaleza y busca descifrar sus Leyes.Los experimentos permiten verificarnuestras leyes y las matemticas nospermiten expresar nuestros resultados sinambigedades. Debido a su carctercentral respecto a otras ciencias lacomprensin de la Fsica, se requiere enmuchas otras disciplinas.Magnitudes EscalaresSon magnitudes fsicas fciles dereconocer, ya que para identificarlas slonecesitamos saber su magnitud, enalgunos casos es necesario acompaarlosde la unidad de medida como los que semencionan a continuacin.Ejemplos: rapidez, masa, tiempo,distancia, rea, permetro, densidad,volumen, temperatura, etc.

    Magnitudes VectorialesUn vector se identifica por 3caractersticas fundamentales: magnitud(mdulo o largo), sentido (indicado por laflecha) y direccin (indicado por la lnearecta que pasa sobre el vector).

    Una magnitud vectorial se simboliza conuna letra y una flecha en su partesuperior, A.

    Si queremos referirnos a la magnitud delvector A se denota por A.Algunos ejemplos de magnitudesvectoriales son: desplazamiento, velocidad,aceleracin, fuerza, momentum lineal,torque, etc.

    Representacin de un vectorSea C un vector tridimensional (tresdimensiones X, Y, Z)

    C = (CX, CY, CZ)Donde:CX es la componente del vector en ladireccin de X.CY es la componente del vector en ladireccin de Y.CZ es la componente del vector en ladireccin de Z.La otra forma de escribir un vector es enfuncin de vectores unitarios, es decirvectores que tienen magnitud de valoruno, asociados a cada eje.

    Y

    X

    Z

    fig. 2

    kj

    iPunto de aplicacin

    u origen

    DIRECCIN

    SENTIDO

    fig. 1

    MAGNITUD

    DIRECCIN

  • - Al eje X asociamos el vector unitario i.- Al eje Y asociamos el vector unitario j.- Al eje Z asociamos el vector unitario k.

    i = j = k = 1El vector C queda representado de lasiguiente forma:

    C = CXi + CYj + CZk

    La magnitud de C es:

    C = 2 2 2X Y Z(C ) + (C ) + (C )

    Proyeccin de un vectorProyectar un vector es trazar laperpendicular a los ejes cartesianos. Porejemplo en dos dimensiones la figura 3muestra al vector A y las doscomponentes que se obtienen en estaproyeccin AX y AY donde:

    lgebra de vectoresi. Adicin (mtodo del tringulo)Al sumar dos vectores A y B, primero sedibuja A y a continuacin se dibuja B,procurando mantener las proporciones,luego el origen de A se une con el final deB (punta de la flecha).

    La suma es conmutativa.ii. Multiplicacin de un vector por unescalarAl multiplicar un vector por un escalar, elresultado es un vector, este vector tiene lamisma direccin del original, si el escalares distinto de 1, su mdulo vara. Susentido depende del signo del escalar, siste es positivo su sentido es el mismo deloriginal y si el escalar es negativo, elsentido es contrario al del original.En los siguientes ejemplos, los vectoresa, b y c, son los vectores originales loscuales son multiplicados por 3 y -1/2,respectivamente:

    iii. SustraccinSe procede como en la suma, es decir,para obtener A B, se procede a efectuarla operacin A + (-B) obtenindose as unasuma de dos vectores.

    La sustraccin no es conmutativa

    AY = A sen AX = A cos A

    Ax X

    Ay

    Y

    fig. 3

    3a

    a

    b -12 b

    A AB

    -B

    A + (-B)

    fig. 5

    AB

    A + BA

    Bfig. 4

  • iv. Producto Punto (escalar)El resultado del producto punto es unescalar.

    Propiedades:- el producto punto es conmutativo

    A B = B A.- el producto punto entre dos vectores

    perpendiculares es cero.

    v. Producto Cruz (vectorial)El resultado del producto cruz es un vectorperpendicular al vector A y B.

    Propiedades:- el producto cruz no es conmutativo.- el producto cruz entre dos vectores

    paralelos es cero.

    Nota 1:Un caso especial es la multiplicacin de unvector por -1. Esta operacin correspondea encontrar el vector opuesto o negativode un vector. As, encontrar el opuesto deun vector equivale a hallar otro, que poseaigual magnitud y direccin, pero consentido opuesto. Matemticamente elopuesto de A es -A.

    Nota 2:Dos vectores paralelos de sentido opuestose llaman antiparalelos.

    Sistema Internacional (SI)En 1960, un comit internacionalestableci un conjunto de patrones paraestas magnitudes fundamentales. Elsistema que se acept es una adaptacindel sistema mtrico, y recibe el nombre deSistema Internacional (SI) deunidades.

    Tambin existen Magnitudes Derivadasque se obtienen a partir de lasfundamentales por medio de ecuacionesmatemticas. Como por ejemplo, el reaque es derivada de longitud.

    Nota: en cualquier fenmeno fsico que seanaliza, se deben tener en cuenta lasunidades de medidas con las cuales setrabaja, ya que deben ser compatibles, delo contrario se procede a la conversin deunidades.

    MagnitudesFundamentales Nombre Smbolo

    Longitud metro mMasa kilogramo kgTiempo segundo s

    Intensidad decorriente elctrica ampere A

    Temperatura kelvin KCantidad desustancia mol Mol

    Intensidad luminosa candela Cd

    A

    -A

  • Anlisis Dimensional

    El principio de Fourier o principio dehomogeneidad establece que todaecuacin ser dimensionalmente correctasi los trminos que componen una suma odiferencia son de iguales dimensiones. Esdecir para que una frmula fsica seacorrecta todos los trminos de la ecuacindeben ser iguales dimensionalmente. En elS.I. la unidad de medida de la longitud esm, pero su dimensin es L, la unidad demedida de masa es kg y su dimensin esM, y la unidad de medida del tiempo es s ysu dimensin es T.Ejemplo:Al analizar la ecuacin para determinar laaltura, se observa que todos los trminostienen dimensiones de longitud

    20

    1h = v t + a t2

    Transformacin de UnidadesEn muchas situaciones en Fsica, tenemosque realizar operaciones con magnitudesque vienen expresadas en unidades queno son homogneas. Para que los clculosque realicemos sean correctos, debemostransformar las unidades de forma que secumpla el principio de homogeneidad.Por ejemplo, si tenemos una rapidez queest expresada en km/h y la queremosexpresar en m/s, la debemos dividir por3,6 y as quedar la rapidez en m/s estose debe a lo siguiente:1 km = 1.000 m; para pasar de kilmetroa metro debemos multiplicar por 1.000.1 h = 3.600 s; para pasar de hora asegundo debemos multiplicar por 3.600.

    De lo anterior si tenemos v = 72 km/hpara llevarlo a m/s debemos hacer losiguiente:

    Es decir, 72 km/h es equivalente a20 m/s.PrefijosLas unidades del sistema mtrico utilizanlos mismos prefijos para todas lascantidades. Un milsimo de gramo es unmilgramo, y mil gramos son un kilgramo.Para usar eficientemente las unidades delSI, es importante conocer el significado delos prefijos de la tabla.

    Factor Prefijo Smbolo10910610310210110-110-210-310-6

    gigamegakilohectodecadecicentimilimicro

    GMkhdadcm

    m (m/s) s (m/s2) s2

    v = 72km 1000m 1 m 1 m m = 72 = 72 = 72 = 2036001h 3600s s 3,6 s s1000

  • EJEMPLOS

    1. La suma vectorial de los vectores que se muestran en la figura 6 y que tienen igualmdulo, da como resultado el vector que se muestra en

    A)B)C)D)E) el resultado depende del orden en que se sumen ambos vectores.

    2. En la figura 7 que se forma con los vectores A, B y C, el vector C se obtiene de laoperacin

    A) A + BB) B + AC) B AD) A BE) A 2B

    3. El resultado de la operacin A + B C, donde todos los vectores son de igual magnitudy A es el opuesto de B, es un vector cuya direccin y sentido se muestra en

    A)

    B)

    C)

    D)

    E)

    fig. 6

    B

    C

    A

    fig. 7

    A B C

    fig. 8

  • 4. Respecto al producto punto entre dos vectores se afirma que

    I) el resultado que se obtiene de este producto es otro vector.II) es cero si los vectores son perpendiculares entre s.III) nunca dar como resultado el vector cero.

    Es (son) correcta(s)

    A) solo I.B) solo II.C) solo III.D) solo I y II.E) solo II y III.

    5. De acuerdo a las diferentes relaciones que existen entre las unidades y sustransformaciones es correcto afirmar que

    A) 1 m = 1.000 kmB) 20 m/s = 36 km/hC) 1 m2 = 1.000 cm2D) 1 h = 3.600 sE) 1 cm/s = 3,6 km/h

    6. Suponga que existe y es dimensionalmente correcta la ecuacin P = AGK + HL donde Ase mide en s, G se mide en m2/s, K se mide en 1/m, H se mide en kg/s y L se mideen m s/kg. De acuerdo a los datos dados es correcto que la unidad de medida de lavariable P es

    A) sB) m/sC) mD) m kgE) m2

  • PROBLEMAS DE SELECCIN MLTIPLE

    1. El vector -C se muestra en la figura 1, entonces el vector 2C es el que se muestra en

    A)B)C)D)E)

    2. Se forma un tringulo equiltero con los vectores X, Y, Z. La relacin que es correctaentre ellos es

    A) Z = -YB) X = YC) X + Y + Z = 0D) X + Z = YE) Z Y = X

    3. La diferencia vectorial X Y, donde los vectores X e Y son los mostrados en la figura 3,da como resultado un vector cuya direccin y sentido es

    A)B)C)D)E)

    fig. 1

    -C

    fig. 2X

    YZ

    fig. 3

    X Y

  • 4. La unidad de energa en el SI es el Joule, esta unidad se puede descomponerfinalmente en kg m2/s2. Si las dimensiones de longitud, masa y tiempo sonrespectivamente L, M, T, cul es la dimensin de energa?A) ML2/T2B) M/L2T2C) ML/T2D) ML2T2E) ML

    5. Dados los vectores A, B, C y D, de igual mdulo, con A antiparalelo a C y Bantiparalelo a D, (ver fig. 4), entonces si A es perpendicular a D, el vector(A + B) + (C + D) es el vector

    A)

    B)

    C)

    D)

    E) cero

    6. Los mdulos de los vectores A, B, C y D son, respectivamente 20, 25, 12 y 10. Si en lafigura 5 los vectores son horizontales y verti