Introduccion a La Mecanica Del Medio Continuo

download Introduccion a La Mecanica Del Medio Continuo

of 23

  • date post

    08-Jul-2015
  • Category

    Documents

  • view

    918
  • download

    4

Embed Size (px)

Transcript of Introduccion a La Mecanica Del Medio Continuo

Matemticas Especiales

Daniel H. Cortes C.

Introduccin a la Mecnica del Medio Continuo

IntroduccinLos materiales metlicos, comnmente usados en ingeniera, poseen estructuras moleculares o cristalinas muy bien definidas. El acero posee una serie de estructuras cristalinas dependiendo de la fase que se considere. Por ejemplo, la fase tiene una estructura cristalina cbica centrada en el cuerpo, lo que indica que los tomos que conforman el material estn organizados en cubos en los que ocho tomos estn ubicados en las esquinas y uno en el centro. Si se analiza esta organizacin atmica, es claro que existen espacios vacos en el interior del cubo, por lo tanto, se puede afirmar que desde el punto de vista microscpico todos los materiales son discontinuos. Afortunadamente, la escala de los objetos normalmente construidos de materiales como el acero es muy superior a la escala atmica. Por consiguiente, es vlido suponer que la materia est totalmente distribuida al interior del volumen que ocupa el cuerpo. El modelo de material continuo no slo es utilizado para ignorar la naturaleza discreta de la materia, tambin se utiliza para modelar el comportamiento mecnico de materiales que no son continuos incluso a escala macroscpica. Por ejemplo, esta suposicin se puede aplicar a materiales granulares como el concreto, o inclusive la arena, cuyas discontinuidades trascienden la escala microscpica. Otro campo donde el concepto de material continuo ha tenido un gran xito es en el anlisis mecnico de materiales bifsicos, como los suelos, en donde se considera que tanto la fase slida porosa como el fluido intersticial ocupan simultneamente el volumen del cuerpo. En este captulo slo se tratar lo que concierne a las matemticas fundamentales para el estudio de la mecnica del medio continuo. Especficamente, notacin compacta y notacin indicial, vectores y valores propios, transformacin de coordenadas y teoremas de Gauss y Stokes.

Repaso de lgebra LinealEn esta seccin se realizar un repaso de los conceptos fundamentales del lgebra lineal, tales como operaciones de vectores y matrices. Se supone que el estudiante ha tomado un curso de lgebra lineal en sus primeros semestres, por lo tanto debe estar familiarizado con

1

Matemticas Especiales

Daniel H. Cortes C.

los conceptos expuestos en este resumen. Algunas demostraciones sern omitidas, las cuales pueden ser consultadas en textos especializados. Matrices y Vectores Una matriz m x n es un arreglo ordenado de nmeros, que consta de m filas y n columnas, y se representa de la siguiente manera:

A11 A A = 21 M A m1

A12 A22 M Am 2

L A1n L A2 n , O M L Amn

(1.1)

donde Aij es uno de los elementos de la matriz que est ubicado en la i-sima fila y la jsima columna. En este caso el ndice i tomar valores de 1, 2,.. , m y el ndice j tomar los valores de 1, 2,.. , n. En esta seccin las matrices y vectores tendrn una barra en la parte inferior para diferenciarlos de otras entidades matemticas. Las letras maysculas se usarn para matrices y las letras minsculas para vectores. Muchos problemas en ingeniera se manejan con matrices 3x3 y vectores 1x3 o 3x1. Por lo tanto, los conceptos mostrados en esta seccin se utilizarn slo matrices y vectores de este tamao. Adems, para el caso de vectores los ejes coordenados x, y y z se reemplazaran por 1, 2 y 3, respectivamente. Los vectores son arreglos ordenados de nmeros o funciones escalares que poseen usualmente tres componentes organizados en una columna o una fila. Segn el tipo de organizacin los vectores reciben los nombres de vectores columna o fila:

a = (a1 , a 2 , a3 ) ,

a1 a = a2 . a 3

(1.2)

Los vectores representan cantidades fsicas que requieren tanto de magnitud como direccin para su completa definicin. La velocidad y la fuerza son ejemplos de entidades fsicas representadas mediante vectores. La operacin ms bsica entre vectores es la adicin. La suma de los vectores a y b es un vector que parte desde el punto inicial del vector a y llega hasta el punto final del vector b cuando estos vectores (a y b) estn ubicados cabeza con cola (Figura 1.1).

2

Matemticas Especiales

Daniel H. Cortes C.

Figura 1.1 Adicin de vectores Las componentes del vector suma c pueden obtenerse mediante la suma de las componentes de los vectores a y b.

El producto punto o producto escalar est definido como la multiplicacin de las magnitudes de los vectores y el coseno del ngulo que forman:

a b = a b cos .El producto punto entre vectores es conmutativo y tambin es distributivo, es decir:

(1.3)

a ( b + c) = a b + a c .

(1.4)

El producto cruz o producto vectorial da como resultado un vector de magnitud igual a la multiplicacin de las magnitudes y el seno del ngulo entre los vectores.

c = a b = a b sen .

(1.5)

El vector resultante del producto cruz, c, es perpendicular a los vectores a y b y sigue la regla de la mano derecha (Figura 1.2).

Figura 1.2 Producto vectorial

La multiplicacin de una matriz y un vector columna se realiza multiplicando uno a uno los elementos de las filas de la matriz y del vector: A11 d = A b = A21 A 31 A12 A22 A32 A13 b1 A11b1 + A12 b2 + A13b3 A23 b2 = L , b A33 3 L

(1.6)

en donde es claro que los componentes del vector d se pueden expresar mediante la siguiente ecuacin:

3

Matemticas Especiales di =

Daniel H. Cortes C.

k =1

Aik bk .

3

i = 1, 2, 3.

(1.7)

De forma similar las componentes de la matriz C, resultado del producto entre las A y B, se pueden expresar mediante la siguiente ecuacin: Cij = Matrices Especiales Una matriz es simtrica si cumple que:

k =1

Aik Bkj .

3

i , j = 1, 2, 3

(1.8)

A = A ,T

(1.9)

y antisimtrica si cumple que:

A = A ,T

(1.10)

donde AT es la transpuesta de la matriz A. Cabe notar que debido a la definicin de la matriz antisimtrica, los elementos de su diagonal deben ser cero. La matriz identidad se representa mediante el smbolo I y est compuesta por unos en la diagonal y ceros fuera de ella:

1 0 0 I = 0 1 0 . 0 0 1 Una matriz ortogonal es la que cumple la siguiente condicin:

(1.11)

Adonde A-1 es la inversa de la matriz A.

T

= A ,

1

(1.12)

Vectores y Valores Propios de una MatrizEn mecnica del medio continuo y en muchos otros problemas de ingeniera es comn encontrarse con sistemas de ecuaciones algebraicas del tipo:

A x = x ,

(1.13)

4

Matemticas Especiales

Daniel H. Cortes C.

donde A es una matriz 3 x 3 y x y son un vector y un escalar desconocidos. La ecuacin (1.13) puede escribirse de la siguiente forma:

( A I) x = 0 .

(1.14)

Para no obtener una solucin trivial, es decir que todas las componentes del vector x sean cero, es necesario que se cumpla la siguiente condicin:

det(A I) = 0 .

(1.15)

Al desarrollar este determinante se obtiene un polinomio en de orden 3 llamado polinomio caracterstico. Las tres races del polinomio caracterstico ( 1 , 2 , 3 ) se conocen como valores propios de la matriz A. El polinomio caracterstico se puede escribir en trminos de los valores propios de la siguiente manera: det(A I) = (1 )(2 )(3 ) . Si en la ecuacin anterior el parmetro se hace igual a cero, se obtiene: det(A) = 1 2 3 . (1.17)

(1.16)

Para cada uno de valores propios el sistema de ecuaciones (1.14) se resuelve para encontrar un vector propio. Por ejemplo para = 1 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones:

(A 1 I) x = 0 ,

(1.18)

el cual, tiene como solucin el vector columna x(1), donde este vector se conoce como el vector propio de la matriz A asociado al valor propio 1. Tanto 1 como x(1) cumplen que:

Ax

(1)

= 1 x

(1)

(1.19)

Ahora supngase que A es una matriz simtrica y que 1, que es una de las races del polinomio caracterstico, puede ser un nmero complejo. En el caso en que 1 sea complejo su conjugado 1 tambin es solucin del polinomio caracterstico, por lo tanto, para 1 se cumplira que:Ax(1)

= 1 x

(1)

.

(1.20)

Si se transpone cada trmino de la ecuacin anterior y aplicando la propiedad de simetra de la matriz A se obtiene:

5

Matemticas Especialesx (1)T

Daniel H. Cortes C. A T = x (1)T

A = 1 x (1) .

T

(1.21)

Multiplicando por la derecha ambos trminos de la ecuacin anterior por x(1) se obtiene:x(1) T

Ax

(1)

= 1 x

(1)

T

x

(1)

.

(1.22)

Mediante el uso de la ecuacin (1.19), la ecuacin anterior se transforma en:x (1)T

x (1) 1 = 1 x (1)

T

x (1) ,

(1.23)

esta ecuacin se puede rescribir de la siguiente manera:

(

1

1 x

)

(1)

T

x

(1)

= 0.

(1.24)

Como los vectores propios de la ecuacin anterior son soluciones no triviales de las ecuaciones (1.19) y (1.20), el producto punto entre estos vectores generalmente es diferente de cero. Por lo tanto, para satisfacer la ecuacin (1.24) se debe cumplir que 1 = 1 . Esta condicin implica que la parte imaginaria de estos vectores propios debe ser cero. En conclusin los valores propios de una matriz simtrica son nmeros reales. Por otra parte, si se transpone cada trmino de la ecuacin (1.19) y se multiplica por la derecha por el vector x(2) se obtiene:

xque es equivalente a:

(1) T

Ax

(2)

= 1 x

(1) T

x

(2)

,