Guía para el Curso de Cálculo Diferencial - cemati.com · Instituto Tecnológico de Tijuana...

Click here to load reader

  • date post

    30-Aug-2018
  • Category

    Documents

  • view

    216
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Guía para el Curso de Cálculo Diferencial - cemati.com · Instituto Tecnológico de Tijuana...

  • Instituto Tecnolgico de Tijuana

    Subdireccin Acadmica

    Gua para el Curso deClculo Diferencial

    Autores:

    Marisela Castillo LpezEnrique Comer Barragn

    Luis Alberto Lomel BeherendtJ. Jess Luna Gonzlez

    Jorge Luis Herrera ArellanoGabriela Martnez Mendvil

    Felipe Ramrez Romero

    Versin preliminar 5 (15 Julio 2011)

    OwnerDraft

  • Introduccin

    El Instituto Tecnolgico de Tijuana bajo el Programa de Apoyo a la For-macin Profesional de ANUIES ha implementado el Programa de Desarrollode Competencias Bsicas mediante cinco cursos que se llevan a cabo duranteel Semestre Cero. Para continuar con el desarrollo de las competencias en elalumno se ha elaborado esta Gua para el Curso de Clculo Diferencial, conel fin de apoyar al alumno en el desarrollo de las competencias matemticas.Dicho proyecto se extender en los prximos semestres a los cursos de ClculoIntegral y Fsica I. El programa sigue un enfoque de competencias y la guaayuda al estudiante a que vaya adquiriendo los conocimientos, habilidades yactitudes con el fin de que desarrolle dicha competencia.

    En cada unidad se enuncia la competencia general de la unidad y las com-petencias especficas que se deben asimilar. Se presentan los conceptos es-enciales, las propiedades principales, ejemplos resueltos y una lista de ejer-cicios que se debern realizar para adquirir la competencia. De esta forma,el alumno cuenta con un auxiliar de estudio que lo lleva de una manera sis-temtica a que vaya realizando poco a poco y con paso seguro su formacin.Recordemos que la competencia en matemticas se logra con la prctica diariay que cada vez se puede llegar a un nivel mayor de competencia. Debemosmencionar que esta gua no es un compendio completo del material del curso,para eso tenemos los libros de referencia, sino ms bien un auxiliar con lospasos necesarios para aprender el material con un enfoque en competencias.

    En los conceptos y definiciones se analizan las ideas centrales de cadaunidad, y se da una explicacin intuitiva para que se comprendan y ademsse complementa con ejemplos que ilustran estas ideas con el fin de llegar adominar la competencia deseada. Por ejemplo, en la Unidad 1 se da una expli-cacin muy simple del axioma del supremo que es un tema que todo mundoevade porque dicen que: "los alumnos no entienden"; sin embargo, este esun concepto fundamental que debe inclurse para comprender el concepto denmero y el concepto de continuidad, que es la base estructural del programade Clculo Diferencial. En la Unidad 3, se presenta un anlisis completo dellmite de un cociente con una tabla de los nueve casos y ejemplos de cada unode ellos y en la Unidad 5 se presentan ejemplos que ilustran el anlisis delcomportamiento de una funcin mediante un procedimineto de cuatro pasos.

    Finalmente se incluyen exmenes tipo de cada una de las unidades paraque el alumno practique con anticipacin a la aplicacin de los exmenes es-critos. De esta forma se ayuda de una manera ms eficiente a las necesidadesacadmicas del alumno. Con esta gua maestro y alumno pueden auxiliarsepara el estudio de los temas y la realizacin de los trabajos y las tareas delcurso.

    Los ejercicios recomendados son del libro: [Thomas] Clculo, una variable,Undcima Edicin, de George B. Thomas Jr., Editorial Pearson, Addison Wes-

    ii

  • ley, pero por supuesto se pueden asignar tambin problemas de otro libro declculo que cumplan con el propsito y el nivel requerido.

    Competencia del cursoResuelve problemas que involucran el anlisis, modelado y aplicacin

    de la razn de cambio entre dos variables.

    iii

  • Contenido

    1. Nmeros Reales. 11.1. Definiciones y propiedades bsicas . . . . . . . . . 21.2. Conjuntos de Nmeros: . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Intervalos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 1 . . . . . 91.13. Bibliografa Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2. Funciones. 112.1. Definicin de funcin. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Translacin de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Examen escrito propuesto de la Unidad 2 . . . . . 262.10. Bibliografa para la Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . 27

    3. Lmites y Continuidad. 293.1. Lmite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Lmite infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Asntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  • 3.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 3 . . . . . 363.8. Bibliografa para la Unidad 3 . . . . . . . . . . . . . 37

    4. Derivadas. 394.1. Definicin de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Razn de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4. Diferentes notaciones para la Derivada . . . . . . . 414.5. Frmulas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. lgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8. Derivada de una Funcin Inversa . . . . . . . . . . 424.9. Teorema de diferenciabilidad y continuidad . . . 424.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 4 . . . . . 454.13. Bibliografa para la Unidad 4 . . . . . . . . . . . . . 46

    5. Aplicaciones de la Derivada. 475.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3. Recta Tangente y Normal . . . . . . . . . . . . . . . 515.4. Anlisis de Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5. Solucin de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . 59

    5.5.1. Problemas de Valores Extremos. . . . . . . . 595.5.2. Problemas de Razones Relacionadas. . . . . 60

    5.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 5 . . . . . 615.8. Bibliografa de la Unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . 62

    6. Anexos 636.1. Temario de programa oficial del curso . . . . . . . 63

    v

  • 1 NMEROS REALES.

    1. Nmeros Reales.

    Competencia de la Unidad 1Resuelve desigualdades de una variable y representa su solucin con

    lenguaje matemtico, con lenguaje usual y en forma grfica.

    Competencias cognitivas Competenciasprocedimentales

    Competenciasactitudinales

    Conoce los ax-iomas de losnmeros reales.

    Identifica los difer-entes tipos denmeros.

    Conoce laspropiedades dela igualdad y lasdesigualdades.

    Conoce el mtodode puntos deseparacin pararesolver desigual-dades.

    Resuelve desigual-dades lineales deuna variable.

    Resuelve desigual-dades cuadrticasde una variable.

    Resuelve desigual-dades lineales convalor absoluto.

    Aplica el mtodode puntos deseparacin pararesolver desigual-dades.

    Trabaja en equipo.

    Respeta y valorael trabajo de losdems.

    Es honesto en sutrabajo.

    Justifica los pro-cedimientos alge-braicos relacionn-dolos con axiomasy propiedades.

    Es responsable desu aprendizaje.

    1

  • 1.1 Definiciones y propiedades bsicas 1 NMEROS REALES.

    Competencias Especficas de la Unidad 1

    Conoce los axiomas de los nmeros reales.

    Justifica los procedimientos algebraicos con axiomas ypropiedades.

    Conoce y distingue los diferentes conjuntos de nmeros.

    Resuelve desigualdades lineales de una variable.

    Resuelve desigualdades cuadrticas de una variable.

    Resuelve desigualdades racionales con numerador y denomi-nador factorizable.

    Resuelve desigualdades lineales con valor absoluto.

    Conoce y aplica las propiedades de la igualdad y de las desigual-dades.

    Conoce y aplica el mtodo de puntos de separacin para resolverdesigualdades de una variable.

    1.1. Definiciones y propiedades bsicas

    Una descripcin de los nmeros reales se encuentra en las notas de Razon-amiento Matemtico del Semestre Cero, aqu transcribimos lo esencial, y serecomienda, en caso necesario, acudir a los apuntes del curso.

    Los Nmeros reales son un conjunto con dos operaciones adicin y multi-plicacin, (R,+,) que cumplen las siguientes propiedades:

    Propiedades Bsicas de los Nmeros Reales:

    Propiedad Enunciado Formal Forma ReducidaCerradura de la Suma x, yeR x + yeR + es Operacin Binaria

    Cerradura de la Multiplicacin x, yeR x yeR * es Operacin BinariaAsociativa de la Suma a + (b + c) = (a + b) + c Reacomodo

    Conmutativa de la Suma a + b = b + a ReacomodoConmutativa de la Multiplicacin a b = b a Reacomodo

    Elemento Inverso Aditivo a + (a) = 0 CancelacinElemento Neutro Aditivo a + 0 = a Cancelacin

    Elemento Inverso Multiplicativo a (a1) = 1 CancelacinElemento Neutro Multiplicativo a 1 = a CancelacinAsociativa de la Multiplicacin a (b c) = (a b) c Dilema del Mosquetero

    Distributiva a (b + c) = a b + a c Dilema del Mosquetero

    Resta y Divisin: Restar es sumar el inverso aditivo y dividir es multiplicarpor el inverso multiplicativo.

    a b = a + (b), a/b = a b1

    2

  • 1 NMEROS REALES. 1.2 Conjuntos de Nmeros:

    1.2. Conjuntos de Nmeros:

    Enteros Positivos: N+ = {1, 2, 3, ...}Nmeros Naturales: N = {0, 1, 2, 3, ...}Enteros: Z = {...,3,3,1, 0, 1, 2, 3, ...}

    Racionales: Q = { ab|a, b Z, b 6= 0}

    Irracionales: Ir = {a R | a / Q}

    1.3. Intervalos:

    Un intervalo es un conjunto de nmeros que puede ser descrito como.

    (a, b) = {x R | a < x < b}, intervalo abierto.[a, b] = {x R | a x b}, intervalo cerrado.(a, b] = {x R | a < x b}[a, b) = {x R | a x < b}(a,+) = {x R | x > a}[a,+) = {x R | x a}(, b) = {x R | x < b}(, b] = {x R | x b}

    1.4. Igualdad

    La igualdad es una relacin de equivalencia.a = a Reflexivaa = b b = a Simtricaa = b, b = c a = c Transitiva

    que adems cumple las siguientes propiedades

    i) Aditiva: a = b a + c = b + cii) Multiplicativa: a = b a c = b ciii) Operador: a = b, f una funcin f (a) = f (b)

    1.5. Axiomas de orden

    Existe un conjunto de nmeros reales R+, llamado conjunto de los nmerospositivos el cual cumple las tres propiedades siguientes.

    Axioma 1. a, b R+ a + b, a b R+, la suma y el producto de dosnmeros positivos es positivo.

    Axioma 2. a 6= 0 a R+ o a R+, Ley de Tricotoma.Axioma 3. 0 / R+

    3

  • 1.6 Desigualdades 1 NMEROS REALES.

    1.6. Desigualdades

    a < b signi f ica que b a R+

    Propiedades de las Desigualdades:

    a < b, b < c a < c Propiedad Transitivaa < b a + c < b + c, Propiedad Aditivaa < b, c > 0 a c < b ca < b, c < 0 a c > b c, Propiedades Multiplicativasa, b R+ a = b, a < b, o a > b, Ley de Tricotoma

    1.7. Valor Absoluto

    |a| =

    {a a 0a a < 0

    Propiedades de Desigualdades con Valor Absoluto:

    Si a > 0, |x| < a a < x < aSi a > 0, |x| > a x > a o x < a

    1.8. Densidad

    x1 < x2 y tal que x1 < y < x2. O sea que dados dos nmeroscualesquiera, siempre hay otro en medio; lo que quiere decir que hay unacantidad tan grande de nmeros reales que vindolos como puntos en la rectanumrica entre dos nmeros siempre hay una cantidad infinita de nmerosentre ellos.

    1.9. Axioma del Supremo

    Dado un conjunto cualquiera de nmeros que est limitado superiormente,simpre tiene una cota superior mnima. Lo podemos interpretar como "no hayhuecos" entre dos nmeros reales. Para poder entender esto consideremos alos nmeros racionales, si los asociamos con puntos en una recta siempre hayuna cantidad de puntos en la recta que no son racionales, o sea que si nuestrouniverso fueran los racionales, habra hoyos en la recta; sin embargo, con losnmeros reales se "llena" completamente la recta y tenemos un punto paracada nmero real y un nmero real para cada punto.

    4

  • 1 NMEROS REALES. 1.10 Ejemplos

    1.10. Ejemplos

    Resolver las siguientes desigualdades:

    Ejemplo 1. 3(1 2x) + 12 4(5x 1) 1

    3Estrategia: 1. Efectuar operaciones (Propiedades: Ley del Mosquetero, Rea-

    comodo, Suma de Fracciones). 2. Utilizar la propiedad aditiva de la desigual-dad y cancelacin para dejar un trmino solo con x en la parte izquierda y unnmero solo del lado derecho. 3. Utilizar la segunda propiedad multiplicativade la desigualdad para resolver para x (dejar sola x). 4. Graficar y escribir larespuesta con un intervalo.

    3 6x + 12 20x 4 1

    3

    6x + 72 20x 13

    3

    6x + 72 7

    2 20x 13

    3 7

    2

    6x 20x 476

    6x 20x 20x 476 20x

    26x 476

    26x26

    47626

    x 47156

    En este ltimo paso de utiliz la divisin de fracciones (Ley del Taco)

    Intervalo [ 47156 ,+)

    Grfica

    5

  • 1.10 Ejemplos 1 NMEROS REALES.

    Ejemplo 2. 23 2 + 3(4x 1) 7

    3Estrategia: 1. Efectuar operaciones (Propiedades: Ley del Mosquetero, Rea-

    comodo, Suma de Fracciones). 2. Utilizar las propiedades aditiva y multiplica-tiva de la desigualdad y Cancelacin para dejar x sola en el trmino medio. 3.Graficar y escribir la respuesta con un intervalo.

    23 2 + 12x 3 7

    3

    23 12x 1 7

    3

    23+ 1 12x 1 + 1 7

    3+ 1

    13 12x 10

    3

    13

    12 12x

    12

    103

    12

    136 x 5

    18

    Intervalo [ 136 ,518 ]

    Grfica

    Ejemplo 3.2x + 1

    x2 + x 20 0

    Estrategia: 1. Encontramos los puntos de separacin de la desigualdad(igualando a cero numerador y denaminador y resolviendo las ecuacionespara x). 2. Graficamos los valores resultantes y encontramos si la expresin dela izquierda es positiva o negativa en cada unos de los intervalos obtenidos. 3.Los intervalos que cumplan con la desigualdad son la solucin. 4. Escribimosla respuesta en forma de desigualdades y con intervalos.

    2x + 1 = 0 x2 + x 20 = 0

    x =12

    x = 5 x = 4

    6

  • 1 NMEROS REALES. 1.10 Ejemplos

    x 2x+1x2+x20 0-6 Negativo-1 Positivo0 Negativo5 Positivo

    Por lo que tenemos

    Intervalo (,5) (5, 12 ) (12 , 4) (4,+)

    Negativo Positivo Negativo Positivo

    Y la respuesta es

    x < 5 o 12 x < 4

    Intervalos (,5) [12 , 4)

    O sea que la solucin son los puntos menores que 5, junto con los queestn entre 1

    2y 4 incluyendo 1

    2.

    Grfica

    Ejemplo 4.x 5

    4x 1 43

    Estrategia: 1. Utilizamos la propiedad aditiva de la desigualdad para dejar0 en la parte derecha. 2. Se realizan operaciones para dejar una sola fraccinen el lado izquierdo. 3. Se resuelve igual que el anterior.

    x 54x 1

    43 4

    3 4

    3

    3(x 5) 4(4x 1)3(4x 1) 0

    3x 15 16x + 43(4x 1) 0

    13x 113(4x 1) 0

    13x 11 = 0 3(4x 1) = 0

    7

  • 1.10 Ejemplos 1 NMEROS REALES.

    x =1113

    x =14

    x x54x1 43

    -1 Falso0 Verdadero1 Falso

    Por lo que tenemos

    Intervalo (,1113) (1113 ,

    14) (

    14 ,+)

    Falso Verdadero Falso

    Intervalo [1113 ,14)

    1113 x < 1

    4

    Grfica:

    Ejemplo 5. |6x 3| 4

    Estrategia: 1. Se aplica el teorema de desigualdades con valor absoluto yse descompone en dos desigualdades. 2. Se resuelve cada una de ellas y comoes el caso tipo O se unen las respuestas. 3. Se grafica y se da la respuesta conintervalos.

    6x 3 4 o 6x 3 4

    6x 3 + 3 4 + 3 o 6x 3 + 3 4 + 3

    6x 7 o 6x 16x6 7

    6o

    6x6 1

    6

    x 76

    o x 16

    Intervalos (,16 ] [76 ,+)

    8

  • 1 NMEROS REALES. 1.11 Ejercicios

    Grfica

    1.11. Ejercicios

    [Thomas] P. 8 # 6,7,9,10,11,12,23,25,27,31,33,34

    1.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 1

    Resuelva las siguientes desigualdades:

    1. 4 2(3x + 1) 3(x 1) + 23

    3 3(2x 1) 2(x 2) 13

    3 2(5 3x) 3(x 2) 23

    5 3(x + 1) 2(x 1) 13

    2.x2 7x + 6

    2x 1 0x2 5x + 4

    2x + 3 0

    x2 5x + 42x + 1

    0 x2 7x + 6

    2x 3 0

    3.x 7

    2x + 5 3

    4x 3

    4x 1 53

    x 62x + 3

    35

    x 54x 1

    43

    4. |3x 2| 52

    |4x 1| 32

    |5x 1| 32

    |2x 3| 52

    9

  • 1.13 Bibliografa Unidad 1 1 NMEROS REALES.

    5. |2x 5| 4 |3x 2| 3

    |2x 3| 7 |3x 5| 2

    1.13. Bibliografa Unidad 1

    [Thomas] Clculo, una variable, Undcima Edicin; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.

    [Purcell] Clculo, Novena Edicin; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.

    [Larson] Clculo 1 de una variable, Novena Edicin; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.

    [Apostol] Calculus, Segunda Edicin; Tom M. Apostol; Editorial Revert.

    10

  • 2 FUNCIONES.

    2. Funciones.

    Competencia de la Unidad 2

    Reconoce y grafica las principales funciones de variable real.

    Competencias cognitivas Competenciasprocedimentales

    Competencias actitudinales

    Conoce la defini-cin formal de fun-cin.

    Identifica los difer-entes tipos de fun-ciones.

    Identifica los val-ores importantesen la grfica deuna funcin.

    Realiza opera-ciones con fun-ciones.

    Elabora la grficade una funcin.

    Encuentra el do-minio y el rango deuna funcin.

    Modela fenmenosde la vida real conlas funciones.

    Trabaja en equipo

    Relaciona el con-cepto de funcincon diferentessituaciones y con-textos.

    Es responsable desu aprendizaje.

    Reflexiona sobrelos resultados enel modelado de unproblema.

    Interpreta situa-ciones del mundoreal utilizandoel concepto defuncin.

    11

  • 2.1 Definicin de funcin. 2 FUNCIONES.

    Competencias Especificas de la Unidad 2

    Conoce la definicin formal de funcin.

    Identifica los diferentes tipos de funciones.

    Encuentra el dominio y el rango de una funcin.

    Modela fenmenos de la vida real con las funciones.

    Utiliza software para graficar funciones.

    Realiza operaciones con funciones.

    Relaciona el concepto de funcin con situaciones reales.

    Reflexiona sobre sus resultados en el modelado de un problema.

    Interpreta situaciones reales utilizando el concepto de funcin.

    2.1. Definicin de funcin.

    Una funcin f es un conjunto de pares ordenados (x,y), cuyo primer ele-mento no se repite. El valor de y es nico para cada x por lo que se puederepresentar y=f(x). O sea que los pares seran (x,f(x)). Tambin podemos vera una funcin como una relacin entre el conjunto A y el conjunto B, y serepresenta por: f A B.

    Es posible entonces leer el valor de f (x) a partir de la grfica de la funcin(Ver Figura 1), es decir f (x) es el valor de la altura (positiva o negativa) delpunto x, dependiendo de la funcin de que se trate.

    12

  • 2 FUNCIONES. 2.2 Dominio.

    2.2. Dominio.

    El conjunto de los primeros elementos de la funcin se llama dominio,DOM( f ) = {x|(x, y) f }.

    2.3. Rango.

    El conjunto de los segundos elementos de la funcin se llama rango,RAN( f ) = {y|(x, y) f }.

    2.4. Tipos de funciones

    Lineal. f (x) = mx + b.

    Cuadrtica. f (x) = ax2 + bx + c.

    Racional Lineal. f (x) =1

    ax + b.

    Racional Cuadrtica. f (x) =1

    ax2 + bx + c.

    Raz Lineal. f (x) =

    ax + b.

    Raz Cuadrtica. f (x) =

    ax2 + bx + c.

    Logartmica. f (x) = k + ln (ax + b).

    13

  • 2.5 Operaciones con funciones. 2 FUNCIONES.

    Exponencial. f (x) = k + eax+b.

    Senoidal. f (x) = k + A sin 2w(x ).

    2.5. Operaciones con funciones.

    Sean f y g funciones, para toda x que pertenezca al dominio tanto de fcomo de g definimos las siguientes funciones:

    ( f + g)(x) = f (x) + g(x)

    ( f g)(x) = f (x) g(x)

    ( f g)(x) = f (x)g(x) .

    ( fg )(x) =f (x)g(x) donde g(x) 6= 0.

    2.6. Translacin de funciones.

    Es interesante ver como despus de que hemos aprendido el comportamientonatural de las funciones, ste puede afectarse cuando se aplican operacionesde suma, resta, multiplicacin y divisin de constantes reales. es decir pode-mos transladar (desplazar) las funciones horizontal y verticalmente a partir delas condiciones siguientes (ver tabla.)

    Desplazamientos Verticales y Horizontales.

    Suponga que c > 0. Representa la grfica de la funcin: y = f (x)y = f (x) + c Transladada una distancia de c unidades hacia arriba.y = f (x) c Transladada una distancia de c unidades hacia abajoy = f (x c) Transladada una distancia de c unidades hacia la derechay = f (x + c) Transladada una distancia de c unidades hacia la izquierda

    Tambin podemos estirar o comprimir una funcin. Esto se logra mul-tiplicando la funcin f (x) o la variable independiente x por una constanteapropiada (ver tabla)

    14

  • 2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos

    Estiramiento, Compresin y Reflexin de la Grfica de una Funcin

    Para c > 0 La grfica de la funcin y = f (x) se:y = c f (x) Estira o dilata verticalmente por un factor de c unidadesy = 1c f (x) Comprime verticalmente por un factor de c unidadesy = f (cx) Comprime horizontalmente por un factor de c unidadesy = f ( xc ) Estira o dilata horizontalmente por un factor de c unidades

    Para c = 1y = f (x) Refleja la grfica con respecto al eje xy = f (x) Refleja la grfica con respecto al eje y

    2.7. Ejemplos

    Funcin Lineal.

    La funcin lineal es de la forma f (x) = mx + b, donde m representa lapendiente (inclinacin) y b representa la interseccin de la recta con el eje y(cuando el valor de x = 0 ) se le llama ordenada en el origen. La pendiente mpuede ser positiva (sube), negativa (baja) o cero (recta horizontal).

    Cuando b = 0 tenemos la funcion f (x) = mx que nos representa unafuncin que pasa por el origen (0, 0). La pendiente viene a ser intuitivamentelo que sube o baja la recta entre lo que avanza.

    m =lo que sube (baja)

    lo que avanza

    si m > 0 la pendiente es positiva.si m < 0 la pendiente es negativa.

    Grfica de la funcin.Para encontrar la grfica de la funcin procedemos con el siguiente algo-

    ritmo.

    Paso 1. Encontramos la interseccin con el eje x para lo cual sustitumosy = 0 en la ecuacin de la funcin.

    Paso 2. Ubicamos el punto calculado en el paso anterior en el eje x.Paso 3. Encontramos la interseccin con el eje y sustituyendo x = 0 en la

    ecuacin y reslovemos para y.Paso 4. Ubicamos el punto calculado en el eje y.Paso 5. Unimos los puntos con una linea, observemos que esta es una linea

    recta.

    Ejemplo 1. Encuentre la grfica de la funcin. y = 2x + 6.Paso 1. Sustituyendo y = 0, tenemos 0 = 2x + 6 resolviendo para x

    tenemos que x = 3.

    15

  • 2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.

    Paso 2. Usando GeoGebra colocamos el punto A(3, 0).Paso 3. Sustituyendo x = 0, encontramos y = 6Paso 4. Usando GeoGebra colocamos el punto B(0, 6).Paso 5. Unimos los puntos A y B.

    Dominio y Rango de la funcin.Esta funcin como podemos observar en la grfica es vlida para todos los

    valores de x, por lo tanto DOM( f ) = D f = (, ), los parentesis indicanque el intervalo es abierto. y el rango RAN( f ) = R f = (, ) es igual aldominio (excepto cuando m = 0, en cuyo caso RAN( f ) = R f = {b} ).

    Funcin Cuadrtica.La funcin cuadrtica tiene la forma general: f (x) = ax2 + bx + c. repre-

    senta una parbola, cuyo caso ms elemental es f (x) = x2 una parbola convrtice en el origen.

    Reconocemos como vrtice el punto que identifica el punto mas bajo, o masalto dependiendo si la parbola abre hacia arriba (bajo) o hacia abajo (alto).

    Las coordenadas del vrtice V(h, k) donde h = b2a y k = f (h), es decir elvalor de k se encuentra sustituyendo en la funcin el valor de h.

    Observando la forma general podemos identificar algunas caractersticasde la grfica de la funcin, es decir:

    El valor de a puede ser

    {a > 0 parabola abre hacia arribaa < 0 parabola abre hacia abajo

    El valor del discriminante b2 4ac puede tener tres casos.b2 4ac > 0 corta en dos puntos al eje xb2 4ac = 0 corta en un punto al eje xb2 4ac < 0 no corta al eje x

    16

  • 2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos

    Grfica de la funcin.De igual manera que en el caso anterior podemos desarrollar un algoritmo

    para encontrar la grfica.

    Paso 1. Encuentre el valor del discriminante.Paso 2. Encontrar intersecciones con los ejes. Proceda de la manera indi-

    cada en la funcin lineal. Observe que al tomar el valor de y = 0, el resultadoes una ecuacin cuadratica que hay que resolver usando la frmula general,donde encontramos dependiendo del valor del discriminante dos o una inter-seccin con el eje x.

    Paso 3. Encuentre las coordenadas del vrtice. Usando las frmulas men-cionadas anteriormente.

    Paso 4. Trace la grfica.

    Ejemplo 2. Graficar f (x) = x2 6x + 8b2 4ac = (6)2 4(1)(8) > 0 tiene dos intersecciones con xx2 6x + 8 = 0 se iguala a cero para encontrar las intersecciones con el eje

    x.(x 4)(x 2) = 0 resolviendo para cada factor se obtienex = 4, x = 2 Dos intersecciones en el eje.Tomando x = 0, tenemos f (0) = 02 6(0) + 8 = 8 la interseccin con y = 8El valor del vrtice:h = (6)2(1) =

    62 = 3

    f (3) = 32 6(3) + 8 = 1 = kLas coordenadas de V son (3,1)

    x y2 03 -14 0

    Dominio y rango de la funcinPara el caso de funciones de este tipo es importante observar que el Dominio siempre va

    a ser todo el eje x, en el caso del Rango la coordenada k del vrtice y hacia adonde abre laparbola lo definen. Para el caso del ejemplo tenemos que D f = (, ), R f = [1, ).

    Raz LinealLa raz lineal como funcin se grafica como una media parbola y depen-

    diendo del valor de a es como esta se abre, ya sea, hacia la derecha (a>0) oizquierda (a

  • 2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.

    contrario el resultado de sustituir el punto escogido es positivo, estar dentrodel dominio de la funcin.

    Paso 3. Definido lo anterior se grafica a partir del punto x y el punto dondeel valor es positivo, se supone que la funcin se contina a lo largo del eje x,hasta el infinito.

    Ejemplo 3. Graficar f (x) =

    3x 6.

    Al resolver para x, 3x 6 = 0 encontramos que x = 2. Ahora escogemosdos puntos 10 y -10 y los sustitumos. f (10) =

    3(10) 6 =

    24 4.9 y

    f (10) =

    3(10) 6 =36 , como se ve al sustituir el valor 10 positivo,

    el resultado de la raz es vlido en R, no as para x = -10. Una vez definidoesto graficamos a partir de (2, 0) pasando tambien por el punto (10, 4.9).

    Funcin Raz CuadrticaDiferente a la raz lineal, la raz cuadrtica se grafica de dos formas, como

    una media hiprbola (a > 0), o cuando el valor de a < 0 da como resultado lagrfica de una media elipse con valor mximo a la mitad de las coordenadasde los puntos de inicio y trmino de la misma.

    Caso (a > 0).Para encontrar los valores de inicio resolvemos ax2 + bx + c = 0 encon-

    trando dos puntos que corresponden a las coordenadas de inicio de las hipr-bolas. Para identificar la tendencia de las grficas tomaremos otros dos val-ores, uno mayor que el punto de inicio de la hiprbola que abre a la derechay el otro menor que el punto de inicio de la hiprbola que abre hacia laizquierda.

    Caso (a < 0).Para encontrar estos puntos procedemos de la misma forma que lo hicimos

    en el caso anterior, es decir resolvemos ax2 + bx + c = 0 encontrando lasraces que definen los valores extremos de la elipse y el punto medio como se

    18

  • 2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos

    mencion anteriormente, es el valor mximo que se obtiene al sustitur en lafuncin el valor medio de los puntos anteriores.

    Ejemplo 4. Graficar la funcin f (x) =

    x2 5x + 6.

    Paso 1. Resolvemos x2 5x + 6 = 0 (x 3)(x 2) = 0 de donde se veque los valores son x = 3 y x = 2. Que corresponden a las coordenadas de lospuntos A y B de la grfica.

    Paso 2. Se seleccionan otros dos puntos arbitrarios en este caso el punto F =(6, 0) y el punto G = (2, 0) encontrando sus correspondientes ordenadas.

    Con x = 6 tenemos f (6) =

    62 5(6) + 6 3.46 encontrando las coorde-nadas del punto D = (6, 3.46)

    Con x = 2 se obtiene f (2) =(2)2 5(2) + 6 4.47 que definen

    las coordenadas del punto C = (2, 4.47). Ver Figura 6.

    El dominio es D f = (, 2][3, ) y el rango es de R f = [0, )

    Ejemplo 5. Graficar la funcin f (x) =x2 5x + 6.

    Paso 1. Resolviendo x2 5x + 6 = 0 = (x + 6)(x 1) = 0 de donde seobtienen las coordenadas de los puntos C = (1, 0) y D = (6, 0)

    Paso 2. El valor medio de estos puede encontrarse con la frmula h = b2a =(5)2(1) =

    52 = 2.5, encontrando la abscisa de A = (2.5, 0) correpondiente

    a un valor de y igual a f (2.5) =(2.5)2 5x + 6 = 3.5 que proporciona la

    ordenada de B = (2.5, 3.5) con estos tres puntos trazamos una media elipse.(Ver Figura 7)

    El valor del dominio es D f = [6, 1] y el rango R f = [0, 3.5]

    19

  • 2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.

    Funcin Racional.

    Esta funcin es de la forma f (x) = N(x)Q(x) con Q(x) 6= 0 , donde los poli-nomios N(x) y Q(x) son de cualquier grado.

    NOTA. Para la graficacin de polinomios N(x) y Q(x) de grado superior ados, se hacen necesarios conceptos que se vern posteriormente en el captulode aplicacin de la derivada, en esta unidad nos concentraremos en dos casos.

    Funcin Racional Lineal y Funcin Racional Cuadrtica.La funcin racional lineal es de la forma f (x) = kax+b con sus dos casos

    ka > 0 y

    ka < 0.

    Para graficar esta funcin necesitamos:Paso 1. Calcular el punto correspondiente a la asntota vertical. Este punto

    es aquel en el que el denominador se hace cero por tanto para calcularlo,igualemos el denominador a cero y resolvamos para x.

    Paso 2. Encontrar los vrtices de la hiprbola; para esto, trazamos la bisec-triz entre las asntotas vertical y horizontal, debido a que el ngulo entre stases 90, la bisectriz es una recta a 45 que pasa por el punto de interseccin delas asntotas. La ecuacin de esta recta, la igualamos con la funcin original,y se resuelve para las xs. Estos puntos los sustitumos en la funcin originalo en la ecuacin de la recta y encontramos las ordenadas.

    Paso 3. Encontrar la interseccion con el eje y.

    Ejemplo 6: Graficar la funcin f (x) = 12x6 . Dondeka > 0.

    La asntota vertical se encuentra en el punto donde 2x 6 = 0 x = 3,veamos la grfica y observemos que este punto correspondiente a A = (3, 0).

    Despues obtenemos la ecuacin de la recta bisectriz, y = x 3 igualandolas funciones para encontrar el punto de interseccin

    12x6 = x 3 cancelando x 3 tenemos

    12x6 x + 3 = 0 tomando denominador comn1x(2x6)+3(2x6)

    2x6 =12x2+6x+6x18

    2x6 = 0 cancelando 2x 6 y multiplicandopor (-1) obtenemos:

    20

  • 2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos

    2x2 12x + 17 = 0 usando la llamada frmula general encontramos quex1 2.29 y x2 3.71, se sustituyen en y = x 3 = 2.29 3 = 0.71 obte-niendose el punto C = (2.29,0.71) el otro punto lo encontramos al sustituiry = 3.71 3 = 0.71, lo que permite encontrar las coordenadas del puntoB = (3.71, 0.71).

    La interseccin con el eje y la encontramos sustituyendo x = 0 en la funcinoriginal.

    f (0) = 12(0)6 =16 = 0.17, encontrando las coordenadas del punto D =

    (0,0.17)Despues de realizar los clculos solo queda determinar el Dominio y Rango

    de la funcin, el dominio son todos los valores del eje x excepto en el puntodonde la funcin se hace indeterminada, es decir la asntota vertical x = 3.Lo mismo sucede para el rango son todos los puntos del eje vertical exceptoen donde tiende a cero. Para este ejemplo el eje de las xs. Quedando D f =(, 3) (3, ) y el rango R f = (, 0) (0, ).

    El caso donde ka < 0 se elabora de manera similar solo que la hiprbolaqueda invertida.

    Funcin Racional Cuadrtica:

    Son de la forma f (x) = kax2+bx+c ; se vern dos casos, similar a la racionallineal ka > 0 y

    ka < 0. Otra condicin es que el discriminante sea positivo en

    ambos casos.El mtodo de solucin es similar al de la funcin racional lineal slo que,

    en este tipo de funciones como el denominador es una funcin de segundogrado, se tienen dos races, por tanto son dos asntotas verticales.

    Ejemplo 7. Graficar la funcin es f (x) = 1x2+x6 .

    Al resolver el denominador igualado a 0, se observa que los valores sonx = 3 y x = 2, los que permiten encontrar los puntos A y B que son los

    21

  • 2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.

    puntos en el eje x, donde cruzan las asntotas verticales. El punto medio dela parte cuadrtica que es el mximo valor, lo obtenemos calculando el puntomedio entre los dos valores que obtuvimos o bien con la frmula xm = b2a =12 = 0.5, la ordenada la obtenemos sustituyendo este valor en la funcin

    original.f (0.5) = 1

    (.5)2+.56 0.16 por lo tanto C = (0.5,0.16).Debido a que encontrar los puntos F, G, H e I, resulta en clculos muy

    complicados se deja como opcional. Observando la grfica podemos ver queD f = (,3) (3, 2) (2, ), el rango es R f = (,0.5)] (0, ) .

    El segundo caso donde ka < 0 se resuelve de manera similar.

    Funcin Logaritmo Natural:

    De la forma f (x) = k + ln(x p) donde k representa el desplazamientovertical y p el desplazamiento horizontal. Tiene como caso ms simple cuandok = p = 0 es decir, f (x) = ln(x) y cuyo dominio es D f = (0, ) y R f =(, ) que el valor para x = 1 es ln(1) = 0 tiene una grfica como lasiguiente:

    22

  • 2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos

    Ejemplo 8. Graficar f (x) = 2 + ln(x 3)

    \cup\cup

    Funcin Exponencial

    De la forma f (x) = k + e(x+p) que de igual manera que en la funcinlogaritmo, la k representa un desplazamiento vertical, hacia arriba si k > 0y hacia abajo si k < 0 y p > 0 un desplazamiento horizontal a la izquierda y ala derecha si k < 0; el dominio de la funcin exponencial es D f = (, ) yel rango es de R f = (k, ). Veamos la siguiente grfica.

    Ejemplo 9. Graficar las funciones f (x) = 3 + ex y f (x) = ex+3

    Ejemplo 10. Funciones definidas por partes.

    El reconocer los tipos bsicos nos ayuda para entender este tipo de fun-ciones, ya que una funcin por partes lo que quiere decir es que es una mezclade varias funciones, es decir sea la funcin:

    23

  • 2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.

    f (x) =

    x + 10 15 x < 3.58x2 3.58 x < 4.259 x 4.25

    Como se observa esta funcin es una combinacin de tres funciones elemet-ales, una recta, una parbola y la funcin constante.

    Funcin constante es aquella en la que el valor definido por f (x) se mantieneconstante en todo el dominio.

    De lo anterior, la grfica de la funcin es:

    El Dominio de la funcin anterior es D f = [15, 3.58) (3.58, ) y elRango R f = [5, 9].

    Funcin Valor Absoluto.

    f (x) = |a| ={

    a, a 0a, a < 0

    en palabras se puede decir que el valor de x es igual a x si el valor espositivo o cero, y si el valor es negativo, se quitan las barras y se antepone unsigno negativo.

    Ejemplo 11. Graficar f (x) = |2x + 3|

    En este caso a = 2x + 3 por tanto si a 0, la funcin es 2x + 3, pero sia < 0, entonces la funcin, se convierte en a = (2x + 3) = 3 2x y paragraficar encontrmos el valor de interseccin con x siendo este x = 32 con estovemos que la grfica es:

    24

  • 2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos

    El dominio de la funcin es D f = (, ) y el rango R f = [0, ).

    Ejemplo 12. Combinar cambios de tamao y reflexiones.

    Dada la funcin f (x) = x4 4x3 + 10, encuentre la grfica si se comprimehorizontalmente por un factor de 2, seguido por una reflexin a travs del ejey.

    Primeramente vemos que la funcin resultante es: y = f (2x) = (2x)44(2x)3 + 10 = 16x4 + 32x3 + 10

    Tambin encontrar la grfica si de comprime verticalmente por un factor de2, seguido por una reflexin a travs del eje x.

    Vemos que la funcin resultante es: y = 12 f (x) = 12 x

    4 + 2x3 5

    25

  • 2.8 Ejercicios propuestos 2 FUNCIONES.

    2.8. Ejercicios propuestos

    [Thomas] P. 26, # 1,3,5,7,8,9,23,24,25,27,29P. 37, # 7,8,9,10,11,19,21,23,25,27P. 45, # 1,3,5,7,9,29,30,31,33,41,42,43,45P. , # 7,9,15,17,19,20,21,22

    2.9. Examen escrito propuesto de la Unidad 2

    Grafique las siguientes funciones

    1. f (x) = 2x2 7x + 1 f (x) = 3x2 5x 1 f (x) = 3x2 7x + 1

    2. f (x) =

    7x2 19x 6 f (x) =

    5x2 + 7x 6 f (x) =

    5x2 + 18x 8

    Grafique las siguientes funciones y encuentre la funcin inversa

    3. f (x) =4

    x 3 f (x) =2

    x 1 f (x) =4

    x 5

    26

  • 2 FUNCIONES. 2.10 Bibliografa para la Unidad 2

    4. f (x) =32+ ln (x 2) f (x) = 5

    3+ ln (x 3) f (x) = 1

    4+ ln (x 2)

    5. f (x) = 1 +23

    sen5x f (x) = 2 +13

    sen7x f (x) = 1 +23

    sen5x

    6. Encuentre f (g(x))

    f (x) = 2 +1

    x 2, g(x) = 2x2 7x + 1

    f (x) = 1 +5

    x 3, g(x) = 3x2 5x 1

    f (x) = 5 +2

    x 1, g(x) = 3x2 7x + 1

    7. Graficar

    f (x) =

    {1 2x, x 02x2 7x + 1, x > 3

    f (x) =

    {3 2x, x 03x2 5x 1, x > 3

    f (x) =

    {2 3x, x 03x2 7x + 1, x > 3

    8. f (x) = |32+ ln (x 2)| f (x) = |5

    3+ ln (x 3)| f (x) = |1

    4+ ln (x 2)|

    2.10. Bibliografa para la Unidad 2

    [Thomas] Clculo, una variable, Undcima Edicin; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.

    [Purcell] Clculo, Novena Edicin; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.

    [Larson] Clculo 1 de una variable, Novena Edicin; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.

    [Stewart] Calculus, Trascendentes Tempranas: Quinta Edicin; James Stew-art; Editorial Thomson.

    27

  • 2.10 Bibliografa para la Unidad 2 2 FUNCIONES.

    28

  • 3 LMITES Y CONTINUIDAD.

    3. Lmites y Continuidad.

    Competencia de la Unidad 3

    Encuentra el lmite de un cociente para cualquiera de los nueve casosy aplica el mtodo adecuado para quitar la indeterminacin.

    Competencias cognitivas Competencias procedimentales Competencias actitudinales

    Conoce y comprendela definicin formalde lmite en base alos conceptos intu-itivos de "arbitraria-mente cerca" y "sufi-cientemente cerca".

    Conoce los princi-pales mtodos paraquitar una indeter-minacin en el cl-culo de un lmite.

    Conoce y comprendela definicin formalde continuidaddesde el punto devista intuitivo yasocindola con elconcepto de lmite.

    Reconoce los difer-entes tipos de dis-continuidad.

    Encuentra el lmitede un cociente.

    Calcula los lmiteslaterales de unafuncin definidaseccionalmente.

    Encuentra el lmiteinfinito de una fun-cin.

    Calcula lmites al in-finito.

    Encuentra las asnto-tas de una funcin.

    Trabajo en equipopara ilustrar los difer-entes tipos de lmites.

    Es responsable de suaprendizaje.

    Integra conceptosconocidos para des-cubrir conceptos deotro nivel.

    Relaciona el conceptode lmite con fen-menos fsicos de lavida diaria.

    29

  • 3.1 Lmite. 3 LMITES Y CONTINUIDAD.

    Competencias Especficas de la Unidad 3

    Conoce y comprende la definicin formal de lmite en base a losconceptos intuitivos de "arbitrariamente cerca" y "suficientementecerca".

    Conoce los principales mtodos para quitar una indeterminacinen el clculo de un lmite.

    Encuentra el lmite de un cociente.

    Calcula los lmites laterales de una funcin definida seccional-mente.

    Encuentra el lmite infinito de una funcin.

    Calcula lmites al infinito.

    Encuentra las asntotas de una funcin.

    Conoce y comprende la definicin formal de continuidad desdeel punto de vista intuitivo y asocindola con el concepto de lmite.

    Reconoce los diferentes tipos de discontinuidad.

    3.1. Lmite.

    El lmite de una funcin se representa como: limxa

    f (x) = L y significa que

    f (x) est "arbitrariamente cerca" de L, cuando x est "suficientemente cerca"de a.

    Definicin formal de lmite: limxa

    f (x) = L significa que

    e > 0, > 0 tal que 0 < |x a| < | f (x) L| < e

    3.2. Continuidad.

    Concepto intuitivo: Una funcin es continua si podemos trazar su grficasin despegar el lpiz del papel.

    Definicin formal de continuidad: Una funcin es continua si e > 0, > 0 tal que |x a| < | f (x) L| < e.

    30

  • 3 LMITES Y CONTINUIDAD. 3.3 Lmite infinito.

    3.3. Lmite infinito.

    limxa

    f (x) = + significa que

    f (x) "crece arbitrariamente", cuando x est "suficientemente cerca" de a.

    Definicin formal de lmite infinito: limxa

    f (x) = + significa que

    N > 0, > 0 tal que 0 < |x a| < f (x) > N

    Lmite al infinito.

    El lmite de una funcin cuando x tiende a + se representa como: limx+

    f (x) =

    L y significa que f (x) est "arbitrariamente cerca" de L, cuando x est "crecelo suficiente".

    Definicin formal de lmite al infinito: limx+

    f (x) = L significa que e >0, M > 0 tal que x > M | f (x) L| < e.

    3.4. Asntota

    Una funcin f tiene una asntota horizontal y = b si limx+

    f (x) = L o

    si limx

    f (x) = L

    Una funcin f tiene una asntota vertical x = a si limxa

    f (x) = + o si

    limxa

    f (x) = . En esto caso los lmites pueden ser laterales.

    3.5. Ejemplos

    Se analiza con generalidad el lmite de un cociente, presentando un mtodopara resolver los casos en que aparece una indeterminacin. El lmite de uncociente lo podemos representar como:

    limxa

    f (x)g(x)

    Primeramente analizaremos los lmites del numerador y del denominador,supongamos que lim

    xaf (x) = N y que lim

    xag(x) = D. Es importante sealar

    que solamente 3 casos son relevantes, cuando los valores de N y D son unnmero diferente de cero, cuando algn valor es cero o cuando es infinito.Obtenemos 9 casos que se resumen en la siquiente tabla:

    31

  • 3.5 Ejemplos 3 LMITES Y CONTINUIDAD.

    N 0 D ND 0 0 IND 0 0 IND

    Las columnas indican el valor del numerador y los renglones los valoresdel denominador, as por ejemplo si el numerador de un cociente tiende a unnmero real cualquiera y el denominador tiende a el cociente tiende a 0,como se ve en el ltimo rengln de la tabla, columnas 1 y 2. La comprobacinde los casos de la tabla es una consecuencia directa de las propiedades yde la definicin de lmite. Nota: La tabla tambin abarca el caso de lmiteslaterales, el smbolo puede significar + o - por lo que tenemos queverificar siempre si el lmite es positivo o negativo.

    A continuacin se presentan ejemplos de casa uno de los casos en la tabla,del 1 al 3 corresponden al primer rengln, del 4 al 6 al segundo y del 7 al 9para el tercero.

    Ejemplo 1: limx2

    x2 x + 32x2 + 1

    Vemos que limx2

    (x2 x + 3) = 5 y que limx2

    (2x2 + 1) = 9 por la tabla, vemos

    que la respuesta es directa utilizando el primer caso.

    limx2

    x2 x + 32x2 + 1

    =59

    Ejemplo 2: limx3

    x2 x 62x 4

    Vemos que limx3

    (x2 + x 6) = 0 , y que limx3

    (2x 4) = 10

    por el segundo trmino del primer rengln en la tabla, vemos que la re-spuesta es directa y el resultado es 0.

    limx3

    x2 x 62x 4 = 0

    Ejemplo 3A: limx

    2x2 + 73 1x

    Vemos que limx

    (2x2 + 7) = + y limx

    (3 1x) = 3

    por el tercer caso del primer rengln de la tabla tenemos

    32

  • 3 LMITES Y CONTINUIDAD. 3.5 Ejemplos

    limx

    2x2 + 73 1x

    = +

    Cuando tenemos el caso de infinito, debemos analizar los signos de lasexpresiones, el caso anterior no fue necesario porque 2x2 + 7 > 0

    Ejemplo 3B: limx

    2 x21x 5

    Vemos que limx

    (2 x2) = y limx

    (1x 5) = 3

    por el tercer caso del primer rengln de la tabla tenemos

    limx

    2 x21x 5

    =

    Ejemplo 3C: limx3

    4 + 1(x3)2

    x2 + 5

    Vemos que limx3

    (4 +1

    (x 3)2) = + y limx3(x2 + 5) = 14,

    por el tercer caso del primer rengln de la tabla tenemos

    limx3

    4 + 1(x3)2

    x2 + 5= +

    Ejemplo 4: limx3

    1 x(x 3)2

    Vemos que limx3

    (1 x) = 2 y limx3

    (x 3)2) = 0, por el primer caso delsegndo rengln de la tabla tenemos que el lmite es infinito, pero como elnumerador tiende a 2 tenemos:

    limx3

    1 x(x 3)2 =

    Ejemplo 5: Indeterminacin00

    . limx5

    2x2 9x 5x2 25

    Vemos que limx5

    (2x2 9x 5) = 0 y limx5

    (x2 25) = 0, Tenemos lo que sellama una indeterminacin y necesitamos quitar dicha indeterminacin paracalcular el lmite. Una forma muy simple es aplicando algn procediminetoalgebraico para encontrar una expresin que sea igual a la funcin en todoslos puntos excepto en el valor de x = 5.

    Factorizamos numerador y denominador y obtenemos que2x2 9x 5

    x2 25 =(2x + 1)(x 5)(x + 5)(x 5) =

    2x + 1x + 5

    , pero este es el primer caso por lo que

    33

  • 3.5 Ejemplos 3 LMITES Y CONTINUIDAD.

    limx5

    2x2 9x 5x2 25 = limx5

    2x + 1x + 5

    =1110

    Ejemplo 6: limx1

    6 + 1(x1)2

    x2 3x + 2Vemos que lim

    x1(6 +

    1(x 1)2 ) = + y limx1(x

    2 3x + 2) = 0, por el tercercaso del segundo rengln de la tabla tenemos que

    limx1

    6 + 1(x1)2

    x2 3x + 2 = +

    Nota: En este caso es muy importante, como ya se mencion, analizar lossignos de las expresiones cerca delvalor al que tiende x. A veces el lmite noexiste porque puede tender a + por un lado y a - por el otro; tambinpuede ser que tienda a cero el denominador con valores positivos por un ladoy negativos por el otro, por lo que debemos de tener mucho cuidado. Cuadoesto sucede debemos de analizar los lmites laterales.

    Ejemplo 7: limx4

    x2 + x 71

    (x4)2

    Vemos que limx1

    (x2 + x 7) = 13 y limx4

    (1

    (x 4)2 = +

    por el primer caso del tercer rengln de la tabla tenemos que

    limx4

    x2 + x 71

    (x4)2= 0

    Ejemplo 8: limx1

    x2 + 3x 51

    (x1)2

    Vemos que limx1

    (x2 + 3x 5) = 0 y limx1

    1(x 1)2 = +

    por el primer caso del tercer rengln de la tabla tenemos que

    limx1

    x2 + 3x 51

    (x1)2= 0

    Nota: En los casos de los ejemplo 7 y 8 no es relevante el signo de lasexpresiones, por qu?

    34

  • 3 LMITES Y CONTINUIDAD. 3.5 Ejemplos

    Ejemplo 9: Indeterminacin

    . limx

    2x3 + 7x + 14x3 + 9

    Vemos que limx

    (2x3 + 7x + 1) = y limx5

    (4x3 + 9) = , Tenemos otra

    indeterminacin y necesitamos quitar dicha indeterminacin para calcular ellmite. Una forma muy simple es aplicando algn procedimineto algebraicopara encontrar una expresin que sea igual, en este caso dividimos por la lavariable a la mayor potencia y obtenemos

    2x3 + 7x + 14x3 + 9

    =2x3+7x+1

    x34x3+9

    x3=

    2 + 7x2 +1x3

    4 + 9x3

    en este caso tenemos que limx

    (2 +7x2

    +1x3

    ) = 2 y limx

    (4 +9x3

    = 4

    Por lo queda como el primer caso, entonces limx

    2x3 + 7x + 14x3 + 9

    =12

    Ejemplo 10: Encuentra las asntotas de la siguiente funcin f (x) =x2 + x 12

    x2 9.

    Asntotas horizontales:

    Primeramente vemos que

    limx+

    x2 + x 12x2 9 = limx+

    x2x2 +

    xx2

    12x2

    x2x2

    9x2

    = limx+

    1 + 1x 12x2

    1 9x2= 1

    por lo que y = 1 en una asntota horizontal.

    Asntotas verticales: Para las asntotas verticales resolvemos la ecuacinx2 9 = 0 , pues queremos obtener un lmite infinito, por la primera columnasegundo rengn de la tabla de lmite de un cociente.

    x2 9 = 0 x = 3 o x = 3

    Analizamos el lmite de la funcin cuando x 3 y cuando x 3

    limx3

    x2 + x 12x2 9 = limx3

    (x 3)(x + 4)(x 3)(x + 3) = limx3

    x + 4x + 3

    =76

    Por lo tanto x = 3 no es una sntota.

    Igualmente

    limx3

    x2 + x 12x2 9 = limx3

    (x 3)(x + 4)(x 3)(x + 3) = limx3

    x + 4x + 3

    =

    Por lo tanto x = 3 es una asntota vertical.

    35

  • 3.6 Ejercicios propuestos 3 LMITES Y CONTINUIDAD.

    3.6. Ejercicios propuestos

    [Thomas] P. 89, # 1,7,11,13,15,17,19-36P. 99, # 15,16P. 113, # 7,8,9,11,13,15,21,23,27,27,29,31,33,35P. 122, # 1,3,5,7,11,17,19,27,31,35P. 133, # 13,15,16,17,19,21,23

    3.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 3

    Encontrar los siguientes lmites.

    1. limx 12

    x2 4x + 1x2 + 3x 7 limx 12

    x2 6x 3x2 + x 5

    2. limx5

    3x2 + 15x3x2 + 16x + 5

    limx4

    3x2 + 13x + 42x2 + 8x

    3. limx2

    x2 2x

    x

    2limx3

    x

    3x2 3x

    4. limx+

    2x2 7x 4x2 8x + 16 limx+

    2x2 5x 3x2 6x + 9

    5. limx0

    3x + sen7xx

    limx0

    sen6x + 4xx

    6. Encuentre las asntotas horizontales y verticales de la funcin

    f (x) =2x2 7x 4x2 8x + 16 f (x) =

    2x2 5x 3x2 6x + 9

    7. Calcule los lmites laterales cuando x 0 y x 1:

    f (x) =

    2 x, x 0

    x, 0 < x < 13 2x2, x 1

    36

  • 3 LMITES Y CONTINUIDAD. 3.8 Bibliografa para la Unidad 3

    3.8. Bibliografa para la Unidad 3

    [Thomas] Clculo, una variable, Undcima Edicin; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.

    [Purcell] Clculo, Novena Edicin; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.

    [Larson] Clculo 1 de una variable, Novena Edicin; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.

    [Spivak] Clculo infinitesimal; Segunda Edicin;Michael Spivak, EditorialRevert.

    37

  • 3.8 Bibliografa para la Unidad 3 3 LMITES Y CONTINUIDAD.

    38

  • 4 DERIVADAS.

    4. Derivadas.

    Competencia de la Unidad 4

    Calcula la derivada de una funcin.

    Competencias cognitivas Competenciasprocedimentales

    Competenciasactitudinales

    Conoce y com-prende la defini-cin formal dederivada.

    Identifica las fr-mulas de derivadasde funciones ele-mentales.

    Conocepropiedades al-gebraicas dederivadas.

    Comprende laregla de la cadena.

    Conoce el conceptode diferencial.

    Encuentra laderivada de unafuncin usando ladefinicin.

    Calcula la derivadade una funcinutilizando fr-mulas, lgebrade derivadas ylgebra elemental.

    Resuelve proble-mas de aproxi-macin utilizandodiferenciales.

    Trabajo en equipo.

    Es responsable desu aprendizaje.

    Honestidad en ensus tareas y traba-jos.

    Reflexiona sobrelas propiedadesalgebraicas yrefuerza susconocimientos delgebra elemental.

    39

  • 4.1 Definicin de Derivada 4 DERIVADAS.

    Competencias Especficas de la Unidad 4

    Conoce y comprende la definicin formal derivada.

    Identifica las frmulas de derivadas de funciones elementales.

    Conoce propiedades algebraicas de derivadas.

    Comprende la regla de la cadena.

    Encuentra la derivada de una funcin usando la definicin.

    Calcula la derivada de una funcin utilizando frmulas, lgebrade derivadas y lgebra elemental.

    Conoce el concepto de diferencial.

    Resuelve problemas de aproximacin utilizando diferenciales.

    Reflexiona sobre las propiedades algebraicas y refuerza susconocimientos de lgebra elemental.

    4.1. Definicin de Derivada

    f (x) = limh0

    f (x + h) f (x)h

    4.2. Razn de cambio

    Si y = f (x) la razn de cambio de y con respecto a x es f (x) =dydx

    4.3. Derivadas laterales

    Derivada por la derecha. f (a+) =lim

    h 0+f (a + h) f (a)

    h

    Derivada por la izquierda. f (a) = limh 0

    f (a + h) f (a)h

    40

  • 4 DERIVADAS. 4.4 Diferentes notaciones para la Derivada

    4.4. Diferentes notaciones para la Derivada

    Si y = f (x), f (x) = Dx f = Dxy =dydx

    = y =d fdx

    = y

    4.5. Frmulas de Derivadas

    1. Dx(k) = 0 2. Dx(x) = 1

    3.Dx(un) = n un1dudx

    4. Dx(ln u) =dudxu

    5. Dx

    u =dudx

    2

    u6. Dx n

    u =

    dudx

    n n

    un1

    7. Dx(eu) = eududx

    8. Dx(au) = au ln adudx

    9. Dx(sin u) = cos ududx

    10. Dx(cos u) = sin ududx

    11. Dx(tan u) = sec2 ududx

    12. Dx(cot u) = csc2 ududx

    13. Dx(sec u) = sec u tan ududx

    14. Dx(csc u) = csc u cot ududx

    15. Dx(arcsin u) =dudx

    1 u215. Dx(arccos u) =

    dudx

    1 u2

    16. Dx(arctan u) =dudx

    u2 + 116. Dx(arccot u) =

    dudx

    u2 + 1

    17. Dx(arcsec u) =dudx

    u

    u2 117. Dx(arccsc u) =

    dudx

    u

    u2 1

    18. Dx(sinh u) = cosh ududx

    19. Dx(cosh u) = sinh ududx

    20. Dx(tanh u) = sech2ududx

    21. Dx(coth u) = csch2ududx

    22. Dx(sech u) = sech u tanh ududx

    23. Dx(csch u) = csch u coth ududx

    41

  • 4.6 lgebra de Derivadas 4 DERIVADAS.

    4.6. lgebra de Derivadas

    Dx(u + v) = Dxu + Dxv Dx(cv) = cDxu

    Dx(uv) = uDxv + vDxu Dx(uv) =

    vDxu uDxvv2

    4.7. Regla de la Cadena

    h(x) = f (g(x)) h(x) = f (g(x))g(x), dydx

    =dydu

    dudx

    4.8. Derivada de una Funcin Inversa

    ( f1)(x) =1

    f ( f1(x))dydx

    =1dxdy

    4.9. Teorema de diferenciabilidad y continuidad

    Si f tiene derivada en x = a entonces f es continua en x = a

    4.10. Ejemplos

    Derivadas por Definicin: Encontrar la derivada utilizando la definicin.

    1. f (x) = 5x + 3

    f (x) = limh0

    f (x + h) f (x)h

    = limh0

    5(x + h) + 3 (5x + 3)h

    =5x + 5h + 3 5x 3

    h=

    5hh

    = 5

    2. f (x) =x

    x 1

    f (x) = limh0

    f (x + h) f (x)h

    = limh0

    x+hx+h1

    xx1

    h= lim

    h0

    (x+h)(x1)x(x+h1)(x1)(x+h1)

    h

    = limh0

    (x + h)(x 1) x(x + h 1)h(x 1)(x + h 1) = limh0

    x2 x + xh h x2 xh + xxh + h2 h

    =h

    h(x 1)(x + h 1) = limh01

    (x 1)(x + h 1) = limh01

    (x 1)(x 1)

    42

  • 4 DERIVADAS. 4.10 Ejemplos

    =1

    (x 1)2

    3. f (x) =

    x

    f (x) = limh0

    f (x + h) f (x)h

    = limh0

    (

    x + h

    x)(

    x + h +

    x)h(

    x + h +

    x)

    = limh0

    x + h xh(

    x + h +

    x)= lim

    h0

    hh(

    x + h +

    x)= lim

    h0

    1x + h +

    x

    =1

    2

    x

    Derivadas por Frmula: Encontrar la derivada utilizando frmulas.

    4. f (x) = 7

    d fdx

    =d

    dx(7) = 0

    5. f (x) = 2e

    d fdx

    =d

    dx(2e) = 0

    6. f (x) = 4x2

    d fdx

    =d

    dx(4x2) = 4 2x21 = 8x

    7. f (x) = 2x4 3x2 + 6x

    d fdx

    =d

    dx(2x4 3x2 + 6x) = 2 4x41 3 2x21 + 6 1x11 = 8x3 6x + 6

    8. f (x) = x5 +34

    x3 + 3x 1

    d fdx

    =d

    dx(x5 +

    34

    x3 + 3x 1) = 5x51 + 34 3x31 + 3 = 5x4 + 9

    4x2 + 3

    9. f (x) = (x2 + 3)(2x3 5)

    f (x) = (x2 + 3)(6x2) + (2x3 5)(2x) = 6x4 + 18x2 + 4x4 10x = 10x4 +18x2 10x

    10. = f (x) =2x2 22x2 + 2

    43

  • 4.10 Ejemplos 4 DERIVADAS.

    ddx

    (2x2 22x2 + 2

    ) =(2x2 + 2)(4x) (2x2 2)(4x)

    (2x2 + 2)2=

    8x3 + 8x 8x3 + 8x(2x2 + 2)2

    =

    16x(2x2 + 2)2

    11. = f (x) =(x + 2)(x2 3x)

    x5

    Primeramente simplificamos la expresin

    f (x) =(x + 2)(x2 3x)

    x5=

    x3 3x2 + 2x2 6xx5

    =x3 x2 6x

    x5=

    x3

    x5

    x2

    x5 6x

    x5=

    1x2 1

    x3 6

    x4= x2 x3 6x4

    Despus derivamos y obtenemos:

    =d fdx

    =d

    dx(x2 x3 6x4) = 2x21 (3)x31 6(4)x41 =

    2x3 + 3x4 + 24x5 = 2x3

    +3x4

    +24x5

    12. Una funcin que no tiene derivada en el origen .

    f (x) =(x + 2)(x2 3x)

    x5

    y = |x| {

    y = x, si x 0 su derivada es yp = 1y = x, si x < 0 su derivada es yp = 1

    13. f (x) =

    x5 + 5

    f (x) =1

    2

    x5 + 5d

    dx(x5 + 5) =

    5x4

    2

    x5 + 5

    14. f (x) = ln (x4 + x2 + 1)

    f (x) =d

    dx (x4 + x2 + 1)

    x4 + x2 + 1=

    4x3 + 2xx4 + x2 + 1

    15. f (x) = sen(x3 1)

    f (x) = sen(x3 1) (3x2) = 3x2 cos(x3 1)

    16. f (x) = etanx+x

    f (x) = etanx+x (sec2x + 1)

    17. f (x) =

    x5 + 5

    44

  • 4 DERIVADAS. 4.11 Ejercicios propuestos

    f (x) =5x4x5 + 5

    18. f (x) = x3 ex2

    f (x) = x3 ex2(2x) + ex

    23x2 = 2x4 ex

    2+ 3x2 ex

    2

    19. f (x) =x + ln x

    x3

    f (x) =(x3)(1 + 1x ) (x + ln x) (3x2)

    (x3)2=

    x3 + x2 3x3 3x2 ln xx6

    =

    x2 2x3 3x2 ln xx6

    =1 2x 3 ln x

    x4

    20. Cul es la razn de cambio del rea del crculo con respecto a su radio.

    Primeramente vemos que la frmula del rea con respecto al radio esA = r2.

    Por lo tanto la razn de cambio deseada es la derivadadAdr

    = 2r.

    4.11. Ejercicios propuestos

    [Thomas] P. 155, # 1,4,6,9,10,11,13,15P. 169, # 1,3,5,7,9,17,21,23,25,27,28,29,30P. 179, # 1,2,3,4,5,9,10,11,12,13P. 201, # 1,3,9,11,13,17,19,27,29,31,37,55,56,57P. 210, # 1,7,19,21,23,25,27,29,3133,37,41,45,47

    4.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 4

    1. Encuentre la derivada por definicin

    f (x) = 5x2 3x + 2

    Calcule la derivada de las siguientes funciones

    2. f (x) =x2 + x

    3x2 5x 2 f (x) =x2 + 4x 5

    4x2 3x

    45

  • 4.13 Bibliografa para la Unidad 4 4 DERIVADAS.

    3. f (x) = arcsec(x2 + 3) f (x) = arcsen(x2 + 1)

    4. f (x) = e3x2+ln x f (x) = e2x

    5ln x

    5. f (x) =

    x5 x2 + 2

    x 4 f (x) =

    x2 7x 2

    x 7

    6. f (x) = ln (5 + sen(7x2 + 1) 2x) f (x) = ln (ex32 + 4 7x)

    7. f (x) = ln (senx + ex4) f (x) = ln (ex

    3+ cosx)

    8.Encuentre la derivada de la funcin dada en forma implcita:

    x2 15y3 + 2x4y2 = y x3 12y2 + 3x3y3 = y

    4.13. Bibliografa para la Unidad 4

    [Thomas] Clculo, una variable, Undcima Edicin; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.

    [Purcell] Clculo, Novena Edicin; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.

    [Larson] Clculo 1 de una variable, Novena Edicin; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.

    [Edwards] Clculo con Geometra Analtica; C. H. Edwards, David E. Pen-ney; Editorial Prentice Hall.

    46

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    5. Aplicaciones de la Derivada.

    Competencia de la Unidad 5

    Interpreta, modela y resulve problemas utilizando derivadas.

    Competencias cognitivas Competencias procedimentales Competencias actitudinales

    Conoce y comprendela definicin de tan-gente a una curva.

    Interpreta las defini-ciones de funcincreciente y decre-ciente.

    Conoce y comprendeel concepto de con-cavidad.

    Comprende ladefinicin formalde velocidad y acel-eracin.

    Conoce las defini-ciones de puntoscrticos, valores ex-tremos y puntos deinflexin.

    Resuleve problemasde movimiento rec-tilneo.

    Encuentra la rectatangente y la rectanormal a una fun-cin diferenciable.

    Encuentra la mono-tonicidad y la con-cavidad de una fun-cin.

    Analiza el compor-tamiento de unafuncin utilizandoderivadas y lmites.

    Grafica una funcinutilizando el anlisisde funciones.

    Resuelve problemasde valores extremos.

    Resuleve problemasde razones de cam-bio relacionadas.

    Trabaja en equipo.

    Es responsable de suaprendizaje.

    Es honesto en sus tar-eas y trabajos.

    Reflexiona sobre lasrazones de cambioentre variables y suimportancia en elmundo moderno.

    Relaciona las razonesde cambio con con-ceptos fsicos paratener una compren-sin ms profunda.

    47

  • 5.1 Definiciones 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    Competencias Especificas de la Unidad 5

    Conoce y comprende la definicin de tangente a una curva.

    Encuentra la recta tangente y la recta normal a una funcin difer-enciable.

    Comprende la definicin formal de velocidad y aceleracin.

    Resuleve problemas de movimiento rectilneo.

    Interpreta las definiciones de funcin creciente y decreciente.

    Conoce y comprende el concepto de concavidad.

    Conoce las definiciones de puntos crticos, valores extremos ypuntos de inflexin.

    Encuentra la monotonicidad y la concavidad de una funcin.

    Analiza el comportamiento de una funcin utilizando derivadasy lmites.

    Grafica una funcin utilizando el anlisis de funciones.

    Resuelve problemas de valores extremos.

    Resuleve problemas de razones de cambio relacionadas.

    Reflexiona sobre las razones de cambio entre variables y su im-portancia en el mundo moderno.

    Relaciona las razones de cambio con conceptos fsicos para teneruna comprensin ms profunda.

    5.1. Definiciones

    Sea f : R R una funcin, I un intervalo, y = f (x).

    i) f es creciente en I si x1 < x2 f (x1) < f (x2)Esto significa que si el valor de x aumenta entonces el valor de la funcin

    (o sea el valor de y) tambin aumenta.

    ii) f es decreciente en I si x1 < x2 f (x1) > f (x2)Esto significa que si el valor de x aumenta entonces el valor de la funcin

    (o sea el valor de y) disminuye.

    iii) f tiene un mximo local en x = a si f (a) f (x) x I donde I es algnintervalo abierto que contiene al punto x = a.

    48

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.1 Definiciones

    O sea que el valor de la funcin en x = a es el valor mayor de todos lospuntos vecinos (un intervalo abierto o vecindad).

    iv) f tiene un mnimo local en x=a si f (a) f (x) x I donde I es algnintervalo abierto que contiene al punto x=a.

    O sea que el valor de la funcin en x = a es el valor menor de todos lospuntos vecinos (un intervalo abierto o vecindad).

    v) f tiene un mximo absoluto en el punto x = a en un conjunto I si secumple: f (a) f (x) x I

    O sea que el valor de la funcin en x = a es el valor mayor de todos lospuntos, generalmente este conjunto se toma como el dominio de la funcin.

    vi) f tiene un mnimo absoluto en el punto x = a en el intervalo I si secumple: f (a) f (x) x I

    O sea que el valor de la funcin en x = a es el valor menor de todos lospuntos, generalmente este conjunto se toma como el dominio de la funcin.

    vii) f es cncava hacia abajo cncava en I si se cumple:

    x1 < x < x2 f (x1) +f (x2) f (x1)

    x2 x1(x x1) < f (x) x 1, x2 I

    La concavidad en un intervalo se puede entender muy fcil grficamente, sitomamos dos puntos distintos en la grfica de la funcin dentro del intervalo,la funcin es cncava si el segmento de recta est por debajo de la grfica dela funcin.

    viii) f es cncava hacia arriba convexa en I si se cumple:

    x1 < x < x2 f (x1) +f (x2) f (x1)

    x2 x1(x x1) > f (x) x 1, x2 I

    La concavidad hacia arriba o convexidad en un intervalo se puede entendermuy fcil grficamente, si tomamos dos puntos distintos en la grfica de lafuncin dentro del intervalo, la funcin es cncava hacia arriba convexa, siel segmento de recta est por arriba de la grfica de la funcin.

    ix) f tiene un punto crtico en x = a si f (x) = 0 o f (x) no existe.

    x) f tiene un punto de inflexin en x = a si en ese punto hay un cambio deconcavidad en la funcin.

    xi) La recta tangente a una funcin f , en un punto (a, f (a)) est dada porla ecuacin:

    y y1 = m(x x1) donde x1 = a, y1 = f (a), m = f (x1)xii) El ngulo entre dos funciones f y g que se cortan en un punto donde

    son diferenciables es el ngulo entre sus tangentes.

    49

  • 5.2 Propiedades 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    5.2. Propiedades

    Teorema: (Monotonicidad) Sea f : R R una funcin diferenciable en unintervalo I:

    i) Si f (x) > 0 x I, f es creciente en I.ii) Si f (x) < 0 x I, f es decreciente en I.

    Teorema: (Concavidad) Sea f : R R una funcin con segunda derivadaen un intervalo I:

    i) Si f (x) > 0 x I, f es cncava hacia arriba o convexa en I.ii) Si f (x) < 0 x I, f es cncava hacia abajo o cncava en I.

    Teorema: (Rolle) Sea f : R R una funcin continua en [a, b], diferenciableen (a, b) tal que f (b) = f (a) entonces existe un punto interior c tal quef (c) = 0.

    Teorema: (Valor Medio) Sea f : R R una funcin continua en [a, b],diferenciable en (a, b) entonces existe un punto interior c tal que f (c) =f (b) f (a)

    b a .

    Teorema: (Criterio de la Primera Derivada para Extremos) Sea f : R Runa funcin diferenciable en todos los puntos distintos de x = a en un intervaloabierto I:

    i) Si f (x) > 0 x < a en I y f (x) > 0 x > a enI entonces ftiene un mximo local en x = a.

    ii) Si f (x) > 0 x < a en I y f (x) < 0 x > a enI entonces ftiene un mnimo local en x = a.

    Teorema: (Criterio de la Segunda Derivada para Extremos) Sea f : R Runa funcin con segunda derivada en un intervalo abierto I que contiene elpunto crtico x = a, o sea que f (a) = 0

    i) Si f (a) < 0 entonces f tiene un mximo local en x = a.

    ii) Si f (a) > 0 entonces f tiene un mnimo local en x = a.

    50

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.3 Recta Tangente y Normal

    Teorema: (LHpital) Supongamos que f y g son dos funciones diferen-ciables en un intervalo abierto que contiene el punto x = a. Si tenemos quelimxa

    f (x) = 0 y limxa

    g(x) = 0 entonces

    limxa

    f (x)g(x)

    = limxa

    f (x)g(x)

    Teorema: (LHpital Caso Infinito) Supongamos que f y g son dos fun-ciones diferenciables en un intervalo abierto que contiene el punto x = a. Sitenemos que lim

    xaf (x) = y lim

    xag(x) = entonces

    limxa

    f (x)g(x)

    = limxa

    f (x)g(x)

    5.3. Recta Tangente y Normal

    Ejemplo 1: Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal

    a la funcin f (x) =x + 1

    3xen x = 1 .

    Primeramente encontramos la derivada: f (x) =(3x)(1) (x + 1)(3)

    (3x)2=

    3x 3x 39x2

    = 13x

    La ecuacin de la recta es y y1 = m(x x1).

    Sustitumos los valores: x1 = 1, y1 = f (1) =1 + 1

    3=

    23

    , m = f (1) =13

    .

    en la ecuacin y obtenemos

    y 23=

    13(x 1)

    y 23=

    x3 1

    3

    x3 1

    3 y + 2

    3= 0

    x3 y + 1

    3= 0

    x 3y + 1 = 0

    La recta normal la obtenemos con los mismos valores de x1, y1, pero lapendiente igual a

    51

  • 5.3 Recta Tangente y Normal 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    mP = 1m

    = 113

    = 3

    por lo tanto, tenemos

    y 23= 3(x 1)

    y 23= 3x + 3

    3y 2 = 9x + 9

    por lo que la ecuacin de la recta normal queda como

    9x + 3y 11 = 0

    Ejemplo 2: Encuentre el ngulo entre las siguientes funciones:

    f (x) = x3 2x2 + 2x + 1 y g(x) = x + 3.

    Primeramente tenemos que ver en dnde se cortan las funciones, para estoigualamos.

    x3 2x2 + 2x + 1 = x + 3

    x3 2x2 + x 2 = 0

    Factorizamos y obtenemos

    (x2 + 1)(x 2) = 0

    x 2 = 0

    x = 2

    Para obtener el ngulo entre las curvas, obtenemos primeramente las derivadas

    f (x) = 3x2 4x + 2 y g(x) = 1

    Por lo tanto, las pendientes de las rectas tangentes son:

    m1 = f (2) = 3(2)2 4(2) + 2 = 6 y m2 = g(x) = 1

    Por lo tanto, la pendiente del ngulo de interseccis es:

    m =m1 m2

    1 + m1 m2=

    6 11 + (6)(1)

    =57

    Por lo que el ngulo de interseccin es:

    = arctan(57) = 35.53o

    52

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.4 Anlisis de Funciones.

    5.4. Anlisis de Funciones.

    Ejemplo 1: Analice la funcin f (x) =x3

    3 3x

    2

    2 4x + 2

    I. Analizamos la primera derivada

    f (x) = x2 3x 4

    Queremos saber dnde es positiva y dnde es negativa la derivada, apli-cando el mtodo de puntos de separacin que se vi para resolver desigual-dades igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin.

    x2 3x 4 = 0 (x + 1)(x 4) = 0 x = 1 o x = 4

    Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numrica vemos quef (x) < 0 en (1, 4) y f (x) > 0 en (,1) y en (4,+)

    Esto significa que f es creciente en (,1] y en [4,+) y que f es decre-ciente en [1, 4]

    Intervalo (,1] [1, 4] [4, )f (x) Positivo Negativo Positivo

    Monotonicidad Creciente Decreciente Creciente

    Aplicando el criterio de la primera derivada para valores extremos, vemosque f tiene un punto mximo local en x = 1 y un mnimo local en x = 4.

    II. Analizar la segunda derivada

    Vemos que la segunda derivada es f (x) = 2x 3 por lo que por el mismomtodo de puntos de separacin, resolvemos 2x 3 = 0, de aqu obtenemosx =

    32

    .

    53

  • 5.4 Anlisis de Funciones. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numrica vemos que

    f (x) < 0 en (, 32) y f (x) > 0 en (

    32

    ,+)

    Intervalo (, 32 ] [32 , ]

    f (x) Negativo PositivoConcavidad _ ^

    Hacia abajo Hacia arriba

    Esto quiere decir que f es cncava en (, 32] y convexa en

    [32

    ,+) y que en x =32

    hay un punto de inflexin.

    III. Encontrar asntotas

    Generalmente buscamos asntotas horizontales y verticales con el mtodoque se vi en la Unidad 3, pero en este caso como se trata de un polinomio notiene asntotas.

    f (x) =x3

    3 3x

    2

    2 4x + 2

    IV. Grfica

    Para graficar primeramente encontramos los valores de la funcin en lospuntos crticos y de inflexin, podemos dar ms valores.

    f (1) = (1)3

    3 3(1)

    2

    2 4(1) + 2 = 1

    3 3

    2+ 4 + 2 = 11

    6+ 6 =

    256

    f (4) =(4)3

    3 3(4)

    2

    2 4(4) + 2 = 64

    3 24 16 + 2 = 64

    3 38 = 50

    3

    f (32) =

    (32)3

    3

    3(32)2

    2 4(3

    2) + 2 =

    98 27

    8 6 + 2 = 18

    8 4 = 25

    4

    x y-1 25/6

    3/2 -25/44 -50/3

    54

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.4 Anlisis de Funciones.

    Aqu podemos hacer un anlisis conjunto de la primera derivada y la se-gunda derivada para concluir que

    f es creciente y ccava en (,1)32 ], f es decreciente y cncava en [1,32]

    , f es decreciente y convexa en [32 , 4] y f es creciente y cncava en [4,+).

    Intervalo ([,1] [1, 32 ] [32 , 4] [4,+]

    f (x) Positivo Negativo Negativo Positivof (x) Negativo Negativo Positivo PositivoForma Creciente Decreciente Decreciente Creciente

    y concava y concava y convexa y convexa

    Grfica: f (x) =x3

    3 3x

    2

    2 4x + 2

    55

  • 5.4 Anlisis de Funciones. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    Ejemplo 2: Analice la funcin f (x) =x

    x2 + 1

    I. Analizamos la primera derivada

    f (x) =(x2 + 1)(1) x(2x)

    (x2 + 1)2=

    x2 + 1 2x2(x2 + 1)2

    =1 x2

    (x2 + 1)2

    Queremos saber dnde es positiva y dnde es negativa la derivada, apli-cando el mtodo de puntos de separacin que se vi para resolver desigual-dades igualamos a 0 y resolvemos la ecuacin.

    1 x2(x2 + 1)2

    = 0 (1 x)(1 + x) = 0 x = 1 o x = 1

    Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numrica vemos que:f (x) < 0 en (1, 1) y f (x) > 0 en (,1) y en (1,+)

    Esto significa que f es creciente en (,1] y en [1,+) y que f es decre-ciente en [1, 1]

    Intervalo (,1] [1, 1] [1, )f (x) Positivo Negativo Positivo

    Monotonicidad Creciente Decreciente Creciente

    Aplicando el criterio de la primera derivada para valores extremos, vemosque f tiene un punto mximo local en x = 1 y un mnimo local en x = 1.

    II. Analizar la segunda derivada

    Vemos que la segunda derivada es f (x) =(x2 + 1)2(2x) (1 x2)2(1 + x2)(2x)

    (x2 + 1)4=

    (x2 + 1)(2x) 4x(1 + x2)(x2 + 1)3

    =2x3 2x 4x + 4x3

    (x2 + 1)3=

    2x3 6x(x2 + 1)3

    por lo que

    por el mismo mtodo de puntos de separacin, resolvemos2x3 6x(x2 + 1)3

    = 0, de

    aqu obtenemos x = 2x(x2 3) = 0 por lo que x = 0, x =

    3 x =

    3

    Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numrica vemos que

    f (x) < 0 en (,

    3) yen(0,

    3) tambin f (x) > 0 en (

    3, 0) yen (

    3,+)

    Intervalo (,

    3] [

    3, 0] [0,

    3] [

    3, )f (x) Negativo Positivo Negativo Positivo

    Concavida _ ^ _ ^Hacia abajo Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba

    56

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.4 Anlisis de Funciones.

    Esto quiere decir que f es cncava en (,

    3] , convexa en[

    3, 0], es cncava en [0,

    3] , convexa en[

    3,+)y que en x =

    3, x = 0, x =

    3 hay puntos de inflexin.

    III. Encontrar asntotas

    Como x2 + 1 6= 0 no hay asntotas horizontales.

    Para las asntotas horizontales tomamos lmite cuando x y cuandox

    limx+

    xx2 + 1

    = limx+

    12x

    = 0

    Para calcular el lmite el utiliz el teorema de LHpital, de igual maneratenemos

    limx

    xx2 + 1

    = 0

    Por lo tanto y = 0 es una asntota horizontal.

    IV. Grfica.

    Para graficar primeramente encontramos los valores de la fucnin en lospuntos crticos y de inflexin, podemos dar ms valores.

    f (

    3) =

    3(

    3)2 + 1=

    34

    f (1) = 1(1)2 + 1 =

    12

    f (0) =0

    02 + 1= 0

    f (1) = 112 + 1

    =12

    f (

    3) =

    3

    (

    3)2 + 1=

    3

    4

    x y

    3

    34

    1 120 01 123

    3

    4

    Aqu podemos hacer un anlisis conjunto de la primera derivada y la se-

    57

  • 5.4 Anlisis de Funciones. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    gunda derivada para concluir que:

    f es creciente y ccava en (,1)32 ], f es decreciente y cncava en [1,32]

    , f es decreciente y convexa en [32 , 4] y f es creciente y cncava en [4,+).

    Intervalo (,

    3] [

    3,1] [1, 0] [0, 1) [1,

    3] [

    3,+]f (x) Positivo Positivo Negativo Negativo Positivo Positivof (x) Negativo Positivo Positivo Negativo Negativo PositivoForma Creciente Creciente Decreciente Decreciente Creciente Creciente

    y concava y convexa y convexa y concava y concava y convexa

    Grfica: f (x) =x3

    3 3x

    2

    2 4x + 2

    58

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.5 Solucin de Problemas.

    5.5. Solucin de Problemas.

    Los ejemplos anteriores se aplican en muchas de las disciplinas de inge-niera y para poder resolver problemas prcticos es conveniente tener un es-quema heurstico que gue al estudiante para la solucin de un problema es-pecfico.

    Esquema para la solucin de problemas.

    1. Comprender el problema2. Hacer un diagrama3. Identificar datos y asignar variables4. Relacionar los datos y variables, y modelar la pregunta estableciendo la forma matemtica

    apropiada5. Hacer uso de los conceptos de derivada para encontrar la solucin matemtica6. Interpretar los resultados7. Confrontar haciendo una retroalimentacin

    5.5.1. Problemas de Valores Extremos.

    Ejemplo. Un bote de metal debe de tener un volumen de 400 ml. Culesson las dimensiones para que la cantidad de material utilizado sea mnima?

    Las variables son: V : volumen, A : rea del material, r : radio, h :altura

    podemos relacionarlas con las frmulas:

    V = r2h = 400, A = r2 + 2rh

    Entonces

    h =400r2

    A = r2 + 2r 400r2

    = r2 +800

    r

    Obtenemos la derivada

    59

  • 5.5 Solucin de Problemas. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    dAdr

    = 2r 800r2

    Igualamos a 0 y obtenemos

    2r 800r2

    = 0 r = 3

    400

    = 5.03

    Es un mnimo porque la derivada es negativa antes del velor de x = 5.03, ypositiva despus.

    5.5.2. Problemas de Razones Relacionadas.

    Ejemplo. Se llena un cono con agua a razn de 80 ml/s. El dimetro delcono es de 10 cm y la altura de 15 cm. Qu tan rpido va subiendo el niveldel agua cuando se ha llenado 10 cm?

    Primeramente identificamos las variables que intervienen y sus unidades.

    t : tiempo, s; V : volumen, ml; h : altura, cm; r : radio, cm

    Notamos tambin que 1ml = 1c.c. = 1cm3

    Datos y variables relacionadas:

    dVdt

    = 80, V =13

    r2h,r5=

    h15

    Combinamos las dos ltimas relaciones y tenemos:

    V =13

    (h3)2h =

    h3

    27

    Derivamos y sustituimos h = 10

    dVdh

    =h2

    9 dV

    dh=

    1009

    60

  • 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.6 Ejercicios propuestos

    Adems por la regla de la cadema tememos que:dVdt

    =dVdh

    dhdt

    Sustituyendo tenemos

    80 =100

    9dhdt

    Por lo tanto

    dhdt

    =80

    1009

    =720

    100= 2.29

    cms

    Que es la respuesta buscada.

    5.6. Ejercicios propuestos

    [Thomas] P. 252, # 1-10,15,17,18,19,23,35,37,45,46,47,49,51P. 179, # 1,2,3,4,5,9,10,11,12,13P. 260, # 1,3,4P. 266, # 9,11,15,17,25,27P. 274, # 9,17,19,25,31,41,43P. 285, # 3,5,9,12,16,20,22,24,25,26,27,45

    5.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 5

    1. Encuentre la recta tangente y la recta normal a la funcin en x = 1

    f (x) =x

    x + 2f (x) =

    xx + 3

    2. Encuentre la concavidad de la siguiente funcin

    f (x) = x2 x + 1 f (x) = x2 + x 1

    3. Encuentre mximos y mnimos en la siguiente funcin

    f (x) =x 3

    x2f (x) =

    x 2x2

    4. Analice la siguiente funcin

    61

  • 5.8 Bibliografa de la Unidad 5 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.

    f (x) = x3 + x2 x + 1 f (x) = x3 x2 x 1

    5. Se van a construir n corrales junto a un granero de manera que noutilicemos cerca en uno de los lados de cada corral. Cul es el rea mximaque se puede obtener? Si:

    n = 3 n = 4

    5.8. Bibliografa de la Unidad 5

    [Thomas] Clculo, una variable, Undcima Edicin; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.

    [Purcell] Clculo, Novena Edicin; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.

    [Larson] Clculo 1 de una variable, Novena Edicin; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.

    [Apostol] Calculus, Segunda Edicin; Tom M. Apostol; Editorial Revert.

    [Stewart] Calculus, Trascendentes Tempranas: Quinta Edicin; James Stew-art; Editorial Thomson.

    62

  • 6 ANEXOS

    6. Anexos

    6.1. Temario de programa oficial del curso

    1. Nmeros Reales.1.1 La recta numrica.1.2 Los nmeros reales.1.3 Propiedades de los nmeros reales.1.3.1 Tricotoma.1.3.2 Transitividad.1.3.3 Densidad.1.3.4 Axioma del supremo.1.4 Intervalos y su representacin mediante desigualdades.1.5 Resolucin de desigualdades de primer grado con una incgnita y de

    desigualdades cuadrticas con una incgnita.1.6 Valor absoluto y sus propiedades.1.7 Resolucin de desigualdades que incluyan valor absoluto.

    2. Funciones.2.1 Concepto de variable, funcin, dominio, codominio y recorrido de una

    funcin.2.2 Funcin inyectiva, suprayectiva y biyectiva.2.3 Funcin real de variable real y su representacin grfica.2.4 Funciones algebraicas: funcin polinomial, racional e irracional.2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonomtricas y funciones expo-

    nenciales.2.6 Funcin definida por ms de una regla de correspondencia. funcin

    valor absoluto.2.7 Operaciones con funciones: adicin, multiplicacin, composicin.2.8 Funcin inversa. Funcin logartmica. Funciones trigonomtricas inver-

    sas.2.9 Funciones con dominio en los nmeros naturales y recorrido en los

    nmeros reales: las sucesiones infinitas.2.10 Funcin implcita.

    3. Lmites y Continuidad.3.1 Lmite de una sucesin.3.2 Lmite de una funcin de variable real.3.3 Clculo de lmites.3.4 Propiedades de los lmites.3.5 Lmites laterales.3.6 Lmites infinitos y lmites al infinito.3.7 Asntotas.3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.3.9 Tipos de discontinuidades.

    4. Derivadas.

    63

  • 6.1 Temario de programa oficial del curso 6 ANEXOS

    4.1 Conceptos de incremento y de razn de cambio. La derivada de unafuncin.

    4.2 La interpretacin geomtrica de la derivada.4.3 Concepto de diferencial. Interpretacin geomtrica de las diferenciales.4.4 Propiedades de la derivada.4.5 Regla de la cadena.4.6 Frmulas de derivacin y frmulas de diferenciacin.4.7 Derivadas de orden superior y regla de LHpital.4.8 Derivada de funciones implcitas.

    5. Aplicaciones de la derivada.5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortog-

    onales.5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del

    clculo diferencial.5.3 Funcin creciente y decreciente. Mximos y mnimos de una funcin.

    Criterio de la primera derivada para mximos y mnimos. Concavidades ypuntos de inflexin. Criterio de la segunda derivada para mximos y mnimos.

    5.4 Anlisis de la variacin de funciones.5.5 Clculo de aproximaciones usando la diferencial.5.6 Problemas de optimizacin y de tasas relacionadas.

    64

    1 Nmeros Reales.1.1 Definiciones y propiedades bsicas1.2 Conjuntos de Nmeros:1.3 Intervalos: 1.4 Igualdad1.5 Axiomas de orden1.6 Desigualdades1.7 Valor Absoluto1.8 Densidad1.9 Axioma del Supremo1.10 Ejemplos1.11 Ejercicios1.12 Examen escrito propuesto de la Unidad 11.13 Bibliografa Unidad 1

    2 Funciones.2.1 Definicin de funcin.2.2 Dominio.2.3 Rango.2.4 Tipos de funciones2.5 Operaciones con funciones.2.6 Translacin de funciones.2.7 Ejemplos2.8 Ejercicios propuestos2.9 Examen escrito propuesto de la Unidad 22.10 Bibliografa para la Unidad 2

    3 Lmites y Continuidad.3.1 Lmite.3.2 Continuidad.3.3 Lmite infinito.3.4 Asntota3.5 Ejemplos3.6 Ejercicios propuestos3.7 Examen escrito propuesto de la Unidad 33.8 Bibliografa para la Unidad 3

    4 Derivadas.4.1 Definicin de Derivada4.2 Razn de cambio4.3 Derivadas laterales4.4 Diferentes notaciones para la Derivada4.5 Frmulas de Derivadas4.6 lgebra de Derivadas4.7 Regla de la Cadena4.8 Derivada de una Funcin Inversa4.9 Teorema de diferenciabilidad y continuidad4.10 Ejemplos4.11 Ejercicios propuestos4.12 Examen escrito propuesto de la Unidad 44.13 Bibliografa para la Unidad 4

    5 Aplicaciones de la Derivada.5.1 Definiciones5.2 Propiedades5.3 Recta Tangente y Normal5.4 Anlisis de Funciones.5.5 Solucin de Problemas.5.5.1 Problemas de Valores Extremos.5.5.2 Problemas de Razones Relacionadas.

    5.6 Ejercicios propuestos 5.7 Examen escrito propuesto de la Unidad 55.8 Bibliografa de la Unidad 5

    6 Anexos6.1 Temario de programa oficial del curso