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Instituto Tecnológico de Tijuana
Subdirección Académica
Guía para el Curso deCálculo Diferencial
Autores:
Marisela Castillo LópezEnrique Comer Barragán
Luis Alberto Lomelí BeherendtJ. Jesús Luna González
Jorge Luis Herrera ArellanoGabriela Martínez Mendívil
Felipe Ramírez Romero
Versión preliminar β5 (15 Julio 2011)
Introducción
El Instituto Tecnológico de Tijuana bajo el Programa de Apoyo a la For-mación Profesional de ANUIES ha implementado el Programa de Desarrollode Competencias Básicas mediante cinco cursos que se llevan a cabo duranteel Semestre Cero. Para continuar con el desarrollo de las competencias en elalumno se ha elaborado esta Guía para el Curso de Cálculo Diferencial, conel fin de apoyar al alumno en el desarrollo de las competencias matemáticas.Dicho proyecto se extenderá en los próximos semestres a los cursos de CálculoIntegral y Física I. El programa sigue un enfoque de competencias y la guíaayuda al estudiante a que vaya adquiriendo los conocimientos, habilidades yactitudes con el fin de que desarrolle dicha competencia.
En cada unidad se enuncia la competencia general de la unidad y las com-petencias específicas que se deben asimilar. Se presentan los conceptos es-enciales, las propiedades principales, ejemplos resueltos y una lista de ejer-cicios que se deberán realizar para adquirir la competencia. De esta forma,el alumno cuenta con un auxiliar de estudio que lo lleva de una manera sis-temática a que vaya realizando poco a poco y con paso seguro su formación.Recordemos que la competencia en matemáticas se logra con la práctica diariay que cada vez se puede llegar a un nivel mayor de competencia. Debemosmencionar que esta guía no es un compendio completo del material del curso,para eso tenemos los libros de referencia, sino más bien un auxiliar con lospasos necesarios para aprender el material con un enfoque en competencias.
En los conceptos y definiciones se analizan las ideas centrales de cadaunidad, y se da una explicación intuitiva para que se comprendan y ademásse complementa con ejemplos que ilustran estas ideas con el fin de llegar adominar la competencia deseada. Por ejemplo, en la Unidad 1 se da una expli-cación muy simple del axioma del supremo que es un tema que todo mundoevade porque dicen que: "los alumnos no entienden"; sin embargo, este esun concepto fundamental que debe incluírse para comprender el concepto denúmero y el concepto de continuidad, que es la base estructural del programade Cálculo Diferencial. En la Unidad 3, se presenta un análisis completo dellímite de un cociente con una tabla de los nueve casos y ejemplos de cada unode ellos y en la Unidad 5 se presentan ejemplos que ilustran el análisis delcomportamiento de una función mediante un procedimineto de cuatro pasos.
Finalmente se incluyen exámenes tipo de cada una de las unidades paraque el alumno practique con anticipación a la aplicación de los exámenes es-critos. De esta forma se ayuda de una manera más eficiente a las necesidadesacadémicas del alumno. Con esta guía maestro y alumno pueden auxiliarsepara el estudio de los temas y la realización de los trabajos y las tareas delcurso.
Los ejercicios recomendados son del libro: [Thomas] Cálculo, una variable,Undécima Edición, de George B. Thomas Jr., Editorial Pearson, Addison Wes-
ii
ley, pero por supuesto se pueden asignar también problemas de otro libro decálculo que cumplan con el propósito y el nivel requerido.
Competencia del cursoResuelve problemas que involucran el análisis, modelado y aplicación
de la razón de cambio entre dos variables.
iii
Contenido
1. Números Reales. 11.1. Definiciones y propiedades básicas . . . . . . . . . 21.2. Conjuntos de Números: . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3. Intervalos: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.4. Igualdad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.5. Axiomas de orden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.6. Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.7. Valor Absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.8. Densidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.9. Axioma del Supremo . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.11. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 1 . . . . . 91.13. Bibliografía Unidad 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2. Funciones. 112.1. Definición de función. . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Dominio. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.3. Rango. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.4. Tipos de funciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.5. Operaciones con funciones. . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Translación de funciones. . . . . . . . . . . . . . . . 142.7. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.9. Examen escrito propuesto de la Unidad 2 . . . . . 262.10. Bibliografía para la Unidad 2 . . . . . . . . . . . . . 27
3. Límites y Continuidad. 293.1. Límite. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.2. Continuidad. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3. Límite infinito. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4. Asíntota . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
3.5. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 3 . . . . . 363.8. Bibliografía para la Unidad 3 . . . . . . . . . . . . . 37
4. Derivadas. 394.1. Definición de Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . 404.2. Razón de cambio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.3. Derivadas laterales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.4. Diferentes notaciones para la Derivada . . . . . . . 414.5. Fórmulas de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. Álgebra de Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7. Regla de la Cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.8. Derivada de una Función Inversa . . . . . . . . . . 424.9. Teorema de diferenciabilidad y continuidad . . . 424.10. Ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.11. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 4 . . . . . 454.13. Bibliografía para la Unidad 4 . . . . . . . . . . . . . 46
5. Aplicaciones de la Derivada. 475.1. Definiciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 485.2. Propiedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 505.3. Recta Tangente y Normal . . . . . . . . . . . . . . . 515.4. Análisis de Funciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.5. Solución de Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . 59
5.5.1. Problemas de Valores Extremos. . . . . . . . 595.5.2. Problemas de Razones Relacionadas. . . . . 60
5.6. Ejercicios propuestos . . . . . . . . . . . . . . . . . 615.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 5 . . . . . 615.8. Bibliografía de la Unidad 5 . . . . . . . . . . . . . . 62
6. Anexos 636.1. Temario de programa oficial del curso . . . . . . . 63
v
1 NÚMEROS REALES.
1. Números Reales.
Competencia de la Unidad 1Resuelve desigualdades de una variable y representa su solución con
lenguaje matemático, con lenguaje usual y en forma gráfica.
Competencias cognitivas Competenciasprocedimentales
Competenciasactitudinales
Conoce los ax-iomas de losnúmeros reales.
Identifica los difer-entes tipos denúmeros.
Conoce laspropiedades dela igualdad y lasdesigualdades.
Conoce el métodode puntos deseparación pararesolver desigual-dades.
Resuelve desigual-dades lineales deuna variable.
Resuelve desigual-dades cuadráticasde una variable.
Resuelve desigual-dades lineales convalor absoluto.
Aplica el métodode puntos deseparación pararesolver desigual-dades.
Trabaja en equipo.
Respeta y valorael trabajo de losdemás.
Es honesto en sutrabajo.
Justifica los pro-cedimientos alge-braicos relacionán-dolos con axiomasy propiedades.
Es responsable desu aprendizaje.
1
1.1 Definiciones y propiedades básicas 1 NÚMEROS REALES.
Competencias Específicas de la Unidad 1
Conoce los axiomas de los números reales.
Justifica los procedimientos algebraicos con axiomas ypropiedades.
Conoce y distingue los diferentes conjuntos de números.
Resuelve desigualdades lineales de una variable.
Resuelve desigualdades cuadráticas de una variable.
Resuelve desigualdades racionales con numerador y denomi-nador factorizable.
Resuelve desigualdades lineales con valor absoluto.
Conoce y aplica las propiedades de la igualdad y de las desigual-dades.
Conoce y aplica el método de puntos de separación para resolverdesigualdades de una variable.
1.1. Definiciones y propiedades básicas
Una descripción de los números reales se encuentra en las notas de Razon-amiento Matemático del Semestre Cero, aquí transcribimos lo esencial, y serecomienda, en caso necesario, acudir a los apuntes del curso.
Los Números reales son un conjunto con dos operaciones adición y multi-plicación, (R,+,∗) que cumplen las siguientes propiedades:
Propiedades Básicas de los Números Reales:
Propiedad Enunciado Formal Forma ReducidaCerradura de la Suma x, yεR⇒ x + yεR + es Operación Binaria
Cerradura de la Multiplicación x, yεR⇒ x ∗ yεR * es Operación BinariaAsociativa de la Suma a + (b + c) = (a + b) + c Reacomodo
Conmutativa de la Suma a + b = b + a ReacomodoConmutativa de la Multiplicación a ∗ b = b ∗ a Reacomodo
Elemento Inverso Aditivo a + (–a) = 0 CancelaciónElemento Neutro Aditivo a + 0 = a Cancelación
Elemento Inverso Multiplicativo a ∗ (a−1) = 1 CancelaciónElemento Neutro Multiplicativo a ∗ 1 = a CancelaciónAsociativa de la Multiplicación a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c Dilema del Mosquetero
Distributiva a ∗ (b + c) = a ∗ b + a ∗ c Dilema del Mosquetero
Resta y División: Restar es sumar el inverso aditivo y dividir es multiplicarpor el inverso multiplicativo.
a− b = a + (−b), a/b = a ∗ b−1
2
1 NÚMEROS REALES. 1.2 Conjuntos de Números:
1.2. Conjuntos de Números:
Enteros Positivos: N+ = {1, 2, 3, ...}Números Naturales: N = {0, 1, 2, 3, ...}Enteros: Z = {...,−3,−3,−1, 0, 1, 2, 3, ...}
Racionales: Q = { ab|a, b ∈ Z, b 6= 0}
Irracionales: Ir = {a ∈ R | a /∈ Q}
1.3. Intervalos:
Un intervalo es un conjunto de números que puede ser descrito como.
(a, b) = {x ∈ R | a < x < b}, intervalo abierto.
[a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, intervalo cerrado.
(a, b] = {x ∈ R | a < x ≤ b}[a, b) = {x ∈ R | a ≤ x < b}(a,+∞) = {x ∈ R | x > a}[a,+∞) = {x ∈ R | x ≥ a}(−∞, b) = {x ∈ R | x < b}(−∞, b] = {x ∈ R | x ≤ b}
1.4. Igualdad
La igualdad es una relación de equivalencia.a = a Reflexivaa = b ⇒ b = a Simétricaa = b, b = c ⇒ a = c Transitiva
que además cumple las siguientes propiedades
i) Aditiva: a = b ⇒ a + c = b + cii) Multiplicativa: a = b ⇒ a ∗ c = b ∗ ciii) Operador: a = b, f una función ⇒ f (a) = f (b)
1.5. Axiomas de orden
Existe un conjunto de números reales R+, llamado conjunto de los númerospositivos el cual cumple las tres propiedades siguientes.
Axioma 1. a, b ∈ R+ ⇒ a + b, a ∗ b ∈ R+, la suma y el producto de dosnúmeros positivos es positivo.
Axioma 2. a 6= 0 ⇒ a ∈ R+ o − a ∈ R+, Ley de Tricotomía.
Axioma 3. 0 /∈ R+
3
1.6 Desigualdades 1 NÚMEROS REALES.
1.6. Desigualdades
a < b signi f ica que b− a ∈ R+
Propiedades de las Desigualdades:
a < b, b < c ⇒ a < c Propiedad Transitiva
a < b ⇒ a + c < b + c, Propiedad Aditiva
a < b, c > 0 ⇒ a ∗ c < b ∗ ca < b, c < 0 ⇒ a ∗ c > b ∗ c, Propiedades Multiplicativas
a, b ∈ R+ ⇒ a = b, a < b, o a > b, Ley de Tricotomía
1.7. Valor Absoluto
|a| =
{a a ≥ 0−a a < 0
Propiedades de Desigualdades con Valor Absoluto:
Si a > 0, |x| < a⇒ −a < x < aSi a > 0, |x| > a⇒ x > a o x < −a
1.8. Densidad
x1 < x2 ⇒ ∃ y tal que x1 < y < x2. O sea que dados dos númeroscualesquiera, siempre hay otro en medio; lo que quiere decir que hay unacantidad tan grande de números reales que viéndolos como puntos en la rectanumérica entre dos números siempre hay una cantidad infinita de númerosentre ellos.
1.9. Axioma del Supremo
Dado un conjunto cualquiera de números que esté limitado superiormente,simpre tiene una cota superior mínima. Lo podemos interpretar como "no hayhuecos" entre dos números reales. Para poder entender esto consideremos alos números racionales, si los asociamos con puntos en una recta siempre hayuna cantidad de puntos en la recta que no son racionales, o sea que si nuestrouniverso fueran los racionales, habría hoyos en la recta; sin embargo, con losnúmeros reales se "llena" completamente la recta y tenemos un punto paracada número real y un número real para cada punto.
4
1 NÚMEROS REALES. 1.10 Ejemplos
1.10. Ejemplos
Resolver las siguientes desigualdades:
Ejemplo 1. 3(1− 2x) +12≤ 4(5x− 1)− 1
3Estrategia: 1. Efectuar operaciones (Propiedades: Ley del Mosquetero, Rea-
comodo, Suma de Fracciones). 2. Utilizar la propiedad aditiva de la desigual-dad y cancelación para dejar un término solo con x en la parte izquierda y unnúmero solo del lado derecho. 3. Utilizar la segunda propiedad multiplicativade la desigualdad para resolver para x (dejar sola x). 4. Graficar y escribir larespuesta con un intervalo.
3− 6x +12≤ 20x− 4− 1
3
−6x +72≤ 20x− 13
3
−6x +72− 7
2≤ 20x− 13
3− 7
2
−6x ≤ 20x− 476
−6x− 20x ≤ 20x− 476− 20x
−26x ≤ −476
−26x−26
≥ −476−26
x ≥ 47156
En este último paso de utilizó la división de fracciones (Ley del Taco)
Intervalo [ 47156 ,+∞)
Gráfica
5
1.10 Ejemplos 1 NÚMEROS REALES.
Ejemplo 2. −23≤ 2 + 3(4x− 1) ≤ 7
3Estrategia: 1. Efectuar operaciones (Propiedades: Ley del Mosquetero, Rea-
comodo, Suma de Fracciones). 2. Utilizar las propiedades aditiva y multiplica-tiva de la desigualdad y Cancelación para dejar x sola en el término medio. 3.Graficar y escribir la respuesta con un intervalo.
−23≤ 2 + 12x− 3 ≤ 7
3
−23≤ 12x− 1 ≤ 7
3
−23+ 1 ≤ 12x− 1 + 1 ≤ 7
3+ 1
13≤ 12x ≤ 10
3
13
12≤ 12x
12≤
103
12
136≤ x ≤ 5
18
Intervalo [ 136 , 5
18 ]
Gráfica
Ejemplo 3.2x + 1
x2 + x− 20≤ 0
Estrategia: 1. Encontramos los puntos de separación de la desigualdad(igualando a cero numerador y denaminador y resolviendo las ecuacionespara x). 2. Graficamos los valores resultantes y encontramos si la expresión dela izquierda es positiva o negativa en cada unos de los intervalos obtenidos. 3.Los intervalos que cumplan con la desigualdad son la solución. 4. Escribimosla respuesta en forma de desigualdades y con intervalos.
2x + 1 = 0 x2 + x− 20 = 0
x =−12
x = −5 x = 4
6
1 NÚMEROS REALES. 1.10 Ejemplos
x 2x+1x2+x−20 ≤ 0
-6 Negativo-1 Positivo0 Negativo5 Positivo
Por lo que tenemos
Intervalo (−∞,−5) (−5,− 12 ) (− 1
2 , 4) (4,+∞)Negativo Positivo Negativo Positivo
Y la respuesta es
x < −5 o − 12≤ x < 4
Intervalos (−∞,−5) ∪ [−12 , 4)
O sea que la solución son los puntos menores que −5, junto con los que
están entre −12
y 4 incluyendo −12
.
Gráfica
Ejemplo 4.x− 5
4x− 1≥ 4
3
Estrategia: 1. Utilizamos la propiedad aditiva de la desigualdad para dejar0 en la parte derecha. 2. Se realizan operaciones para dejar una sola fracciónen el lado izquierdo. 3. Se resuelve igual que el anterior.
x− 54x− 1
− 43≥ 4
3− 4
3
3(x− 5)− 4(4x− 1)3(4x− 1)
≥ 0
3x− 15− 16x + 43(4x− 1)
≥ 0
−13x− 113(4x− 1)
≥ 0
−13x− 11 = 0 3(4x− 1) = 0
7
1.10 Ejemplos 1 NÚMEROS REALES.
x =−1113
x =14
x x−54x−1 ≥
43
-1 Falso0 Verdadero1 Falso
Por lo que tenemos
Intervalo (−∞,−1113) (−11
13 , 14) (1
4 ,+∞)Falso Verdadero Falso
Intervalo [−1113 , 1
4)
−1113≤ x <
14
Gráfica:
Ejemplo 5. |6x− 3| ≥ 4
Estrategia: 1. Se aplica el teorema de desigualdades con valor absoluto yse descompone en dos desigualdades. 2. Se resuelve cada una de ellas y comoes el caso tipo O se unen las respuestas. 3. Se grafica y se da la respuesta conintervalos.
6x− 3 ≥ 4 o 6x− 3 ≤ −4
6x− 3 + 3 ≥ 4 + 3 o 6x− 3 + 3 ≤ −4 + 3
6x ≥ 7 o 6x ≤ −1
6x6≥ 7
6o
6x6≤ −1
6
x ≥ 76
o x ≤ −16
Intervalos (−∞,−16 ] ∪ [7
6 ,+∞)
8
1 NÚMEROS REALES. 1.11 Ejercicios
Gráfica
1.11. Ejercicios
[Thomas] P. 8 # 6,7,9,10,11,12,23,25,27,31,33,34
1.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 1
Resuelva las siguientes desigualdades:
1. 4− 2(3x + 1) ≤ 3(x− 1) +23
3− 3(2x− 1) ≥ 2(x− 2)− 13
3− 2(5− 3x) ≤ 3(x− 2)− 23
5− 3(x + 1) ≥ 2(x− 1)− 13
2.x2 − 7x + 6
2x− 1≥ 0
x2 − 5x + 42x + 3
≤ 0
x2 − 5x + 42x + 1
≤ 0x2 − 7x + 6
2x− 3≥ 0
3.x− 7
2x + 5≥ 3
4x− 3
4x− 1≤ 5
3
x− 62x + 3
≤ 35
x− 54x− 1
≥ 43
4. |3x− 2| ≤ 52
|4x− 1| ≤ 32
|5x− 1| ≤ 32
|2x− 3| ≤ 52
9
1.13 Bibliografía Unidad 1 1 NÚMEROS REALES.
5. |2x− 5| ≥ 4 |3x− 2| ≥ 3
|2x− 3| ≥ 7 |3x− 5| ≥ 2
1.13. Bibliografía Unidad 1
[Thomas] Cálculo, una variable, Undécima Edición; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.
[Purcell] Cálculo, Novena Edición; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.
[Larson] Cálculo 1 de una variable, Novena Edición; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.
[Apostol] Calculus, Segunda Edición; Tom M. Apostol; Editorial Reverté.
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2 FUNCIONES.
2. Funciones.
Competencia de la Unidad 2
Reconoce y grafica las principales funciones de variable real.
Competencias cognitivas Competenciasprocedimentales
Competencias actitudinales
Conoce la defini-ción formal de fun-ción.
Identifica los difer-entes tipos de fun-ciones.
Identifica los val-ores importantesen la gráfica deuna función.
Realiza opera-ciones con fun-ciones.
Elabora la gráficade una función.
Encuentra el do-minio y el rango deuna función.
Modela fenómenosde la vida real conlas funciones.
Trabaja en equipo
Relaciona el con-cepto de funcióncon diferentessituaciones y con-textos.
Es responsable desu aprendizaje.
Reflexiona sobrelos resultados enel modelado de unproblema.
Interpreta situa-ciones del mundoreal utilizandoel concepto defunción.
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2.1 Definición de función. 2 FUNCIONES.
Competencias Especificas de la Unidad 2
Conoce la definición formal de función.
Identifica los diferentes tipos de funciones.
Encuentra el dominio y el rango de una función.
Modela fenómenos de la vida real con las funciones.
Utiliza software para graficar funciones.
Realiza operaciones con funciones.
Relaciona el concepto de función con situaciones reales.
Reflexiona sobre sus resultados en el modelado de un problema.
Interpreta situaciones reales utilizando el concepto de función.
2.1. Definición de función.
Una función f es un conjunto de pares ordenados (x,y), cuyo primer ele-mento no se repite. El valor de y es único para cada x por lo que se puederepresentar y=f(x). O sea que los pares serían (x,f(x)). También podemos vera una función como una relación entre el conjunto A y el conjunto B, y serepresenta por: f A→ B.
Es posible entonces leer el valor de f (x) a partir de la gráfica de la función(Ver Figura 1), es decir f (x) es el valor de la altura (positiva o negativa) delpunto x, dependiendo de la función de que se trate.
12
2 FUNCIONES. 2.2 Dominio.
2.2. Dominio.
El conjunto de los primeros elementos de la función se llama dominio,DOM( f ) = {x|(x, y) ∈ f }.
2.3. Rango.
El conjunto de los segundos elementos de la función se llama rango,RAN( f ) = {y|(x, y) ∈ f }.
2.4. Tipos de funciones
Lineal. f (x) = mx + b.
Cuadrática. f (x) = ax2 + bx + c.
Racional Lineal. f (x) =1
ax + b.
Racional Cuadrática. f (x) =1
ax2 + bx + c.
Raíz Lineal. f (x) =√
ax + b.
Raíz Cuadrática. f (x) =√
ax2 + bx + c.
Logarítmica. f (x) = k + ln (ax + b).
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2.5 Operaciones con funciones. 2 FUNCIONES.
Exponencial. f (x) = k + eax+b.
Senoidal. f (x) = k + A sin 2πw(x− β).
2.5. Operaciones con funciones.
Sean f y g funciones, para toda x que pertenezca al dominio tanto de fcomo de g definimos las siguientes funciones:
( f + g)(x) = f (x) + g(x)
( f − g)(x) = f (x)− g(x)
( f g)(x) = f (x)g(x) .
( fg )(x) = f (x)
g(x) donde g(x) 6= 0.
2.6. Translación de funciones.
Es interesante ver como después de que hemos aprendido el comportamientonatural de las funciones, éste puede afectarse cuando se aplican operacionesde suma, resta, multiplicación y división de constantes reales. es decir pode-mos transladar (desplazar) las funciones horizontal y verticalmente a partir delas condiciones siguientes (ver tabla.)
Desplazamientos Verticales y Horizontales.
Suponga que c > 0. Representa la gráfica de la función: y = f (x)y = f (x) + c Transladada una distancia de c unidades hacia arriba.y = f (x)− c Transladada una distancia de c unidades hacia abajoy = f (x− c) Transladada una distancia de c unidades hacia la derechay = f (x + c) Transladada una distancia de c unidades hacia la izquierda
También podemos estirar o comprimir una función. Esto se logra mul-tiplicando la función f (x) o la variable independiente x por una constanteapropiada (ver tabla)
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2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos
Estiramiento, Compresión y Reflexión de la Gráfica de una Función
Para c > 0 La gráfica de la función y = f (x) se:y = c f (x) Estira o dilata verticalmente por un factor de c unidadesy = 1
c f (x) Comprime verticalmente por un factor de c unidadesy = f (cx) Comprime horizontalmente por un factor de c unidadesy = f ( x
c ) Estira o dilata horizontalmente por un factor de c unidadesPara c = −1y = − f (x) Refleja la gráfica con respecto al eje xy = f (−x) Refleja la gráfica con respecto al eje y
2.7. Ejemplos
Función Lineal.
La función lineal es de la forma f (x) = mx + b, donde m representa lapendiente (inclinación) y b representa la intersección de la recta con el eje y(cuando el valor de x = 0 ) se le llama ordenada en el origen. La pendiente mpuede ser positiva (sube), negativa (baja) o cero (recta horizontal).
Cuando b = 0 tenemos la funcion f (x) = mx que nos representa unafunción que pasa por el origen (0, 0). La pendiente viene a ser intuitivamente“lo que sube o baja la recta entre lo que avanza”.
m =lo que sube (baja)
lo que avanza
si m > 0 la pendiente es positiva.si m < 0 la pendiente es negativa.
Gráfica de la función.Para encontrar la gráfica de la función procedemos con el siguiente algo-
ritmo.
Paso 1. Encontramos la intersección con el eje x para lo cual sustituímosy = 0 en la ecuación de la función.
Paso 2. Ubicamos el punto calculado en el paso anterior en el eje x.Paso 3. Encontramos la intersección con el eje y sustituyendo x = 0 en la
ecuación y reslovemos para y.Paso 4. Ubicamos el punto calculado en el eje y.Paso 5. Unimos los puntos con una linea, observemos que esta es una linea
recta.
Ejemplo 1. Encuentre la gráfica de la función. y = −2x + 6.
Paso 1. Sustituyendo y = 0, tenemos 0 = −2x + 6 resolviendo para xtenemos que x = 3.
15
2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.
Paso 2. Usando GeoGebra colocamos el punto A(3, 0).Paso 3. Sustituyendo x = 0, encontramos y = 6Paso 4. Usando GeoGebra colocamos el punto B(0, 6).Paso 5. Unimos los puntos A y B.
Dominio y Rango de la función.Esta función como podemos observar en la gráfica es válida para todos los
valores de x, por lo tanto DOM( f ) = D f = (−∞, ∞), los parentesis indicanque el intervalo es abierto. y el rango RAN( f ) = R f = (−∞, ∞) es igual aldominio (excepto cuando m = 0, en cuyo caso RAN( f ) = R f = {b} ).
Función Cuadrática.La función cuadrática tiene la forma general: f (x) = ax2 + bx + c. repre-
senta una parábola, cuyo caso más elemental es f (x) = x2 una parábola convértice en el origen.
Reconocemos como vértice el punto que identifica el punto mas bajo, o masalto dependiendo si la parábola abre hacia arriba (bajo) o hacia abajo (alto).
Las coordenadas del vértice V(h, k) donde h = − b2a y k = f (h), es decir el
valor de k se encuentra sustituyendo en la función el valor de h.Observando la forma general podemos identificar algunas características
de la gráfica de la función, es decir:
El valor de a puede ser
{a > 0 parabola abre hacia arribaa < 0 parabola abre hacia abajo
El valor del discriminante b2 − 4ac puede tener tres casos.b2 − 4ac > 0 corta en dos puntos al eje xb2 − 4ac = 0 corta en un punto al eje xb2 − 4ac < 0 no corta al eje x
16
2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos
Gráfica de la función.De igual manera que en el caso anterior podemos desarrollar un algoritmo
para encontrar la gráfica.
Paso 1. Encuentre el valor del discriminante.Paso 2. Encontrar intersecciones con los ejes. Proceda de la manera indi-
cada en la función lineal. Observe que al tomar el valor de y = 0, el resultadoes una ecuación cuadratica que hay que resolver usando la fórmula general,donde encontramos dependiendo del valor del discriminante dos o una inter-sección con el eje x.
Paso 3. Encuentre las coordenadas del vértice. Usando las fórmulas men-cionadas anteriormente.
Paso 4. Trace la gráfica.
Ejemplo 2. Graficar f (x) = x2 − 6x + 8b2 − 4ac = (−6)2 − 4(1)(8) > 0 tiene dos intersecciones con xx2 − 6x + 8 = 0 se iguala a cero para encontrar las intersecciones con el eje
x.(x− 4)(x− 2) = 0 resolviendo para cada factor se obtienex = 4, x = 2 Dos intersecciones en el eje.Tomando x = 0, tenemos f (0) = 02− 6(0) + 8 = 8 la intersección con y = 8El valor del vértice:h = −(−6)
2(1) = 62 = 3
f (3) = 32 − 6(3) + 8 = −1 = kLas coordenadas de V son (3,−1)
x y2 03 -14 0
Dominio y rango de la funciónPara el caso de funciones de este tipo es importante observar que el Dominio siempre va
a ser todo el eje x, en el caso del Rango la coordenada k del vértice y hacia adonde abre laparábola lo definen. Para el caso del ejemplo tenemos que D f = (−∞, ∞), R f = [−1, ∞).
Raíz LinealLa raíz lineal como función se grafica como una media parábola y depen-
diendo del valor de a es como esta se abre, ya sea, hacia la derecha (a>0) oizquierda (a<0).
Gráfica de la función.Paso a paso la gráfica se obtiene:Paso 1. El punto de intersección con el eje x, lo obtenemos al resolver la
expresión ax + b = 0, es decir x = − ba .
Paso 2. Después tomaremos otros dos puntos uno a la derecha y otro a laizquierda del valor encontrado de x; si el resultado es negativo, estaría fuerade su dominio, de acuerdo a las propiedades de la raíz cuadrada. Si por el
17
2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.
contrario el resultado de sustituir el punto escogido es positivo, estará dentrodel dominio de la función.
Paso 3. Definido lo anterior se grafica a partir del punto x y el punto dondeel valor es positivo, se supone que la función se continúa a lo largo del eje x,hasta el infinito.
Ejemplo 3. Graficar f (x) =√
3x− 6.
Al resolver para x, 3x − 6 = 0 encontramos que x = 2. Ahora escogemosdos puntos 10 y -10 y los sustituímos. f (10) =
√3(10)− 6 =
√24 ≈ 4.9 y
f (−10) =√
3(−10)− 6 =√−36 , como se ve al sustituir el valor 10 positivo,
el resultado de la raíz es válido en R, no así para x = -10. Una vez definidoesto graficamos a partir de (2, 0) pasando tambien por el punto (10, 4.9).
Función Raíz CuadráticaDiferente a la raíz lineal, la raíz cuadrática se grafica de dos formas, como
una media hipérbola (a > 0), o cuando el valor de a < 0 da como resultado lagráfica de una media elipse con valor máximo a la mitad de las coordenadasde los puntos de inicio y término de la misma.
Caso (a > 0).Para encontrar los valores de inicio resolvemos ax2 + bx + c = 0 encon-
trando dos puntos que corresponden a las coordenadas de inicio de las hipér-bolas. Para identificar la tendencia de las gráficas tomaremos otros dos val-ores, uno mayor que el punto de inicio de la hipérbola que abre a la derechay el otro menor que el punto de inicio de la hipérbola que abre hacia laizquierda.
Caso (a < 0).Para encontrar estos puntos procedemos de la misma forma que lo hicimos
en el caso anterior, es decir resolvemos −ax2 + bx + c = 0 encontrando lasraíces que definen los valores extremos de la elipse y el punto medio como se
18
2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos
mencionó anteriormente, es el valor máximo que se obtiene al sustituír en lafunción el valor medio de los puntos anteriores.
Ejemplo 4. Graficar la función f (x) =√
x2 − 5x + 6.
Paso 1. Resolvemos x2 − 5x + 6 = 0 ⇒ (x− 3)(x− 2) = 0 de donde se veque los valores son x = 3 y x = 2. Que corresponden a las coordenadas de lospuntos A y B de la gráfica.
Paso 2. Se seleccionan otros dos puntos arbitrarios en este caso el punto F =(6, 0) y el punto G = (−2, 0) encontrando sus correspondientes ordenadas.
Con x = 6 tenemos f (6) =√
62 − 5(6) + 6 ≈ 3.46 encontrando las coorde-nadas del punto D = (6, 3.46)
Con x = −2 se obtiene f (−2) =√(−2)2 − 5(−2) + 6 ≈ 4.47 que definen
las coordenadas del punto C = (−2, 4.47). Ver Figura 6.
El dominio es D f = (−∞, 2]⋃[3, ∞) y el rango es de R f = [0, ∞)
Ejemplo 5. Graficar la función f (x) =√−x2 − 5x + 6.
Paso 1. Resolviendo −x2 − 5x + 6 = 0 =⇒ (x + 6)(x− 1) = 0 de donde seobtienen las coordenadas de los puntos C = (1, 0) y D = (−6, 0)
Paso 2. El valor medio de estos puede encontrarse con la fórmula h = −b2a =
−(−5)2(−1) = 5
−2 = −2.5, encontrando la abscisa de A = (−2.5, 0) correpondiente
a un valor de y igual a f (−2.5) =√(−2.5)2 − 5x + 6 = 3.5 que proporciona la
ordenada de B = (−2.5, 3.5) con estos tres puntos trazamos una media elipse.(Ver Figura 7)
El valor del dominio es D f = [−6, 1] y el rango R f = [0, 3.5]
19
2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.
Función Racional.
Esta función es de la forma f (x) = N(x)Q(x) con Q(x) 6= 0 , donde los poli-
nomios N(x) y Q(x) son de cualquier grado.NOTA. Para la graficación de polinomios N(x) y Q(x) de grado superior a
dos, se hacen necesarios conceptos que se verán posteriormente en el capítulode aplicación de la derivada, en esta unidad nos concentraremos en dos casos.
Función Racional Lineal y Función Racional Cuadrática.La función racional lineal es de la forma f (x) = k
ax+b con sus dos casoska > 0 y k
a < 0.
Para graficar esta función necesitamos:Paso 1. Calcular el punto correspondiente a la asíntota vertical. Este punto
es aquel en el que el denominador se hace cero por tanto para calcularlo,igualemos el denominador a cero y resolvamos para x.
Paso 2. Encontrar los vértices de la hipérbola; para esto, trazamos la bisec-triz entre las asíntotas vertical y horizontal, debido a que el ángulo entre éstases 90◦, la bisectriz es una recta a 45◦ que pasa por el punto de intersección delas asíntotas. La ecuación de esta recta, la igualamos con la función original,y se resuelve para las x’s. Estos puntos los sustituímos en la función originalo en la ecuación de la recta y encontramos las ordenadas.
Paso 3. Encontrar la interseccion con el eje y.
Ejemplo 6: Graficar la función f (x) = 12x−6 . Donde k
a > 0.
La asíntota vertical se encuentra en el punto donde 2x − 6 = 0 ⇒ x = 3,veamos la gráfica y observemos que este punto correspondiente a A = (3, 0).
Despues obtenemos la ecuación de la recta bisectriz, y = x − 3 igualandolas funciones para encontrar el punto de intersección
12x−6 = x− 3 cancelando x− 3 tenemos
12x−6 − x + 3 = 0 tomando denominador común1−x(2x−6)+3(2x−6)
2x−6 = 1−2x2+6x+6x−182x−6 = 0 cancelando 2x− 6 y multiplicando
por (-1) obtenemos:
20
2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos
2x2 − 12x + 17 = 0 usando la llamada fórmula general encontramos quex1 ≈ 2.29 y x2 ≈ 3.71, se sustituyen en y = x − 3 = 2.29− 3 = −0.71 obte-niendose el punto C = (2.29,−0.71) el otro punto lo encontramos al sustituiry = 3.71 − 3 = 0.71, lo que permite encontrar las coordenadas del puntoB = (3.71, 0.71).
La intersección con el eje y la encontramos sustituyendo x = 0 en la funciónoriginal.
f (0) = 12(0)−6 = 1
−6 = −0.17, encontrando las coordenadas del punto D =
(0,−0.17)Despues de realizar los cálculos solo queda determinar el Dominio y Rango
de la función, el dominio son todos los valores del eje x excepto en el puntodonde la función se hace indeterminada, es decir la asíntota vertical x = 3.Lo mismo sucede para el rango son todos los puntos del eje vertical exceptoen donde tiende a cero. Para este ejemplo el eje de las x´s. Quedando D f =(−∞, 3) ∪ (3, ∞) y el rango R f = (−∞, 0) ∪ (0, ∞).
El caso donde ka < 0 se elabora de manera similar solo que la hipérbola
queda invertida.
Función Racional Cuadrática:
Son de la forma f (x) = kax2+bx+c ; se verán dos casos, similar a la racional
lineal ka > 0 y k
a < 0. Otra condición es que el discriminante sea positivo enambos casos.
El método de solución es similar al de la función racional lineal sólo que,en este tipo de funciones como el denominador es una función de segundogrado, se tienen dos raíces, por tanto son dos asíntotas verticales.
Ejemplo 7. Graficar la función es f (x) = 1x2+x−6 .
Al resolver el denominador igualado a 0, se observa que los valores sonx = −3 y x = 2, los que permiten encontrar los puntos A y B que son los
21
2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.
puntos en el eje x, donde cruzan las asíntotas verticales. El punto medio dela parte cuadrática que es el máximo valor, lo obtenemos calculando el puntomedio entre los dos valores que obtuvimos o bien con la fórmula xm = −b
2a =−12 = −0.5, la ordenada la obtenemos sustituyendo este valor en la función
original.f (−0.5) = 1
(−.5)2+.5−6 ≈ −0.16 por lo tanto C = (−0.5,−0.16).
Debido a que encontrar los puntos F, G, H e I, resulta en cálculos muycomplicados se deja como opcional. Observando la gráfica podemos ver queD f = (−∞,−3) ∪ (−3, 2) ∪ (2, ∞), el rango es R f = (−∞,−0.5)] ∪ (0, ∞) .
El segundo caso donde ka < 0 se resuelve de manera similar.
Función Logaritmo Natural:
De la forma f (x) = k + ln(x − p) donde k representa el desplazamientovertical y p el desplazamiento horizontal. Tiene como caso más simple cuandok = p = 0 es decir, f (x) = ln(x) y cuyo dominio es D f = (0, ∞) y R f =(−∞, ∞) que el valor para x = 1 es ln(1) = 0 tiene una gráfica como lasiguiente:
22
2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos
Ejemplo 8. Graficar f (x) = 2 + ln(x− 3)
\cup\cup
Función Exponencial
De la forma f (x) = k + e(x+p) que de igual manera que en la funciónlogaritmo, la k representa un desplazamiento vertical, hacia arriba si k > 0y hacia abajo si k < 0 y p > 0 un desplazamiento horizontal a la izquierda y ala derecha si k < 0; el dominio de la función exponencial es D f = (−∞, ∞) yel rango es de R f = (k, ∞). Veamos la siguiente gráfica.
Ejemplo 9. Graficar las funciones f (x) = 3 + ex y f (x) = ex+3
Ejemplo 10. Funciones definidas por partes.
El reconocer los tipos básicos nos ayuda para entender este tipo de fun-ciones, ya que una función por partes lo que quiere decir es que es una mezclade varias funciones, es decir sea la función:
23
2.7 Ejemplos 2 FUNCIONES.
f (x) =
x + 10 −15 ≤ x < −3.58x2 −3.58 ≤ x < 4.259 x ≥ 4.25
Como se observa esta función es una combinación de tres funciones elemet-ales, una recta, una parábola y la función constante.
Función constante es aquella en la que el valor definido por f (x) se mantieneconstante en todo el dominio.
De lo anterior, la gráfica de la función es:
El Dominio de la función anterior es D f = [−15, −3.58) ∪ (−3.58, ∞) y elRango R f = [−5, 9].
Función Valor Absoluto.
f (x) = |a| ={
a, a ≥ 0−a, a < 0
en palabras se puede decir que el valor de x es igual a x si el valor espositivo o cero, y si el valor es negativo, se quitan las barras y se antepone unsigno negativo.
Ejemplo 11. Graficar f (x) = |2x + 3|
En este caso a = 2x + 3 por tanto si a ≥ 0, la función es 2x + 3, pero sia < 0, entonces la función, se convierte en a = −(2x + 3) = −3− 2x y paragraficar encontrmos el valor de intersección con x siendo este x = −3
2 con estovemos que la gráfica es:
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2 FUNCIONES. 2.7 Ejemplos
El dominio de la función es D f = (−∞, ∞) y el rango R f = [0, ∞).
Ejemplo 12. Combinar cambios de tamaño y reflexiones.
Dada la función f (x) = x4 − 4x3 + 10, encuentre la gráfica si se comprimehorizontalmente por un factor de 2, seguido por una reflexión a través del ejey.
Primeramente vemos que la función resultante es: y = f (−2x) = (−2x)4−4(−2x)3 + 10 = 16x4 + 32x3 + 10
También encontrar la gráfica si de comprime verticalmente por un factor de2, seguido por una reflexión a través del eje x.
Vemos que la función resultante es: y = −12 f (x) = −1
2 x4 + 2x3 − 5
25
2.8 Ejercicios propuestos 2 FUNCIONES.
2.8. Ejercicios propuestos
[Thomas] P. 26, # 1,3,5,7,8,9,23,24,25,27,29P. 37, # 7,8,9,10,11,19,21,23,25,27P. 45, # 1,3,5,7,9,29,30,31,33,41,42,43,45P. , # 7,9,15,17,19,20,21,22
2.9. Examen escrito propuesto de la Unidad 2
Grafique las siguientes funciones
1. f (x) = 2x2 − 7x + 1 f (x) = 3x2 − 5x− 1 f (x) = 3x2 −7x + 1
2. f (x) =√
7x2 − 19x− 6 f (x) =√
5x2 + 7x− 6 f (x) =√
5x2 + 18x− 8
Grafique las siguientes funciones y encuentre la función inversa
3. f (x) =4
x− 3f (x) =
2x− 1
f (x) =4
x− 5
26
2 FUNCIONES. 2.10 Bibliografía para la Unidad 2
4. f (x) =32+ ln (x− 2) f (x) =
53+ ln (x− 3) f (x) =
14+ ln (x− 2)
5. f (x) = 1 +23
sen5πx f (x) = 2 +13
sen7πx f (x) = 1 +23
sen5πx
6. Encuentre f (g(x))
f (x) = 2 +1
x− 2, g(x) = 2x2 − 7x + 1
f (x) = 1 +5
x− 3, g(x) = 3x2 − 5x− 1
f (x) = 5 +2
x− 1, g(x) = 3x2 − 7x + 1
7. Graficar
f (x) =
{1− 2x, x ≤ 02x2 − 7x + 1, x > 3
f (x) =
{3− 2x, x ≤ 03x2 − 5x− 1, x > 3
f (x) =
{2− 3x, x ≤ 03x2 − 7x + 1, x > 3
8. f (x) = |32+ ln (x− 2)| f (x) = |5
3+ ln (x− 3)| f (x) = |1
4+ ln (x− 2)|
2.10. Bibliografía para la Unidad 2
[Thomas] Cálculo, una variable, Undécima Edición; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.
[Purcell] Cálculo, Novena Edición; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.
[Larson] Cálculo 1 de una variable, Novena Edición; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.
[Stewart] Calculus, Trascendentes Tempranas: Quinta Edición; James Stew-art; Editorial Thomson.
27
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD.
3. Límites y Continuidad.
Competencia de la Unidad 3
Encuentra el límite de un cociente para cualquiera de los nueve casosy aplica el método adecuado para quitar la indeterminación.
Competencias cognitivas Competencias procedimentales Competencias actitudinales
Conoce y comprendela definición formalde límite en base alos conceptos intu-itivos de "arbitraria-mente cerca" y "sufi-cientemente cerca".
Conoce los princi-pales métodos paraquitar una indeter-minación en el cál-culo de un límite.
Conoce y comprendela definición formalde continuidaddesde el punto devista intuitivo yasociándola con elconcepto de límite.
Reconoce los difer-entes tipos de dis-continuidad.
Encuentra el límitede un cociente.
Calcula los límiteslaterales de unafunción definidaseccionalmente.
Encuentra el límiteinfinito de una fun-ción.
Calcula límites al in-finito.
Encuentra las asínto-tas de una función.
Trabajo en equipopara ilustrar los difer-entes tipos de límites.
Es responsable de suaprendizaje.
Integra conceptosconocidos para des-cubrir conceptos deotro nivel.
Relaciona el conceptode límite con fenó-menos físicos de lavida diaria.
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3.1 Límite. 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD.
Competencias Específicas de la Unidad 3
Conoce y comprende la definición formal de límite en base a losconceptos intuitivos de "arbitrariamente cerca" y "suficientementecerca".
Conoce los principales métodos para quitar una indeterminaciónen el cálculo de un límite.
Encuentra el límite de un cociente.
Calcula los límites laterales de una función definida seccional-mente.
Encuentra el límite infinito de una función.
Calcula límites al infinito.
Encuentra las asíntotas de una función.
Conoce y comprende la definición formal de continuidad desdeel punto de vista intuitivo y asociándola con el concepto de límite.
Reconoce los diferentes tipos de discontinuidad.
3.1. Límite.
El límite de una función se representa como: limx→a
f (x) = L y significa que
f (x) está "arbitrariamente cerca" de L, cuando x está "suficientemente cerca"de a.
Definición formal de límite: limx→a
f (x) = L significa que
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ ⇒ | f (x)− L| < ε
3.2. Continuidad.
Concepto intuitivo: Una función es continua si podemos trazar su gráficasin despegar el lápiz del papel.
Definición formal de continuidad: Una función es continua si
∀ ε > 0, ∃ δ > 0 tal que |x− a| < δ ⇒ | f (x)− L| < ε.
30
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD. 3.3 Límite infinito.
3.3. Límite infinito.
limx→a
f (x) = +∞ significa que
f (x) "crece arbitrariamente", cuando x está "suficientemente cerca" de a.
Definición formal de límite infinito: limx→a
f (x) = +∞ significa que
∀ N > 0, ∃ δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ ⇒ f (x) > N
Límite al infinito.
El límite de una función cuando x tiende a +∞ se representa como: limx→+∞
f (x) =
L y significa que f (x) está "arbitrariamente cerca" de L, cuando x está "crecelo suficiente".
Definición formal de límite al infinito: limx→+∞
f (x) = L significa que ∀ ε >
0, ∃ M > 0 tal que x > M ⇒ | f (x)− L| < ε.
3.4. Asíntota
Una función f tiene una asíntota horizontal y = b si limx→+∞
f (x) = L o
si limx→−∞
f (x) = L
Una función f tiene una asíntota vertical x = a si limx→a
f (x) = +∞ o si
limx→a
f (x) = −∞. En esto caso los límites pueden ser laterales.
3.5. Ejemplos
Se analiza con generalidad el límite de un cociente, presentando un métodopara resolver los casos en que aparece una indeterminación. El límite de uncociente lo podemos representar como:
limx→a
f (x)g(x)
Primeramente analizaremos los límites del numerador y del denominador,supongamos que lim
x→af (x) = N y que lim
x→ag(x) = D. Es importante señalar
que solamente 3 casos son relevantes, cuando los valores de N y D son unnúmero diferente de cero, cuando algún valor es cero o cuando es infinito.Obtenemos 9 casos que se resumen en la siquiente tabla:
31
3.5 Ejemplos 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD.
N 0 ∞D N
D 0 ∞0 ∞ IND ∞∞ 0 0 IND
Las columnas indican el valor del numerador y los renglones los valoresdel denominador, así por ejemplo si el numerador de un cociente tiende a unnúmero real cualquiera y el denominador tiende a ∞ el cociente tiende a 0,como se ve en el último renglón de la tabla, columnas 1 y 2. La comprobaciónde los casos de la tabla es una consecuencia directa de las propiedades yde la definición de límite. Nota: La tabla también abarca el caso de límiteslaterales, el símbolo ∞ puede significar +∞ o -∞ por lo que tenemos queverificar siempre si el límite es positivo o negativo.
A continuación se presentan ejemplos de casa uno de los casos en la tabla,del 1 al 3 corresponden al primer renglón, del 4 al 6 al segundo y del 7 al 9para el tercero.
Ejemplo 1: limx→2
x2 − x + 32x2 + 1
Vemos que limx→2
(x2 − x + 3) = 5 y que limx→2
(2x2 + 1) = 9 por la tabla, vemos
que la respuesta es directa utilizando el primer caso.
limx→2
x2 − x + 32x2 + 1
=59
Ejemplo 2: limx→−3
x2 − x− 62x− 4
Vemos que limx→−3
(x2 + x− 6) = 0 , y que limx→−3
(2x− 4) = −10
por el segundo término del primer renglón en la tabla, vemos que la re-spuesta es directa y el resultado es 0.
limx→−3
x2 − x− 62x− 4
= 0
Ejemplo 3A: limx→∞
2x2 + 73− 1
x
Vemos que limx→∞
(2x2 + 7) = +∞ y limx→∞
(3− 1x) = 3
por el tercer caso del primer renglón de la tabla tenemos
32
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD. 3.5 Ejemplos
limx→∞
2x2 + 73− 1
x= +∞
Cuando tenemos el caso de infinito, debemos analizar los signos de lasexpresiones, el caso anterior no fue necesario porque 2x2 + 7 > 0
Ejemplo 3B: limx→∞
2− x2
1x − 5
Vemos que limx→∞
(2− x2) = −∞ y limx→∞
(1x− 5) = 3
por el tercer caso del primer renglón de la tabla tenemos
limx→∞
2− x2
1x − 5
= −∞
Ejemplo 3C: limx→3
4 + 1(x−3)2
x2 + 5
Vemos que limx→3
(4 +1
(x− 3)2)= +∞ y lim
x→3(x2 + 5) = 14,
por el tercer caso del primer renglón de la tabla tenemos
limx→3
4 + 1(x−3)2
x2 + 5= +∞
Ejemplo 4: limx→3
1− x(x− 3)2
Vemos que limx→3
(1− x) = −2 y limx→3
(x − 3)2) = 0, por el primer caso del
segndo renglón de la tabla tenemos que el límite es infinito, pero como elnumerador tiende a −2 tenemos:
limx→3
1− x(x− 3)2 = −∞
Ejemplo 5: Indeterminación00
. limx→5
2x2 − 9x− 5x2 − 25
Vemos que limx→5
(2x2 − 9x − 5) = 0 y limx→5
(x2 − 25) = 0, Tenemos lo que se
llama una indeterminación y necesitamos quitar dicha indeterminación paracalcular el límite. Una forma muy simple es aplicando algún procediminetoalgebraico para encontrar una expresión que sea igual a la función en todoslos puntos excepto en el valor de x = 5.
Factorizamos numerador y denominador y obtenemos que2x2 − 9x− 5
x2 − 25=
(2x + 1)(x− 5)(x + 5)(x− 5)
=2x + 1x + 5
, pero este es el primer caso por lo que
33
3.5 Ejemplos 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD.
limx→5
2x2 − 9x− 5x2 − 25
= limx→5
2x + 1x + 5
=1110
Ejemplo 6: limx→1
6 + 1(x−1)2
x2 − 3x + 2
Vemos que limx→1
(6 +1
(x− 1)2 ) = +∞ y limx→1
(x2 − 3x + 2) = 0, por el tercer
caso del segundo renglón de la tabla tenemos que
limx→1
6 + 1(x−1)2
x2 − 3x + 2= +∞
Nota: En este caso es muy importante, como ya se mencionó, analizar lossignos de las expresiones cerca delvalor al que tiende x. A veces el límite noexiste porque puede tender a + ∞ por un lado y a - ∞ por el otro; tambiénpuede ser que tienda a cero el denominador con valores positivos por un ladoy negativos por el otro, por lo que debemos de tener mucho cuidado. Cuadoesto sucede debemos de analizar los límites laterales.
Ejemplo 7: limx→4
x2 + x− 71
(x−4)2
Vemos que limx→1
(x2 + x− 7) = 13 y limx→4
(1
(x− 4)2 = +∞
por el primer caso del tercer renglón de la tabla tenemos que
limx→4
x2 + x− 71
(x−4)2
= 0
Ejemplo 8: limx→1
x2 + 3x− 51
(x−1)2
Vemos que limx→1
(x2 + 3x− 5) = 0 y limx→1
1(x− 1)2 = +∞
por el primer caso del tercer renglón de la tabla tenemos que
limx→1
x2 + 3x− 51
(x−1)2
= 0
Nota: En los casos de los ejemplo 7 y 8 no es relevante el signo de lasexpresiones, ¿por qué?
34
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD. 3.5 Ejemplos
Ejemplo 9: Indeterminación∞∞
. limx→∞
2x3 + 7x + 14x3 + 9
Vemos que limx→∞
(2x3 + 7x + 1) = ∞ y limx→5
(4x3 + 9) = ∞, Tenemos otra
indeterminación y necesitamos quitar dicha indeterminación para calcular ellímite. Una forma muy simple es aplicando algún procedimineto algebraicopara encontrar una expresión que sea igual, en este caso dividimos por la lavariable a la mayor potencia y obtenemos
2x3 + 7x + 14x3 + 9
=2x3+7x+1
x3
4x3+9x3
=2 + 7
x2 +1x3
4 + 9x3
en este caso tenemos que limx→∞
(2 +7x2 +
1x3 ) = 2 y lim
x→∞(4 +
9x3 = 4
Por lo queda como el primer caso, entonces limx→∞
2x3 + 7x + 14x3 + 9
=12
Ejemplo 10: Encuentra las asíntotas de la siguiente función f (x) =x2 + x− 12
x2 − 9.
Asíntotas horizontales:
Primeramente vemos que
limx→+∞
x2 + x− 12x2 − 9
= limx→+∞
x2
x2 +xx2 − 12
x2
x2
x2 − 9x2
= limx→+∞
1 + 1x −
12x2
1− 9x2
= 1
por lo que y = 1 en una asíntota horizontal.
Asíntotas verticales: Para las asíntotas verticales resolvemos la ecuaciónx2− 9 = 0 , pues queremos obtener un límite infinito, por la primera columnasegundo rengón de la tabla de límite de un cociente.
x2 − 9 = 0 ⇒ x = 3 o x = −3
Analizamos el límite de la función cuando x → 3 y cuando x→ −3
limx→3
x2 + x− 12x2 − 9
= limx→3
(x− 3)(x + 4)(x− 3)(x + 3)
= limx→3
x + 4x + 3
=76
Por lo tanto x = 3 no es una síntota.
Igualmente
limx→−3
x2 + x− 12x2 − 9
= limx→−3
(x− 3)(x + 4)(x− 3)(x + 3)
= limx→−3
x + 4x + 3
= ±∞
Por lo tanto x = −3 es una asíntota vertical.
35
3.6 Ejercicios propuestos 3 LÍMITES Y CONTINUIDAD.
3.6. Ejercicios propuestos
[Thomas] P. 89, # 1,7,11,13,15,17,19-36P. 99, # 15,16P. 113, # 7,8,9,11,13,15,21,23,27,27,29,31,33,35P. 122, # 1,3,5,7,11,17,19,27,31,35P. 133, # 13,15,16,17,19,21,23
3.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 3
Encontrar los siguientes límites.
1. limx→ 1
2
x2 − 4x + 1x2 + 3x− 7
limx→ 1
2
x2 − 6x− 3x2 + x− 5
2. limx→−5
3x2 + 15x3x2 + 16x + 5
limx→−4
3x2 + 13x + 42x2 + 8x
3. limx→2
x2 − 2x√
x−√
2limx→3
√x−√
3x2 − 3x
4. limx→+∞
2x2 − 7x− 4x2 − 8x + 16
limx→+∞
2x2 − 5x− 3x2 − 6x + 9
5. limx→0
3x + sen7xx
limx→0
sen6x + 4xx
6. Encuentre las asíntotas horizontales y verticales de la función
f (x) =2x2 − 7x− 4x2 − 8x + 16
f (x) =2x2 − 5x− 3x2 − 6x + 9
7. Calcule los límites laterales cuando x → 0 y x → 1:
f (x) =
2− x, x ≤ 0√
x, 0 < x < 13− 2x2, x ≥ 1
36
3 LÍMITES Y CONTINUIDAD. 3.8 Bibliografía para la Unidad 3
3.8. Bibliografía para la Unidad 3
[Thomas] Cálculo, una variable, Undécima Edición; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.
[Purcell] Cálculo, Novena Edición; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.
[Larson] Cálculo 1 de una variable, Novena Edición; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.
[Spivak] Cálculo infinitesimal; Segunda Edición;Michael Spivak, EditorialReverté.
37
4 DERIVADAS.
4. Derivadas.
Competencia de la Unidad 4
Calcula la derivada de una función.
Competencias cognitivas Competenciasprocedimentales
Competenciasactitudinales
Conoce y com-prende la defini-ción formal dederivada.
Identifica las fór-mulas de derivadasde funciones ele-mentales.
Conocepropiedades al-gebraicas dederivadas.
Comprende laregla de la cadena.
Conoce el conceptode diferencial.
Encuentra laderivada de unafunción usando ladefinición.
Calcula la derivadade una funciónutilizando fór-mulas, álgebrade derivadas yálgebra elemental.
Resuelve proble-mas de aproxi-mación utilizandodiferenciales.
Trabajo en equipo.
Es responsable desu aprendizaje.
Honestidad en ensus tareas y traba-jos.
Reflexiona sobrelas propiedadesalgebraicas yrefuerza susconocimientos deálgebra elemental.
39
4.1 Definición de Derivada 4 DERIVADAS.
Competencias Específicas de la Unidad 4
Conoce y comprende la definición formal derivada.
Identifica las fórmulas de derivadas de funciones elementales.
Conoce propiedades algebraicas de derivadas.
Comprende la regla de la cadena.
Encuentra la derivada de una función usando la definición.
Calcula la derivada de una función utilizando fórmulas, álgebrade derivadas y álgebra elemental.
Conoce el concepto de diferencial.
Resuelve problemas de aproximación utilizando diferenciales.
Reflexiona sobre las propiedades algebraicas y refuerza susconocimientos de álgebra elemental.
4.1. Definición de Derivada
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
4.2. Razón de cambio
Si y = f (x) la razón de cambio de y con respecto a x es f ′(x) =dydx
4.3. Derivadas laterales
Derivada por la derecha. f ′(a+) =lim
h→ 0+f (a + h)− f (a)
h
Derivada por la izquierda. f ′(a−) = limh→ 0−
f (a + h)− f (a)h
40
4 DERIVADAS. 4.4 Diferentes notaciones para la Derivada
4.4. Diferentes notaciones para la Derivada
Si y = f (x), f ′(x) = Dx f = Dxy =dydx
= y′ =d fdx
= y
4.5. Fórmulas de Derivadas
1. Dx(k) = 0 2. Dx(x) = 1
3.Dx(un) = n un−1 dudx
4. Dx(ln u) =dudxu
5. Dx√
u =dudx
2√
u6. Dx
n√
u =dudx
n n√
un−1
7. Dx(eu) = eu dudx
8. Dx(au) = au ln adudx
9. Dx(sin u) = cos ududx
10. Dx(cos u) = − sin ududx
11. Dx(tan u) = sec2 ududx
12. Dx(cot u) = − csc2 ududx
13. Dx(sec u) = sec u tan ududx
14. Dx(csc u) = − csc u cot ududx
15. Dx(arcsin u) =dudx√
1− u215’. Dx(arccos u) = −
dudx√
1− u2
16. Dx(arctan u) =dudx
u2 + 116’. Dx(arccot u) = −
dudx
u2 + 1
17. Dx(arcsec u) =dudx
u√
u2 − 117’. Dx(arccsc u) = −
dudx
u√
u2 − 1
18. Dx(sinh u) = cosh ududx
19. Dx(cosh u) = sinh ududx
20. Dx(tanh u) = sech2ududx
21. Dx(coth u) = −csch2ududx
22. Dx(sech u) = −sech u tanh ududx
23. Dx(csch u) = −csch u coth ududx
41
4.6 Álgebra de Derivadas 4 DERIVADAS.
4.6. Álgebra de Derivadas
Dx(u + v) = Dxu + Dxv Dx(cv) = cDxu
Dx(uv) = uDxv + vDxu Dx(uv) =
vDxu− uDxvv2
4.7. Regla de la Cadena
h(x) = f (g(x))⇒ h′(x) = f ′(g(x))g′(x),dydx
=dydu
dudx
4.8. Derivada de una Función Inversa
( f−1)′(x) =1
f ′( f−1(x))dydx
=1dxdy
4.9. Teorema de diferenciabilidad y continuidad
Si f tiene derivada en x = a entonces f es continua en x = a
4.10. Ejemplos
Derivadas por Definición: Encontrar la derivada utilizando la definición.
1. f (x) = 5x + 3
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
5(x + h) + 3− (5x + 3)h
=5x + 5h + 3− 5x− 3
h=
5hh
= 5
2. f (x) =x
x− 1
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
x+hx+h−1 −
xx−1
h= lim
h→0
(x+h)(x−1)−x(x+h−1)(x−1)(x+h−1)
h
= limh→0
(x + h)(x− 1)− x(x + h− 1)h(x− 1)(x + h− 1)
= limh→0
x2 − x + xh− h− x2 − xh + xxh + h2 − h
=−h
h(x− 1)(x + h− 1)= lim
h→0
−1(x− 1)(x + h− 1)
= limh→0
−1(x− 1)(x− 1)
42
4 DERIVADAS. 4.10 Ejemplos
=−1
(x− 1)2
3. f (x) =√
x
f ′(x) = limh→0
f (x + h)− f (x)h
= limh→0
(√
x + h−√
x)(√
x + h +√
x)h(√
x + h +√
x)
= limh→0
x + h− xh(√
x + h +√
x)= lim
h→0
hh(√
x + h +√
x)= lim
h→0
1√x + h +
√x
=1
2√
x
Derivadas por Fórmula: Encontrar la derivada utilizando fórmulas.
4. f (x) = 7
d fdx
=d
dx(7) = 0
5. f (x) = 2πe
d fdx
=d
dx(2πe) = 0
6. f (x) = 4x2
d fdx
=d
dx(4x2) = 4 ∗ 2x2−1 = 8x
7. f (x) = 2x4 − 3x2 + 6x
d fdx
=d
dx(2x4− 3x2 + 6x) = 2 ∗ 4x4−1− 3 ∗ 2x2−1 + 6 ∗ 1x1−1 = 8x3− 6x + 6
8. f (x) = x5 +34
x3 + 3x− 1
d fdx
=d
dx(x5 +
34
x3 + 3x− 1) = 5x5−1 +34∗ 3x3−1 + 3 = 5x4 +
94
x2 + 3
9. f (x) = (x2 + 3)(2x3 − 5)
f ′(x) = (x2 + 3)(6x2) + (2x3 − 5)(2x) = 6x4 + 18x2 + 4x4 − 10x = 10x4 +18x2 − 10x
10. = f (x) =2x2 − 22x2 + 2
43
4.10 Ejemplos 4 DERIVADAS.
ddx
(2x2 − 22x2 + 2
) =(2x2 + 2)(4x)− (2x2 − 2)(4x)
(2x2 + 2)2 =8x3 + 8x− 8x3 + 8x
(2x2 + 2)2 =
16x(2x2 + 2)2
11. = f (x) =(x + 2)(x2 − 3x)
x5
Primeramente simplificamos la expresión
f (x) =(x + 2)(x2 − 3x)
x5 =x3 − 3x2 + 2x2 − 6x
x5 =x3 − x2 − 6x
x5 =x3
x5 −x2
x5 −6xx5 =
1x2 −
1x3 −
6x4 = x−2 − x−3 − 6x−4
Después derivamos y obtenemos:
=d fdx
=d
dx(x−2 − x−3 − 6x−4) = −2x−2−1 − (−3)x−3−1 − 6(−4)x−4−1 =
−2x−3 + 3x−4 + 24x−5 = − 2x3 +
3x4 +
24x5
12. Una función que no tiene derivada en el origen .
f (x) =(x + 2)(x2 − 3x)
x5
y = |x| →{
y = x, si x ≥ 0 su derivada es yp = 1y = −x, si x < 0 su derivada es yp = −1
∣∣∣∣13. f (x) =
√x5 + 5
f ′(x) =1
2√
x5 + 5d
dx(x5 + 5) =
5x4
2√
x5 + 5
14. f (x) = ln (x4 + x2 + 1)
f ′(x) =d
dx (x4 + x2 + 1)x4 + x2 + 1
=4x3 + 2x
x4 + x2 + 1
15. f (x) = sen(x3 − 1)
f ′(x) = sen(x3 − 1) ∗ (3x2) = 3x2 cos(x3 − 1)
16. f (x) = etanx+x
f ′(x) = etanx+x (sec2x + 1)
17. f (x) =√
x5 + 5
44
4 DERIVADAS. 4.11 Ejercicios propuestos
f ′(x) =5x4
√x5 + 5
18. f (x) = x3 ex2
f ′(x) = x3 ex2(2x) + ex2
3x2 = 2x4 ex2+ 3x2 ex2
19. f (x) =x + ln x
x3
f ′(x) =(x3)(1 + 1
x )− (x + ln x) (3x2)
(x3)2 =x3 + x2 − 3x3 − 3x2 ln x
x6 =
x2 − 2x3 − 3x2 ln xx6 =
1− 2x− 3 ln xx4
20. Cuál es la razón de cambio del área del círculo con respecto a su radio.
Primeramente vemos que la fórmula del área con respecto al radio esA = πr2.
Por lo tanto la razón de cambio deseada es la derivadadAdr
= 2πr.
4.11. Ejercicios propuestos
[Thomas] P. 155, # 1,4,6,9,10,11,13,15P. 169, # 1,3,5,7,9,17,21,23,25,27,28,29,30P. 179, # 1,2,3,4,5,9,10,11,12,13P. 201, # 1,3,9,11,13,17,19,27,29,31,37,55,56,57P. 210, # 1,7,19,21,23,25,27,29,3133,37,41,45,47
4.12. Examen escrito propuesto de la Unidad 4
1. Encuentre la derivada por definición
f (x) = 5x2 − 3x + 2
Calcule la derivada de las siguientes funciones
2. f (x) =x2 + x
3x2 − 5x− 2f (x) =
x2 + 4x− 54x2 − 3x
45
4.13 Bibliografía para la Unidad 4 4 DERIVADAS.
3. f (x) = arcsec(x2 + 3) f (x) = arcsen(x2 + 1)
4. f (x) = e3x2+ln x f (x) = e2x5−ln x
5. f (x) =
√x5 − x2 + 2
x− 4f (x) =
√x2 − 7x− 2
x− 7
6. f (x) = ln (5 + sen(7x2 + 1)− 2x) f (x) = ln (ex3−2 + 4− 7x)
7. f (x) = ln (senx + ex4) f (x) = ln (ex3
+ cosx)
8.Encuentre la derivada de la función dada en forma implícita:
x2 − 15y3 + 2x4y2 = y x3 − 12y2 + 3x3y3 = y
4.13. Bibliografía para la Unidad 4
[Thomas] Cálculo, una variable, Undécima Edición; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.
[Purcell] Cálculo, Novena Edición; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.
[Larson] Cálculo 1 de una variable, Novena Edición; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.
[Edwards] Cálculo con Geometría Analítica; C. H. Edwards, David E. Pen-ney; Editorial Prentice Hall.
46
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
5. Aplicaciones de la Derivada.
Competencia de la Unidad 5
Interpreta, modela y resulve problemas utilizando derivadas.
Competencias cognitivas Competencias procedimentales Competencias actitudinales
Conoce y comprendela definición de tan-gente a una curva.
Interpreta las defini-ciones de funcióncreciente y decre-ciente.
Conoce y comprendeel concepto de con-cavidad.
Comprende ladefinición formalde velocidad y acel-eración.
Conoce las defini-ciones de puntoscríticos, valores ex-tremos y puntos deinflexión.
Resuleve problemasde movimiento rec-tilíneo.
Encuentra la rectatangente y la rectanormal a una fun-ción diferenciable.
Encuentra la mono-tonicidad y la con-cavidad de una fun-ción.
Analiza el compor-tamiento de unafunción utilizandoderivadas y límites.
Grafica una funciónutilizando el análisisde funciones.
Resuelve problemasde valores extremos.
Resuleve problemasde razones de cam-bio relacionadas.
Trabaja en equipo.
Es responsable de suaprendizaje.
Es honesto en sus tar-eas y trabajos.
Reflexiona sobre lasrazones de cambioentre variables y suimportancia en elmundo moderno.
Relaciona las razonesde cambio con con-ceptos físicos paratener una compren-sión más profunda.
47
5.1 Definiciones 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
Competencias Especificas de la Unidad 5
Conoce y comprende la definición de tangente a una curva.
Encuentra la recta tangente y la recta normal a una función difer-enciable.
Comprende la definición formal de velocidad y aceleración.
Resuleve problemas de movimiento rectilíneo.
Interpreta las definiciones de función creciente y decreciente.
Conoce y comprende el concepto de concavidad.
Conoce las definiciones de puntos críticos, valores extremos ypuntos de inflexión.
Encuentra la monotonicidad y la concavidad de una función.
Analiza el comportamiento de una función utilizando derivadasy límites.
Grafica una función utilizando el análisis de funciones.
Resuelve problemas de valores extremos.
Resuleve problemas de razones de cambio relacionadas.
Reflexiona sobre las razones de cambio entre variables y su im-portancia en el mundo moderno.
Relaciona las razones de cambio con conceptos físicos para teneruna comprensión más profunda.
5.1. Definiciones
Sea f : R→ R una función, I un intervalo, y = f (x).
i) f es creciente en I si x1 < x2 ⇒ f (x1) < f (x2)
Esto significa que si el valor de x aumenta entonces el valor de la función(o sea el valor de y) también aumenta.
ii) f es decreciente en I si x1 < x2 ⇒ f (x1) > f (x2)
Esto significa que si el valor de x aumenta entonces el valor de la función(o sea el valor de y) disminuye.
iii) f tiene un máximo local en x = a si f (a) ≥ f (x) ∀ x ∈ I donde I es algúnintervalo abierto que contiene al punto x = a.
48
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.1 Definiciones
O sea que el valor de la función en x = a es el valor mayor de todos lospuntos vecinos (un intervalo abierto o vecindad).
iv) f tiene un mínimo local en x=a si f (a) ≤ f (x) ∀ x ∈ I donde I es algúnintervalo abierto que contiene al punto x=a.
O sea que el valor de la función en x = a es el valor menor de todos lospuntos vecinos (un intervalo abierto o vecindad).
v) f tiene un máximo absoluto en el punto x = a en un conjunto I si secumple: f (a) ≥ f (x) ∀ x ∈ I
O sea que el valor de la función en x = a es el valor mayor de todos lospuntos, generalmente este conjunto se toma como el dominio de la función.
vi) f tiene un mínimo absoluto en el punto x = a en el intervalo I si secumple: f (a) ≤ f (x) ∀ x ∈ I
O sea que el valor de la función en x = a es el valor menor de todos lospuntos, generalmente este conjunto se toma como el dominio de la función.
vii) f es cóncava hacia abajo ó cóncava en I si se cumple:
x1 < x < x2 ⇒ f (x1) +f (x2)− f (x1)
x2 − x1(x− x1) < f (x) ∀ x− 1, x2 ∈ I
La concavidad en un intervalo se puede entender muy fácil gráficamente, sitomamos dos puntos distintos en la gráfica de la función dentro del intervalo,la función es cóncava si el segmento de recta está por debajo de la gráfica dela función.
viii) f es cóncava hacia arriba ó convexa en I si se cumple:
x1 < x < x2 ⇒ f (x1) +f (x2)− f (x1)
x2 − x1(x− x1) > f (x) ∀ x− 1, x2 ∈ I
La concavidad hacia arriba o convexidad en un intervalo se puede entendermuy fácil gráficamente, si tomamos dos puntos distintos en la gráfica de lafunción dentro del intervalo, la función es cóncava hacia arriba ó convexa, siel segmento de recta está por arriba de la gráfica de la función.
ix) f tiene un punto crítico en x = a si f ′(x) = 0 o f ′(x) no existe.
x) f tiene un punto de inflexión en x = a si en ese punto hay un cambio deconcavidad en la función.
xi) La recta tangente a una función f , en un punto (a, f (a)) está dada porla ecuación:
y− y1 = m(x− x1) donde x1 = a, y1 = f (a), m = f ′(x1)
xii) El ángulo entre dos funciones f y g que se cortan en un punto dondeson diferenciables es el ángulo entre sus tangentes.
49
5.2 Propiedades 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
5.2. Propiedades
Teorema: (Monotonicidad) Sea f : R→ R una función diferenciable en unintervalo I:
i) Si f ′(x) > 0 ∀x ∈ I, f es creciente en I.
ii) Si f ′(x) < 0 ∀x ∈ I, f es decreciente en I.
Teorema: (Concavidad) Sea f : R → R una función con segunda derivadaen un intervalo I:
i) Si f ′′(x) > 0 ∀x ∈ I, f es cóncava hacia arriba o convexa en I.
ii) Si f ′′(x) < 0 ∀x ∈ I, f es cóncava hacia abajo o cóncava en I.
Teorema: (Rolle) Sea f : R→ R una función continua en [a, b], diferenciableen (a, b) tal que f (b) = f (a) entonces existe un punto interior c tal quef ′(c) = 0.
Teorema: (Valor Medio) Sea f : R → R una función continua en [a, b],diferenciable en (a, b) entonces existe un punto interior c tal que f ′(c) =f (b)− f (a)
b− a.
Teorema: (Criterio de la Primera Derivada para Extremos) Sea f : R → Runa función diferenciable en todos los puntos distintos de x = a en un intervaloabierto I:
i) Si f ′(x) > 0 ∀ x < a en I y f ′(x) > 0 ∀ x > a enI entonces ftiene un máximo local en x = a.
ii) Si f ′(x) > 0 ∀ x < a en I y f ′(x) < 0 ∀ x > a enI entonces ftiene un mínimo local en x = a.
Teorema: (Criterio de la Segunda Derivada para Extremos) Sea f : R→ Runa función con segunda derivada en un intervalo abierto I que contiene elpunto crítico x = a, o sea que f ’ (a) = 0
i) Si f ′′(a) < 0 entonces f tiene un máximo local en x = a.
ii) Si f ′′(a) > 0 entonces f tiene un mínimo local en x = a.
50
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.3 Recta Tangente y Normal
Teorema: (L’Hôpital) Supongamos que f y g son dos funciones diferen-ciables en un intervalo abierto que contiene el punto x = a. Si tenemos quelimx→a
f (x) = 0 y limx→a
g(x) = 0 entonces
limx→a
f (x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g′(x)
Teorema: (L’Hôpital Caso Infinito) Supongamos que f y g son dos fun-ciones diferenciables en un intervalo abierto que contiene el punto x = a. Sitenemos que lim
x→af (x) = ∞ y lim
x→ag(x) = ∞ entonces
limx→a
f (x)g(x)
= limx→a
f ′(x)g′(x)
5.3. Recta Tangente y Normal
Ejemplo 1: Encuentre las ecuaciones de la recta tangente y la recta normal
a la función f (x) =x + 1
3xen x = 1 .
Primeramente encontramos la derivada: f ′(x) =(3x)(1)− (x + 1)(3)
(3x)2 =
3x− 3x− 39x2 = − 1
3x
La ecuación de la recta es y− y1 = m(x− x1).
Sustituímos los valores: x1 = 1, y1 = f (1) =1 + 1
3=
23
, m = f ′(1) =13
.
en la ecuación y obtenemos
y− 23=
13(x− 1)
y− 23=
x3− 1
3
x3− 1
3− y +
23= 0
x3− y +
13= 0
x− 3y + 1 = 0
La recta normal la obtenemos con los mismos valores de x1, y1, pero lapendiente igual a
51
5.3 Recta Tangente y Normal 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
mP = − 1m
= −113
= −3
por lo tanto, tenemos
y− 23= −3(x− 1)
y− 23= −3x + 3
3y− 2 = −9x + 9
por lo que la ecuación de la recta normal queda como
9x + 3y− 11 = 0
Ejemplo 2: Encuentre el ángulo entre las siguientes funciones:
f (x) = x3 − 2x2 + 2x + 1 y g(x) = x + 3.
Primeramente tenemos que ver en dónde se cortan las funciones, para estoigualamos.
x3 − 2x2 + 2x + 1 = x + 3 ⇒
x3 − 2x2 + x− 2 = 0
Factorizamos y obtenemos
(x2 + 1)(x− 2) = 0 ⇒
x− 2 = 0 ⇒
x = 2
Para obtener el ángulo entre las curvas, obtenemos primeramente las derivadas
f ′(x) = 3x2 − 4x + 2 y g′(x) = 1
Por lo tanto, las pendientes de las rectas tangentes son:
m1 = f ′(2) = 3(2)2 − 4(2) + 2 = 6 y m2 = g′(x) = 1
Por lo tanto, la pendiente del ángulo de intersecciós es:
m =m1 −m2
1 + m1 ∗m2=
6− 11 + (6)(1)
=57
Por lo que el ángulo de intersección es:
θ = arctan(57) = 35.53o
52
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.4 Análisis de Funciones.
5.4. Análisis de Funciones.
Ejemplo 1: Analice la función f (x) =x3
3− 3x2
2− 4x + 2
I. Analizamos la primera derivada
f ′(x) = x2 − 3x− 4
Queremos saber dónde es positiva y dónde es negativa la derivada, apli-cando el método de puntos de separación que se vió para resolver desigual-dades igualamos a 0 y resolvemos la ecuación.
x2 − 3x− 4 = 0⇒ (x + 1)(x− 4) = 0⇒ x = −1 o x = 4
Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numérica vemos quef ′(x) < 0 en (−1, 4) y f ′(x) > 0 en (−∞,−1) y en (4,+∞)
Esto significa que f es creciente en (−∞,−1] y en [4,+∞) y que f es decre-ciente en [−1, 4]
Intervalo (−∞,−1] [−1, 4] [4, ∞)f ′ (x) Positivo Negativo Positivo
Monotonicidad ↑ ↓ ↑Creciente Decreciente Creciente
Aplicando el criterio de la primera derivada para valores extremos, vemosque f tiene un punto máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 4.
II. Analizar la segunda derivada
Vemos que la segunda derivada es f ′′(x) = 2x− 3 por lo que por el mismométodo de puntos de separación, resolvemos 2x− 3 = 0, de aquí obtenemos
x =32
.
53
5.4 Análisis de Funciones. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numérica vemos que
f ′′(x) < 0 en (−∞,32) y f ′′(x) > 0 en (
32
,+∞)
Intervalo (−∞, 32 ] [3
2 , ∞]f ′′ (x) Negativo Positivo
Concavidad _ ^Hacia abajo Hacia arriba
Esto quiere decir que f es cóncava en (−∞,32] y convexa en
[32
,+∞) y que en x =32
hay un punto de inflexión.
III. Encontrar asíntotas
Generalmente buscamos asíntotas horizontales y verticales con el métodoque se vió en la Unidad 3, pero en este caso como se trata de un polinomio notiene asíntotas.
f (x) =x3
3− 3x2
2− 4x + 2
IV. Gráfica
Para graficar primeramente encontramos los valores de la función en lospuntos críticos y de inflexión, podemos dar más valores.
f (−1) =(−1)3
3− 3(−1)2
2− 4(−1) + 2 =
−13− 3
2+ 4 + 2 = −11
6+ 6 =
256
f (4) =(4)3
3− 3(4)2
2− 4(4) + 2 =
643− 24− 16 + 2 =
643− 38 = −50
3
f (32) =
(32)
3
3−
3(32)
2
2− 4(
32) + 2 =
98− 27
8− 6 + 2 = −18
8− 4 = −25
4
x y-1 25/6
3/2 -25/44 -50/3
54
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.4 Análisis de Funciones.
Aquí podemos hacer un análisis conjunto de la primera derivada y la se-gunda derivada para concluir que
f es creciente y cócava en (−∞,−1)32 ], f es decreciente y cóncava en [−1,
32]
, f es decreciente y convexa en [32 , 4] y f es creciente y cóncava en [4,+∞).
Intervalo ([−∞,−1] [−1, 32 ] [3
2 , 4] [4,+∞]f ′ (x) Positivo Negativo Negativo Positivof ′′ (x) Negativo Negativo Positivo PositivoForma Creciente Decreciente Decreciente Creciente
y concava y concava y convexa y convexa
Gráfica: f (x) =x3
3− 3x2
2− 4x + 2
55
5.4 Análisis de Funciones. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
Ejemplo 2: Analice la función f (x) =x
x2 + 1
I. Analizamos la primera derivada
f ′(x) =(x2 + 1)(1)− x(2x)
(x2 + 1)2 =x2 + 1− 2x2
(x2 + 1)2 =1− x2
(x2 + 1)2
Queremos saber dónde es positiva y dónde es negativa la derivada, apli-cando el método de puntos de separación que se vió para resolver desigual-dades igualamos a 0 y resolvemos la ecuación.
1− x2
(x2 + 1)2 = 0⇒ (1− x)(1 + x) = 0⇒ x = −1 o x = 1
Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numérica vemos que:f ′(x) < 0 en (−1, 1) y f ′(x) > 0 en (−∞,−1) y en (1,+∞)
Esto significa que f es creciente en (−∞,−1] y en [1,+∞) y que f es decre-ciente en [−1, 1]
Intervalo (−∞,−1] [−1, 1] [1, ∞)f ′ (x) Positivo Negativo Positivo
Monotonicidad ↑ ↓ ↑Creciente Decreciente Creciente
Aplicando el criterio de la primera derivada para valores extremos, vemosque f tiene un punto máximo local en x = −1 y un mínimo local en x = 1.
II. Analizar la segunda derivada
Vemos que la segunda derivada es f ′′(x) =(x2 + 1)2(−2x)− (1− x2)2(1 + x2)(2x)
(x2 + 1)4 =
(x2 + 1)(−2x)− 4x(1 + x2)
(x2 + 1)3 =−2x3 − 2x− 4x + 4x3
(x2 + 1)3 =2x3 − 6x(x2 + 1)3 por lo que
por el mismo método de puntos de separación, resolvemos2x3 − 6x(x2 + 1)3 = 0, de
aquí obtenemos x = 2x(x2 − 3) = 0 por lo que x = 0, x = −√
3 ó x =√
3
Por lo tanto haciendo un diagrama en una recta numérica vemos que
f ′′(x) < 0 en (−∞,−√
3) yen(0,√
3) también f ′′(x) > 0 en (−√
3, 0) yen (√
3,+∞)
Intervalo (−∞,−√
3] [−√
3, 0] [0,√
3] [√
3, ∞)f ′′ (x) Negativo Positivo Negativo Positivo
Concavida _ ^ _ ^Hacia abajo Hacia arriba Hacia abajo Hacia arriba
56
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.4 Análisis de Funciones.
Esto quiere decir que f es cóncava en (−∞,−√
3] , convexa en[−√
3, 0], es cóncava en [0,√
3] , convexa en[√
3,+∞)y que en x = −√
3, x = 0, x =√
3 hay puntos de inflexión.
III. Encontrar asíntotas
Como x2 + 1 6= 0 no hay asíntotas horizontales.
Para las asíntotas horizontales tomamos límite cuando x → −∞ y cuandox → ∞
limx→+∞
xx2 + 1
= limx→+∞
12x
= 0
Para calcular el límite el utilizó el teorema de L’Hôpital, de igual maneratenemos
limx→−∞
xx2 + 1
= 0
Por lo tanto y = 0 es una asíntota horizontal.
IV. Gráfica.
Para graficar primeramente encontramos los valores de la fucnión en lospuntos críticos y de inflexión, podemos dar más valores.
f (−√
3) =−√
3(−√
3)2 + 1=−√
34
f (−1) =−1
(−1)2 + 1=−12
f (0) =0
02 + 1= 0
f (−1) =1
12 + 1=
12
f (√
3) =
√3
(√
3)2 + 1=
√3
4
x y−√
3 −√
34
−1 −12
0 01 1
2√3
√3
4
Aquí podemos hacer un análisis conjunto de la primera derivada y la se-
57
5.4 Análisis de Funciones. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
gunda derivada para concluir que:
f es creciente y cócava en (−∞,−1)32 ], f es decreciente y cóncava en [−1,
32]
, f es decreciente y convexa en [32 , 4] y f es creciente y cóncava en [4,+∞).
Intervalo (−∞,−√
3] [−√
3,−1] [−1, 0] [0, 1) [1,√
3] [√
3,+∞]f ′ (x) Positivo Positivo Negativo Negativo Positivo Positivof ′′ (x) Negativo Positivo Positivo Negativo Negativo PositivoForma Creciente Creciente Decreciente Decreciente Creciente Creciente
y concava y convexa y convexa y concava y concava y convexa
Gráfica: f (x) =x3
3− 3x2
2− 4x + 2
58
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.5 Solución de Problemas.
5.5. Solución de Problemas.
Los ejemplos anteriores se aplican en muchas de las disciplinas de inge-niería y para poder resolver problemas prácticos es conveniente tener un es-quema heurístico que guíe al estudiante para la solución de un problema es-pecífico.
Esquema para la solución de problemas.
1. Comprender el problema2. Hacer un diagrama3. Identificar datos y asignar variables4. Relacionar los datos y variables, y modelar la pregunta estableciendo la forma matemática
apropiada5. Hacer uso de los conceptos de derivada para encontrar la solución matemática6. Interpretar los resultados7. Confrontar haciendo una retroalimentación
5.5.1. Problemas de Valores Extremos.
Ejemplo. Un bote de metal debe de tener un volumen de 400 ml.¿ Cuálesson las dimensiones para que la cantidad de material utilizado sea mínima?
Las variables son: V : volumen, A : área del material, r : radio, h :altura
podemos relacionarlas con las fórmulas:
V = πr2h = 400, A = πr2 + 2πrh
Entonces
h =400πr2 ⇒ A = πr2 + 2πr
400πr2 = πr2 +
800r
Obtenemos la derivada
59
5.5 Solución de Problemas. 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
dAdr
= 2πr− 800r2
Igualamos a 0 y obtenemos
2πr− 800r2 = 0 ⇒ r = 3
√400π
= 5.03
Es un mínimo porque la derivada es negativa antes del velor de x = 5.03, ypositiva después.
5.5.2. Problemas de Razones Relacionadas.
Ejemplo. Se llena un cono con agua a razón de 80 ml/s. El diámetro delcono es de 10 cm y la altura de 15 cm. ¿Qué tan rápido va subiendo el niveldel agua cuando se ha llenado 10 cm?
Primeramente identificamos las variables que intervienen y sus unidades.
t : tiempo, s; V : volumen, ml; h : altura, cm; r : radio, cm
Notamos también que 1ml = 1c.c. = 1cm3
Datos y variables relacionadas:
dVdt
= 80, V =13
πr2h,r5=
h15
Combinamos las dos últimas relaciones y tenemos:
V =13
π(h3)2h =
πh3
27
Derivamos y sustituimos h = 10
dVdh
=πh2
9⇒ dV
dh=
100π
9
60
5 APLICACIONES DE LA DERIVADA. 5.6 Ejercicios propuestos
Además por la regla de la cadema tememos que:dVdt
=dVdh
dhdt
Sustituyendo tenemos
80 =100π
9dhdt
Por lo tanto
dhdt
=80
100π9
=720
100π= 2.29
cms
Que es la respuesta buscada.
5.6. Ejercicios propuestos
[Thomas] P. 252, # 1-10,15,17,18,19,23,35,37,45,46,47,49,51P. 179, # 1,2,3,4,5,9,10,11,12,13P. 260, # 1,3,4P. 266, # 9,11,15,17,25,27P. 274, # 9,17,19,25,31,41,43P. 285, # 3,5,9,12,16,20,22,24,25,26,27,45
5.7. Examen escrito propuesto de la Unidad 5
1. Encuentre la recta tangente y la recta normal a la función en x = 1
f (x) =x
x + 2f (x) =
xx + 3
2. Encuentre la concavidad de la siguiente función
f (x) = x2 − x + 1 f (x) = x2 + x− 1
3. Encuentre máximos y mínimos en la siguiente función
f (x) =x− 3
x2 f (x) =x− 2
x2
4. Analice la siguiente función
61
5.8 Bibliografía de la Unidad 5 5 APLICACIONES DE LA DERIVADA.
f (x) = x3 + x2 − x + 1 f (x) = x3 − x2 − x− 1
5. Se van a construir n corrales junto a un granero de manera que noutilicemos cerca en uno de los lados de cada corral. ¿Cuál es el área máximaque se puede obtener? Si:
n = 3 n = 4
5.8. Bibliografía de la Unidad 5
[Thomas] Cálculo, una variable, Undécima Edición; George B. Thomas Jr.;Editorial Pearson.
[Purcell] Cálculo, Novena Edición; Edwin J. Purcell, Dale Varberg, StevenE. Rigdon; Editorial Pearson.
[Larson] Cálculo 1 de una variable, Novena Edición; Ron Larson, Bruce H.Edwards; Editorial McGraw Hill.
[Apostol] Calculus, Segunda Edición; Tom M. Apostol; Editorial Reverté.
[Stewart] Calculus, Trascendentes Tempranas: Quinta Edición; James Stew-art; Editorial Thomson.
62
6 ANEXOS
6. Anexos
6.1. Temario de programa oficial del curso
1. Números Reales.1.1 La recta numérica.1.2 Los números reales.1.3 Propiedades de los números reales.1.3.1 Tricotomía.1.3.2 Transitividad.1.3.3 Densidad.1.3.4 Axioma del supremo.1.4 Intervalos y su representación mediante desigualdades.1.5 Resolución de desigualdades de primer grado con una incógnita y de
desigualdades cuadráticas con una incógnita.1.6 Valor absoluto y sus propiedades.1.7 Resolución de desigualdades que incluyan valor absoluto.
2. Funciones.2.1 Concepto de variable, función, dominio, codominio y recorrido de una
función.2.2 Función inyectiva, suprayectiva y biyectiva.2.3 Función real de variable real y su representación gráfica.2.4 Funciones algebraicas: función polinomial, racional e irracional.2.5 Funciones trascendentes: funciones trigonométricas y funciones expo-
nenciales.2.6 Función definida por más de una regla de correspondencia. función
valor absoluto.2.7 Operaciones con funciones: adición, multiplicación, composición.2.8 Función inversa. Función logarítmica. Funciones trigonométricas inver-
sas.2.9 Funciones con dominio en los números naturales y recorrido en los
números reales: las sucesiones infinitas.2.10 Función implícita.
3. Límites y Continuidad.3.1 Límite de una sucesión.3.2 Límite de una función de variable real.3.3 Cálculo de límites.3.4 Propiedades de los límites.3.5 Límites laterales.3.6 Límites infinitos y límites al infinito.3.7 Asíntotas.3.8 Funciones continuas y discontinuas en un punto y en un intervalo.3.9 Tipos de discontinuidades.
4. Derivadas.
63
6.1 Temario de programa oficial del curso 6 ANEXOS
4.1 Conceptos de incremento y de razón de cambio. La derivada de unafunción.
4.2 La interpretación geométrica de la derivada.4.3 Concepto de diferencial. Interpretación geométrica de las diferenciales.4.4 Propiedades de la derivada.4.5 Regla de la cadena.4.6 Fórmulas de derivación y fórmulas de diferenciación.4.7 Derivadas de orden superior y regla de L´Hôpital.4.8 Derivada de funciones implícitas.
5. Aplicaciones de la derivada.5.1 Recta tangente y recta normal a una curva en un punto. Curvas ortog-
onales.5.2 Teorema de Rolle, teorema de Lagrange o teorema del valor medio del
cálculo diferencial.5.3 Función creciente y decreciente. Máximos y mínimos de una función.
Criterio de la primera derivada para máximos y mínimos. Concavidades ypuntos de inflexión. Criterio de la segunda derivada para máximos y mínimos.
5.4 Análisis de la variación de funciones.5.5 Cálculo de aproximaciones usando la diferencial.5.6 Problemas de optimización y de tasas relacionadas.
64