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FUNDAMENTOS DE TRIGONOMETRÌA

Matemática Aplicada

Profesor: Nelson A. Díaz

MEDICIÓN DE ÁNGULOS

a) Radián: unidad angular que ve desde el centro de una circunferencia una cuerda de longitud igual al radio.

La unidad se escribe 1 rad.

Una vuelta entera a la circunferencia son 2π rad. Los radianes son la única unidad de medición de ángulos del Sistema Internacional de Unidades, aunque en los estudios preuniversitarios y en la vida cotidiana se usan mayoritariamente los grados sexagesimales. b) Grado sexagesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 360 sectores radiales.

La unidad se escribe 1º.

Cada grado se divide en 60 minutos (‘) y cada minuto en 60 segundos (“), o lo que es lo mismo, 1º = 60' y 1' = 60".

c) Grado centesimal: unidad angular que divide una circunferencia en 400 sectores radiales.

La unidad se escribe 1g.

Cada grado centesimal se divide en 100 minutos centesimales, y éste, a su vez, en 100 segundos centesimales.

Las relaciones entre las tres medidas son: 180º = 200 g = π rad

Se pueden establecer fácilmente las siguientes igualdades:

Para x grado sexagesimales tendremos y grado centesimal:

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Para x grado centesimal tendremos y grado sexagesimales:

Para x grado centesimal tendremos y radián:

Para x radián tendremos y grado centesimal:

Para x grado sexagesimales tendremos y radián:

Para x radián tendremos y grado sexagesimales:

PARTES DEL TRIÁNGULO RECTÁNGULO

Para un triángulo de vértices: A, B y C rectángulo en C definimos:

Hipotenusa: lado opuesto al ángulo de 90º. Es el lado más largo del triángulo rectángulo.

Catetos: los lados del triángulo rectángulo que forman el ángulo de 90º. Son más cortos que la hipotenusa.

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Con respecto a un ángulo α (distinto del de 90º), definimos:

Cateto contiguo: cateto que forma el ángulo α con la hipotenusa. Cateto opuesto: cateto que forma el ángulo complementario a α con la

hipotenusa.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS

Ahora podemos establecer unas cuantas relaciones entre los catetos y la hipotenusa llamadas razones trigonométricas.

Seno, coseno y tangente

Seno de α: el seno de α se escribe "sen α" y se lee "seno de alfa" en los países de habla hispánica Se denomina "sinus" (del latín) y se escribe "sin α" en el resto del mundo siguiendo las pautas del Sistema Internacional de Unidades.

El seno es el cociente del cateto opuesto al ángulo entre la hipotenusa:

Coseno de α: el coseno de α se escribe "cos α" y se lee "coseno de alfa" en los países de habla hispánica Se escribe de igual modo pero se denomina "cosinus" (también del latín) en el resto del mundo siguiendo las pautas del Sistema Internacional de Unidades.

El coseno es el cociente del cateto contiguo al ángulo entre la

hipotenusa:

Tangente de α: la tangente de α se escribe normalmente "tan α", pero se puede dar el caso donde sea denominada "tg α".

La tangente es el cociente del cateto opuesto entre el cateto contiguo.

De la misma forma, deducimos que también es el cociente del seno

entre el coseno de un ángulo.

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Cosecante, secante y cotangente

La cosecante de α es la razón trigonométrica recíproca al seno (con el cociente invertido):

La secante de α es la razón trigonométrica recíproca al coseno (con el cociente invertido):

La cotangente de α es la razón trigonométrica recíproca a la tangente (con el cociente invertido):

Inversas

Las funciones inversas del seno, el coseno y la tangente nos permiten conocer el ángulo α a partir del cociente de los catetos y la hipotenusa:

El arcoseno (o arcsinus) es la función trigonométrica inversa del seno:

El arcocoseno (o arccosinus) es la función trigonométrica inversa del cosinus:

El arcotangente es la función trigonométrica inversa de la tangente:

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TEOREMA DEL COSENO

El teorema del coseno es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por estos dos lados:

Dado un triángulo ABC, siendo α, β, γ, los ángulos, y a, b, c, los lados respectivamente opuestos a estos ángulos entonces:

TEOREMA DEL SENO

En trigonometría, el teorema del seno es una relación de proporcionalidad entre las longitudes de los lados de un triángulo y los senos de los ángulos respectivamente opuestos.

Usualmente se presenta de la siguiente forma:

Si en un triángulo ABC, las medidas de los lados opuestos a los ángulos A, B y C son respectivamente a, b, c, entonces:

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IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS FUNDAMENTALES

1) Relación seno coseno

cos² α + sen² α = 1

2) Relación secante tangente

sec² α = 1 + tg² α

3) Relación cosecante cotangente

cosec² α = 1 + cotg² α

Otras relaciones:

1)

2)

3)

Ejemplo: Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE

ÁNGULOS

1)

2)

3)

4)

7

5)

6)

Ejemplos:

RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO DOBLE

1)

2)

3)

Ejemplos:

1)

2)

3)

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RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DEL ÁNGULO MITAD

1)

2)

3)

Ejemplos:

TRANSFORMACIÓN DE OPERACIONES

Transformaciones de sumas en productos

1)

2)

3)

4)

Ejemplos:

Transformaciones de productos en sumas

9

1)

2)

3)

4)

Ejemplos:

EJEMPLO DE IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

Simplifique la expresión usando identidades trigonométricas.

Reescriba tan como sin/cos.

Usando la identidad pitagórica fundamental, obtenemos

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LAS IDENTIDADES RECÍPROCAS

Ejemplo:

LAS IDENTIDADES DE COCIENTE

Ejemplo:

Considere la expresión en el lado izquierdo de la ecuación.

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ECUACIONES TRIGONOMÉTRICAS

En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas.

Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales.

Ejemplo:

Resolvamos la ecuación trigonométrica para 0º < x < 90º

Aquí determinamos, sin problema, el ángulo x, acordándonos de los valores anteriormente aprendidos. En otras situaciones tendremos que recurrir a la calculadora.

Resolvamos ahora la ecuación

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Ahora a resolver la guía de ejercicios, que a la larga, no fue tan traumática como la de identidades, ¿o será que estamos mejorando?

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EJERCICIOS

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A. Transformar el ángulo de grados a rad:

1) 15º 2) 35º 3) 80º 4) 150º

5) 200º 6) 90º 7) 60º 8) 45º 9) 30º

B. Transformar el ángulo de rad a grados:

1) rad5

2) rad

10

3) rad 3 4) rad

4

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C. Sea ABC un triángulo rectángulo en A. Si el segmento AB mide 20 cm. y

el ángulo b, opuesto a ese lado, mide 42º. Calcula:

a) el lado AC

b) el lado BC

c) el ángulo g

D. 2. Si ABC es un triángulo rectángulo en A y los segmentos AB y AC

miden 2 m. y 4 m., respectivamente. Calcula:

a) el lado BC

b) el ángulo ABC

c) el ángulo ACB

BIBLIOGRAFÍA

1) http://es.wikiversity.org/wiki/Fundamentos_de_trigonometr%C3%ADa#M

edici.C3.B3n_de_.C3.A1ngulos. Razones trigonometricas

2) Teorema del seno y coseno,

http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_del_seno

3) Funciones trigonometricas, http://www.vitutor.com/al/trigo/trigo_1.html

4) Trigonometría, http://www.sectormatematica.cl/educmedia.htm