Cap´ıtulo 1 Espacio de Probabilidad · subconjuntos de Ω que contiene a todos los conjuntos a...

Capıtulo 1

Espacio de Probabilidad

1.1 Definiciones y Resultados

Basicos

Sea Ω 6= ∅ un conjunto arbitrario.

Definicion 1.1 Una familia no vacıa F de subconjuntos de Ω es llamadauna σ-algebra de subconjuntos de Ω si satisface las siguientes condiciones:

1. Si A ∈ F , entonces Ac ∈ F .

2. Si An ∈ F , para toda n ≥ 1, entonces⋃n≥1

An ∈ F .

En todo lo que sigue F denotara una σ-algebra de subconjuntos de Ω y a loselementos de F los llamaremos eventos.

Definicion 1.2 Una probabilidad sobre (Ω,F) es una funcion P : F → Rque satisface las siguientes condiciones:

1. Para todo A ∈ F , 0 ≤ P [A] ≤ 1,

2. P [Ω] = 1,

1

2 CAPITULO 1. ESPACIO DE PROBABILIDAD

3. Si (An)n≥1, es una sucesion de eventos tales que Ai ∩Aj = ∅ para todai 6= j, entonces

P

[⋃n≥1

An

]=

∑n≥1

P [An]

Al conjunto Ω le llamaremos espacio muestral y a la terna (Ω,F , P ) es-pacio de probabilidad.

A continuacion consideraremos (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad fijo,arbitrario, todos los eventos en consideracion seran elementos de la σ-algebraF .

Teorema 1.1 (Propiedades de la Probabilidad).

1. P [∅] = 0.

2. Si A1, ..., An son eventos tales que Ai∩Aj = ∅ para toda i 6= j, entonces

P

[n⋃

k=1

Ak

]=

n∑k=1

P [Ak].

3. Si A es un evento, entonces

P [Ac] = 1− P [A].

4. Sean A y B eventos, entonces

P [A] = P [A ∩B] + P [A ∩Bc].

5. Si A y B son eventos tales que A ⊂ B, entonces

P [A] ≤ P [B].

6. Sea An, n ∈ I una particion finita o numerable de Ω (i.e. Ai∩Aj = ∅,para toda i 6= j, ∪n∈IAn = Ω) tales que An ∈ F para toda n ∈ I,entonces para todo evento A,

P [A] =∑n∈I

P [A ∩ An].

1.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BASICOS 3

7. Sean A y B eventos, entonces

P [A ∪B] = P [A] + P [B]− P [A ∩B].

8. Mas generalmente, sean A1, ..., An eventos, entonces

P [A1 ∪ A2 ∪ · · · ∪ An] =n∑

j=1

P [Aj]−∑

i <

∑j

P [Ai ∩ Aj]

+∑ ∑

i<j<k

∑P [Ai ∩ Aj ∩ Ak]

− · · ·+ (−1)n+1P [A1 ∩ A2 ∩ · · · ∩ An]. (1.1)

A esta propiedad se le conoce como la Regla de la Adicion-Sustraccion.

9. Si A1, A2, ..., An son eventos, entonces

P

[n⋃

k=1

Ak

]≤

n∑k=1

P [Ak].

10. Si An, n ≥ 1 es una sucesion de eventos, entonces

P

[⋃n≥1

An

]≤

∑n≥1

P [An].

Ejemplo 1.1 Sea Ω = a1, ..., an un conjunto finito, F = P(Ω), la potenciade Ω, esto es, la familia de todos los subconjuntos de Ω. Supongamos quetodos los elementos de Ω son igualmente probables, es decir,

P [ai] =1

n, i = 1, ..., n

Entonces para todo A ∈ P(Ω),

P [A] =Card(A)

n,

donde, Card(A) es la cardinalidad de A. A esta probabilidad se le conocecomo la definicion Clasica de la Probablidad.


Ejemplo 1.2 Sea Ω ⊂ R2, tal que (Area de Ω) < ∞, F una σ-algebra desubconjuntos de Ω que contiene a todos los conjuntos a los cuales se les puedecalcular el area. Para cada A ∈ F definimos la probabilidad de A como sigue:

P [A] =Area de A

Area de Ω.

A la probabilidad ası definida se le conoce como Probabilidad Geometrica.

Teorema 1.2 Continuidad de la Probabilidad

(i) Sea (An)n≥1 una sucesion creciente de eventos (es decir, An ⊂ An+1),entonces

P

[⋃n≥1

An

]= lim

n→∞P [An].

(ii) Sea (An)n≥1 una sucesion decreciente de eventos (es decir, An+1 ⊂ An),entonces

P

[⋂n≥1

An

]= lim

n→∞P [An].

Definicion 1.3 Probabilidad Condicional Sean A y B eventos tales queP [B] 6= 0. La probabilidad condicional de A dado B denotada P [A|B] estadefinida por:

P [A|B] =P [A ∩B]

P [B].

Teorema 1.3 Sea B un evento (fijo) tal que P [B] > 0. Entonces la funcionP [·|B] : F → [0, 1] es una probabilidad, por lo tanto satisface las propiedades1-8 del Teorema 1.1

Definicion 1.4 Sean A1, ..., An eventos. Diremos que son independientes si

P [Ai ∩ Aj] = P [Ai]P [Aj], si i 6= j,

P [Ai ∩ Aj ∩ Ak] = P [Ai]P [Aj]P [Ak], si i 6= j, j 6= k, i 6= k,...

...

P [∩ni=1Ai] =

n∏i=1

P [Ai].

1.2. EJERCICIOS 5

Teorema 1.4 Regla de la Muliplicacion. Sean A1, ..., An eventos talesque P [A1 ∩ · · · ∩ An−1] > 0, entonces

P [A1 ∩ · · · ∩ An] = P [A1]P [A2|A1]P [A3|A1 ∩ A2] · · ·P [An|A1 ∩ · · · ∩ An−1].

Teorema 1.5 Teorema de las Probabilidades Totales. Sea An, n ∈ Iuna particion finita o numerable de Ω, tal que P [An] > 0 para toda n ∈ I,entonces para todo evento A

P [A] =∑n∈I

P [A|An]P [An]. (1.2)

Teorema 1.6 Formula de Bayes. Sea An, n ∈ I una particion finita onumerable de Ω, tal que P [An] > 0 para toda n ∈ I, entonces para todoevento A

P [Ak|A] =P [A|Ak]P [Ak]∑

n∈I P [A|An]P [An], para toda k ∈ I. (1.3)

1.2 Ejercicios

Ejercicio 1.1 Consideremos el experimento de lanzar dos monedas y undado honestos.

1. Describir el espacio muestral Ω.

2. Expresar los eventos:

A = salen dos aguilas y un numero par B = sale un dos C = sale exactamente un sol y un numero primo

3. Expresar los siguientes eventos: A y B ocurren, solo B ocurre, B o Cocurren.

4. Calcular P [A], P [B], P [C], P [A ∩B], P [B ∪ C].

Ejercicio 1.2 Se lanzan cuatro dados honestos.

1. Describir el espacio muestral Ω.


2. Expresar los siguientes eventos

A = el mismo numero sale en los cuatro dados ,B = los numeros que aparecen en los dados son distintos.

3. Calcular P [A] y P [B].

Ejercicio 1.3 Consideremos el lanzamiento de un dado “no honesto”, talque los numeros pares tienen la misma probabilidad de salir, los numerosimpares tienen la misma probabilidad de salir y cada numero par tiene el doblede probabilidad de ocurrir que cada numero impar. Calcular la probabilidadde los siguientes eventos:

1. A = sale par.

2. B = sale un numero primo .

3. C = sale un numero impar .

4. D = sale un numero primo impar .

Ejercicio 1.4 Supongamos: P [A] = 0.6, P [A ∩ B] = 0.1, P [A ∩ C] = 0.1,P [A ∩B ∩ C] = 0.05.

1. Calcular la probabilidad del evento E2 = A ∩ (B ∪ C).

2. Si P [B] = 0.4 calcular la probabilidad de que ni A ni B ocurran.

Ejercicio 1.5 El Problema del Cumpleanos. Consideremos una poblacion deN personas. Calcular la probabilidad de que al menos dos tengan el mismodıa de cumpleanos.

El Chevallier De Mere. La Teorıa de Probabilidad para algunos autores tienesu origen en el siglo XVII, mas precisamente en el ano 1654. Un francesaficionado a los juegos de azar llamado Antoine Gombauld Chevallier deMere, Sieur de Baussay, pasaba su tiempo entre Poitou y la corte en Parisy entre otras cosas lo dedicaba a los juegos de azar. Los dos ejercicios acontinuacion fueron planteados por el Chevalier de Mere a Blaise Pascal.

1.2. EJERCICIOS 7

Ejercicio 1.6 Primer Problema de De Mere. La casa apuesta uno a unocontra un jugador en el siguiente juego de dados: Se lanza 4 veces un dado,si sale al menos un as, la casa gana en caso contrario gana el jugador. ¿Eljuego es favorable a la casa?.

Ejercicio 1.7 Segundo Problema de De Mere. Se lanzan dos dados 24 veces,la casa gana si sale al menos un par de ases. ¿El juego es favorable a la casa?

Ejercicio 1.8 En un partido clasico de futbol de America-Guadalajara lasapuestas estan de 4 contra 5 a favor del Guadalajara. Segun la estimacionde los apostadores, ¿ cual es la probabilidad de que gane el Guadalajara?.

Ejercicio 1.9 Sean A, B y C tres eventos que satisfacen:

P [A] = P [B] = P [C] =1

3,

P [A ∩B] = P [B ∩ C] = P [A ∩ C] =1

9,

P [A ∩B ∩ C] =1

27.

Calcular:

1. La probabilidad de que ocurra exactamente uno de los tres eventos.

2. La probabilidad de que ocurra al menos uno de los tres eventos.

Ejercicio 1.10 El Problema del Encuentro. Abelardo y Eloisa han hechouna cita para encontrarse en la Iglesia de Nuestra Senora de Paris entrelas 12:00 a.m y la 1:00 p.m.. Puesto que ambos tienen otros compromisos yademas no les gusta esperar han acordado que cada uno de ellos esperara solo20 minutos al otro, (es decir, si su companero no llega en el transcurso de los20 minutos se retira). Supongamos que los tiempos de llegada de cada uno deellos son independientes y uniformes en el intervalo de una hora. Calcularla probabilidad de que se encuentren Abelardo y Eloisa.

Ejercicio 1.11 Una urna contiene N bolas numeradas del 1 al N . Se ex-traen n bolas sin reemplazo (1 ≤ n ≤ N). Se tiene ademas que las bolasnumeradas del 1 al m son rojas (m < N) y las bolas numeradas del m+ 1 alN son blancas. Sea Ak el evento “la k-esima bola extraıda es roja”.


1. ¿Cual es el conjunto Ω de resultados posibles?. Calcular la cardinalidadde Ω.

2. Calcular P [Ak].

3. Calcular P [Ak ∩ Aj].

Ejercicio 1.12 Se extraen tres cartas al azar de una baraja de 52 cartas.Calcular la probabilidad de que al menos una sea un as. Dar dos metodospara resolverlo.

Ejercicio 1.13 Se divide al azar en dos partes iguales una baraja de 52cartas. ¿Cual es la probabilidad de que cada una de las partes tenga el mismonumero cartas de negras y rojas?

Ejercicio 1.14 Se colocan N personas al azar en una cola. ¿Cual es laprobabilidad de que el numero de personas que separan a Pedro y Juan seaigual a k (1 ≤ k ≤ N − 2).

Ejercicio 1.15 Se colocan N personas al azar en una mesa redonda. ¿Cuales la probabilidad de que el numero de personas que separan a Pedro y Juansea igual a k (1 ≤ k ≤ N − 2). (se cuentan las personas en el sentido en elque hay menos).

Los siguientes ejercicios corresponden a problemas de colocacion de bolas enceldas

Ejercicio 1.16 Estadıstica de Boltzman. Consideremos n bolas numeradasdel 1, ..., n y N ≥ n celdas numeradas. Supongamos que para cada bola seelige una celda al azar para colocarla, de tal manera que en cada celda puedehaber desde 0 hasta N bolas. Calcular

1. Describir Ω el conjunto de posibles resultados del experimento y calcularCard(Ω)

2. Calcular la probabilidad P1 de que n celdas especıficas contengan unapartıcula.

3. Calcular la probabilidad P2 de que haya n celdas (arbitrarias) con unapartıcula.

1.2. EJERCICIOS 9

Ejercicio 1.17 Estadıstica de Bose-Einstein. Consideremos N celdas nu-meradas del 1 al N y n bolas (no numeradas, es decir, indistinguibles). Seelige una celda al azar y se coloca una bola en esta. El experimento se repitehasta colocar todas las bolas en las celdas, es decir, n veces.

1. La probabilidad P1 de que n celdas especıficas contengan una partıcula.

2. La probabilidad P2 de que haya n celdas (arbitrarias) con una partııcula.

Ejercicio 1.18 1. Un cartero reparte al azar n cartas en n buzones, unapor buzon. Calcular la probabilidad p(n) de que al menos una cartavaya a su destinatario y calcular limn→∞ p(n).

2. El cartero tiene p papeles publicitarios, elige uno de los buzones al azary mete uno de los papeles. Continua con este procedimiento p veces(tantas veces como papeles publicitarios tiene).

(a) ¿Cual es el numero de posibles reparticiones de los papeles public-itarios en los buzones?

(b) ¿Cual es la probabilidad qk(n, p) de que un buzon contenga k pa-peles publicitarios?

Ejercicio 1.19 Paradoja y Continuidad de la ProbabilidadAl faltar un minuto para las 12:00 se introducen en la urna las bolas del

1 al 10. y sacamos la bola con el numero 10. Al medio minuto para las docemetemos de la 11 a la 20 y sacamos la 20, y ası sucesivamente. ‘Cuantasbolas hay en la urna a las 12? Si en lugar de sacar la bola 10, sacamos la 1y la 2 y la 3 la urna queda vacıa.

Ahora cambiemos, metemos las bolas y elegimos al azar una bola y lasacamos.

Ejercicio 1.20

En una reunion, n personas lanzan cada una de ellas una moneda honesta.Si n − 1 monedas caen sol y una aguila, el propietario de la moneda queresulto en aguila, los invita a comer. Si n − 1 monedas caen aguila y unasol, el propietario de la moneda que resulto sol los invita a cenar.

1. Calcular la probabilidad de que alguien los invite a comer.

2. Calcular la probabilidad de que alguien los invite a cenar.


3. Calcular la probabilidad de alguien invite a cenar o a comer.

Ejercicio 1.21 Se lanzan un dado rojo y uno negro, ambos equilibrados.Calcular las probabilidades siguientes:

1. Obtener un 3 con el dado rojo sabiendo que la suma de los puntos es6.

2. Obtener un numero par con el dado rojo sabiendo que la suma de lospuntos es 6.

3. Obtener un numero par con el dado rojo sabiendo que la suma de lospuntos es a lo mas 6.

4. Obtener al menos un numero par, sabiendo que la suma de los puntoses a lo mas 10.

Ejercicio 1.22 Supongamos que tenemos una urna I con 20 focos de loscuales 4 son defectuosos y 16 no son defectuosos y otra urna II que contieneun foco defectuoso y uno no defectuoso. Consideremos el siguiente experi-mento:

Se lanza un dado honesto si la cara que cae es la 1 o la 2, se seleccionaal azar un foco de la urna I, si no caen esas caras se elige al azar un foco dela urna II. Calcular la probabilidad de que el foco elegido sea defectuoso.

Ejercicio 1.23 En un sistema de alarma, la probabilidad de que se produzcaun peligro es de 0.1. Si este se produce, la probabilidad de que la alarmafuncione es de 0.95. La probabilidad de que la alarma funcione sin haberhabido peligro es de 0.03. Calcular:

1. La probabilidad de que habiendo funcionado la alarma, no haya habidopeligro.

2. La probabilidad de que haya peligro y la alarma no funcione.

3. La probabilidad de que no habiendo funcionado la alarma, haya peligro.

Ejercicio 1.24 Urna de Polya. Consideremos una urna con 4 bolas rojas y3 bolas negras y el siguiente experimento que consta de dos partes:

1. Se extrae una bola al azar de la urna, se mira el color y se regresa a laurna con 1000 bolas del mismo color.

1.2. EJERCICIOS 11

2. Se extrae una bola al azar de la urna.

Sean Ri, (Ni) la bola extraıda en la i-esima extraccion es roja (negra), i =1, 2. Calcular P [Ri], P [Ni], i = 1, 2.

Ejercicio 1.25 1. De un ejemplo de un experimento y tres eventos talesque sean independientes por parejas pero no mutuamente independi-entes.

2. De un ejemplo de tres eventos tales que P [A∩B∩C] = P [A]P [B]P [C]y que no sean independientes.

Ejercicio 1.26 Independencia condicional: Dos eventos A y B se dice queson condicionalmente independientes a un evento C si

P [A ∩B|C] = P [A|C]P [B|C].

Un jugador juega dos veces a los volados (la probabilidad de obtener soles igual a p, 0 < p < 1). Sean A,B,C los eventos definidos por:

A = el jugador obtiene sol en el primer lanzamiento,

B = el jugador obtiene sol en el segundo lanzamiento,

C = el numero de soles obtenidos en los dos lanzamientos es igual a 1.

Demostrar que A y B son independientes pero que no condicionalmente in-dependientes al evento C.

Ejercicio 1.27 Se lanza una moneda honesta dos veces. Sea A el eventoocurre aguila en el primer lanzamiento y B el evento las caras que caen sondistintas. ¿Los eventos A y B son independientes?

Ejercicio 1.28 La Catafixia de Chabelo. Un programa de concursos consisteen que se tienen tres puertas cerradas una de las cuales tiene un premiomuy codiciado y las otras dos contienen baratijas. El concurso consta de lassiguientes etapas:

1. El concursante elige una puerta al azar, la cual no se abre.

2. Si la puerta elegida tiene el premio codiciado, el conductor del programaelige abrir al azar una de las otras dos puertas. Si la puerta no tiene elpremio codiciado, el conductor abre la puerta que no contiene el premiocodiciado.


3. El concursante puede cambiar (catafixiar) la eleccion de la puerta, entrela que eligio al principio y la que aun esta cerrada.

4. El concursante se lleva de regalo lo que hay en la puerta elegida en elpaso anterior.

El concursante quiere tener una estrategia para jugar, es decir, si denotamospor p la probabilidad de catafixiar quiere encontrar p tal que la probabilidadde que gane el concursante sea maxima.

Ejercicio 1.29 Demuestre las siguientes proposiciones en caso de ser ver-daderas, si son falsas de un contraejemplo:

1. Si A ∩B = ∅, entonces A y B son independientes.

2. Si A y B son independientes entonces A ∩B = ∅.

3. Si A y B son independientes, entonces P [A ∪B] = P [A] + P [B].

4. Si P [A|B] = P [B], entonces P [B|A] = P [A]

Ejercicio 1.30 Sean A,B y C eventos tales que A y B son independientes,B y C son ajenos y A y C son independientes. Si P [A ∪ B ∪ C] = .9,P [B] = .5 y P [C] = .3, calcular P [A].

Ejercicio 1.31 Supongamos que P [A ∪B] = .4 y P [A] = .3 calcule la prob-abilidad de B en los siguientes casos:

1. Si A y B son independientes.

2. Si A y B son ajenos.

Ejercicio 1.32 Sean A y B eventos tales que

P [A] = P [B] =1

2y P [A ∪B] =

2

3.

1. ¿Los eventos A y B son ajenos?

2. ¿Son independientes?

3. Calcular P [Ac ∩B].

1.2. EJERCICIOS 13

4. Calcular P [Ac ∩Bc].

Ejercicio 1.33 Supongamos que los eventos A, B y C son independientescon P [A] = 1

4, P [B] = 1

2y P [A ∪B ∪ C] = 3

4. Calcular P [C].

Ejercicio 1.34 Si los eventos A y B son independientes, demostrar que:

1. Ac y B son independientes.

2. A y Bc son independientes.

3. Ac y Bc son independientes.

Ejercicio 1.35 Demostrar que dos eventos A y B son independientes si ysolo si

P [A|B] = P [A|Bc]

Ejercicio 1.36 Supongamos que A y B son eventos independientes. De-mostrar:

P [A ∪B] = P [B] + P [A]P [Bc] = P [A] + P [Ac]P [B].

Ejercicio 1.37 Demostrar:

1. Si P [A] = 1, entonces A es independiente de cualquier otro evento B.

2. Si P [A] = 0, entonces A es independiente de cualquier otro evento B.

Ejercicio 1.38 Sean A1, ..., An eventos independientes, demuestre que A1 esindependiente de ∪n

i=2Ai.

Ejercicio 1.39 Sean A1, ..., An eventos independientes tales que P [∪ni=1Ai] =

1. Demuestre que al menos uno de los eventos tiene probabilidad igual a uno.

Ejercicio 1.40 Un guardia de prision intenta al azar una por una de las nllaves que tiene para abrir una celda. Calcular la probabilidad de que lo logreen el k-esimo ensayo.

Ejercicio 1.41 Una urna contiene 4 bolas numeradas del 1 al 4. Se eligendos bolas al azar sin reemplazo. Sea A el evento la suma de los numerosde las bolas extraıdas es 5 y Bi el evento la primera bola tiene el numero i,i = 1, ..., 4. Calcular P [A|Bi], P [Bi|A], i = 1, ..., 4.

Capıtulo 2

Variables Aleatorias, Funcionesde Densidad y de Distribucion

Definicion 2.1 Sea (Ω,F , P ) un espacio de probabilidad. Una funcion X :Ω → R es llamada una variable aleatoria discreta si

(a)

ω ∈ Ω |X(ω) = x ∈ F , para toda x ∈ R.

(b) Existe un conjunto a lo mas numerable xi, i ∈ I, tal que

P [ω ∈ Ω | X(ω) = x] =

pi, xi, i ∈ I,0, en otro caso.

(2.1)

y ∑i∈I

pi = 1

A la funcion f : R→ [0, 1] definida por:

f(x) = P [ω ∈ Ω | X(ω) = x], (2.2)

se le llama funcion de densidad (o de masa) de la variable aleatoria X.

Definicion 2.2 Una funcion X : Ω → R se dice que es una variable aleato-ria si

ω ∈ Ω | X(ω) ≤ x ∈ F , para toda x ∈ R.

15

16 CAPITULO 2. FUNCIONES DE DENSIDAD

Se puede demostrar facilmente que una variable aleatoria discreta es unavariable aleatoria.

Denotaremos por:

P [X ∈ A] = P [ω ∈ Ω | X(ω) ∈ A].

En particular,

P [X = x] = P [ω ∈ Ω | X(ω) = x]P [X ≤ x] = P [ω ∈ Ω | X(ω) ∈ (−∞, x]]

Definicion 2.3 Una variable aleatoria es llamada absolutamente continuasi para cada x ∈ R existe una funcion f : R → R+ tal que, para todax ∈ R ∪ −∞,∞

P [X ≤ x] =

∫ x

−∞f(x)dx. (2.3)

A la funcion f se le llamara funcion de densidad de la variable aleatoria X.

Definicion 2.4 La funcion de distribucion o funcion de distribucion acumu-lativa F : R→ [0, 1] de una variable aleatoria X se define por:

F (x) = P [X ≤ x], para toda x ∈ R. (2.4)

Observaciones 2.1 1. Si X es una variable aleatoria discreta

F (x) =∑xi≤x

P [X = x], (2.5)

2. Si X es una variable aleatoria absolutamente continua:

F (x) =

∫ x

∞f(u)du. (2.6)

3. Si la funcion de distribucion de una variable aleatoria absolutamentecontinua es diferenciable en x, entonces

dF

dx= f(x). (2.7)

17

4. Si X es una variable aleatoria absolutamente continua se tiene que

P [X = x] = 0, para toda x ∈ R,

de donde,

P [a < X < b] = P [a ≤ X < b] = P [a ≤ X < b] = P [a ≤ X ≤ b].

5. Si X es una variable aleatoria discreta y A ⊂ R:

P [X ∈ A] =∑x∈a

P [X = x].

6. Si X es una variable aleatoria absolutamente continua y A ⊂ R:

P [X ∈ A] =

∫A

f(x)dx.

para todo conjunto A para el cual esta integral tiene sentido. En par-ticular, si A = R:

P [X ∈ R] =

∫ ∞

−∞f(x)dx = 1.

Teorema 2.1 Propiedades de la Funcion de Distribucion. Sea X una vari-able aleatoria con funcion de distribucion F , entonces

(a) Para todo x ∈ R, 0 ≤ F (x) ≤ 1.

(b) Para todo x ∈ R F (x) es continua por la derecha con lımites por laizquierda.

(c) La funcion F es no decreciente.

(d) limx→∞ F (x) = 1 y limx→−∞ F (x) = 0.

En todo lo que sigue definiremos las variables aleatorias discretas o absolu-tamente continuas mas conocidas, el nombre que se les da se usa indistin-tamente para la variable aleatoria, la funcion de densidad o la funcion dedistribucion.


2.1 Algunas Distribuciones Discretas.

1. La densidad Bernoulli con parametro p (esta variable aleatoria corre-sponde a un experimento Bernoulli, es decir, un experimento con dosposibles resultados que en general se les llama exito y fracaso, la vari-able X asocia el valor 0 al exito y el 1 al fracaso):

P [X = x] =

px(1− p)1−x, si x = 0, 1,0, en otro caso.

(2.8)

2. La densidad Binomial con parametros n (numero de ensayos indepen-dientes Bernoulli) y p (probabilidad de exito en cada ensayo). Estavariable aleatoria representa el numero de exitos en los n ensayos:

P [X = x] =

(nx

)px(1− p)n−x, si x = 0, 1, ..., n,

0, en otro caso.(2.9)

3. La densidad Uniforme en el conjunto i1, ..., iN ⊂ R (esta densidadse asocia al experimento de elegir un punto al azar en el conjuntoi1, ..., iN:

P [X = x] =

1N, si x = I − 1, ..., iN ,


4. La densidad Geometrica con parametro p (probabilidad de exito enun ensayo Bernoulli). Esta variable aleatoria representa el numero deensayos bernoulli independientes antes del primer exito:

P [X = x] =

p(1− p)x, si x = 0, 1, 2, ...,0, en otro caso.

(2.11)

5. La densidad Poisson con parametro λ > 0. Esta variable aleatoriarepresenta el numero de eventos raros que ocurren en una unidad detiempo:

P [X = x] =

e−λλx

x!, si x = 0, 1, 2, ...,

o, en otro caso.(2.12)

2.2. ALGUNAS DISTRIBUCIONES CONTINUAS 19

6. La densidad Binomial Negativa tambien llamada distribucion Pascal,con parametros p (probabilidad de exito en un ensayo Bernoulli) yr. Esta variable aleatoria representa el numero de fracasos antes delr-esimo exito, al considerar una sucesion de ensayos Bernoulli indepen-dientes:

P [X = x] =

(r + x− 1r − 1

)pr(1− p)x, si x = 0, 1, ....,


7. La densidad Hipergeometrica con parametros N (numero total de ele-mentos) k (numero de elementos defectuosos), n (tamano de una mues-tra sin reemplazo). Esta variable aleatoria denota el numero de ele-mentos defectuosos en una muestra de tamano n de una poblacion detamano N :

P [X = x] =

0@ kx

1A0@ N − kn− x

1A0@ Nn

1A , si max0, n+ k −N ≤ x ≤ mink, n,

0, en otro caso.

(2.14)

2.2 Algunas Distribuciones Continuas

1. La distribucion Uniforme o Rectangular sobre (a, b), a, b ∈ R, deno-tada U(a, b). Esta variable aleatoria esta asociada con el experimentode elegir un punto al “azar” en el intervalo (a, b) y tiene funcion dedensidad:

f(x) =

1

b−a, si x ∈ (a, b),


2. La distribucion Exponencial con parametro θ > 0, denotada por exp(θ).esta variable aleatoria representa el tiempo de espera hasta la ocurren-cia de algun evento, es la version continua de una variable aleatoriaGeometrica. La funcion de densidad esta dada por:

f(x) =

θe−θx, si x > 0,0, en otro caso.

(2.16)


3. La distribucion Normal o Gaussiana con parametros µ (la media) y σ2

(la varianza), denotada por N(µ, σ2) con funcion de densidad:

f(x) =1

σ√

2πe−

(x−µ)2

2σ2 , −∞ < x <∞. (2.17)

4. La distribucion Gamma con parametros θ > 0 (parametro de escala)y α > 0 (parametro de forma) denotada Γ(α, θ). Si α es un entero,representa el tiempo de espera hasta la ocurrencia α-esimo exito. Esla version continua de una variable aleatoria Binomial Negativa y tienecomo funcion de densidad

γ(x) =

θα

Γ(α)e−θxxα−1, si x > 0,


Donde Γ(α) es la funcion Gamma definida por

Γ(α) =

∫ ∞

0

xα−1e−xdx.

por integracion por partes se tiene:

Γ(α+ 1) = αΓ(α).

Para n ∈ N ,

Γ(n+ 1) = n!

Γ

(n+

1

2

)=

1 · 3 · 5 · · · (2n− 1)

2nΓ

(1

2

),

donde

Γ

(1

2

)=√π.

Cuando θ = 1/2 y 2α = ν = entero, la distribucion Gamma se conocecomo distribucion ji-cuandrada con ν grados de libertad y se denota porχ2

ν .

Si α = 1, la distribucion Gamma es simplemente la distribucion exp(θ).

2.3. EJERCICIOS 21

5. La distribucion Beta con parametros a > 0 y b > 0, denotada por:Beta(a, b), con funcion de densidad:

β(x) =

Γ(a+b)Γ(a)Γ(b)

xa−1(1− x)b−1, si 0 < x < 1,


Como se sabeΓ(a+ b)

Γ(a)Γ(b)= B(a, b),

y B(a, b) es la funcion beta definida por:

B(a, b) =

∫ 1

0

xa−1(1− x)b−1dx, a > 0, b > 0.

Si a = b = 1, la distribucion Beta es una distribucion U(0, 1).

6. La distribucion Cauchy con funcion de densidad:

f(x) =1

π

1

1 + x2, 0 < x <∞. (2.20)

2.3 Ejercicios

Ejercicio 2.1 Sea X una variable aleatoria con funcion de densidad fX dadapor:

fX(x) =

12, si x = 0,

14, si x = 1,

18, si x = 2,

18, si x = 3,

0, en otro caso.

Calcular y graficar la funcion de distribucion FX de la variable aleatoria X.

Ejercicio 2.2 Sea X una variable aleatoria con funcion de distribucion FX

dada por:

FX(x) =

0, si x < 0,x4, si 0 <≤ x < 1,

12

+ x−14, si 1 ≤ x < 2,

1112, si 2 ≤ x < 3,

1, si x ≥ 3.

Calcular


1. P [X = i], i = 1, 2, 3.

2. P [12< X < 3

2].

Ejercicio 2.3 Supongamos que X es una variable aleatoria Binomial Nega-tiva con parametros p y r. Calcular la densidad de X + r.

Sea N un entero positivo y

f(x) =

c2x, si x = 1, 2, ..., N,0, en otro caso.

Encuentre el valor de c tal que f es una funcion de densidad.

Ejercicio 2.4 Sea N ∈ N y g : R→ R definida por:

g(x) =

x, si x = 1, 2, ..., N,0, en otro caso.

Encontrar c tal que la funcion f(x) = cg(x) es una funcion de densidad ycalcular la funcion de distribucion correspondiente.

Ejercicio 2.5 Sea g : R→ R definida por:

g(x) =

px, si x = 0, 1, ..., N − 1,∑∞

j=N pj,

0, en otro caso,

donde 0 < p < 1. Encontrar c ∈ R tal que f(x) = cg(x) es una funcion dedensidad y calcular la funcion de distribucion asociada. a f .

Ejercicio 2.6 Sea X una variable aleatoria con funcion de densidad dadapor:

f(x) =

0.1, si x = −3,0.2, si x = −1,0.15, si x = 0,0.2, si x = 1,0.1, si x = 2,0.15, si x = 3,0.05, si x = 5,0.05, si x = 8,0, en otro caso.

Calcular las siguientes probabilidades:

2.3. EJERCICIOS 23

1. P [X < 0].

2. P [X es par ].

3. P [1 ≤ X ≤ 8].

4. P [X = 3 | X ≤ 0].

5. P [X ≥ 3 | X > 0].

Ejercicio 2.7 Sea X una variable aleatoria geometrica con parametro p yY la variable aleatoria definida por:

Y =

X, si X < M,M, si X ≥M,

donde M es una constante positiva, es decir Y = min(X,M). Calcular ladensidad de Y y compararla con la del ejercicio anterior.

Ejercicio 2.8 Sea X una variable aleatoria N(0, σ2) y Y = min(X,M),donde M ∈ R es una constante:

1. Calcular la funcion de distribucion de Y .

2. Calcular P [Y = y], y ∈ R.

3. La variable aleatoria Y es continua o discreta?.

Ejercicio 2.9 Sea X una variable aleatoria Γ(0, σ2) y Y la variable aleatoriaY = max(X,M), donde M ∈ R es una constante, es decir,

Y =

X, si X > M,M, si X ≤M.

1. Calcular la funcion de distribucion de Y .

2. Calcular P [Y = y], y ∈ R.

3. La variable aleatoria Y es continua o discreta?

Considerar dos casos: M > 0 y M ≤ 0.


Ejercicio 2.10 Consideremos el experimento de elegir un punto al azar enel intervalo (−10, 10). Sea X la variable aleatoria:

X(ω) =

ω, si ω ∈ [−5, 5],−5, si ω ∈ (−10,−5),5, si ω ∈ (5, 10).

1. Calcular la funcion de distribucion de X.

2. Calcular P [X = x], x ∈ R.

3. La variable aleatoria X es discreta o continua?.

Ejercicio 2.11 Si Y es una variable aleatoria U(0, 1). Demostrar que paraa > 0, b ≥ 0 tales que a + b ≤ 1 la P [a ≤ Y ≤ a + b] depende unicamentedel valor de b.

Si un paracaidista cae en un punto al azar sobre una lınea entre las senalesA y B, calcular:

1. La probabilidad de caiga mas cerca de A que de B.

2. La probabilidad de que su distancia a A sea mas de tres veces su dis-tancia de B.

Ejercicio 2.12 Sea Y una variable aleatoria Geometrica con parametro p.

1. Demostrar que para todo entero positivo a

P [Y > a] = (1− p)a.

2. Demostrar que para a y b enteros positivos,

P [Y > a+ b | Y > a] = (1− p)b = P [Y > b]

3. De un argumento intuitivo de la igualdad anterior usando la inter-pretacion de una variable aleatoria geometrica.

Ejercicio 2.13 Sea Y una variable aleatoria discreta con valores en los en-teros positivos que satisface:

P [Y > a+ b | Y > a] = (1− p)b = P [Y > b], para todo a, b ∈ N

Demostrar que Y es una variable aleatoria geometrica.

2.3. EJERCICIOS 25

Ejercicio 2.14 Sea Y una variable aleatoria exp(θ). Demostrar que

1. Para todo a > 0,P [X > a] = e−θa.

2. Para todo a, b ∈ R+

P [Y > a+ b | Y > a] = P [Y > b].

Observese que esta propiedad es analoga a la que satisface la densidad geometrica,para a, b enteros positivos, ver Ejercicio 2.12.

Ejercicio 2.15 Sea Y una variable aleatoria positiva que satisface:

P [Y > a+ b | Y > a] = P [Y > b] para todo a, b ∈ R+.

Demostrar que Y es una variable aleatoria exponencial. Esta propiedad esanaloga a la que satisface la densidad geometrica, ver Ejercicio 2.13.

Ejercicio 2.16 Se tiene una urna con n fichas numeradas. Se extrae unaficha al azar y se vuelve a depositar en la urna. Se repite este proceso hastaobtener por primera vez una ficha que se haya obtenido antes. Sea X lavariable aleatoria que denota el numero de extracciones, es decir el numerode extracciones necesarias hasta obtener una ficha repetida. Calcular la dis-tribucion de X.

Ejercicio 2.17 Sea X una variable aleatoria Poisson con parametro λ > 0.Cual es el valor de k que maximiza la P [X = k], k ≥ 0.

Sugerencia: Considerar: P [X=i]P [X=i−1]

.

Ejercicio 2.18 Supongamos que se realizan n lanzamientos independientesde una moneda con probabilidad p de obtener sol. Demostrar que la proba-bilidad de obtener un numero par de soles en los n lanzamientos es:

1

2[1 + (q − p)n],

donde q = 1− p.Sugerencia:Probar la identidad:

[n2]∑

i=0

(n2i

)p2iqn−2i =

1

2[(p+ q)n + (q − p)n],

donde [n2] es el maximo entero menor o igual que n

2.


Ejercicio 2.19 Aproximacion de la Binomial a la Poisson. Para cada n,n = 1, 2, .... sea Xn una variable aleatoria Binomial con parametro n y pn

tales que npn = λ. Demostrar que para cada k, k = 1, 2, ....,

limn→∞

P [Xn = k] = e−λλk

k!.

El mismo resultado es valido si solo se tiene limn→∞ npn = λ. Observeseque este resultado nos dice que si X es una variable aleatoria Binomial conparametros n y p su funcion de densidad es muy proxima al densidad Poissoncon parametro np.

Ejercicio 2.20 Sea X una variable aleatoria Poisson con parametro λ > 0.Demostrar:

P [X es par ] =1

2[1 + e−2λ],

usando:

1. Usando el resultado del Ejercicio 20 y la Aproximacion de la Binomiala la Poisson (Ejercicio 21).

2. Verificando directamente la igualdad usando la expansion en serie dee−λ + eλ.

Ejercicio 2.21 Supongamos que se tiene una urna con fichas numeradas del1 al N , de la cual se extrae una muestra sin reemplazo de tamano n, n ≤ N .Sea Y la variable aleatoria que denota el numero mas grande seleccionado.Encontrar la funcion de densidad de Y .

Sugerencia: Usar∑r

i=0

(i+ k − 1k − 1

)=

(r + kk

)para r y k enteros

positivos.

Ejercicio 2.22 Demostrar la siguiente igualdad:

n∑i=0

e−λλi

i!=

1

n!

∫ ∞

λ

e−xxndx.

Capıtulo 3

Momentos de VariablesAleatorias

3.1 Definiciones y Resultados Basicos.

En todo lo que sigue consideraremos (Ω,F , P ) un espacio de probabilidadfijo, las variables aleatorias en consideracion estaran definidas en este espacio.

Definicion 3.1 Sea X una variable aleatoria. La media o esperanza de X,denotada E[X], esta definida por:

1.E[X] =

∑j

xjP [X = xj],

si X es una variable aleatoria discreta y se satisface∑j∈J

|xj|fX(xj) <∞, (3.1)

donde el conjunto xj, j ∈ J es el rango de la variable aleatoria X.

2.

E[X] =

∫ ∞

−∞xfX(x)dx,

Si X es una variable aleatoria continua y se satisface∫ ∞

−∞|x|fX(x)dx <∞. (3.2)

27

28 CAPITULO 3. MOMENTOS DE VARIABLES ALEATORIAS

Si las espresiones (3.1) o (3.2) se cumplen se dice que la variable aleatoriaX tiene esperanza finita.

El siguiente Teorema conocido como el Teorema del Estadıstico Inconcientenos da una definicion equivalente para la existencia y el valor de la esperanzade una funcion de una variable aleatoria.

Teorema 3.1 Sea X una variable aleatoria y g : R → R una funcion talque Y = g(X) es una variable aleatoria. Entonces Y tiene esperanza finitasi solo si ∑

j∈J

|g(xj)|fX(xj) <∞, (3.3)

si X es una variable aleatoria discreta.∫ ∞

−∞|g(x)|fX(x)dx <∞. (3.4)

si X es una variable aleatoria continua. Si las condiciones (3.3) o (3.4) sesatisfacen, entonces

1.

E[g(X)] =∑j∈J

g(xj)fX(xj), (3.5)

si X es una variable aleatoria discreta.

2.

E[g(X)] =

∫ ∞

−∞g(x)fX(x)dx, (3.6)

si X es una variable aleatoria continua.

Teorema 3.2 Propiedades de la Esperanza. Sea X una variable aleato-ria y g1, g2 : R→ R funciones tales que g1(X) y g2(X) son variables aleato-rias con esperanza finita, entonces:

1. Para toda constante c ∈ R

E[c] = c.

3.1. DEFINICIONES Y RESULTADOS BASICOS. 29

2. Para todo c1, c2 ∈ R,

E[c1g1(X) + c2g2(X)] = c1E[g1(X)] + c2E[g2(X)].

3. Si para toda x ∈ R, g1(x) ≤ g2(x), entonces

E[g1(X)] ≤ E[g2(X)].

Definicion 3.2 Sea X una variable aleatoria tal que Xn tiene esperanzafinita. Se define el momento de orden n de X como la E[Xn].

Teorema 3.3 Sea X una variable aleatoria con momento de orden n finito,entonces

1. E[Xr] existe para todo r ≤ n

2. E[(X − a)r] existe para todo r ≤ n y para todo a ∈ R.

Si a = E[X], entonces E[(X − E[X])r] se conoce como el momento centralde orden r. En particular si r = 2, E[(X − E[X])2] es llamada la varianzade X, se denota V ar[X] y

V ar[X] = E[(X − E[X])2] = E[X2]− (E[X])2. (3.7)

Definicion 3.3 Cuantil. Sea q ∈ [0, 1]. El q-esimo cuantil de una variablealeatoria X o de su funcion de distribucion FX , denotado por ψq esta definidocomo:

minψ ∈ R | FX(ψ) ≥ q.En particular ψ.5 es llamado la mediana y se denota por med(X) o medX

Observese que si X es una variable continua:∫ med(X)

−∞f(x)dx =

1

2=

∫ ∞

med(X)

f(x)dx.

Definicion 3.4 Momentos Factoriales. Sea X una variable aleatoria yr ∈ N . El r-esimo momento factorial de X esta definido por:

E[X(X − 1) · · · (X − r + 1)],

si esta esperanza es finita.


Teorema 3.4 Sea X una variable aleatoria y g : R → R+ una funcion, talque g(X) es una variable aleatoria con esperanza finita, entonces, para todoε > 0,

P [|X| ≥ ε] ≤ E[g(X)]

g(ε)(3.8)

Corolario 3.1 Desigualdad de Markov. Supongamos que para algunan > 0, X tiene momento de orden n finito, entonces para todo ε > 0,

P [|X| ≥ ε] ≤ E[|Xn|]εn

. (3.9)

En particular, si n = 2 se tiene

P [|X| ≥ ε] ≤ E[X2]

ε2. (3.10)

esta ultima desigualdad es conocida como la Desigualdad de Chebyshev.

Teorema 3.5 Desigualdad de Jensen. Sea X una variable aleatoria conesperanza finita y g : R→ R una funcion convexa. Entonces

E[g(X)] ≥ g(E[X]) (3.11)

3.2 Ejercicios

Ejercicio 3.1 Calcular la esperanza y la varianza de las siguientes variablesaleatorias:

1. X variable aleatoria Bernoulli con parametro p.

2. X variable aleatoria Binomial con parametros n y p.

3. X variable aleatoria Poison con parametro λ > 0.

4. X variable aleatoria Hipergeometrica con parametros N, K y n.

Sugerencia: Calcular La E[X], y la E[X(X − 1)], esta ultima con elTeorema del Estadıstico Inconciente.

5. X una variable aleatoria Uniforme sobre el conjunto 1, 2, ..., N.

3.2. EJERCICIOS 31

Ejercicio 3.2 Dar un ejemplo de una variable aleatoria discreta que no tieneesperanza finita.

Ejercicio 3.3 Calcular la esperanza, la E[X2] y la varianza de las siguientesvariables aleatorias:

1. X variable aleatoria Uniforme en el intervalo (a, b).

2. X variable aleatoria Gamma con parametros α > 0 y λ > 0.

Ejercicio 3.4 Sea X una variable aleatoria Normal con parametros µ = 0y σ2.

1. Calcular la E[X].

2. Calcular la E[X2] usando el teorema del Estadıstico Inconciente.

3. Calcular la E[X2] directamente de la definicion de esperanza, es decirutilizando la densidad de X2.

Sugerencia: Usar el calculo del inciso (b) del Ejercicio anterior.

4. Calcular la varianza de X.

Ejercicio 3.5 Sea X una variable aleatoria continua con funcion de densi-dad:

fX(x) =

|1− x|, si x ∈ [0, 2],0, en otro caso.

Calcular la esperanza y la varianza de X.

Ejercicio 3.6 Dar un ejemplo de una variable aleatoria continua que notiene esperanza finita.

Ejercicio 3.7 Sea X una variable aleatoria con esperanza µ y varianza σ2.Demostrar que la funcion

g(z) = E[(X − z)2],

se minimiza cuando z = µ.


Ejercicio 3.8 Sea X una variable aleatoria continua con mediana m, de-mostrar que la funcion

g(z) = E[|X − z|],

se minimiza en z = m.

Ejercicio 3.9

Sean a1, a2 ∈ R tales que P [a1 ≤ X ≤ a2] = 1. Demostrar:

1. X tiene momentos de todos los ordenes.

2. a1 ≤ E[X] ≤ a2.

3. V ar[X] ≤ (a2 − a1)2.

Ejercicio 3.10 Sea X una variable aleatoria discreta con valores en los N ∪0. Demostrar que X tiene esperanza finita si y solo si

∞∑k=0

P [X ≥ k] <∞.

En este caso

E[X] =∞∑

k=0

P [X ≥ k].

Ejercicio 3.11 Sea X una variable aleatoria Geometrica con parametro p.

1. Calcular la E[X] directamente de la definicion de esperanza.

2. Calcular la E[X] usando el resultado del Ejercicio anterior.

Ejercicio 3.12 Sea X una variable aleatoria positiva con funcion de dis-tribucion FX . Demostrar que X tiene esperanza finita si y solo si∫ ∞

0

(1− FX(x))dx <∞.

En este caso,

E[X] =

∫ ∞

0

(1− FX(x))dx.

Compare este resultado con el del Ejercicio 3.13.

3.2. EJERCICIOS 33

Ejercicio 3.13 Sea X una variable aleatoria Exponencial con parametro λ >0.

1. Calcular la E[X] directamente de la defincion de esperanza.

2. Calcular la E[X] usando el resultado del Ejercicio anterior.

Ejercicio 3.14 Sea X una variable aleatoria continua con funcion de dis-tribucion FX . Demostrar que X tiene esperanza finita si y solo si las dosintegrales siguientes son finitas:∫ ∞

0

(1− FX(x))dx,∫ 0

−∞F (x)dx.

En este caso se tiene

E[X] =

∫ ∞

0

(1− FX(x))dx−∫ 0

−∞F (x)dx.

Ejercicio 3.15 Demostrar que una variable aleatoria X tiene momento deorden n finito si y solo si∫ ∞

0

xn−1P [|X| ≥ x]dx <∞.

En este caso

E[|X|n] = n

∫ ∞

0

xn−1P [|X| ≥ x]dx.

Ejercicio 3.16 Sea X una variable aleatoria Exponencial con parametro λ >0.

1. Calcular la E[X2] usando el teorema del Estadıstico Inconciente.

2. Calcular la E[X2] usando el resultado del Ejercicio anterior.

3. Calcular la V ar[X].

Ejercicio 3.17 Sea X una variable aleatoria tal que E[X] = 3 y E[X2] = 13,usar la desigualdad de Chebyshev para determinar una cota inferior paraP [−2 < X < 8].


Sea X una variable aleatoria discreta con funcion de densidad:

fX(x) =

18, si x = −1,

68, si x = 0,

18, si x = 1,

0, en otro caso.

Calcular P [|X − E[X]| ≥ 2V ar[X]]. Observar que este ejemplo ilustra queen general, la Desigualdad de Chebyshev no puede mejorarse.

Ejercicio 3.18 Sea X una variable aleatoria con E[X] = µ y tal que P [X ≤0] = 0. Demostrar que P [X > 2µ] ≤ 1

2.

Demostrar que para toda variable aleatoria X con segundo momento finito

(a) E[X2] ≥ (E[X])2, usando la definicion de varianza.

(b) E[X2] ≥ (E[X])2, usando la desigualdad de Jensen.

Cap´ıtulo 1 Espacio de Probabilidad · subconjuntos de Ω que contiene a todos los conjuntos a...

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