Probabilidad I

. Ejercicios del Teorema de De Moivre-Laplace

Si X es una variable aleatoria con distribucion binomial de parametros n y p es

decir X ∼ Bin(n,p), entonces X sigue una distribucion normal con parametros np

y npq, es decir, X ∼N (np,npq), donde q = 1− p.

Z =X −µσ

=X −np√npq

∼N (0,1)

es decir, Z sigue una distribucion normal estandar.

Ejemplo . Una moneda honesta es lanzada 500 veces. Sea X el numero de soles que

aparecen. Calcular:

. P(X ≤ 260)

. P(230 ≤ X ≤ 270)

Solucion.X sigue una distribucion binomial,X ∼ Bin(500,1/2). Utilizando el teo-

rema de De Moivre-Laplace se tiene que X ∼N (250,125) ya que np = 500(1/2) =

250 y npq = 500(1/2)(1− 1/2) = 125. Entonces,

. P(X ≤ 260) = P

(X−250√

125≤ 260−250√

125

)= P

(Z ≤ 260−250√

125

)= P(Z ≤ 0.89) = 0.8133.

. P(230 ≤ X ≤ 270) = P

(230−250√

125≤ X−250√

125≤ 270−250√

125

)= P (−1.78 ≤ Z ≤ 1.78) =

2P(0 ≤ Z ≤ 1.78) = 2(0.4625) = 0.925.