Aula-7Circuitos

+

-

ε

+

Circuitos

Resolver um circuito de corrente contínua (DC) é calcular o valor e o sentido da corrente. Como vimos, para que se estabeleça uma corrente duradoura num condutor, é necessário manter uma diferença de potencial entre suas extremidades. No caso prático, isto é feito por um dispositivo chamado fonte de força eletromotriz (fem), cujo símbolo é:

Dentro da fonte, um elemento de carga positiva dq deve se mover de um ponto de potencial mais baixo (-) para outro de potencial mais alto (+), necessitando de uma energia para isso. Então a fonte deve realizar um trabalho dW sobre um elemento de carga dq a fim de forçá-lo a ir do terminal (–) para o terminal (+).

Definição de fem:

fem ideal : bombeamento de cargas sem nenhuma resistência fem real: qualquer bateria na prática, sendo o movimento das cargas afetado pelas condições de contorno da bateria (resistência interna, r )

ε=dWdq (volt= J

C )

r

-

ε

-

ε

+

Calculando a corrente em circuito de malha única

a) Através da energia A equação de potência ( ) estabelece que, em um intervalo de tempo

a energia aparecerá no resistor do circuito, como energia térmica. Durante este mesmo intervalo de tempo, uma carga terá se movido através da bateria B, e o trabalho que a bateria realizou sobre esta carga terá sido:

i=ε ( volt )R(Ω)

cuja unidade é o ampère (A) .

Circuitos

dW=ε dq=ε i dtε i dt=R i2 dt

ε =R i

Do princípio de conservação da energia temos: , que nos leva a

Ou:

,

P=Ri2

Ri2dtdq=idt

dt ,

i=εR

No caso da bateria possuir resistência interna r, o termo -ir será acrescentado à equação, resultando:

i=εr+R

V a+ε−iR=V a⇒ ε−iR=0

Circuitos

b) Através do potencial Regra: A soma algébrica das variações de potencial encontradas ao longo de uma malha de qualquer circuito deve ser nula (regra das malhas, de Kirchhoff). No circuito, partido do ponto a no sentido da corrente:

Calculando a corrente em circuito de malha única

Quando se aplica uma diferença de potencial entre as extremidades de resistores ligados em série, uma mesma corrente passa através deles. A soma das diferenças de potencial entre as extremidades dos resistores é igual diferença de potencial aplicada:

Req=R1+R2+R3+. ..=∑iRi

Circuitos

Associação de resistores em série

ΔV=IR1+IR2=I (R1+IR2 )⇒ I= ΔVR1+R2

Da figura : I=ΔVReq

Comparando: Req=R1+R2Para três ou mais resistores em série:

Quando uma diferença de potencial V é aplicada nas extremidades de resistores ligados em paralelo, todos eles ficam submetidos a essa mesma diferença de potencial:

Circuitos

Associação de resistores em paralelo

1Req

=1R1

+1R2

+1R3

+. ..=∑i

1Ri

I 1=ΔVR1

, I 2=ΔVR2

I=VReq

Da figura :

Comparando:1Req

=1R1

+1R2

Para três ou mais resistores em paralelo:

I=I 1+I 2=ΔV ( 1R1

+1R2

)

Exemplo:

(I) (II)

Combinando (1), (2) e (3) teremos:

i1=0 ,50 Ai2=− 0 , 25 A ⇒ 0 , 25 Ai3=0 ,25 A

Sinal negativo de : o sentido real da corrente é contrário ao indicado na figura.

Circuitos de várias malhasε1=3,0V, ε2=6,0V

R1=2,0Ω , R2=4,0Ω

Calcular i1 , i 2 , i3

Sejam:

i2i2

Nó a:i3=i2+i1 (1 )

Malha (I): sentido anti-horário a partir de a

−i1R1−ε1−i1R1+ε 2+i2R2=0ou:

4,0 i1−4,0 i2=3,0 (2)

Malha (II): sentido horário a partir de a

+i3R1−ε2+i 3R1+ε2+i2R2=0ou:

4,0 i2+4,0 i3=0 (3)

a) Um instrumento usado para medir corrente elétrica é geralmente chamado de amperímetro. Ele é sempre colocado em série no circuito onde se quer medir a corrente. Alguns cuidados devem ser considerados quando da medida, principalmente os valores das resistências presentes no circuito em comparação com a resistência do amperímetro (RA): No circuito (malha) abaixo devemos ter,

RA<<(r+R1+R2 )

b) Um instrumento usado para medir diferença de potencial é chamado voltímetro. Ele é sempre colocado em paralelo com o trecho onde se quer medir a diferença de potencial. Condição de medida da diferença de potencial entre os terminais de em termos da resistência do instrumento:

RV >> R1

c) Na prática, um único instrumento ( Multímetro) realiza as duas medidas anteriores, além da medida das resistências.

Amperímetros e voltímetros

R1

Circuitos RC são aqueles que contêm resistores e capacitores. Eles são interessantes porque as correntes e os potenciais, nestes circuitos, variam com o tempo. Apesar das fontes (fem) que alimentam estes circuitos serem independentes do tempo, ocorrem efeitos dependentes do tempo com a introdução de capacitores. Estes efeitos são úteis para controle de funcionamento de máquinas e motores.

Circuito RC

a) Carregando um capacitor: chave S fechada em t=0. Assim que S se fecha, surge uma corrente dependente do tempo no circuito.

t=0 ⇒ q=0 ; t≠0 ⇒ q (t )Resolver (estudar) este circuito é encontrar a expressão da corrente que satisfaça à equação:

ε−iR−qC

=0

i (t )

dqdt

+qRC

=εR

Resolvendo esta equação diferencial para , vamos ter:

q ( t )=Cε (1−e−t / RC)=

é a carga final

Circuito RC

ε−iR−qC

=0i=dqdt

Como , temos que implica:

q ( t )

=Q f (1−e−t /RC )

do capacitor.

Q f≡Cε, onde

Circuito RC Calculando a corrente:

i=dqdt

i( t )=Cε ( 1RC

e−t / RC)= εRe−t / RC=i0 e

−t /RC

i0≡εR

( é a corrente inicial)

t=0 ⇒q (0 )=0 , i( 0)=εR

t=∞⇒q(∞)=Cε, i(∞)=0

Observe que a corrente tem valor inicial igual a e decresce até zero, quando capacitor se torna completamente carregado.

εR

q ( t ) i( t )

CεεR

Um capacitor em processo de carga, inicialmente (t=0) funciona como um fio de ligação comum em relação à corrente de carga. Decorrido um longo tempo ele funciona como um fio rompido.

Circuito RC

Constante de tempo

τ=RC

se t=RC⇒ q( t )=0 ,63 C ε e i( t )=0 ,37εR

O produto RC que aparece nas expressões de q(t) e i(t) tem dimensão de tempo e é a chamada constante de tempo capacitiva do circuito RC:

http://www.falstad.com/circuit/e-cap.html

(carga e descarga de um capacitor)

b) Descarregando um capacitor: chave S fechada em t = 0. O capacitor (inicialmente carregado) vai descarregar através de R. Como variam agora q(t) e i(t) no circuito?

A equação diferencial do circuito, neste caso, fica:

Circuito RC

R dqdt

+ qC

=0

cujas soluções são:

q (t )=Qe−tRC

i( t )=dqdt

=−i0e−tRC ; i0=

QRC

No processo de descarga, tanto a carga como a corrente diminuem exponencialmente com o tempo.

t=0⇒ q (0 )=Q= ; i(0 )=−i0t=∞⇒q (∞ )=0 ; i (∝)=0

Carga do capacitor diminuindo

Longo tempo

,

Circuito RCExemplo

Um capacitor de capacitância está descarregando através de uma resistência R. a) Em termos da constante de tempo , em que instante a carga no capacitor será metade do seu valor inicial ?

τ=RC

q=q0 e−tRC⇒1

2q0=q0 e

−tRC ,

ln 12

=−tRC

⇒ t=0 , 69RC≃0 , 69 τ

b) Em que instante a energia armazenada no capacitor será igual à metade do seu valor inicial ?

U=q2

2C=q02

2Ce−2 tRC=1

2U

0=1

2

q02

2C

ln12

=−2 tRC

⇒ t=0 , 35RC≃0 , 35 τ .

C

c) Qual é a energia dissipada no resistor durante a descarga do capacitor?

R: U=q02

2C. Por quê? Reobtenha esta resposta integrando dU=Ri2 dt )(