Lgica Matemtica

Cardinal de un Conjunto: Es el nmero de elementos de dicho conjunto. |A| = 9 |B| = 4

Definicin de Subconjunto:

Si C, D son conjuntos del universo U, decimos que C es un subconjunto de D y se escribe : C D si cada elemento de C es un elemento de D. C D D C

Si adems , D contiene un elemento que no esta en C , entonces C es un subconjunto propio de D y se escribe como: C D.8Teora de conjuntosConjuntos y SubconjuntosOperaciones entre conjuntosUninInterseccinDiferencia de conjuntosComplemento de un conjuntoDiferencia SimtricaLeyes de la teora de conjuntosDiagramas de Venn21. Conjuntos y subconjuntosUn conjunto es una coleccin o agrupacin bien definida de objetos, los cuales presentan una propiedad en comn. A estos objetos se llaman elementos y se dice que son miembros del conjunto.

Sintaxis:A,B,C,.. Para representar los conjuntos (letras maysculas)w,x,y, Para representar los elementos (letras minsculas)

Ejemplo:A es un conjunto formado por los diez primeros nmeros enteros positivos.Se puede representar por extensin: A = {1,2,3,4,5,6,10} O se puede representar por comprensin: A = {x / x es un entero y 1 x 10}

/ se lee tal que {x /.} se lee el conjunto de todos los x tal que 1 A1 es un elemento del conjunto A -5 A -5 no es un elemento del conjunto A

3Ejercicios4Exprese los siguientes conjuntos por extensin y nombre de que tipo de conjunto se trata:

A = {xx2 3x 4= 0} Conjunto: _________B = {x/x = 2n 1 x > 17} Conjunto: _________C = {x/x = 2n x < 38} Conjunto: _________D = {x/x = 5n -9 < x 15} Conjunto: _________E = {x/8x = 27 x} Conjunto: _________F = {x/x IN, 11 < x < 12 } Conjunto: _________

Ejercicios5Exprese los siguientes conjuntos por comprensin y nombre de que tipo de conjunto se trata:

A = {1, 3, 5, 7, 9, } Conjunto: _________B = { } Conjunto: _________C = {1, 4, 9, 16, 25, } Conjunto: _________D = {do, re, mi, fa, sol, la, si } Conjunto: _________E = {a, e, i, o, u} Conjunto: _________F = { } Conjunto: _________

Conjunto universal

Un conjunto se llama conjunto universal si incluye todos los conjuntos en discusion, y se denota por la letra U.

Conjunto VacoEs un conjunto que carece de elementos. Se llama conjunto vaco, y se representa por o { }. Observe que || = 0 pero { 0 } , as mismo { }

Ejemplo: Si C = { x / x3 = 8 y x es impar } entonces C = { } V C = Nota : El conjunto vaco est incluido en todo conjunto.

7No hay restricciones en cuanto a los objetos que pueden ser miembros de un conjunto.

Ejemplos:

1) S = {a, {1, 2}, p, {q}}

{q} S el conjunto {q} es miembro de S q {q} el elemento q es miembro del conjunto {q} q S el elemento q no es miembro de S

2) Si A = {{1}, 2, 3}; entonces se cumple:

9 {1} A {{1}, 2} A {{1}} A 2 A {2, 3} A 1 A Conjuntos Iguales

Dos conjuntos A y B son iguales; si y solo si, A B y B A

A = B (A B) (B A)

A = B x {x/ x A x B}

Ejemplos:

{1, 2, 4} = {1, 2, 2, 4}

{1, 4, 2} = {1, 2, 4}

Si P = {{1,2}, 4} y Q = {1, 2, 4}; entonces: P Q

{{1}} {1}

Si U = {1,2,3,4,5}, A = {1,2} y B = {x/x2 U }= {1,2},

entonces A = B10Familia de conjuntosPara un conjunto A cualquiera, a la coleccin o familia de todos los subconjuntos de A se le llama conjunto potencia de A y se denota por (A).11Ejemplos:1) Si M = { 1, 2 } entonces: | M | = 2 ; es decir: M tiene 2 elementos . Luego: (M) = { {1}, {2}, M, },Se verifica lo siguiente: |(M)|= 2|M| 22 = 4 posibles subconjuntos de M2) Si N = { 1, 2, 3 } El conjunto M tiene 3 elementos |(N)|= 23 ; hay 8 posibles subconjuntos de N. Luego: (N) = { {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, N, } 12EjerciciosDetermine el conjunto potencia de los siguientes conjuntos :

P = { , 5 } Q = { 0, {1,2 } , }

R = { x Z / 3 < x < 5 } Diagrama de Venn13Los diagramas de Venn permiten visualizar grficamente las nociones de conjuntos y se representan mediante crculos inscritos en un rectngulo. Los crculos corresponden a los conjuntos dados y el rectngulo al conjunto Universal.

Operaciones de Conjuntos y las leyes de la Teora de Conjuntos14Unin de conjuntos

La unin de dos conjuntos A y B, que se denota como A B, es el conjunto de todos los elementos que pertenecen al conjunto A o al conjunto B o a ambos. A B = {x / (x A) (x B) }

De igual forma:

A B C = {x / (x A) (x B) (x C)}

Nota: La unin de dos conjuntos es conmutativa, asociativa y reflexiva.15ABA U BABA U BBAA U B16Ejemplo:

Dados los conjuntos: A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5 }, B = { 0, 2, 4 } y C = { 5, 6, 8 }, efectuar y construir los diagramas de Venn respectivos:

A U C = { 0, 1, 2, 3, 4,5, 6, 8 }

B U C = {0,2,4,5,6,8}

A U B = {0,1,2,3,4,5}

Interseccin de conjuntos

La interseccin de dos conjuntos A y B, se denota como A B, y es el conjunto de todos los elementos que estan contenidos tanto en A como en B.

A B = {x / (x A) (x B)}

Propiedades:

A B = B A A A = A A =

Nota: La interseccin en conjuntos es asociativa y conmutativa.17

Interseccin de conjuntos18

19Diferencia:Para A, B U, la diferencia de de A en B, se denota por : A - B = {x / x A x B }

Y la diferencia de B en A, se denota por : B - A = {x / x B x A } Dibujo?Nota: A B B A

20Complemento:

Para un conjunto A U, el complemento de A se denota por: U - A V A VA :

A = { x / x U x A }

Diferencia simtrica:

La diferencia simtrica de A y B se denota como : A B = {x / (x A x B) x A B} A B = {x / (x A B) x A B}

21

22Ejercicios:

Si: U = {1,2,3,,9,10}, A = {1,2,3,4,5}, B ={3,4,5,6,7} y C = {7,8,9} , calcular las siguientes operaciones:

A B =B C =A B =A C =A B =A C =A C =B =A B =B C =(A B) =

23 Ejercicios: Si U = {1,2,3,,9,10, 11, 12 }, A = {1,2,3,4,5}, B ={1, 3, 5, 7} y C = {6,8,10} , calcular las siguientes operaciones: A (C B) = B =(A C) B = (B A) C =(C A) B = (A B) (B A) = (A B C) = A C =U A =

Leyes de la teora de conjuntosLey de doble complemento(A) = ALeyes De Morgan(A B) = A B(A B) = A BPropiedades conmutativasA B = B AA B = B A4. Propiedades asociativasA (B C) = (A B) CA (B C) = (A B) C5. Propiedades distributivasA (B C) = (A B) (A C)A (B C) = (A B) (A C)6. Propiedades idempotentesA A = AA A = A7. Propiedades del neutroA = AA U = A24