P( |• B) es una funci n de probabilidad y por lo tanto se verifican todas las propiedades de óuna probabilidad:

P(φ | B) = 0

P(Ac | B) = 1 − P(A|B)

Si A y C son disjuntos: P(AUC|B) = P(A|B) + P(C|B)

P(AUC|B) = P(A|B) + P(C|B) − P(A∩C|B)

En general: P(A|B) P(B≠ |A)

PROBABILIDAD CONDICIONAL

La probabilidad de que una empresa venda un producto defectuoso cuando la producci n se ósomete a un proceso diario de control de calidad (C.C.) es 0,005. La probabilidad de que un da no íhaya control de calidad es 0,05 y la probabilidad de que esa empresa venda un producto

defectuoso (P.D.) es 0,02. Determinar la probabilidad de que:

a) Se venda un (P.D.) y que haya (C.C.).

b)Habi ndose vendido un (P.D.) haya habido (C.C.).éc) Habi ndose vendido un (P.D.) no haya habido (C.C.).éd) Habi ndose vendido un (P.N.D.) haya habido (C.C.).ée) Habi ndose vendido un (P.N.D.) no haya habido (C.C.) .éf) No habiendo (C.C.) se venda un (P.D.).

g) No habiendo (C.C.) se venda un (P.N.D.).

EJEMPLO

D =“venta de producto defectuoso”

C = “hay control de calidad”

P(D/C)= 0,005; P(D)= 0,02; P(Cc)= 0,05

P(Dc/C)= 1-P(D/C)= 0,995; P(Dc)= 1-P(D)= 0,98;

P(C) = 1- P(Cc)= 0,95

S OLUCIÓN

INDEPENDENCIA ES TADÍS TICA

EVENTOS INDEPENDIENTES Y DEPENDIENTES

Se dice que dos sucesos son independientes cuando la ocurrencia de uno de ellos, no modifica la ocurrencia del otro, ni est influenciado por este. Si se realiza una serie áde pruebas repetidas, las pruebas son independientes , cuando el resultado de una de ellas no est influenciada por el resultado de la prueba anterior, ni tampoco áinfluenciar el resultado de la prueba siguiente.á

Se dice que dos eventos son independientes si y solo si:

P(A/B) = P(A)

Se dice que dos eventos son dependientes si la ocurrencia de uno de ellos

afecta la ocurrencia del otro.

P(A/B) P(A)≠

INDEPENDENCIA ES TADÍS TICA

Si A y B son sucesos independientes, se cumple:

•A y Bc son independientes

(ii) Ac y B son independientes

(iii) Ac y Bc son independientes.

INDEPENDENCIA ESTADSTICAÍ

REGLA DE LA CADENA

De la definici n de probabilidad condicional, se puede evaluar la probabilidad de óA1∩A2∩A3...∩AN (probabilidad conjunta) como:

P(A1∩A2∩A3...∩AN)= P(A1|A2∩...∩AN)P(A2| A3∩…∩AN)... P(AN)

Si A1,A2,A3...,AN son independientes entonces:

P(A1∩A2∩A3...∩AN)= P(A1)P(A2)... P(AN)

Esta regla de probabilidad se deriva de la definici n de probabilidad condicional y utiliza óel concepto de intersecci n de eventos para su aplicaci n:ó ó

c. Si A y B son eventos independientes, entonces:

P(A∩B) = P(A) P(B)•

b. Si A y B son eventos dependientes, entonces:

P(A∩B) = P(B) P(A/B)•

P(A∩B) = P(A) P(B/A)•

REGLA MULTIPLICATIVA DE PROBABILIDAD

Sea { a;b;c;d} espacio muestral con los eventos elementales equiprobables. Los eventos

A= { a;b}, B= { a;c} y C = {a;d} son independientes?

Se lanzan tres monedas sucesivamente y se consideran los siguientes sucesos:

A= obtener cruz en el primer lanzamiento.

B= obtener alguna cara. C= obtener dos cruces. Se desea saber:

a) Si A y B son mutuamente excluyentes.

b) Si A y B son independientes.

c) Si A y C son mutuamente excluyentes.

d ) Si A y C son independientes

EJEMPLO

REGLA DE PROBABILIDAD TOTAL

Sea un espacio muestral “S” y sean B1,B2,...,Bn un conjunto de eventos que constituyen una

partici n de S, donde Bi son mutuamente excluyentes y colectivamente exhaustivos, se puede óexpresar la probabilidad de A de la forma:

P(A) = iP(AΣ ∩Bi)= iP(A| Bi) P(Bi)Σ

Esta regla es til cuando necesitamos invertir probabilidades condicionales, es decir cuando úsabemos P(A|Bi) y nos interesa calcular P(Bi|A)

Se lanza una moneda y si sale cara se ponen 7 bolas blancas en una urna y si sale cruz se ponen 4

blancas. Se vuelve a lanzar la moneda y se ponen 5 o 2 bolas negras, seg n se saque cara o cruz. úDespu s se saca una bola de urna as compuestaé í

EJEMPLO

En un pas hay cuatro partidos polticos que se dividen la opini n p blica. Se sabe que: í í ó ú

El 35% de la poblaci n adhiere al partido I; El 31% adhiere al partido II; El 28% al partido III; óEl 6% al partido IV.

Entre los adherentes al partido I, un 36% corresponde a personas con ingresos inferiores a

dos salarios mnimos; Entre los adherentes al partido II, esa proporci n es del 52%; Para el í ópartido III, es un 42% Para el partido IV. 11% Si se elige una persona al azar calcular la

probabilidad de que tenga ingresos inferiores a dos salarios mnimos. í

EJEMPLO

TEOREMA DE BAYES

El Teorema o Regla de Bayes nos brinda un m todo para contestar algunas preguntas muy éimportantes. En su esencia, esta regla nos indica cu l informaci n es necesaria tener y el á óm todo para invertir la condici n cuando calculamos una probabilidad condicional: si A y B é óson eventos y conocemos P(A|B),P(B), P(A|BC), entonces podemos calcular P(B|A).

La necesidad de calcular este ltimo valor a partir de la informaci n disponible es ú óimprescindible para entender las consecuencias de algunas de nuestras decisiones.

TEOREMA: Dados los sucesos cualesquiera A y Bi tales que P(A) 0 y P(Bi) ≠ ≠ 0,

UBi= S se cumple:

EJEMPLO:

Sea E un suceso que indica si una persona tiene cierta enfermedad.

A: indica si la prueba de un test relacionado a dicha enfermedad es positivo.

Se sabe que: P(E) = 0.01, P(A|E) = 0.95, P(A|Ec) = 0.03.

Nos interesa calcular: P(E|A).

P(Br| A) = P(Br) P(A| Br) / ΣiP(A| Bi) P(Bi)

TEOREMA DE BAYES

Considere una f brica de botellas que cuenta con dos m quinas para producir sus botellas. En esa á áf brica se producen 10,000 botellas al da. La m quina A produce 6,500 botellas diarias de las cuales á í áel 2% son defectuosas. La m quina B produce 3,500 botellas cada da de las cuales el 1% son á ídefectuosas.

El inspector de calidad de la compa a selecciona una botella al azar y encuentra que est defectuosa. ñí áCu l es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la m quina A?¿ á á

EJEMPLO

¿Cómo se puede explicar que la máquina A produzca el 79% de las botellas defectuosas?

Este hecho se debe a dos factores. El primero es que la m quina A produce casi el doble de ábotellas que la m quina B. An si la tasa de botellas defectuosas fuera la misma para ambas á úm quinas, por el hecho de producir un mayor n mero de botellas, la m quina A producira casi á ú á íel doble de defectuosas de la m quina B. El segundo factor es que la tasa de producci n de á ódefectuosas de la m quina A es el doble de la correspondiente de la m quina B. En este caso, á áan si ambas m quinas produjeran la misma cantidad, las producidas por la m quina A ú á ácontendran el doble de botellas defectuosas que las que vienen de la m quina B.í á

INTERPRETACIÓN

El gobierno aprob una ley para hacer obligatorio que los cerca de 200,000 empleados p blicos se ó úsometan a una prueba para detectar si son usuarios de drogas. Se estima que el 1% de los empleados

p blicos del pas son usuarios de drogas. La prueba que se ofrece muestra un resultado positivo en el ú í98% de los casos en que se le administra a una persona que usa drogas, es decir, detecta el 98% de los

usuarios de drogas. De manera similar, si la persona no usa droga alguna, la prueba arroja un resultado

negativo en el 99% de los casos.

EJEMPLO

Se selecciona un empleado al azar, se le administra la prueba y se obtiene un resultado positivo.

Cu l es la probabilidad de que la persona sea un usuario de drogas?¿ á

De la poblaci n a la que se administra la prueba, cu ntos resultados positivos esperaras ó ¿ á íobservar?

cu ntos falsos positivos habra?¿ á í

EJEMPLO

Un analista de coyuntura econ mica quiere realizar predicciones a corto plazo sobre la evoluci n de la ó óeconoma. Utiliza como indicador adelantado el consumo de energa el ctrica. Por experiencia sabe que í í écuando la economa crece durante un periodo a un ritmo superior al del periodo anterior (A) la probabilidad íde que el consumo el ctrico sea alto es 0,90. Si ese crecimiento es igual al del periodo anterior (B) la éprobabilidad es 0,50. Finalmente, si el crecimiento es menor al observado en el periodo anterior (C),

entonces la probabilidad es 0,20. Adem s se sabe que los pron sticos respecto del comportamiento de la á óeconoma asignan al escenario A una probabilidadí del 0,20 y al B del 0,60. Determinar la probabilidad :

•De que se de A y que el consumo el ctrico sea alto. é•De que el consumo elctrico sea alto. é•De los distintos escenarios. Si el consumo es alto.

EJEMPLO

S OLUCIÓNA = tiene lugar el escenario A.

B = tiene lugar el escenario B.

C = tiene lugar el escenario C.

D = consumo elctrico alto.é

P(A) = 0,20; P(B) = 0,60; P(C) = 0,20; P(D /A) =0,90; P(D /B) = 0,50; P(D /C) = 0,20.

Tenemos una caja con 5 canicas, dos de ellas son rojas y las otras tres son azules. Se selecciona una

canica al azar, sin mirarla la guardamos en el bolsillo. Luego seleccionamos otra canica al azar. Esta

segunda canica era de color rojo. Cu l es la probabilidad de que la primera canica haya sido tambi n ¿ á éroja?

EJEMPLO