Probabilidad Condicional

Dr. José Dionicio Zacarias Flores

Introducción

Sea Eun experimento aleatorio con espacio de probabilidad (Ω,F,P). Algunas veces

podemos poseer información incompleta sobre el resultado real de E sin conocer

exactamente este resultado.

Por ejemplo, si lanzamos un dado, y e estamos interesados en el evento A = {6}. ¿Cuál es

la probabilidad de A? ¿Cuál es la probabilidad de cualquier resultado?

Ahora, si una persona nos dice que se está mostrando un número par, ¿Cuál es la

probabilidad de A conociendo la información anterior?

Podemos concluir que esta información afecta todos nuestros cálculos de

probabilidades.

Introducción

Por ejemplo, si lanzamos un dado y una persona nos dice que se está mostrando un

número par, entonces esta información afecta todos nuestros cálculos de

probabilidades.

En general, si A y B son eventos de F, y queremos calcular la probabilidad de que A

ocurra, y se nos dice que B está ocurriendo, entonces, a la luz de esta información, la

probabilidad de A ya no puede ser P(A), si B está relacionado con A. Claramente, en

esta nueva circunstancia, A ocurre si y solo si ocurre A n B, sugiriendo que la nueva

probabilidad de A es proporcional a P(A B).

Definición

Si A, B F, y P(B) > 0, la probabilidad condicional de A

dado B, denotada por P(A|B) se define por

P(A|B) = 𝑃(𝐴 ∩𝐵)

𝑃(𝐵)

Teorema

Si B F y P(B) > 0, entonces (Ω,F,Q) es un espacio de probabilidad

donde Q: F es definida por Q(A) = P(A|B).

Demostración.

i) Claramente, Q(A) ≥ 0 para todo A F .

ii) Q(Ω) = P(Ω |B) = 𝑃(Ω∩𝐵)

𝑃(𝐵)= 1

iii) Supongamos que A1, A2, … son eventos disjuntos en F. Entonces 𝑄 𝑖𝐴𝑖ڂ =1

𝑃(𝐵)𝑃 𝑖𝐴𝑖ڂ ∩ 𝐵 =

1

𝑃(𝐵)𝑃 𝑖(𝐴𝑖ڂ ∩ 𝐵 =

1

𝑃(𝐵)σ𝑖 𝑃 𝐴𝑖 ∩ 𝐵 = σ𝑖𝑄 𝐴𝑖 #

Ejemplo

Tenemos dos urnas, I y II. Urna I contiene 2 bolas negras y 3 bolas

blancas. La Urna II contiene 1 bola negra y 1 bola blanca. Se saca

una urna al azar y se elige una bola al azar de ella. Podemos

representar el espacio muestral de este experimento como las

rutas a través de un diagrama de árbol. Sea B el evento “una bola

negra es extraída”, e C el evento “la urna I es elegida”. Calcular

P(B|C).

Ejercicios

Si (Ω,F,P) es un espacio de probabilidad y A, B y C son eventos,

demostrar que 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵 ∩ 𝐶 = 𝑃 𝐴|𝐵 ∩ 𝐶 𝑃 𝐵|𝐶 𝑃 𝐶 .

Demostrar que P(B|A) = P(A|B) 𝑃(𝐵)

𝑃(𝐴), si P(A) y P(B) > 0.

Considérese el experimento de lanzar una moneda 7 veces.

Encontrar la probabilidad de obtener un número primo de soles

dado que las soles ocurren en al menos 6 de los lanzamientos.

Eventos independientes

A menudo sucede que el conocimiento de que ha ocurrido un

cierto evento E no tiene ningún efecto sobre la probabilidad de

que haya ocurrido algún otro evento F, es decir, que P (F|E) = P(F).

Uno esperaría que en este caso, la ecuación P (E|F) = P(E) también

fuera cierta. De hecho, cada ecuación implica a la otra (ver

Ejercicio al final). Si estas ecuaciones son verdaderas, podríamos

decir que F es independiente de E.

Eventos independientes

Por ejemplo, no esperaría que el conocimiento del resultado del

primer lanzamiento de una moneda cambie la probabilidad que

asignaría a los posibles resultados del segundo lanzamiento, es

decir, no esperarías que el segundo lanzamiento dependa del

primero. Esta idea se formaliza en la siguiente definición de eventos

independientes.

Definición

Sean E y F dos eventos. Decimos que son independientes si cualquiera de los dos:

1) ambos eventos tienen probabilidad positiva y P(E|F) = P(E) y P(F|E) = P(F), o ya sea

2) al menos uno de los eventos tiene probabilidad cero.

Teorema

Dos eventos E y F son independientes si y sólo si P(E ∩ F) = P(E) · P(F).

Demostración.

Caso 1: si cualquiera de los 2 tiene probabilidad 0, se cumple inmediatamente.

Caso 2: si asumimos que ambos eventos tiene probabilidad positiva, entonces

) Supongamos que E y F son independientes.

Entonces P(E|F) = P(E), pero P(E ∩ F) = P(E|F) P(F) = P(E) · P(F).

) Supongamos que P(E ∩ F) = P(E) · P(F).

Entonces P(E|F) = 𝑃(𝐸 ∩𝐹)

𝑃(𝐹)= P(E), recíprocamente P(F|E) = P(F) #

Ejemplo

Supongamos que tenemos una moneda que sale sol con

probabilidad p, y águila con probabilidad q. Ahora supongamos

que esta moneda se arroja dos veces. Usando una interpretación

de frecuencia de la probabilidad, es razonable asignar al resultado

(H, H) la probabilidad p2, al resultado (H, T) la probabilidad pq, y así

sucesivamente. Sea E el evento que representa el primer turno y F

el evento de que las águilas aparezcan en el segundo

lanzamiento. Ahora comprobaremos que con las asignaciones de

probabilidad anteriores, estos dos eventos son independientes,

como se esperaba.

Definición

Podemos generalizar la idea de independiente de la siguiente manera:

a) Si A o B tienen probabilidad cero, podemos generalizar a cualquier número de

eventos.

b) Una familia A = {Ai: i I} de eventos, es llamada independiente si , para cualesquiera

subconjuntos finitos J de I,

𝑃 𝑖ځ 𝜖 𝐽𝐴𝑖 = ς𝑖 𝜖 𝐽𝑃 𝐴𝑖 (*)

La familia A es llamada independiente por pares si (*) se cumple siempre que |J| = 2.

Nota

Tres eventos A, B y C son independientes si y sólo si se

cumple lo siguiente:

Hay familias de eventos los cuales son independientes

por pares pero no independientes.

Ejemplo

Supongamos que se lanza un dado de cuatro

caras. Entonces Ω = {1,2,3,4}, donde cada ω Ω

es igualmente probable de ocurrir. Sean A = {1,2},

B = {1,3}, C = {1,4}. ¿Son independientes?

Ejercicios de clase

Si A y B son eventos los cuales son disjuntos e independientes, ¿qué puede decirse de las probabilidades de A y B?

Demostrar que los eventos A y B son independientes si y sólo si A y Ω\B son independientes.

Sean A y B eventos que satisfacen P(A), P(B) > 0, y tal que P(A|B) = P(A). Demostrar que P(B|A) = P(B).

Demostrar que los eventos A1, A2, …, Am, son independientes si y sólo si Ω\A1, Ω\A2, …, Ω\Am son independientes.

Si A1, A2, …, Am, son independientes y P(Ai) = p para i = 1, 2, …, m, encontrar la probabilidad de que

a) Ninguno de los A´s ocurre.

b) Un número par de los A´s ocurre.

Condiciones para el Teorema de la

partición

Sea (Ω,F,P) un espacio de probabilidad. Una partición de

Ω es una colección {Bi: i I} de eventos disjuntos (así queBi F para cada i y Bi ∩ Bj = si i j) con 𝑖𝐵𝑖ڂ =Ω.

Teorema de la partición

Si {B1, B2, …} es una partición de Ω tal que P(Bi) > 0 para

cada i, entonces

𝑃 𝐴 = σ𝑖 𝑃 𝐴|𝐵𝑖 𝑃 𝐵𝑖 para todo A F

Nota. A este teorema también se le conoce como el

Teorema de la Probabilidad Total.

Demostración

𝑃 𝐴 = 𝑃 𝐴 ∩ 𝑖𝐵𝑖ڂ = 𝑃 𝑖ڂ 𝐴 ∩ 𝐵𝑖 = σ𝑖 𝑃 𝐴 ∩ 𝐵𝑖 = σ 𝑃 𝐴 | 𝐵𝑖 𝑃 𝐵𝑖 #

Teorema de Bayes

Si A es cualquier evento y B1, B2, …, Bn son eventos mutuamente excluyentes, con

probabilidades distintas de cero, cuya unión es Ω o contiene a A, entonces

para i = 1, 2, …, n.

Ejemplo

Mañana habrá lluvia o nieve pero no ambas; la probabilidad de lluvia es 2/5 y la

probabilidad de nieve es 3/5. Si llueve, la probabilidad de que llegue tarde a mi

conferencia es 1/5, mientras que la probabilidad correspondiente en caso de nieve es

3/5. ¿Cuál es la probabilidad de que llegue tarde?

R = 11/25

Ejemplo

Problema de rutina sobre bolas en urnas. Te presentan dos urnas. La Urna I contiene 3

bolas blancas y 4 negras y la Urna II contiene 2 bolas blancas y 6 negras. Escoges una

bola al azar de la Urna I y la colocas en la Urna II. A continuación, elige una bola

aleatoriamente desde la Urna II. ¿Cuál es la probabilidad de que esta bola sea negra?

R =

Ejemplo

Una prueba de sangre, cuando se administra a una persona con cierta enfermedad,

muestra la presencia de la enfermedad con probabilidad de .99 y no la muestra con

probabilidad de 0.01. También produce un resultado falso positivo para personas sanas,

con una probabilidad de .02. También sabemos que .1% de la población tiene la

enfermedad. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona realmente tenga la

enfermedad si la prueba lo dice?

R ≈ 0.047