Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 €...

38
Probabilidad de error Luca Mar/no y Francisco Rodríguez Ruiz Apuntes no revisados Cuidado!

Transcript of Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 €...

Page 1: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  

Luca  Mar/no  y  Francisco  Rodríguez  Ruiz  

Apuntes  no  revisados  

Cuidado!  

Page 2: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Función  Q(x)  •   la  definición  es  

Q(x) =12π

exp −t 2 /2{ }x

+∞

∫ dt

µ = 0€

σ2 =1

Q(x)

x

Es  el  integral  de  una  N(0,1)  entre  x  y  más  infinito.    €

t

Page 3: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Función  Q(x)  

•   Unas  propiedades:  

Q(0) =12

= 0.5

µ = 0€

σ2 =1

Q(0) = 0.5

Q(x) =1−Q(−x)

1.  

3.  

0

x

−x

0

Q(x)

Q(−x)

Q(−∞) =12.  

Q(−x) =1−Q(x)

Page 4: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Integral  de  una                                              

•   Vamos  ahora  a  considerar  el  integral  

•  Para  expresarlo  en  función  de  Q(x)  vamos  a  considerar  la  transformación  de  variable  

N(µ,σ 2)

12πσ 2

exp −(t − µ)2 /(2σ 2){ }µ +x

+∞

∫ dt

τ = (t − µ) /σdτ = dt /σ ⇒ dt =σdτ

⇒12πσ 2

exp −τ 2 /2{ }⋅x /σ

+∞

∫ σ⋅ dτ ⇒ 12π

exp −τ 2 /2{ }x /σ

+∞

∫ dτ =Q xσ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Page 5: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Integral  de  una                                              

•   Hemos  hallado      

N(µ,σ 2)

Q xσ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =

12πσ 2

exp −(t − µ)2 /(2σ 2){ }µ +x

+∞

∫ dt

µ€

σ2

Q(x /σ)

µ + x

t

Con  x  posi/vo  

x ≥ 0

Page 6: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Integral  de  una                                              

•   También  es  fácil  hallar/entender  que  (por  la  simetría  de  la  Gaussiana)  

N(µ,σ 2)

Q xσ

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

12πσ2

exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }−∞

µ−x∫ dt

µ€

σ2

Q(x /σ)

µ − x

t

Con  x  posi/vo  

x ≥ 0

Page 7: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Integral  de  una                                              •   Valen  también  esta  relación  

N(µ,σ 2)

σ2

1−Q(x /σ)

µ − x

t

µ€

Q −xσ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =1−Q

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

12πσ2

exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }µ−x

+∞

∫ dt

Con  x  posi/vo  

x ≥ 0

Page 8: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Integral  de  una                                              •   Valen  también  esta  relación  

N(µ,σ 2)

σ2

1−Q(x /σ)

µ + x

t

µ

Q −xσ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =1−Q

⎝ ⎜ ⎞

⎠ ⎟ =

12πσ2

exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }−∞

µ +x∫ dt

Con  x  posi/vo  

x ≥ 0

Page 9: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Integral  de  una                                              •   Valen  también  esta  relación  

N(µ,σ 2)

σ2

1−Q(x1 /σ) −Q(x2 /σ)

µ + x1

t

1−Q x1σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ −Q

x2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =

12πσ2

exp −(t − µ)2 /(2σ2){ }µ−x2

µ +x1∫ dt

x1 ≥ 0x2 ≥ 0

µ − x2

µ

Page 10: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (dim.  1)  •   Vamos  a  considerar  una  constelación  de  3  símbolos  

equiprobables    

•  Siendo  equiprobables,  los  umbrales  serán  los  puntos  medios    €

d1

d2

s2

s3

s1

s2

s3

s1

d12

d22

Decido  s2  

Decido  s1  

Decido  s3  €

u1

u2

d12

d22

Page 11: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (dim.  1)  •  ¿  Cuál  es  la  probabilidad  de  error  habiendo  transmi/do            ?    

s2

s3

s1

d12

d22

u2

s2

σ2 = N0 /2µ = s2

p(q | s2)

u1

Q d1 /2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d12σ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Q d2 /2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d22σ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Pe|s2 =Q d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ +Q

d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 12: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (dim.  1)  •  ¿  Cuál  es  la  probabilidad  de  error  habiendo  transmi/do            ?    

s1

σ2 = N0 /2µ = s1

p(q | s1)

s2

s3

s1

d12

Q d1 /2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d12σ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Pe|s1 =Q d12σ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 13: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (dim.  1)  •  ¿  Cuál  es  la  probabilidad  de  error  habiendo  transmi/do            ?    

s3

σ2 = N0 /2µ = s2

p(q | s3)

Q d2 /2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d22σ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Pe|s3 =Q d22σ⎛

⎝ ⎜

⎠ ⎟ =Q

d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

s2

s3

s1

d 22

Page 14: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (dim.  1)  •  Y  siendo  los  símbolos  equiprobables  

Pe =13Pe|s1 +

13Pe|s2 +

13Pe|s3 =

=13Q d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ +Q

d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ +Q

d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ +Q

d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

=23Q d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ +23Q d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 15: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  •  Vamos  a  considerar  símbolos  equiprobables  en  rejilla  

•  Podemos  dis/nguir  3  casos!  

s k

s j

s h

s l

s i

q1

q2

s d

s r

s g

s e

1)   2)   3)  

Page 16: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  •  En  este  caso  es  di`cil  calcular  DIRECTAMENTE  la  probabilidad  de  

error  habiendo  trasmi/do  un  símbolo,                      .    

•  Para  calcular                      directamente,  deberíamos  integrar  la  Gaussiana  en  todas  las  8  regiones  mostradas  en  figura  (                      ).      

s i

q1

q2

q ∈ Ii

q ∉ Ii

q = [q1,q2]

Pe| s i

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

Pe| s i

q ∉ Ii

Page 17: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  •  Esto  es  di`cil  porque  no  se  puede  expresar  fácilmente  la  región  

fuera  del  rectángulo              en  términos  de  desigualdades  de  las  componente  de            ,  como                                                            Además  hay  que  tener  cuidado  en  no  integrar  2  veces  la  misma  zona!          

s i

q1

q2

q ∈ Ii

q ∉ Ii

q = [q1,q2]

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q ∉ Ii

q

Ii

q1 ≥ a,q2 ≤ b.....

a€

b€

c

d

Page 18: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  •  Si  por  ejemplo  integramos  independientemente  las  variables  en  

esta  forma:      

s i

q1

q2

q ∈ Ii

a€

b€

c

d

para q1 ≥ d para q2 ≥ cpara q2 ≤ bpara q1 ≤ a

es  decir  a  la  “derecha”,  “arriba”,  “izquierda”  ,  “abajo”….y  LUEGO  SUMAR  todos  las  valores  hallados.    

Integramos  las  esquinas  2  veces  !!!  (Luego  hay  que  sumar  todo….)  

2  veces  !  

2  veces  !  

2  veces  !  

2  veces  !  

Page 19: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  •  Es  más  fácil  hallar  la  probabilidad  de  acierto                          y  luego  

s i

q1

q2

q ∈ Ii

a€

b€

c

d

Pe| s i

=1− Pa | s i

Pa | s i

Tenemos  que                                si    

q ∈ Ii

a ≤ q1 ≤ db ≤ q2 ≤ c

Al  mismo  /empo  !!    

Page 20: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  1)  •  Asumimos  siempre  símbolos  equiprobables  (en  rejilla)  

d12

d42

d22

d32

d42

s k

s j

d12

d22

s h

d32

s l

Dentro  del  rectángulo  decido    

s i

s i

q1

q2

s i = [si1,si2]

q = [q1,q2]

EN  ESTE  CASO  CONVIENE  CALCULAR  LA  PROBABILIDAD  DE  ACIERTO  (Pa)  Y  LUEGO    HACER  1-­‐Pa  

Page 21: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  1)  •  Como  sabemos  hay  independencia  en  los  ruidos,  y  podemos  

trabajar  en  manera  independientes  en  las  dos    direcciones    

•  La  probabilidad  de  acierto  en  este  caso  es    €

d42

d22

d42

d22

sh1

Decido    

si1

q1€

p(q | si1)

sk1

Pacierto|si1 =1−Q d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q

d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

si1

Page 22: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  1)  •   Para  la  otra  componente  

•  La  probabilidad  de  acierto  en  este  caso  es    

d12

d32

s j2

d12

d32

sl2€

si2€

q2Decido    

si2

Pacierto|si 2 =1−Q d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q

d32 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 23: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  acierto  (caso  1)  •   La  probabilidad  de  acierto  total  será  (por  la  independencia  de  

las  componentes)  

Pacierto| s i

= Pacierto|si1⋅ Pacierto|si 2

=

= 1−Q d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q d4

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q d3

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 24: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (caso  1)  •   La  probabilidad  de  error  habiendo  transmi/do              será    

Pe| s 1

=1− Pacierto| s i

=

Pe| s 1

=1− 1−Q d22 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q d4

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q d3

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

s i

Page 25: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  2)  •  Se  considere  ahora  el  caso  (en  rejilla)  

d42

d32

d42

s k

d32

s l

Dentro  del  rectángulo  decido    

s i

s i

q1

q2

s i = [si1,si2]

q = [q1,q2]

EN  ESTE  CASO  CONVIENE  CALCULAR  LA  PROBABILIDAD  DE  ACIERTO  (Pa)  Y  LUEGO    HACER  1-­‐Pa  

Page 26: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  2)  •  Primera  componente  

•  La  probabilidad  de  acierto  en  este  caso  es    €

d42

Decido    

si1

q1€

p(q | si1)

sk1

Pacierto|si1 =1−Q d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

si1

d42

Page 27: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  2)  •   La  otra  componente  

•  La  probabilidad  de  acierto  en  este  caso  es    €

d32

d32

sl2€

si2€

q2Decido    

si2

Pacierto|si 2 =1−Q d32 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 28: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  acierto  (caso  2)  •   La  probabilidad  de  acierto  total  será  (por  la  independencia  de  

las  componentes)  

Pacierto| s i

= Pacierto|si1⋅ Pacierto|si 2

=

= 1−Q d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d3

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 29: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (caso  2)  •   La  probabilidad  de  error  habiendo  transmi/do              será    

Pe| s 1

=1− Pacierto| s i

=

Pe| s 1

=1− 1−Q d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d3

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

s i

Page 30: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  3)  •  Otro  caso  podría  ser  por,  ejemplo  

d12

d42

d32

d42

s k

s j

d12

d32

s l

Dentro  del  rectángulo  decido    

s i

s i

q1

q2

s i = [si1,si2]

q = [q1,q2]

EN  ESTE  CASO  CONVIENE  CALCULAR  LA  PROBABILIDAD  DE  ACIERTO  (Pa)  Y  LUEGO    HACER  1-­‐Pa  

Page 31: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Ejemplo  en  2  dimensiones  (caso  3)  •  En  este  caso  tenemos  

•  La  probabilidad  de  acierto  total  será  

Pacierto|si1 =1−Q d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Pacierto|si 2 =1−Q d12 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q

d32 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Pacierto| s i

= Pacierto|si1⋅ Pacierto|si 2

=

= 1−Q d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q d3

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

Page 32: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Probabilidad  de  error  (caso  3)  •   La  probabilidad  de  error  habiendo  transmi/do              será    

Pe| s 1

=1− Pacierto| s i

=

Pe| s 1

=1− 1−Q d42 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ ⋅ 1−Q d1

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟ −Q d3

2 N0 /2

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

⎝ ⎜ ⎜

⎠ ⎟ ⎟

s i

Page 33: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Cota  de  la  unión  •   Consideremos  solo  dos  símbolos  en  2  dimensiones.  

•  Hemos  visto  (en  otros  apuntes)  que  realmente  se  puede  considerar  como  un  caso  unidimensional.  

s 1

s 2

p( s 2) > p( s 1)En  estas  figuras  

q2

q1

s 1

s 2€

q2

q1

Page 34: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Cota  de  la  unión  •   Así  que  por  ejemplo  

p( s 2) > p( s 1)En  esta  figura  

s 1

s 2€

q2

q1€

d1

d2

d1 + d2 = d( s 1, s 2)

Pe| s 1

= Q d1σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ = Pe|

s 1con

s 2

Pe| s 2

= Q d2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ = Pe|

s 2con

s 1

Page 35: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Cota  de  la  unión  •   Si  tengo  otro  símbolo,  podemos  razonar  por  parejas  hallando  

s 1

s 2€

q2

q1

d1

d2

s 3€

d3

d4

d5

d6

Pe| s 1con

s 3

= Q d3σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 3con

s 1

= Q d4σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 2con

s 3

= Q d6σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 3con

s 2

= Q d5σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 1con

s 2

= Q d1σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 2con

s 1

= Q d2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Page 36: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Cota  de  la  unión  •   Hay  que  recordar  que  estamos  integrando  Gaussianas  en  

semiplanos,  y  que  en  ciertos  casos  estamos  integrando  2  VECES  la  misma  región  (teniendo  en  cuenta  todos  los  símbolos  en  parejas).  

•   Por  esto,  sumar  todas  las  Pe  calculadas  antes  nos  da  una  cota  superior.  

s 1

s 2€

q2

q1

Pe| s 1con

s 2

= Q d1σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Page 37: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Cota  de  la  unión  •   Además  podemos  seguramente  escribir  

s 1

s 2€

q2

q1

d1

d2

s 3€

d3

d4

d5

d6

Pe| s 1≤ Pe|

s 1con

s 2

+ Pe| s 1con

s 3

= Q d1σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ + Q d3

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 2≤ Pe|

s 2con

s 1

+ Pe| s 2con

s 3

= Q d2σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ + Q d6

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Pe| s 3≤ Pe|

s 3con

s 1

+ Pe| s 3con

s 2

= Q d4σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ + Q d5

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

Page 38: Probabilidad)de)error) - Altervista• Otro)caso)podríaser)por,)ejemplo) € d 1 2 € 2 d 4 2 € d 3 2 € d 4 2 € s k € s j € d 1 2 € d 3 € s l Dentro)del) rectángulo)

Cota  de  la  unión  •  y  finalmente  llegamos  a  la  cota  de  la  unión  

s 1

s 2€

q2

q1

d1

d2

s 3€

d3

d4

d5

d6

Pe = p( s 1)Pe| s 1

+ p( s 2)Pe| s 2

+ p( s 3)Pe| s 3

Pe ≤ p( s 1) Q d1σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ + Q d3

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥ + p( s 2) Q d2

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ + Q d6

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥ + p( s 3) Q d4

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟ + Q d5

σ

⎝ ⎜

⎠ ⎟

⎣ ⎢

⎦ ⎥