bodeclases

Regulación Automática M.G. Ortega

Tema 5 (2): Diagrama de Bode. Técnica de construcción.

¿Dominio frecuencial?

0

0

AR

φ

Im

Re

A

Regulación Atutomática M.G. Ortega

Introducción

SistemaLinealizado

u(t)

Dobleobjetivo

t

f(t)yrp(t)

1

2

G(s)

Am

t

ω

ω

Respuesta frecuencial


Respuesta en frecuencia

tUsentu ω=)( )()()( φωω += tsenjGUty ss

Amplitud de la salida: )( ωjGUY =

Ángulo de fase: )())(arg( ωωφ jGjG ∠==

La respuesta del sistema oscila con la misma frecuencia ω que la sinusoide de entrada pero atenuada por un factor |G(jω)| y desfasada un ángulo φ = arg(G(jω)) que dependen de ω

G(s) y(s)u(s)


Respuesta en frecuencia

Dada Dada G(sG(s), a cada frecuencia se le asocia un número complejo ), a cada frecuencia se le asocia un número complejo

-1.942.55-0.653.20.5

-1.250.63-1.11.41

-1.46-0.34-1.80.155

……………

-1.444.48-0.314.70.1

08080

Im(G (jω))Re(G (jω))<G (jω)>|G (jω)|ω(rad/s)


Representaciones de la respuesta frecuencial

•Diagrama polar (diagrama de diagrama de NyquistNyquist) (1932) diagrama de la amplitud de G(jω) en función del ángulode fase de G(jω) en coordenadas polares al variar ωdesde cero a infinito

•Diagrama logarítmico (diagrama de Bodediagrama de Bode) (1945)2 curvas en función de la frecuencia en escalalogarítmica:

1. relación de amplitudes |G(jω)| [dB]2. ángulo de fase φ(ω) [º]

• Diagrama magnitud–fase (diagrama Nicholsdiagrama Nichols)diagrama del logaritmo del módulo en función de la fasepara un rango de frecuencias de interés

Regulación Automática M.G. OrtegaFrequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

; M

agni

tude

(dB

)

Bode Diagrams

10-1 100 101-100

-50

0

50

To:

Y(1

)

-20

-10

0

10From: U(1)

Diagrama de Bode

Consta de 2 trazados representados en función de la frecuencia en escala logarítmica

1. Diagrama del logaritmo del módulo de una función sinusoidal

2. Diagrama del ángulo de fase

arg(G(jω)) [º] en grados

20log|G(jω)| [dB](en decibelios)

ω en escalalogarítmica

Matlab:bode(sys)

dB = 20log (| . |)


¿Por qué diagramas logarítmicos?

Considerando la siguiente función de transferencia:

))...()(())...()(()(

21

21

nN

kds

pspspsszszszsKesG

++++++

=−

La magnitud de la respuesta en frecuencia es el producto de la magnitud de las respuestas en frecuencia de cada término:

ω

ωjsn

N

kds

pspspss

zszszseKjG

=

−

+++

+++=

)(...)()(

)(...)()()(

21

21


¿Por qué diagramas logarítmicos?

( ) ...)(log20log20...

...)(log20log20log20)(log20

1

1

−+−−+

++++= −

pjj

zjeKjGN

dj

ωω

ωω ω

En decibelios, el diagrama de |G(jω)| puede obtenerse por superposición de los diagramas de términos elementales correspondientes a cada polo, cero, ganancia y retardo.

...))/(1arg()/1arg(...)arg()arg()arg())(arg(

1

1

++++++++= −

pjjzjeKjG Nj

ωωωω ω

ω

ωjsn

N

kds

pspspss

zszszseKjG

=

−

+++

+++=

)(...)()(

)(...)()()(

21

21

dBjG )( ω


Factores básicos

Los factores básicos en una función arbitraria G(jω) son:

1. Ganancia K

2. Factores integrales y derivativos

3. Factores de primer orden

4. Factores cuadráticos

5. Retardo

( ) 1mωj

( ) 11 ±+ Tjω12

21

±

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

nn

jjω

ωωω

δ

La respuesta en frecuencia del sistema puede obtenerse por superposición de los diagramas de los términos elementales que componen la función de transferencia.

ωdje−


Bode real y asintótico

El diagrama de Bode asintótico es una aproximación en base a líneas rectas tanto de la magnitud como de la fase.

El diagrama de Bode real es el dibujo exacto.

A mano es más sencillo y rápido dibujar el Bode asintótico.


Bode: respuesta de una constante (ganancia)

KjGKsG=

=)(

)(ω KjG log20)(log20 =ω

0K º1800K º00)(

⎩⎨⎧

<−>

==∠=K

arctgjG ωφ

El Bode de una constante son líneas rectas


Bode: respuesta de un polo en el origen (integrador)

ωω

jjG

ssG 1)( 1)( ==

[dB] log20log201log20

1log20)(log20

ωω

ωω

−==−=

==j

jG

⎪⎩

⎪⎨

⎧

−⇒=⇒=

⇒=

dBdB

dB

201001

201.0

ωωω

º901

1)(

−=∠−∠=

∠=∠=

ωω

ωφ

jj

jG

Pendiente = -20 dB/década

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de –20 dB/década que pasa por cero dB en ω=1 rad/s.La gráfica de fase es igual a una constante de –90º.


Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

-150

-100

-50

0

50

100

10-1

100

101

102

-271

-270.5

-270

-269.5

-269

Bode: respuesta de un polo múltiple en el origen (integrador)

( )NN jjG

ssG

ωω 1)( 1)( ==

( )

[dB] log20log201log20

1log20)(log20

ωω

ωω

N

jjG

N

N

−==−=

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅−⇒=⇒=

⋅⇒=

dBNdB

dBN

201001

201.0

ωωω

( ) º901

1)(

Njj

jG N

⋅−=∠−∠=

∠=∠=

ωω

ωφ

Pendiente = -20N dB/década

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de –20N dB/década que pasa por cero dB en ω=1 rad/s.La gráfica de fase es igual a una constante de –90º·N.


Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Pha

se (

deg)

Mag

nitu

de (

dB)

-100

-50

0

50

100

150

10-1

100

101

102

-91

-90.5

-90

-89.5

-89

Bode: respuesta de un cero múltiple en el origen

( )NN jjGssG ωω == )( )(

( )

[dB] log20log20

log20)(log20

ωω

ωω

n

jjGN

N

===

==

⎪⎩

⎪⎨

⎧

⋅⇒=⇒=

⋅−⇒=

dBNdB

dBN

201001

201.0

ωωω

( ) º901

)(Nj

jjG N

⋅=∠−∠=∠=∠=

ωωωφ

Pendiente = 20N dB/década

La curva de la magnitud logarítmica es una recta con una pendiente de 20N dB/década que pasa por cero dB en ω=1 rad/s.La gráfica de fase es igual a una constante de 90º·N.

¡OJO!


Bode: respuesta de un polo simple

ωω

TjjG

TssG

+=

+=

11)(

11)(

[dB] 1log20

11log20)(log20

22T

TjjG

ω

ωω

+−=

=+

=

)()( ωωφ TarctgjG −=∠=

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−→>>−→+−⇒∞→

→<<→+−⇒→

º90 1/T)(log201log20s)frecuencia (altas

º0 1/T)(01log20 s)frecuencia (bajas 0

22

22

φωωωω

φωωω

TT

T

(Ejemplo para T=1)

Cuando ω=1/T la aproximación de alta frecuencia es igual a la aproximación de baja frecuencia y también φ=45ºω=1/T = frecuencia de corte (de transición)Cuando ω=10/T, el log de la amplitud es de –20 dB


Bode: respuesta de un polo simpleωc = 1/T = frecuencia del polo:

la frecuencia a la que se encuentran las dos asíntotas

La frecuencia del polo divide la curva de la respuesta de frecuencia en dos regiones: una curva (línea de 0 dB) para la región de baja frecuencia (0< ω<1/T ) y una curva (línea recta con pendiente –20 dB/década) para la región de alta frecuencia (1/T< ω<∞).El error máximo se produce en la frecuencia de transición.

Pendiente = -20 dB/décadaCurva exacta

Error max. 3dB

Pendiente = -45º/dec

real

asintótico

ω=0.1/T

ω=10/T

ωc


Bode: respuesta de un polo simple

T>0 (polo estable) T<0 (polo inestable)

-90º

-45º

-20 dB/dec

asintótico

ω=1/T

0º ω=1/T ω=10/Tω=0.1/T

asintótico0 dB

asintótico

0ºω=1/T ω=10/Tω=0.1/T

-90º

-45º

-20 dB/dec

ω=1/Tasintótico

0 dB


Bode: cero simple

log ω

|G(jω)| en dB

log ω

argG(jω) en º

1/T0 dB

0º

90º

-20 dB

10/T

Frecuencia de corte

1/T

45º

( )

T

TarctgTj

T

TT

T

T

TTj

/1 paraº45 creciente, ntemonótonameº90

00)(1arg

dB) 0 , 1/(por pasa quey 20dB pendiente de recta

log20log20)1log(10 para

0)1log(100 paraedecrecient ntemonótoname

)1log(10

1log201log20

22

22

22

22

==⎩⎨⎧

→∞→→→

=+

=

+→+

∞→→+→

+=

=+=+

ωφφωφω

ωω

ω

ωω

ωωω

ω

ωω

Las frecuencias altas se amplifican

ωω jTjGsTsG +=+= 1)( 1)(


Bode: respuesta de un cero simple

T>0 (cero fase mínima) T<0 (cero fase no mínima)

20 dB/dec

asintótico

ω=1/T

0ºω=1/T ω=10/Tω=0.1/T

asintótico

-90º

-45º

0 dB

-90º

-45ºasintótico

0º ω=1/T ω=10/Tω=0.1/T

20 dB/dec

asintótico

0 dB


Bode: polos complejos conjugados

222

2

21

12

)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=++

==

nn

jsnn

n

jjss

jG

ωω

ωωδ

ωδωωω

ω10 << δdonde

22

2

2

2 21log20

21

1log20)(log20 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=nn

nn

jj

jGωωδ

ωω

ωω

ωωδ

ω

Modulo:

Cuando 7071.02/10 =≤< δ

nnr ωδωω ≤−= 221

frecuencia de resonancia2max 12

1)()(δδ

ωω−

=== rr jGjGM

existirá un máximo en |G(jω)| conocidocomo pico de resonanciapico de resonancia Mr cuando

frecuencia de resonancia

22

2

2)(

nn

n

ssjG

ωδωωω

++=



El ángulo de fase2

21

1)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

nn

jj

jG

ωω

ωωδ

ω

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=∠= 2

1

2)(

n

narctgjG

ωω

ωωδ

ωφEl ángulo de fase depende tanto de ω como de δ

º180º90

º00

−→⇒∞→−=⇒=

→⇒→

φωφωωφω

nEn la frecuencia de transición el ángulo es –90º independientemente de δ

En la frecuencia en que se produce el pico de resonancia ω=ωr: δ

δφ221 −

−= arctg


Bode: polos complejos conjugadosCaso δ < 0.707 (caso con resonancia)

0.9899)1.0(21

212

2

=−=

=−= δωω nr

5.0252)1.0(1)1.0(2

112

1

2

2

=−

=

=−

=δδ

rM

Ejemplo para ωn=1 y δ=0.1

AsíntotasReal

Pico de resonancia20logMr

ωr frecuencia de resonancia

ωn : frecuencia de natural de oscilación

-90º/dec

-40dB/dec

0.1 ωn

10 ωn

La amplitud de la salida se ve amplificada a ciertas frecuencias y es máxima para ωr,, creciendo inversamente con δ

∞→⇒→ rM 0δ



Respuesta del logaritmo de la magnitud normalizada y escalada


Ejercicio:

Dibujar el bode de: 2)10)(110()1(1000)(

sssssG

++−

=

⎩⎨⎧

−=−∠=−

=−=++

−=

→→ º180)100(40100

100)10)(110(

)1(1000lim)(lim0

2

0

dBss

sssGss

1. Análisis a baja frecuencia :

• Ganancia a ω=1 rad/s :

( )⎩⎨⎧

−−

⇒=º180:

/40:2)(

FasedecdBPendiente

sGtipo•


Ejercicio:

40

dB•

0

)(º∠

º360−

)/( sradω

)/( sradω

1 10 1001.001.0

1 10 1001.001.0

20

20−

6080

100

º180−º270−

º90−º0

decdB /40−


Ejercicio:

Dibujar el bode de: 2)10)(110()1(1000)(

sssssG

++−

=

2. Polos y ceros:

⎩⎨⎧

−=−=

)(01)(1.0

:2

1

establepestablep

polos

)(01: mínimanofasedeccero >=


Ejercicio:

40

dB•

0)/( sradω

1 10 1001.001.0

20

20−

6080

100 decdB /40−

decdB /60−

decdB /40−

decdB /60−

)(º∠

)/( sradω

1 10 1001.001.0º450−º540−º630−

º360−


Ejercicio:

Matlab:

Gs=tf(100*[1 -10],conv([10 1 0 0],[1 1]));bode(Gs);

bode(100*[1 -10],conv([10 1 0 0],[1 1]));

2)10)(110()1(100)(

sssssG

++−

=


-150

-100

-50

0

50

100

150

200

Mag

nitu

de (

dB)

10-3

10-2

10-1

100

101

102

103

-270

-225

-180

-135

-90

-45

0

Pha

se (

deg)

Bode Diagram

Frequency (rad/sec)

Ejercicio:

Matlab:

2)10)(110()1(1000)(

sssssG

++−

=

¡Cuidado!


Resumen

Empezar a dibujar por baja frecuencia con recta:Pendiente: -20*N dB/dec (N: tipo del sistema)Punto: lims →0 G(s)sN en ω=1 rad/s

Si polo real:Ganancia: pediente disminuye en -20 dB/dec.Fase: si polo es estable (inestable), disminuye (aumenta) 90º en dos décadas centradas en el polo.

Si cero real:Ganancia: pediente aumenta en 20 dB/dec.Fase: si cero es de fase mínima (no mínima), aumenta(disminuye) 90º en dos décadas centradas en el polo.

Si polos complejos conjugados:Ganancia: pediente disminuye en -40 dB/dec., pero con resonancia.Fase: si polos estables (inestables), disminuye (aumenta) 90º en menos de dos décadas centradas en la frec. natual de los polos.

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