Bifurcaciones y caos en las ecuaciones deLorenz

Pablo Aguirre Departamento de Matematica

Universidad Tecnica Federico Santa Marıa

Valparaıso, Chile

El modelo de Lorenz

x = σ(y − x)y = rx − y − xz ,z = xy − bz ,

I Edward Lorenz (1963): Modelo simplificado de conveccion de fluido enuna capa bidimensional calentada desde abajo (aire en la atmosfera):Sistema de EDPs modelando velocidad del fluido y perturbaciones de latemperatura.

I (x(t), y(t), z(t)): Amplitudes reescaladas.

I t: Escala de tiempo reescalada.

I σ (Numero de Prandtl): Competencia entre difusiones viscosas ytermicas;

I r (Numero de Rayleigh): Calor aplicado;Aparece frecuentemente en mecanica de fluidos cuando una capa defluido es calentada desde abajo.

I b: Factor geometrico que resulta de obtener sistema adimensional.

[J. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2007.]

El estudio numerico de Lorenz

x = σ(y − x)y = rx − y − xz ,z = xy − bz .

b = 8/3, σ = 10, r = 28.

I Soluciones oscilan en forma irregular, sin repetirse nunca (aperiodicas),pero siempre permaneciendo en una region acotada del espacio de fase,convergiendo hacia un conjunto complicado: un “atractor extrano.”http://youtu.be/97ryBYOTQ0o

I El atractor extrano no es un punto de equilibrio, ni una orbita periodica,ni siquiera una superficie. Es un fractal.

I ¿Como llego Lorenz a esa conclusion?

[E. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, J. Atmosph. Sci. 20 (1963).]

Propiedades de las ecuaciones de Lorenz

x = σ(y − x)y = rx − y − xz ,z = xy − bz .

Consideramos b = 8/3 y σ = 10 fijos.r > 0 (Numero de Rayleigh): Moveremos r hasta r = 28 y mas alla...

I Equilibrios:0 = (0, 0, 0),C± = (±

√b(r − 1),±

√b(r − 1), r − 1), r > 1.

I Simetrıa: Al reemplazar (x , y) 7→ (−x ,−y), las ecuaciones no cambian:Si (x(t), y(t), z(t)) es una solucion, tambien lo es (−x(t),−y(t), z(t)).

I Todas las soluciones son, o bien, simetricas o poseen una contrapartesimetrica.

I ¿Comportamiento en el largo plazo?

[E. Lorenz, “Deterministic nonperiodic flow”, J. Atmosph. Sci. 20 (1963).]

El sistema de Lorenz es disipativo

I Los volumenes en el espacio de fase se contraen bajo el flujo.

I Sea S(t) una superficie cerrada que encierra un volumen V (t) en elespacio de fase. Por ejemplo, S(t) podrıa estar formada de condicionesiniciales para trayectorias.

I Despues de un tiempo dt, S evoluciona a una nueva superficie S(t + dt).

I ¿Cual es el volumen V (t + dt)?

Contraccion de Volumen (cont.)

I n: vector normal unitario a S y denotemos como f al campo de vectores.

I f: la velocidad instantanea de los puntos.

I f · n: la componente de la velocidad perpendicular a S .

I En un tiempo dt, un area dA barre un volumen f · n dt dA.

I Luego,

V (t + dt) = V (t) +

∫S

f · n dt dA.

I Entonces

V = limdt→0

V (t + dt)− V (t)

dt=

∫S

f · n dA =

∫V

∇ · f dV .

Contraccion de Volumen (cont.)

I V =∫V∇ · f dV .

I Para el sistema de Lorenz:

∇· f =∂

∂x[σ(y − x)] +

∂

∂y[rx − y − xz] +

∂

∂z[xy − bz] = −σ− 1− b < 0.

I Luego obtenemos la EDO V = −(σ + 1 + b)V < 0, con solucion

V (t) = V (0)e−(σ+1+b)t .

I Volumenes en el espacio de fase se achican exponencialmente rapido.

I Trayectorias convergen a un conjunto atractor de volumen cero.¿Cual es ese conjunto atractor? ¿Son puntos de equilibrio?

Consecuencias

I 1.- No hay soluciones cuasiperiodicas:Si las hubiera, dicha orbita tendrıa que estar sobre la superficie de untoro, “fluyendo” indefinidamente sin llegar a cerrarse. Luego, el toro serıainvariante bajo el flujo. Entonces, el volumen dentro del toro serıaconstante en el tiempo, lo cual contradice la propiedad de contraccion devolumen.

I 2.- No existen puntos de equilibrio ni ciclos repulsores:Supongamos que encerramos un objeto repulsor con una superficiecerrada de condiciones iniciales (ej, una esfera alrededor del punto deequilibrio o un tubo delgado alrededor de una orbita periodica). Despuesde un lapso de tiempo, la superficie se habra expandido pues lascorrespondientes trayectorias son repelidas. Luego, el volumen dentro dela superficie se incrementarıa. Esto es claramente una contradiccion.

Estabilidad local del origen

I El origen 0 = (0, 0, 0) es equilibrio para todos los valores de parametros.

I Linealizacion en 0: x = σ(y − x)y = rx − y ,z = −bz ,

I Ecuacion en z es desacoplada: z(t)→ 0 exponencialmente.

I Las direcciones x e y son gobernadas por el sistema(xy

)=

(−σ σr −1

)(xy

)con traza τ = −σ − 1 < 0 y determinante ∆ = σ(1− r).

I r < 1: 0 es un atractor.

I r > 1: 0 es una silla, pues ∆ < 0. dimW s(0) = 2, dimW u(0) = 1.

Estabilidad global del origen para r < 1

Toda orbita converge a 0 para t →∞: El origen es globalmente estable.

I Funcion de Lyapunov: Funcion suave, positiva definida que decrece a lolargo de las orbitas.

I Idea de la mecanica clasica: Funcion energıa decrece monotonamente enpresencia de friccion o disipacion.

I V (x , y , z) = 1σx2 + y 2 + z2: Superficies de “energıa” constante V son

elipsoides concentricos alrededor de 0.

I Razonamiento: 1) Para r < 1 y (x , y , z) 6= (0, 0, 0) se tiene V < 0 a lolargo de las trayectorias.2) Orbitas se mueven hacia valores de V menores, entrando en elipsoidescada vez mas chicos para t →∞.3) Pero V ≥ 0, luego V (x(t), y(t), z(t))→ 0 y por lo tanto(x(t), y(t), z(t))→ 0.

Bifurcacion pitchfork en r = 1

Bifurcacion: Cambio cualitativo en la dinamica.

I El origen 0 = (0, 0, 0) es equilibrio para todos los valores de parametros.Para r < 1: 0 es un nodo atractor. De hecho, es globalmenteasintoticamente estable.Para r = 1: 0 pasa por una bifurcacion pitchfork.Para r > 1: 0 es una silla.

I C± = (±√

b(r − 1),±√

b(r − 1), r − 1) existen para r > 1.Atractores inmediatamente despues de la bifurcacion.¿Estabilidad de los puntos C± para r >> 1?

En Resumen: Ruta al Caos

I r = rhom ≈ 13.926: Primera explosion homoclınica.

I rhom < r < rA: 2 orbitas Γ± de tipo silla. dimW s (Γ±) = 2, dimW u(Γ±) = 2.

0 es silla, C± son atractores. + Caos transiente.

I r = rA ≈ 24.06: Aparicion de atractor extrano.

I Para r > rH ≈ 24.74: Γ± desaparecen.

0 es silla, C± son silla-foco. dimW s (C±) = 1, dimW u(C±) = 2.

El unico conjunto atractor que queda es el Atractor de Lorenz.

¿Estructura del atractor extrano?

En un cierto rango de parametros, no hay equilibrios atractores ni ciclosatractores...Lorenz no pudo seguir usando herramientas estandar y se enfrento a lo queparecıa una paradoja:

I Todas las trayectorias permanecen confinadas en una region acotada.

I ...eventualmente atraıdas a un conjunto de volumen cero.“When you have eliminated the impossible, whatever remains, however improbable, must be the truth”,

(Sherlock Holmes)

Un atractor extrano A *

I ¿Como es A?

I ¿Como se mueven las orbitas una vez que llegan a A?

* [Ruelle & Takens, On the nature of turbulence, Commun. Math. Phys., 20 (1971), 167.]

Mariposa de Lorenz

I Visualizando la orbita en el espacio de fase: mariposa de Lorenz.

I La trayectoria cruza de un “ala” a la otra indefinidamente.

I El numero de vueltas alrededor de C+ o C− antes de cambiar de “ala”posee caracterısticas de variable aleatoria.

Estructura “visual” del Atractor de Lorenz

I Cada orbita da un numero finito de vueltas alrededor de una rama, yluego cambia a la otra rama.Y repite de nuevo... infinitas veces.

I Atractor A formado por dos superficies que se fusionan en la parte baja.

I Superficie “ramificada” S . ∂S ⊂W u(0).

I Dilema: debe haber unicidad de soluciones:Trayectorias no pueden cruzarse ni unirse!

Figura: [Abraham & Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior, Part 2: Chaotic Behavior, Aerial Press, 1983.]

Explicacion de Lorenz

I Las dos superficies se unen solo en apariencia.

I La “ilusion” se debe a la fuerte contraccion de volumen del flujo

I ...y por baja resolucion numerica.

Figura: [Abraham & Shaw, Dynamics: The Geometry of Behavior, Part 2: Chaotic Behavior, Aerial Press, 1983.]

Estructura de la superficie ramificada S

I Reemplacemos el flujo reversible 3D por un semiflujo en S :Soluciones se definen para t > 0 solamente.

I Una semiorbita positiva arbitraria en S :eventualmente debe llegar al intervalo de ramificacion [−a, a].

I En ese momento, la orbita “escoge” a cual rama ira a continuacion.

I Ademas, esta solucion se mueve (caoticamente) desde una rama a otra amedida que viaja por el atractor sin intersectarse con otras ni consigomisma (por la propiedad de unicidad de soluciones).

Superficie Ramificada

I Este comportamiento tambien es el mismo para cualquier otratrayectoria en A.

I Superficie S debe estar formada por un numero infinito no-numerable decapas o laminas.

I Lorenz: “Un complejo infinito de superficies.”

I Atractor de Lorenz A es un conjunto de puntos con volumen cero peroarea infinita: Fractal (dimA ≈ 2.05).Estructura de superficies que se “acumulan” en sı mismas.

I Hay varias maneras de definir la dimension fractal de un objeto y estandisponibles en muchos textos. Busca tu favorita!

¿Que es lo que tiene el “efecto mariposa” que atrae tanto la atencion?

¿Que es lo que tiene la Teorıa del Caos que atrae tanto la atencion?

Conceptos clave

La teorıa y aplicaciones de sistemas dinamicos engloban una grancantidad de conceptos, preguntas y tecnicas:

1. Dinamica (movimiento, cambio, etc)

2. Caos

3. Nolinealidad

4. Complejidad

5. Fractales

6. Bifurcaciones

7. Impredictibilidad

Herramientas: Analisis, topologıa, ecuaciones diferenciales, geometrıadiferencial (curvas, superficies, variedades), teorıa de la medida, metodoscomputacionales.

Ejemplos de sistemas dinamicos caoticos

Ecuaciones de Lorenz: (dinamica continua)x = σ(y − x)y = rx − y − xz ,z = xy − bz ,

(x , y , z) ∈ X = R3, T = R, σ, r , b: parametros.

Modelo logıstico: (dinamica discreta)

x 7→ µx(1− x) ⇔ xn+1 = µxn(1− xn),

x ∈ X = R, µ ∈ R. Esta aplicacion no es invertible: T = N0.

Shift: (dinamica simbolica)ω = {. . . , ω−2, ω−1, ω0, ω1, ω2, . . .}, donde ωi ∈ {1, 2}.

ω 7→ θ := σ(ω)

θk = ωk+1, k ∈ T = Z.Objetivo: entender comportamiento en el largo plazo.

Dinamica simple vs dinamica complicada

Teorıa y Aplicacion de Sistemas Dinamicos

“Arma secreta” para el diseno y analisis de sistemas del mundo real.- Redes de neuronas en el cerebro humano pueden oscilar en forma anormalprovocando ataques epilepticos.- Mecanismos del motor de turbinas de viento se agitan y se desgastan deforma que no se pueden instalar a gran escala.- Puente a escala funciona perfectamente, pero oscila peligrosamente cuandose construye.Los Sistemas Dinamicos nos ayudan a entender, predecir y controlar estoscomportamientos, y a crear soluciones originales e innovadoras.

Aplicaciones

[S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Westview, 1994.]

Curso: Sistemas Dinamicos Aplicados y CaosI Preliminares: Definiciones y conceptos en sistemas

dinamicos. Dinamica discreta vs continua. Retratos de fasey equivalencia topologica, hiperbolicidad.

I Bifurcaciones locales de equilibrios, puntos fijos y ciclos.

I Variedades invariantes, conjuntos atractores, cuencas deatraccion.

I Osciladores acoplados y cuasiperiodicidad. Oscilacionesforzadas periodicamente.

I Sistemas caoticos: Dependencia sensitiva a las condicionesiniciales, transitividad. Ecuaciones de Lorenz, mapeologıstico, sistema de Rossler, dinamica simbolica, herradurade Smale.

I Exponentes de Lyapunov, atractores extranos, fractales,dimensiones fractales, reconstruccion de atractores a partirde series de tiempo.

Textos:

I D. K. Arrowsmith & C. M. Place, An Introduction toDynamical Systems, Cambridge, 2011.

I R. L. Devaney, An Introduction to Chaotic DynamicalSystems, 2nd edition, Westview Press, 2003.

I J. Guckenheimer & P. Holmes, Nonlinear Oscillations,Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields,Springer, 1986.

I Y. Kuznetsov, Elements of Applied Bifurcation Theory,Springer, 2004.

I J. D. Meiss, Differential Dynamical Systems, SIAM, 2007.

I S. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, CRC Press,2014.

Temas y proyectos:http://paguirre.mat.utfsm.cl/temas.html

Topicos de investigacion:http://paguirre.mat.utfsm.cl/research.html

- Otros ramos de la lınea:* Modelos biomatematicoshttp://paguirre.mat.utfsm.cl/mat437-2018-2.html

* Teorıa de bifurcacioneshttp://paguirre.mat.utfsm.cl/mat600-2017-1.html

¿Como puedes involucrarte?Puede ser desde lo mas sencillo como simplemente tomar un cursoelectivo hasta lo mas completo como llevar a cabo un postgrado enel area. Tambien puedes seguir una mencion de ICMAT especializadaen sistemas dinamicos aplicados....e incluso puedes pegar el salto mas alla de la sala de clases, y dartus primeros pasos en el mundo de la academia y de la investigacionparticipando y colaborando en algun proyecto concreto!!!Si algo de esto te llama la atencion o sientes curiosidad, conversemos...