www.belajar-matematika.com - 1

BAB VII. TRIGONOMETRI

Pengertian Sinus, Cosinus dan Tangen

Sin α = ry

r y

Cosα = rx

α

x Tanα = xy

Hubungan Fungsi Trigonometri : 1. 2sin α + 2cos α = 1

2. tan α = αα

cossin

3. sec α = αcos

1

4. cosec α = αsin

1

5 . cotan α = αα

sincos

6. 2tan α + 1 = 2sec α 7. 2cot an α + 1 = 2cosec α

Rumus-rumus Penjumlahan dan Pengurangan : 1. sin (A + B) = sin A cos B + cos A Sin B

2. sin (A - B) = sin A cos B - cos A Sin B

3. cos (A + B) = cos A cos B – sin A Sin B 4. cos (A - B) = cos A cos B + sin A Sin B

5. tan (A + B) = BA

BAtan.tan1

tantan−

+

6. tan (A - B) = BA

BAtan.tan1

tantan+

−

Rumus-rumus Sudut Rangkap :

1. sin 2A = 2 sin A cosA 2. cos 2A = 2cos A - 2sin A

3. tan 2A = 2)(tan1tan2

AA

−

Rumus Jumlah Fungsi : Perkalian jumlah/selisih 1. 2 sin A cos B = sin (A+B) + sin (A-B) 2 2 cos A sin B = sin (A+B) – sin (A-B) 3 2 cos A cos B= cos (A+B) + cos (A-B) 4. -2sin A sin B = cos (A+B) – cos(A-B) Jumlah/selisih perkalian

1. Sin A + sin B = 2 sin 21 (A + B) cos

21 (A –B)

2. Sin A - sin B = 2 cos 21 (A + B) sin

21 (A –B)

3. cos A + cos B = 2 cos21 (A + B) cos

21 (A –B)

4. cos A - cos B = - 2 sin21 (A + B) sin

21 (A –B)

www.matematika-sma.com - 1

7. SOAL-SOAL TRIGONOMETRI

EBTANAS1993

1. Bila 0 0 < a < 90 0 dan tan a 0 = 115 , maka sin a 0

A. 65 B.

3625 C.

61 11 D.

365 E.

361 11

Jawab: Gunakan pengertian sinus,cosinus dan tangen r y 5 x 11

Tan a 0 = xy

= 115

r = 22 yx + = 2511+ = 36 = 6

sin a 0 = ry =

65

jawabannya adalah A EBTANAS2002 2. Diketahui ∆ ABC dengan panjang sisi AB = 3 cm, AC = 4 cm dan ∠CAB = 60 0 . CD adalah tinggi ∆ ABC. Panjang CD = …

A. 32 3 cm C. 2 cm E. 2 3 cm

B. 3 cm D. 23 3 cm

Jawab: C 4cm 60 0 3cm A D B

CD adalah tinggi ∆ ABC

Luas ∆ ABC = 21 . alas . tinggi =

21 . AB . CD

Lihat aturan sinus & cosinus :

Luas ∆ ABC = 21 ab sin γ =

21 ac sin β

= 21 bc sin α

Diketahui: b = AC = 4cm; c = AB = 3cm; α = 60 0 Maka :

21 . AB . CD =

21 bc sinα

Luas ∆ ABC = 21 bc sin α =

21 . 4.3 . sin 60 0

= 6. 21 . 3 = 3 3

21 . AB . CD = 3 3

21 . 3. CD = 3 3

21 . CD = 3

CD = 2. 3 Jawabannya adalah E EBTANAS1999 3. Nilai dari sin 1020 0 = …..

A. -1 B. - 21 3 C. -

21 D.

21 E.

21 3

jawab : sin x = sin α , maka 1x = α + k. 0360 sin 1020 0 = sin (α + 2. 0360 ) = sin 300 0 lihat hubungan nilai perbandingan sudut: sin 300 0 = sin ( 0360 - 60 0 )

= - sin 60 0 = - 321

jawabannya adalah B

www.matematika-sma.com - 2

UMPTN1990

4. 00

000

225cos.150sin135tan135cos.270sin − =…

A. -2 B. - 21 C.

21 D. E. 2

jawab: (1) sin 270 0 = sin (180 0 + 90 0 ) = - sin 90 0 = -1 (2) cos 135 0 = cos (180 0 - 45 0 ) = - cos 45 0

= - 21 2

(3) tan135 0 = 0

0

135cos135sin

cos 135 0 = - 21 2

sin 135 = sin 45 0 = 21 2

sehingga tan135 0 = - 1 (4) sin150 0 = sin (180 0 - 30 0 ) = sin30 0

= 21

(5) cos 225 0 = cos (180 0 + 45 0 ) = - cos 45 0

= -21 2

masukkan ke dalam persamaan:

00

000

225cos.150sin135tan135cos.270sin − =

)221.(

21

)1()221).(1(

−

−−−−

= 2

41

1221

−

+ =

42

2

22.21

−

+

= .2

21+ (- 2

4 )

= - 4 2

21+ = - 2 (1+ 2 )

tidak ada jawaban yang tepat

UAN 2002

5. Diketahui sin A = 178 dan tan B=

512 , A sudut

tumpul dan B sudut lancip. Nilai sin (A-B)=…

A. - 221140 C.

22121 E.

221220

B. -22121 D.

221171

Jawab: sin (A-B)= sin A cos B - cos A Sin B diketahui:

sin A = 178 =

ry

cos A = rx ;

r = 22 yx + r 2 = x 2 + y 2 x 2 = r 2 - y 2 x = 22 yr −

= 22 817 − = 64289 − = 225 = 15

sehingga cos A = 1715

tan B= 5

12 = xy

r = 22 yx + = 22 512 + = 169 = 13

sehingga : sin B = ry =

1312 dan cos B=

rx =

135

maka : sin (A-B) = sin A cos B - cos A Sin B

= 178 .

135 -

1715 .

1312

= 22140 -

221180 = -

221140

jawabannya adalah A

www.matematika-sma.com - 3

UAN2006 6. Nilai dari cos 465 0 - cos 165 0 adalah….

A. 21 2 C. 3 E. 6

B. 21 3 D.

21 6

jawab :

cos A - cos B = - 2 sin21 (A + B) sin

21 (A –B)

cos 465 0 - cos 165 0

= - 2 sin21 (465 0 +165 0 ) sin

21 (465 0 –165 0 )

= -2 sin 21 (630 0 ) sin

21 (300 0 )

= - 2 sin 315 0 sin 150 0

sin 315 0 = sin (360 0 - 45 0 ) = - sin 45 0 = - 21 2

sin 150 0 = sin (180 0 - 30 0 ) = sin 30 0 = 21

- 2 sin 315 0 sin 150 0 = -2 . (- 21 2 ) .

21

= 21 2

jawabannya dalah A UAN2005 7. Bentuk (-cos x - 3 sin x) dapat diubah dalam bentuk:

A. 2 cos ( x - 34 π ) D. .- 2 cos ( x -

67 π )

B.- 2 cos ( x + 34 π ) E. . 2 cos ( x -

67 π )

C. 2 cos ( x + 31 π )

jawab:

ingat rumus : a cos x + b sin x = k cos (x - α ) (-cos x - 3 sin x) diubah menjadi bentuk k cos (x - α ) k = 22 ba + diketahui a = -1 ; b= - 3 k = 31+ = 4 = 2

tan α = ab = 3

lihat di tabel sudut-sudut istimewa: α = 60 0 lihat soal di atas : (-cos x - 3 sin x) : cos x bernilai -, dan sin x bernilai -, maka x berada di kuadran III :

sehingga α = 180 0 + 60 0 = 240 0 = 34 π

sehingga bentuk (-cos x - 3 sin x) dapat diubah

menjadi = 2 cos (x - 34 π )

jawabannya adalah A UAN2003 8. Persamaan grafik di bawah adalah =….

A. y = 2 sin (x - 2π ) D. y = sin (2x +

2π )

B. y = sin (2x - 2π ) E. . y = 2 sin (2x +π )

C. y = 2 sin (x + 2π )

www.matematika-sma.com - 4

jawab: Fungsi grafik adalah fungsi sinus, fungsi umumnya adalah:

y = A sin (Tπ2 x + θ )

A = amplitude = ½ (nilai maksimum-nilai minimum) = ½ (2 –(-2) ) = 2 T = 2π (perioda sinus dan cosinus)

y = 2 sin (ππ

22 x + θ ) = 2 sin (x + θ )

untuk cari θ , chek nilai : (0 0 , 2) 2 = 2 sin (0 0 + θ ) 1 = sin θ θ = 90 0

Jadi persamaan grafiknya adalah y = 2 sin (x + 2π )

jawabannya adalah C UAN2005 9. Diketahui persamaan 2 sin 2 x + 5 sin x – 3 = 0

Dan - 22ππ

<< x , nilai cos x adalah….

A. - 21 3 C.

21 E.

21 3

B. - 21 D.

21 2

jawab: misal : y = sin x, maka persamaan diatas dapat dijabarkan menjadi : 2y 2 + 5 y – 3 = 0 (2y -1) (y +3) = 0

y = 21 atau y= -3

y = sin x

y = 21

21 = sin x ; x = 30 0 atau x = 150 0 (150 0 tidak masuk

range soal) y = -3 -3 = sin x tidak ada yang memenuhi sehingga didapat x = 30 0 ,

maka cos x = cos 30 0 = 21 3

jawabannya adalah E UAN2006 10. Himpunan penyelesaian persamaan 2 cos x + 2 sin x = 1 untuk 0 0 ≤ x ≤ 360 0 adalah A. {15 0 , 255 0 } B. {30 0 , 255 0 } C. {60 0 , 180 0 } D. {75 0 , 315 0 } E. {105 0 , 345 0 } Jawab: rumus umum : a cos x + b sin x = k cos (x - α ) a = 2 ; b = 2 k = 22 ba + = 4 = 2

tan α = ab =

22 = 1

α = 45 0 k cos (x - α ) = 2 cos (x - 45 0 ) = 1

cos (x - 45 0 ) = 21

x - 45 0 = 60 0 atau x - 45 0 = (360 0 - 60 0 ) x = 105 0 x = 300 0 + 45 0 = 345 0

www.matematika-sma.com - 5

(ingat cos + di kuadran I ( 0 0 - 90 0 ) dan di kuadran IV (270 0 - 360 0 ) ) Jadi himpunan penyelesaiannya : { 105 0 , 345 0 } Jawabannya adalah E.

www.belajar-matematika.com - 2

Sudut-sudut istimewa :

Tanda-tanda fungsi pada setiap kuadrant :

II I Sin + Semua + III IV Tan + Cos +

Hubungan nilai perbandingan sudut di semua kuadrant: Kuadrant I Sin (90 0 - θ ) = cos θ Cos (90 0 - θ ) = sin θ tan (90 0 - θ ) = cotan θ Kuadratn II : Sin (180 0 - θ ) = sin θ Cos (180 0 - θ ) = -cos θ tan (180 0 - θ ) = -tan θ

Kuadrant III : Sin (180 0 + θ ) = -sin θ Cos (180 0 + θ ) = -cos θ tan (180 0 + θ ) = tan θ

Kuadrant IV : Sin (360 0 - θ ) = -sin θ Cos (360 0 - θ ) = cos θ tan (360 0 - θ ) = -tan θ

Aturan sinus dan cosinus C b γ a α β A c B aturan sinus

αsin

a = βsin

b = γsin

c

Aturan cosinus 1. 2a = 2b + 2c - 2bc cos α 2. 2b = 2a + 2c - 2ac cos β 3. 2c = 2a + 2b - 2ab cos γ Luas Segitiga

Luas segitiga = 21 ab sin γ

= 21 ac sin β

= 21 bc sin α

α 00 030 045 060 090

Sin 0 2

1 21 2 2

1 3 1

Cos 1 2

1 3 21 2 2

1 0

Tan 0 3

1 3 1 3 ~

Kuadrant I α

Kuadrant II 0180 - α

Kuadrant III0180 + α

Kuadrant IV 0360 - α

Sin + + - - Cos + - - + Tan + - + -

www.belajar-matematika.com - 3

Hubungan Koordinat Cartesius dan Koordinat Kutub :

P(x,y) koordinat cartesius P(r, 0α ) koordinat kutub y

0α x

P (x,y) → P (r, 0α ) r = 22 yx +

0α didapat dari tan 0α = xy

P (r, 0α ) → P (x,y) x = r cos 0α ; y = r sin 0α jadi , p (x,y) = p(r cos 0α , r sin 0α )

Nilai Maksimum dan Minimum

1. Jika y = k cos (x + nπ ) dengan k > 0 maka a. maksimum jika y = k dimana cos (x + nπ ) = 1 sehingga (x + nπ )= 0 b. minimum jika y = -k dimana cos (x + nπ ) = -1 sehingga (x + nπ )= π 2. Jika y = k sin (x + nπ ) dengan k > 0 maka

a. maksimum jika y = k dimana sin (x + nπ ) = 1

sehingga (x + nπ )= 2π

b. minimum jika y = -k dimana sin (x + nπ ) = -1

sehingga (x + nπ )= 2

3π

Persamaan dan pertidaksamaan Trigonometri 1. Persamaan Rumus umum penyelesaian persamaan trigonometri adalah : a. sin x = sin α , maka 1x = α + k. 0360 2x = ( 0180 - α ) + k. 0360 b. cos x = cos α , maka 2,1x = ± α + k. 0360 c. tan x = tan α , maka x = α + k. 0180

Persamaan umum trigonometri adalah : a cos x + b sin x = c : dimana c = k cos (x - α ) dengan k = 22 ba + : persamaan lengkapnya: a cos x + b sin x = k cos (x - α ) = c

α didapat dari tan α = ab

Syarat agar persamaan a cos x + b sin x = c mempunyai jawaban adalah : c 2 ≤ a 2 + b 2

2. Pertidaksamaan Pertidaksamaan-pertidaksamaan trigonometri seperti sin ax ≤ c, cos ax ≥ c dan sebagainya dapat diselesaiakan dengan menggunakan langkah-langkah umum pertidaksamaan seperti : - Diagram garis bilangan - Grafik fungsi trigonometri

www.belajar-matematika.com - 4

Fungsi Trigonometri: 1. Fungsi Sinus : f(x) = sin x

. Ciri-ciri grafik fungsi sinus (sinusoida) y = sin x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π

d. Periodisitas fungsi : sin (x + k.2π ) = sin x, k ∈ bilangan bulat 2. Fungsi Cosinus : f(x) = cos x

Ciri-ciri grafik fungsi cosinus : y = cos x a. Mempunyai nilai maksimum 1 dan nilai minimu -1 b. Mempunyai amplitudo ½ ( nilai maksimum – nilai minimum) = ½ (1 – (-1)) = ½ .(2) = 1 c. Memiliki Periode sebesar 2π d. Periodisitas fungsi : cos (x + k.2π ) = cos x, k ∈ bilangan bulat

www.belajar-matematika.com - 5

2. Fungsi Tangen : f(x) = tan x

Ciri-ciri grafik fungsi y = tan x adalah : a. Nilai maksimum = +~ (positif tidak terhinggaa) dan nilai minimum = - ~ (minus tak terhingga) b. Mempunyai perioda sebesar π c. Periodaisitas fungsi tan (x +k. π ) = tan x, k ∈ bilangan bulat