VII. Integralrechnung von Funktionen mehrerer Ver .VII. Integralrechnung von Funktionen mehrerer

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  • VII. Integralrechnung von Funktionen mehrerer

    Veränderlicher

    20. Integration von Treppenfunktionen und das Lebesgue- Integral

    20.1 Bezeichnungen: Es seien I1, I2, . . . , In ⊂ R beschränkte Intervalle der Länge |I1|, . . . , |In|. Die Menge

    Q = I1 × . . .× In heißt Quader im Rn und

    λ(Q) := n∏ j=1

    |Ij|

    heißt Volumen von Q. Wenn die Dimension von Bedeutung ist, benutzen wir auch die Notation λn(Q).

    20.2 Definition: Eine Funktion ϕ : Rn → R heißt Treppenfunktion, wenn es endlich viele paarweise disjunkte Quader Q1, . . . , Qs ⊂ Rn und reelle Zahlen c1, . . . , cs gibt, so dass gilt:

    (∗) ϕ(x) = s∑ j=1

    cjIQj (x).

    Dabei ist für A ⊂ Rn die charakteristische Funktion durch IA : Rn → {0, 1}

    IA(x) :=

    { 1 falls x ∈ A 0 falls x 6∈ A

    definiert (vgl. auch mit Definition und Satz 7.17). Das Integral einer Treppenfunktion ϕ mit der Darstellung (∗) ist definiert als∫

    Rn ϕ(x)dx =

    s∑ j=1

    λ(Qj)cj.

    Weitere Schreibweisen: ∫ ϕ(x)dx bzw.

    ∫ ϕdx.

    1

  • 20.3 Eigenschaften:

    (1) Das Integral einer Treppenfunktion ist unabhängig von der gewählten Darstellung.

    (2) Es seien ϕ, ψ Treppenfunktionen, α, β ∈ R, dann gilt:

    (i) ∫

    (αϕ+ βψ)dx = α ∫ ϕdx+ β

    ∫ ψdx.

    (ii) | ∫ ϕdx| ≤

    ∫ |ϕ|dx.

    (iii) Gilt ϕ(x) ≤ ψ(x) ∀ x ∈ Rn, dann ist∫ ϕdx ≤

    ∫ ψdx.

    (iv) Es sei x1 ∈ Rp, x2 ∈ Rq, x = ( x1 x2

    ) ∈ Rn (n = p+ q), dann gilt∫

    Rn ϕ(x1, x2)d(x1, x2) :=

    ∫ Rn ϕ(x)dx =

    ∫ Rq

    (∫ Rp ϕ(x1, x2)dx1

    ) dx2

    =

    ∫ Rp

    (∫ Rq ϕ(x1, x2)dx2

    ) dx1.

    20.4 Definition: Es sei f : Rn → R̄ eine Funktion. Unter einer Hüllreihe zu f verstehen wir eine Funktion Φ : Rn → R̄ der Form

    Φ(x) = ∞∑ k=1

    ckIQk(x)

    mit den Eigenschaften:

    (1) Q1, Q2, . . . sind offene Quader in Rn und für alle k ∈ N ist ck ≥ 0.

    (2) Für alle x ∈ Rn gilt |f(x)| ≤ Φ(x).

    Wir bezeichnen

    I(Φ) := ∞∑ k=1

    ckλ(Qk) ∈ R+0

    als Inhalt von Φ und definieren

    ‖f‖1 := inf{I(Φ)| Φ ist Hüllreihe zu f}.

    Man beache, dass die hier aufretenden unendlichen Reihen entweder (absolut) konvergent oder bestimmt divergent sind.

    2

  • 20.5 Rechenregeln: Es seien f, g, f1, f2, . . . : Rn → R̄ Funktionen, dann gilt:

    (i) ‖cf‖1 = |c|‖f‖1 ∀ c ∈ R

    (ii) ‖f + g‖1 ≤ ‖f‖1 + ‖g‖1

    (iii) |f | ≤ |g| ⇒ ‖f‖1 ≤ ‖g‖1

    (iv) ‖ ∑∞

    k=1 fk‖1 ≤ ∑∞

    k=1 ‖fk‖1.

    Wegen der Eigenschaften (i) und (ii) bezeichnet man ‖ · ‖1 auch als Semi-Norm.

    20.6 Hilfssatz: Für jede Treppenfunktion ϕ : Rn → R gilt

    ‖ϕ‖1 = ∫

    Rn |ϕ(x)|dx.

    20.7 Definition: Eine Funktion f : Rn → R̄ heißt Lebesgue-integrierbar über Rn (kurz: integrierbar), wenn es eine Folge von Treppenfunktionen (ϕk)k∈N gibt mit

    lim k→∞ ‖f − ϕk‖1 = 0.

    In diesem Fall existiert der Grenzwert∫ Rn f(x)dx := lim

    k→∞

    ∫ Rn ϕk(x)dx

    (in R) und heißt Lebesgue-Integral von f. Weitere Schreibweisen:∫ f(x)dnx oder

    ∫ fdx.

    Es sei D ⊂ Rn, f : D → R und A ⊂ D eine Menge. Die Funktion f heißt über der Menge A Lebesgue-integrierbar, falls ihre Fortsetzung

    fA :

    { Rn → R̄ x → IA(x)f(x)

    Lebesgue integrierbar ist. In diesem Fall heißt∫ A

    f(x)dx :=

    ∫ Rn f(x)IA(x)dx

    Lebesgue-Integral von f über A.

    3

  • 20.8 Satz: Es seien f, g : Rn → R̄ Lebesgue-integrierbare Funktionen, dann gilt:

    (1) |f | ist Lebesgue-integrierbar und∣∣∣ ∫ fdx∣∣∣ ≤ ∫ |f |dx = ‖f‖1 (2) Für alle α, β ∈ R ist αf + βg Lebesgue-integrierbar und es gilt∫

    (αf + βg)dx = α

    ∫ fdx+ β

    ∫ gdx.

    (3) Ist außerdem f(x) ≤ g(x) ∀ x ∈ Rn, so gilt∫ fdx ≤

    ∫ gdx

    (4) Ist außerdem g beschränkt, so ist auch f · g Lebesgue-integrierbar.

    (5) Die Funktionen

    max(f, g) := 1

    2 (f + g + |f − g|)

    min(f, g) := 1

    2 (f + g − |f − g|)

    sind Lebesgue-integrierbar. Insbesondere sind also der positive Anteil von f

    f+ := max{f, 0}

    und der negative Anteil von f

    f− = max{−f, 0}

    integrierbar. Man beachte die Darstellungen f = f+ − f−, |f | = f+ + f−.

    20.9 Satz: (Zusammenhang zwischen Riemann- und Lebesgue-Integral) Es sei [a, b] ⊂ R ein kompaktes Intervall und f : [a, b] → R Riemann-integrierbar. Dann ist f auch über [a, b] Lebesgue-integrierbar und die beiden Integrale stimmen überein, d.h.∫

    [a,b]

    f(x)dx =

    ∫ b a

    f(x)dx.

    4

  • 20.10 Hilfssatz: Es sei f : Rn → R̄ eine Funktion und (ϕk)k∈N eine monoton wachsende Folge von Treppenfunktion, die punktweise gegen f konvergiert, und für die die Folge der Integrale (∫

    ϕkdx

    ) k∈N

    beschränkt ist. Dann ist f Lebesgue-integrierbar und es gilt∫ fdx = lim

    k→∞

    ∫ ϕkdx.

    20.11 Bemerkung: Es sei F eine Menge von R̄-wertigen auf einer Menge A definierten Funktionen. Die durch

    f :

    { A → R̄ x → f(x) := sup{ψ(x) | ψ ∈ F}

    definierte Funktion heißt obere Einhüllende von F . Ist F = {ψ1, ψ2, . . .} abzählbar und ϕk für x ∈ A durch

    ϕk(x) := max{ψ1(x), . . . , ψk(x)}

    definiert, dann gilt für alle x ∈ A

    f(x) = lim k→∞

    ϕk(x).

    20.12 Satz: Es sei A ⊂ Rn entweder offen und beschränkt oder kompakt und f : A→ R̄ stetig und beschränkt, dann ist f Lebesgue-integrierbar über A.

    20.13 Lemma: (Fortsetzungslemma von Tietze) Es sei f : A→ R eine stetige Funktion auf einer abgeschlossenen Teilmenge eines normierten Raumes (X, ‖ · ‖), dann kann f zu einer stetigen Funktion F : X → R fortgesetzt werden.

    20.14 Bezeichnungen: Es sei A ⊂ Rp × Rq, dann heißt für y ∈ Rq die Menge

    Ay := {x ∈ Rp | (x, y) ∈ A}

    y-Schnitt von A und für x ∈ Rp die Menge

    Ax := {y ∈ Rq | (x, y) ∈ A}

    x-Schnitt von A.

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  • 20.15 Satz: (Kleiner Satz von Fubini) Es sei X = Rp, Y = Rq und A ⊂ X × Y entweder eine kompakte oder eine offene und beschränkte Menge und f : A→ R eine beschränkte und stetige Funktion. Dann ist für jedes y ∈ Rq mit Ay 6= ∅ die Funktion x → f(x, y) über Ay integrierbar. Außerdem ist die durch

    F (y) :=

     ∫ Ay

    f(x, y)dx falls Ay 6= ∅

    0 falls Ay = ∅

    definierte Funktion über Y integrierbar und es gilt∫ A

    f(x, y)d(x, y) =

    ∫ Y

    F (y)dy =

    ∫ Y

    (∫ Ay

    f(x, y)dx

    ) dy.

    Ein entsprechender Satz gilt, falls man x und y vertauscht, d.h.∫ A

    f(x, y)d(x, y) =

    ∫ X

    (∫ Ax

    f(x, y)dy

    ) dx.

    20.16 Bemerkung: In der Situation von Satz 20.15 sei p = 1, q = n − 1 und für jedes y ∈ Rn−1 die Menge Ay entweder leer oder ein Intervall der Form [ϕ1(y), ϕ2(y)], dann folgt mit B = {y ∈ Rn−1 | Ay = ∅} aus Satz 20.15 und 20.9:∫

    A

    f(x, y)d(x, y) =

    ∫ B

    (∫ ϕ2(y) ϕ1(y)

    f(x, y)dx

    ) dy

    (man beachte, dass das innere Integral auf der rechten Seite ein Riemann-Integral ist). Im Fall n = 2 ist die Menge A oft von der Form

    A = {(x, y) ∈ R2 | c ≤ y ≤ d;ϕ1(y) ≤ x ≤ ϕ2(y)}

    mit stetigen Funktionen ϕ1, ϕ2 : [c, d]→ R und man spricht von einem Normalbereich bzgl. der y-Achse. Es gilt dann (falls f stetig auf A ist)∫

    A

    f(x, y)d(x, y) =

    ∫ d c

    (∫ ϕ2(y) ϕ1(y)

    f(x, y)dx ) dy

    (in diesem Fall sind beide Integrale auf der rechten Seite Riemann-Integrale). Analog bezeichnet (für stetiges ψ1, ψ2 : [a, b]→ R)

    A = {(x, y) ∈ R2 | a ≤ x ≤ b;ψ1(x) ≤ y ≤ ψ2(x)}

    einen Normalbereich bzgl. der x-Achse und es gilt (falls f stetig auf der Menge A ist)∫ A

    f(x, y)d(x, y) =

    ∫ b a

    (∫ ψ2(x) ψ1(x)

    f(x, y)dy ) dx.

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  • 20.17 Beispiele:

    (1) Fläche des Kreises K2 := {(x, y) ∈ R2 | x2 + y2 ≤ r2}∫ K2

    1d(x, y) = πr2.

    (2) Volumen der Kugel K3 = {(x, y, z) ∈ R3 | x2 + y2 + z2 ≤ r}∫ K3

    1d(x, y, z) = 4

    3 πr3.

    (3) Sei A = {(x, y) ∈ R2 | 0 ≤ x ≤ 1, x2 ≤ y ≤ x}, dann ist∫ A

    xyd(x, y) = 1

    24 .

    20.18 Definition: Eine Menge A ⊂ Rn heißt Lebesgue-meßbar falls ihre charakteristische Funktion IA Lebesgue-integrierbar ist. Die Zahl

    λ(A) :=

    ∫ Rn IA(x)dx =

    ∫ A

    1dx

    heißt Lebesgue-Maß von A (bzw. n-dimensionales Volumen von A). Wenn die Dimension von Bedeutung ist, benutzen wir auch die Notation λn(A).

    20.19 Übung: (Fläche unter einer Kurve) Es sei g : [a, b] → R+0 eine stetige Funktion und

    A = {(x, y) ∈ R2 | x ∈ [a, b]; y ∈ [0, g(x)]}, dann gilt

    λ2(A) =

    ∫ b a

    g(x)dx.

    20.20 Übung: Man zeige:

    (1) Jede beschränkte und offene und jede kompakte Menge im Rn ist Lebesgue-messbar.

    (2) Sind A,B Lebesgue-messbar, so sind auch A∩B und A∪B Lebesgue-messbar und es gilt

    λ(A ∪B) = λ(A) + λ(B)− λ(A ∩B)

    λ(A) ≤ λ(B) falls A ⊂ B.

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  • 20.21 Beispiel: