Diajukan untuk memenuhi salah satu tugas Matematika Sekolah IV

Math-B 2009 FKIP UNPAS

Penyelesaian Persamaan Trigonometri yang Sederhana

Penyelesaian persamaan trigonometri dasar sebagai berikut: Sin xo = sin o x = + k . 360 atau x = (180 ) + k . 360 Cos xo = cos o x = + k . 360 atau x = - + k . 360 Tan xo = tan o x = + k . 180 Dengan x R dan k B

Penyelesaian Persamaan Trigonometri dalam ukuran radian

Sin x = sin A x = A + 2k atau x = ( - A) + 2k Cos x = cos A x = A + 2k atau x = -A + 2k Tan x = tan A x = A + k Dengan x R dan k B

Penyelesaian persamaan-persamaan trigonometri yang berbentuk sin pxo = a, cos pxo = a, dan tan pxo = a dapat dilakukan dengan cara mengubah persamaan persamaan trigonometri itu menjadi persamaan trigonometri dasar yaitu dengan mengubah bagian ruas kanan semula menjadi perbandingan trigonometri yang senama dengan perbandingan trigonometri bagian ruas kiri. Begitu juga persamaan-persamaan trigonometri yang sudut-sudutnya dinyatakan dalam ukuran radian.

Untuk menentukan himpunan penyelesaian persamaan trigonometri jumlah atau selisih sinus atau kosinus diperlukan rumus penjumlahan dan pengurangan sinus dan kosinus

Perhatikan persamaan-persamaan trigonometri berikut. sin2 xo 4 sin xo + 3 = 0, 4 cos2 xo 3 cos xo 1 = 0, dan tan2 xo + 3 tan xo 4 = 0. Persamaan a), b), dan c) berturut-turut disebut persamaan kuadrat dalam sin xo, cos xo , dan tan xo.

a sin2xo + b sinxo + c = 0 a, b, dan c bilangan-bilangan real, serta a 0 Penyelesaian persamaan kuadrat dalam sin xo dapat dilakukan melalui langkah-langkah sebagai berikut. Langkah 1: Misalkan sin xo = y, sehingga persamaan a sin2 xo + b sin xo + c = 0 dapat dituliskan menjadi: ay2 + by + c = 0

Setelah nilai y diperoleh pada Langkah 1, nilainilai x ditentukan melalui penyelesaian persamaan sin xo = y. Namun perlu diingat bahwa persamaan a sin2 xo + b sin xo + c = 0 dapat diselesaikan apabila dipenuhi syarat-syarat sebagai berikut.

Nilai y pada persamaan kuadrat ay2 + by + c = 0 haruslah merupakan bilangan real. Sehingga syarat perlunya adalah: D = b2 - 4ac 0

Syarat CukupOleh karena sin xo = y dan kita ingat bahwa -1 sin xo 1, maka nilai sin xo = y haruslah terletak diantara -1 dan 1. Jadi, syarat cukupnya adalah: -1 y 1

Apabila salah satu di antara kedua syarat itu tidak dipenuhi, maka dikatakan persamaan a sin2 xo + b sin xo + c = 0 tidak mempunyai penyelesaian atau himpunan penyelesaiannya adalah himpunan

Bentuk umum dari persamaan kuadrat dalam cos xo adalah a cos2 xo + b cos xo + c = 0 dengan a, b, dan c bilangan-bilangan real, serta a 0. Langkah-langkah yang diperlukan untuk menentukan penyelesaian persamaan kuadrat dalam cos xo hampir sama dengan penyelesaian kuadrat dalam sin xo. Pertamatama dimisalkan cos xo = y, sehingga persamaan a cos2 xo + b cos xo + c = 0 dapat dituliskan menjadi ay2 + by + c = 0.

Akar-akar atau nilai-nilai y dicari dari persamaan kuadrat ay2 + by + c = 0. Kemudian, nilai-nilai x ditentukan melalui penyelesaian persamaan cos xO = y. Oleh karena sin xo dan cos xo mempunyai batas-batas nilai yang sama (yaitu antara -1 dan 1), maka syarat perlu dan syarat cukup agar persamaan kuadrat dalam cos xo dapat diselesaikan adalah sama dengan syarat perlu dan syarat cukup pada persamaan kuadrat dalam sin xo, yaitu:

syarat perlu: D = b2 4ac 0 syarat cukup: -1 y 1

Bentuk umum persamaan kuadrat dalam tan xo adalah a tan2 xo + b tan xo + c = 0 dengan a, b, dan c bilangan-bilangan real, serta a 0 Misalkan tan xo = y, sehingga persamaan a tan2 xo + b tan xo + c = 0 dapat dituliskan menjadi ay2 + by + c = 0

Akar-akar atau nilai-nilai y ditentukan dari persamaan kuadrat ay2 + by + c = 0. Setelah nilai-nilai y dapat ditentukan, nilai-nilai x dicari dengan menyelesaikan persamaan tan xo = y. Dengan mengingat bahwa nilai tan xo = y dapat bernilai dari negatif tak berhingga sampai positif tak-berhingga, maka agar persamaan a tan2 xo + b tan xo + c = 0 dapat diselesaikan dengan hanya memerlukan sebuah syarat, yaitu

D = b2 4ac 0

Perhatikan persamaan-persamaan trigonometri berikut. a) Cos 2xo + sin xo 1 = 0, b) Cos 2xo + 3 cos xo 1 = 0, dan c) Tan2 xo + sec2 xo = 1 Persamaan a) dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam sinus sebagai berikut. Cos 2xo + sin xo 1 = 0 (1 2 sin2 xo) + sin xo 1 = 0, ingat cos 2xo = 1 2 sin2 xo -2sin2 xo + sin xo = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam sin xo

Persamaan b) dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam kosinus sebagai berikut. Cos 2xo +3 cos x0 1 = 0 (2 Cos 2xo 1) + 3 cos xo 1= 0, ingat cos 2xo = 2 cos2 xo 1 2 cos2 xo + 3 cos xo 2 = 0, merupakan persamaan kuadrat dalam cos xo

Persamaan c) dapat diubah menjadi persamaan kuadrat dalam tangens sebagai berikut. tan2 xo + sec2 xo = 1 tan2 xo + (1 + tan2 xo) = 1,ingat sec2 xo = 1 + tan2 xo tan2 xo = 3 tan2 x = 1, merupakan persamaan kuadrat dalam tan xo.

Pertidaksamaan TrigonometriPertidaksmaan Trigonometri adalah suatu pertidaksamaan yang memuat fungsi fungsi trigonometri dengan peubah sudutnya belum diketahui. Suatu pertidaksamaan trigonometri hanya berlaku untuk satu atau beberapa interval dari peubah sudut, yang disebut himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri. Himpunan penyelesaian pertidaksamaan trigonometri dapat ditentukan melalui dua cara, yaitu dengan : sketsa grafik fungsi trigonometri diagram garis bilangan

f(x) = a cos xo + b sin xo dengan a dan b merupakan bilangan bilangan real yang tidak nol.

a). Mengubah bentuk a cos xo + b sin xo menjadi bentuk k cos ( x- )odengan 0 360 dan Nilai-nilai k dan ditentukan oleh nilai-nilai a dan b Misalkan bahwa a cos xo + b sin xo = k cos ( x- )o . Dengan menggunakan rumus trigonometri selisih dua sudut pada bagian ruas kanan , diperoleh : a cos xo + b sin xo = k ( cos xo cos o + sin xo sin o ) a cos xo + b sin xo = k cos xo cos o + k sin xo sin o

k cos xo = a (1) k sin xo = b ..(2)

Menentukan nilai k Dengan pengerjaan jumlah kuadrat pada persamaan (1) dan (2), diperoleh : k2 cos2 o + k2 sin2 o = a2 + b2 k2 (cos2 o + sin2 o) = a2 + b2 k2 = a2 + b2 , sebab (cos2 o + sin2 o)= 1 k = , diambil k > 0

=

tan o =Dari berbagai kemungkinan tanda a dan b,kuadran dari dapat ditetapkan dengan tabelTan a, b tan kuadran

a > 0, b > 0 a < 0, b > 0 a < 0, b < 0 a > 0, b < 0

>0 0 0 0